2025中考數學專項復習解題技巧：勾股定理與面積問題、方程思想（壓軸題七種模型）含答案

2025中考數學專項復習解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程

思想壓軸題七種模型全攻略

解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想壓軸題七種模型全攻略

彳什【考點導航】

目錄

【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

【考點二結合乘法公式巧求面積或長度】

【考點三巧妙割補求面積】

【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

【考點五幾何圖形中的方程思想-折疊問題（利用等邊建立方程）】

【考點六幾何圖形中的方程思想-公邊問題（利用公邊建立方程）】

【考點七實際問題中的方程思想】

【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

網］1（2023春?新疆阿克蘇?八年級校聯考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是5cm和12cm,

C.6

D登

【變式訓練】

〔題目〔1〕（2023春?內蒙古鄂爾多斯?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在2X2的方格中，小正方形的邊長是1,點A、B、

。都在格點上，則AC邊上的高為（）

A.V5B.4^2C.D.4

252

題目囪（2023春?遼寧朝陽?八年級?？计谥校┤绻粋€等腰三角形的腰長為13，底邊長為24，那么它底邊上

的高為（）

A.12B.24C.6D.5

題目§（2022?全國.八年級課時練習）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1.點4、都在格點上,

若BD是△ABC的高，則BD的長為

題目⑷（2023春?安徽合肥?八年級?？计谀┤鐖D所示,在邊長為單位1的網格中，ZVIBC是格點圖形，求

中AB邊上的高.

題目可如圖，在Rt/\ABC中，/C=90°,AC=8,在△ABE中，DE是AB邊上的高，DE=12,$加=60.

⑴求BC的長.

（2）求斜邊邊上的高.

題目回（2023秋?全國?八年級專題練習）在中，/。=90°,AC=3,CB=4,CD是斜邊AB上高.

⑴求△ABC的面積；

⑵求斜邊AB；

（3）求高CD.

【類型二結合乘法公式巧求面積或長度】

的11已知在Rt/\ABC中，/C=90°,Z.A,/B,/C所對的邊分別為a,b,c,若a+b=10cm,c=8cm，則

出△ABC的面積為（）

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【變式訓練】

版目工］在△ABC中，AO是B。邊上的高，AD=4,AB=4g,AC=5,則△AB。的面積為（）

A.18B.24C.18或24D.18或30

題目習直角△48。三邊長分別是，，c+1和5,貝UZVIBC的面積為.

【類型三巧妙割補求面積】

題］（2023春.河南許昌?八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，已知=90°,AACB=30°,AB=6,

AD=13,CD=5.

（1）求證：△ACD是直角三角形；

（2）求四邊形ABCD的面積.

【變式訓練】

題目Q（2023春?內蒙古呼倫貝爾?八年級?？计谥校┤鐖D所示，是一塊地的平面圖，其中AD=4米，CD=3

米，AB=13米，BC=12米，乙4。。=90°,求這塊地的面積.

題目②（2023春?安徽馬鞍山?八年級?？计谀┮阎猘,6,c是△48。的三邊，且a=273,b=376,c=

V66.

（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

⑵求△4BC的面積.

W1區(qū)（2023春?山東荷澤?八年級?？茧A段練習）四邊形草地48co中，已知AB=3m,BC=4m,8=

12m,DA=13m，且/ABC為直角.

⑴求這個四邊形草地的面積；

（2）如果清理草地雜草，每平方米需要人工費20元,清理完這塊草地雜草需要多少錢?

題目回（2022春?重慶蒙江?八年級?？茧A段練習）計算:如圖，每個小正方形的邊長都為1.

A

（1）求線段CD與的長;

（2）求四邊形ABCD的面積;

⑶求證：/BCD=90°.

