福建省廈門工學院附屬學校2024年高三下第一次模擬數(shù)學試題

福建省廈門工學院附屬學校2024年高三下第一次模擬數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．3．甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．54．已知中，角、所對的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件5．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．36．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機選出兩名，把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．8．若與互為共軛復數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．49．框圖與程序是解決數(shù)學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應填入（）A．， B． C．， D．，10．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．11．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內切 B．相交 C．外切 D．相離12．在平面直角坐標系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，、的坐標分別為，，且滿足，為坐標原點，若點的坐標為，則的取值范圍為__________.14．已知向量，滿足，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．15．設數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有，則___16．在中，已知，，是邊的垂直平分線上的一點，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解網絡外賣的發(fā)展情況，某調查機構從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調查了甲乙兩家網絡外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計（2）由頻率分布直方圖可以認為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)（單位：萬件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問題：①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個數(shù)，求的數(shù)學期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績，據(jù)統(tǒng)計，開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平，現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展營銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.18．（12分）已知函數(shù)，，.函數(shù)的導函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，要使恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）設函數(shù).(Ⅰ)當時，求不等式的解集；(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設直線與軸的交點為，過坐標原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.22．（10分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應用，以及三角函數(shù)的圖像的性質的應用，題目比較綜合.2、A【解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.3、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（?。籄（甲，乙）B（?。〤（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，?。〣（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，?。〤（乙）；A（甲）B（?。〤（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.4、D【解析】

由大邊對大角定理結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對的邊分別是、，由大邊對大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質等基礎知識，考查邏輯推理能力，是基礎題．5、B【解析】

根據(jù)極值點處的導數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導數(shù)極值的性質以及利用導數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．6、B【解析】

根據(jù)組合知識，計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為，然后計算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細心計算，考驗分析能力，屬中檔題.7、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.8、C【解析】

計算，由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念.9、A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉化與化歸思想，屬于基礎題.10、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.11、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r12、B【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標函數(shù)恒過，再分別討論的正負進一步確定目標函數(shù)與可行域的基本關系，即可求解【詳解】作出不等式對應的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線過定點，當時，不等式表示直線及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線下方的區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，只需直線的斜率，解得.綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結合思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由正弦定理可得點在曲線上，設，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點在曲線上，設，則，，又，，因為，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查學生計算能力，有一定的綜合性，但難度不大.14、【解析】

求的最小值可以轉化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設，由題，得，又，所以，則點C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點為M，則，設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則的最小值是，因為，又，所以的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的綜合應用問題，涉及到圓的相關知識與余弦定理，考查學生的分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.15、【解析】

利用行列式定義，得到與的關系，賦值，即可求出結果?！驹斀狻坑桑?，得，解得?！军c睛】本題主要考查行列式定義的應用。16、【解析】

作出圖形，設點為線段的中點，可得出且，進而可計算出的值.【詳解】設點為線段的中點，則，，，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及平面向量數(shù)量積運算律的應用，解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.（2）①4.911②100萬元.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.通過計算的觀測值，即可結合臨界值作出判斷.（2）①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值，根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由及求得，.結合正態(tài)分布曲線性質可求得，再由二項分布的數(shù)學期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬件的城市有和兩組，根據(jù)分層抽樣的性質可確定各組抽取樣本數(shù).分別計算出開展營銷活動與不開展營銷活動的利潤，比較即可得解.【詳解】（1）對于外賣甲：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為，對于外賣乙：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖，業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計92108200且的觀測值為，∴有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.（2）①樣本平均數(shù)，故==，，的數(shù)學期望，②由分層抽樣知，則100個城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內的有（個），每月訂單數(shù)在區(qū)間內的有（個），若不開展營銷活動，則一個月的利潤為（萬元），若開展營銷活動，則一個月的利潤為（萬元），這100個城市中開展營銷活動比不開展每月多盈利100萬元.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應用，完善列聯(lián)表并計算的觀測值作出判斷，分層抽樣的簡單應用，綜合性強，屬于中檔題.18、；4；12.【解析】

由題意可知，，求導函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導函數(shù)在函數(shù)的單調性的研究，得出正實數(shù)的最大值；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設，則，所以在上單調遞增，最后求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因為，則，①當，即時，恒成立，所以在上單調遞增，不符題意；②當時，令，解得：，當時，，單調遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；③當時，，解得：，且當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，若，則在上單調遞減，所以，若，則上單調遞減，在上單調遞增，由題意可知，，即，整理得，因為存在，符合上式，所以，解得，綜上，的最大值為4；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程整理得：由題意可知，，即，即，解得所以切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，消去，整理得，且因為，解得，設，則，所以在上單調遞增，因為，所以，所以，即.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的研究，導數(shù)的幾何意義，屬于難題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（Ⅱ）構造函數(shù)，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當時，因為，不合題意.②當時，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，，單調遞減區(qū)間是.當時，，，所以，只需，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導數(shù)研究恒成立問題，屬綜合中檔題.20、（1）（2）【解析】

(Ⅰ)當時，不等式為.若，則，解得或，結合得或.若，則，不等式恒成立，結合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令，得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡得，解得，結合，得的取值范圍為.點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化