【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

血］1（2023秋?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形，若正方形的面積分別是6、10、4、6,則最大正方形E的面積是（）

【變式訓練】

題目①（2023?廣西柳州??？家荒＃┤鐖D，/BDE=90°,正方形BEGC和正方形AFED的面積分別是289

和225,則以為直徑的半圓的面積是（）

題目0（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，以AtZVLBC的三邊向外作正方形，其面積分別為$,$2,$3且

&=4,$2=8,則S3=；的三邊向外作等邊三角形,其面積分別為$,$2,$3,則三

者之間的關系為.

題目區(qū)（2023春?八年級課時練習）已知:在放△ABC中，90°,所對的邊分別記作a、6、

c.如圖1,分別以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形,其正方形的面積由小到大分別記作&、$2、$3，則

有&+$2=$3，

?M

⑴如圖2,分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分Si、52、S3,請問S1+S2與

S3有怎樣的數量關系，并證明你的結論；

（2）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示,其面積由小到大分別記作SI、S2Sa,根據（2）

中的探索，直接回答S1+S2與53有怎樣的數量關系；

⑶若①ZVIB。中，4。=6,3。=8,求出圖4中陰影部分的面積.

題目⑷（2023春?江西南昌?八年級南昌市第三中學?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學發(fā)現之一,

西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載,我國漢

代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

圖5圖6圖7

（1）①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑,分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為

8,S2,S3,利用勾股定理,判斷這3個圖形中面積關系滿足Sx+S2=S3的有______個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖吊瓦部分）的面積分別為

8,S2,直角三角形面積為S3,也滿足Si+S?=S3嗎？若滿足，請證明;若不滿足,請求出&,S2,S3的數量關

系.

（2）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,重復這

一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形”的

邊長為定值nz,四個小正方形A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d,則a2+62+c2+d2=.

【類型五幾何圖形中的方程思想-折疊問題（利用等邊建立方程）】

題工（2023春?河南許昌?八年級統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6,8,現將△AB。

按如圖所示的方式折疊，使點人與點B重合，則CE的長是（）

C

15

-4

【變式訓練】

題目工（2023春?湖北咸寧?八年級?？茧A段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，90°,47=4,3。=

3,將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處,折痕為AD,則BD的長為（）

B.1.5

題目區(qū)（2023春?山東荷澤?八年級統(tǒng)考期中）如圖，RtZXABC中，48=90°,AB=4,BC=6,將△ABC折

疊，使點。與AB的中點。重合，折痕交力。于點河，交BC于點N,則線段CN的長為.

題目區(qū)（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）如圖，在RtZVLBC中，90°,/4=30°,BC=2,點。是力。的中

點，點E是斜邊上一動點，沿。E所在直線把翻折到△4'DE的位置，A。交AB于點F.若

為直角三角形，則AE的長為.

二

CDA

題目0（2022秋?河北張家口?八年級統(tǒng)考期中）在4ABC中，90°,點D、E分別在AC.AB邊上（不與

端點重合）.將沿OE折疊，點4落在A的位置.

D

CCB

（1）如圖①，當4與點B重合且BC=3,AB=5.

①直接寫出力。的長；

②求△BCD的面積.

（2）當=37°.

①月與點E在直線力。的異側時.如圖②，直接寫出AAEB-AADC的大??；

②A'與點E在直線AC的同側時，且△4DE的一邊與平行,直接寫出NADE的度數.

【類型六幾何圖形中的方程思想-公邊問題（利用公邊建立方程）】

曲］如圖，在△ABC中，AB=10,BO=9,AC=17,則BO邊上的高為.

【變式訓練】

題目工已知:如圖，在△ABC中，/。=90°,AD是A4BC的角平分線，CD=3,8。=5,則AC=

CD

題目區(qū)如圖，在Rt/XABC和Rt^ADE中，=/。=90°,AC=AE,BC=OE,延長BC,DE交于點、M.

A

⑴求證:點A在/河的平分線上;

⑵若AC〃DM,AB=12,BA/=18,求BC的長.

【類型七實際問題中的方程思想】

網］1（2022.全國.八年級）明朝數學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江

月》:“平地秋千未起,踏板一尺離地,送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現代文為:如圖,秋千繩

索OA懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC=1尺）.將它往前推進

兩步（EB，于點E,且EB=10尺）,踏板升高到點B位置,此時踏板離地五尺（B。=CE=5尺），則

秋千繩索（OA或OB）長尺.

【變式訓練】

［題目—（2022?全國?八年級課時練習）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離

為2寸，點。和點。距離門檻AB都為1尺（1尺=10寸），則AB的長是（）

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

題目可（2022.河南.金明中小學八年級期中）《九章算術》是我國古代數學名著，有題譯文如下:今有門,不知

其高寬;有竿，不知其長短.橫放，竿比門寬長出4尺;豎放，竿比門高短2尺;斜放，門對角線長恰好是竿長

的2倍.問門高、門寬各為多少？

題目可（2022?重慶市求精中學校八年級期中）在一條東西走向的河的一側有一村莊。，河邊原有兩個取水

點4其中AB=AC,由于某種原由。到A的路現在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一

個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH,測得CB=1.5千米，CH=1.2千米，=0.9千

米.

（1）問S是否為從村莊。到河邊的最近路？請通過計算加以說明.

（2）求原來的路線AC的長.

題目?（2022.浙江?浦江縣實驗中學八年級期中）圖1是一張可以折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示

意圖,此時點A、B、C在同一直線上，且AACD=90°,圖2是小床支撐腳CD折疊的示意圖,在折疊過程

中，ZVICD變形為四邊形最后折疊形成一條線段BD".某家裝廠設計的折疊床是48=4cm,

BC=8cm,

⑴此時CD為cm；

（2）折疊時,當4B，BC時，四邊形ABCD'的面積為cm2.

圖1圖2

解題技巧專題:勾股定理與面積問題、方程思想壓軸題七種模型全攻略

行If【考點導航】

目錄

【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

【考點二結合乘法公式巧求面積或長度】

【考點三巧妙割補求面積】

【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

【考點五幾何圖形中的方程思想-折疊問題（利用等邊建立方程）】

【考點六幾何圖形中的方程思想-公邊問題（利用公邊建立方程）】

【考點七實際問題中的方程思想】

【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

網（2023春?新疆阿克蘇?八年級校聯考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是5cm和12cm,

則斜邊上的高為多少（）

【答案】。

【分析】設斜邊上的高為hem，利用勾股定理可求出斜邊的長，利用面積法即可求出力的值，可得答案.

【詳解】?.?直南三角形的兩條直角邊分別為5cm,12cm,

斜邊長為V122+52=13cm,

二直角三角形的面積為yX12X5=yX13-/Z,

解得：/i=M（cm）,

J-O

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理，直角三角形兩直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；靈活運用三角形的

面積的兩種不同的表示方法得到等量關系是解題關鍵.

【變式訓練】

題目①（2023春?內蒙古鄂爾多斯?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在2x2的方格中，小正方形的邊長是1,點A、B、

。都在格點上，則AC邊上的高為（）

A.V5B.鼻鼻C.3浮D.得

【答案】。

【分析】根據圖形，可以求出△48。的面積，然后即可求出AC邊上的高.

【詳解】解：AABC的面積：2x2-yxlx2-yxlxl-^xlx2=1-,

AC=V22+12=V5,

設AC邊上的高為立，由題意得：

1/F3

1vXA/5?c=1,

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理、正方形面積、三角形面積，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合思想解

答.

題目團（2023春?遼寧朝陽?八年級校考期中）如果一個等腰三角形的腰長為13,底邊長為24,那么它底邊上

的高為（）

A.12B.24C.6D.5

【答案】。

【分析】根據題意畫出圖形，如圖，根據等腰三角形的性質求出BD,再用勾股定理求解即可.

【詳解】解:如圖所示

根據題意得，AB=AC=13,BC=24,AD±BC.

:.BD=fBC=12,

在Rt/\ADB中，根據勾股定理得，Alf+BD2=AB2,

AD=y/ABi-BEP=V132-122=5,

即：底邊上的高為5,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，正確作出圖形、熟練掌握等腰三角形的性質是關鍵.

題目區(qū)（2022.全國.八年級課時練習）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1.點C都在格點上,

若BD是△ABC的高，則BD的長為

A

【解析】

【分析】

根據勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

解：由勾股定理得：AC=V22+42=2V5,

SAABC=3x4-yxlx2-yx3x2-yx2x4=4,

^AC-BD=^,

~~x—4,

5

故答案為：莘

【點睛】

本題考查了勾股定理,三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關鍵.

題目0（2023春?安徽合肥?八年級?？计谀┤鐖D所示,在邊長為單位1的網格中，ZVIBC是格點圖形,求

△ABC中AB邊上的高.

【答案】A4BO中AB邊上的高為§

5

【分析】如圖所述，過點A作的延長于點。，過點。作CELAB于點E,可得的長,

在Rt/\ABD中，可求出AB的長，根據S4ABe=^-BC-AD=^-AB-CE,即三角形的等面積法即可求解.

【詳解】解:如圖所述，過點A作AD_L的延長于點。，過點。作CE_LAB于點E,

?M

△ABC是格點圖形，每個小正方形的邊長為單位1,

：.AD=3,BC=3,BD=4,

：.在RtAABD中，AB=y/Alf+BD1=V32+42=5,

VS&ABC=\BCAD=^AB-CE,

BC-AD_3x3_9

:.CE=

AB55

：./XABC中AB邊上的高為2.

5

【點睛】本題主要考查格點三角形，勾股定理，等面積法求高等知識的綜合，掌握以上知識是解題的關鍵.

題目回如圖，在中，/C=90°,AC=8,在△ABE中，DE是AB邊上的高，。E=12,S^BE=60.

⑴求BC的長.

（2）求斜邊AB邊上的高.

【答案】（1）8。=6

（2）斜邊邊上的高是4.8

【分析】（1）根據在AABE中，DE是AB邊上的高，DE=12,SAABE^60,可以計算出AB的長，然后根據勾

股定理即可得到48的長；

（2）根據等面積法，可以求得斜邊邊上的高.

【詳解】（1）解：（1）???在4ABE中，。H是AB邊上的高，DE=12,SAABE=60,

AB產=60,即4爸12=60,解得AB=io,

?.?在出AABC中，/C=90°,47=8,

BC=y/AB2-AC2=V102-82=6;

⑵解:作OF,AB于點F,

?：AB10,AC^8,BC^6,AC'^B=AB'^F,

.8x6_10xCF

"2-2'

解得CF=4.8,即斜邊AB邊上的高是4.8.

【點睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

［題目回（2023秋?全國?八年級專題練習）在△ABC中，/C=90°,AC=3,CB=4,CD是斜邊AB上高.

⑴求△ABC的面積；

⑵求斜邊AB；

⑶求高CD.

【答案】（1）A4BC的面積為6

（2）斜邊AB為5

（3）高CD的長為孕

【分析】（1）根據三角面積公式底乘高除以2求出即可.

（2）根據勾股定理求出AB.

（3）根據等面積法求出高CD.

【詳解】的面積=X3x4=6.

故△ABC的面積是6;

（2）在RtAABC中,ZC=90°,AC=3,CB=4,

.-.AB=V32+42=5;

（3）,/yXACXyxCDxAB,

.-.yX3x4=yX5xCD,

解得CD=g.

故高CD的長為早.

5

【點睛】此題考查了求三角形面積、勾股定理，解題的關鍵是熟悉三角形面積公式、勾股定理.

【類型二結合乘法公式巧求面積成長度】

0]]已知在Rt/\ABC中，90°,ZA,ZB,/C所對的邊分別為a,6,c,若a+b=10cm,c=8cm,則

的面積為（）

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【答案】A

【分析】

根據題意可知，RtZXABC的面積為ab,結合已知條件，根據完全平方公式變形求值即可

【詳解】

解：中，NC=90°,乙所對的邊分別為a,6,c,

.-.a2+62=c2

a+b=10cm,c=8cm

2ab=（a+6）2—（a2+52）=（a+6）2—c2=100-64=36

12

S&ABC=工ab=9cm

故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關鍵是完全平方公式的變形.

【變式訓練】

〔題目工在△ABC中，AD是BC邊上的高，入。=4,45=4，11,4。=5,則448。的面積為（）

A.18B.24C.18或24D.18或30

【答案】。

【解析】

???

【分析】

由勾股定理分別求出BD和CD,分4D在三角形的內部和AD在三角形的外部兩種情況，由三角形面積公

式計算即可.

【詳解】

解:在RtAABD中，

由勾股定理得：BD=^AB2-AD2=12,

在Rt^ACD中，

由勾股定理得：CD=yjAC2-AD2=A/52-42=3,

分兩種情況：

①如圖1,當AD在△ABC的內部時，30=12+3=15,

則△ABC的面積=/BOXAD=9x15x4=30;

②如圖2,當AD在△ABC的外部時，BC=12-3=9,

則△ABC的面積=58。義人。=寺x9x4=18;

綜上所述，△AB。的面積為30或18,

故選：D.

【點睛】本題考查的是勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解

題的關鍵.

目［叵直角△48。三邊長分別是①，2+1和5,貝U△ABC的面積為.

【答案】6或30

【解析】

【分析】

根據△ABC是直角三角形，則在AABC中分類討論，運用勾股定理即可求出答案.

【詳解】

解：AABC是直角三角形，則在AABC中即可運用勾股定理，不確定rc+l與5哪一個大，所以討論：

⑴若H+IV5,則存在―+(/+1)2=52,

解得x=3,

SI\ABC=1x3x4=6;???

（2）若c+1>5,貝I（2+I）?—a?=52,

解得c=12

S\ABC~-^-X5X12=30.

△ABC的面積為6或30.

故答案為：6或30.

【點睛】本題主要考查直角三角形中勾股定理的應用，本題中討論2+1與5的大小是解題的關鍵.

【類型三巧妙割補求面積】

］（2023春?河南許昌?八年級校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，己知=90°,ZACB=30°,AB=6,

AD=13,CD=5.

（1）求證：AACD是直角三角形；

（2）求四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）見解析

（2）1873+30

【分析】（1）根據30°角的直角三角形的性質得到AC=2AB=12,再根據跟勾股定理的逆定理即可得證;

（2）根據勾股定理得到BC=6V3,再利用三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】（1）證明：；ZB=90°,乙4cB=30°,AB=6,

AC=2AB=12,

在△4CD中，4。=12,AD=13,CD=5,

52+122=132,即A^+CD2^AD2,

.?.△ACD是直角三角形；

（2）解：?.?在AAB。中，/B=90°,AB=6,AC=12,

BC=y/AC2-AB2=V122-62=6瓜,

：.SAABC=?AB=-1-X6V3X6=18A/3,

又—AC-CD=-1-x5x12=30,

S13邊彩ABCD=SAABC+SAACD=18V3+30.

四邊形ABCD為18V3+30.

【點睛】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30°角的直角三角形的性質，三角形的面積.熟練掌握勾

股定理的逆定理是解題的關鍵.

【變式訓練】

題目Q（2023春?內蒙古呼倫貝爾?八年級校考期中）如圖所示，是一塊地的平面圖，其中AD=4米，CD=3

米，AB=13米，BC=12米，乙4。。=90°,求這塊地的面積.

?M

c

'D

-------------------------------

【答案】24平方米

【分析】連接4。,根據勾股定理求出力。=y/Alf+CD2=5米，根據AC2+BC2=AB2,NACB=90°,根據

直角三角形的面積公式求出結果即可.

【詳解】解:如圖，連接AC,如圖所示：

???/AOC=90°,人。=4米，CD=3米，

AC=^A^+CD2=5米，

AB=13米，BC=12米，

AC^+BC^AB2,

：.ZACB=90°,

/.這塊地的面積為：

11_

S^ABC~S^ACD--AC-BC——AZ)-CD

=yX5X12-yX3x4

=24(平方米).

【點睛】本題主要考查了勾股定理和逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形

中，兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足a2+b2=<?,那

么這個三■角形為直角三角形.

題目團(2023春?安徽馬鞍山?八年級?？计谀?已知a,b,c是△ABC的三邊，且a=2代，b=30，c=

V66.

(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)求△ABC的面積.

【答案】⑴△力BC是直角三角形，理由見解析

(2)92

【分析】(1)根據勾股定理的逆定理進行計算即可求解；

(2)根據三角形的面積公式進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：△ABC是直角三角形.理由：

■:心=(2A/3)2=12,b2=(3V6)2=54,c2=(V66)2=66,

.-.a2+b2=c2,

.?.△ABC是直角三角形，且/。是直角；

⑵解:/XABC的面積=十x2V3x3V6=972.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

題目區(qū)(2023春?山東荷澤?八年級?？茧A段練習)四邊形草地ABCD中，已知AB=3m,BC=4m,CD=

12m,DA—13m,且/4BC為直角.

⑴求這個四邊形草地的面積；

（2）如果清理草地雜草,每平方米需要人工費20元,清理完這塊草地雜草需要多少錢？

【答案】⑴36加

（2）清理完這塊草地雜草需要720元錢

【分析】（1）連接AC,根據勾股定理求出AC,再根據勾股定理逆定理得出ZACD=90°,最后根據

S四邊般ABCD=52X^0。+SAACD即可求解；

（2）根據每平方米需要人工費20元，即可解答.

【詳解】（1）解:連接AC,

?：AB=3m,BC=4m,NAB。為直角，

AC=y/AB-+BC2=A/32+42=5（M）,

CD—12m,DA—13m,

AC2+CD2=52+122=169=AD2,

：.乙4c0=90°,

S四邊彩ABCD=SAABC+SA>ICE>=了AB?BC+—AC-CD=1X3x4+5x5xl2=36(m2).

⑵解:20x36=720（元），

答：清理完這塊草地雜草需要720元錢.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等

于斜邊平方，兩邊平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形.

題目目（2022春?重慶泰江?八年級?？茧A段練習）計算:如圖，每個小正方形的邊長都為1.

（1）求線段CD與的長；

⑵求四邊形4BCD的面積;

⑶求證：/BCD=90°.

【答案】（1）BC=2瓜CD=V5

⑵當

（3）見解析

【分析】（1）根據勾股定理解答即可；

⑵運用分割法解答即可；

（3）連接BD,根據勾股定理的逆定理解答即可.

【詳解】（I”.?每個小正方形的邊長都為1,

BC=V22+42=2V5,CD=V22+l2=V5

（2）S四邊形ABCD=5x5--^-xlx5—^-xlx4—1x1—yXlx2--^-x2x4

=25--|--2-l-l-4

=29

-V

⑶連接BD,

.?.Bn=V32+42=5,

?：BC2+CD2=（2V5）2+（A/5）2=25,BD=52=25,

：.BC2+CD2^BD2,

.?.△BCD是直角三角形，且BD為斜邊，

/BCD=90°.

【點睛】此題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，關鍵是根據勾股定理得出各邊的長解答.

【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

011（2023秋?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D,所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6,則最大正方形￡的面積是（）

【答案】8

【分析】根據正方形的面積公式并結合勾股定理，能夠導出正方形4B,的面積和即為最大正方形

的面積即可.

【詳解】解:如圖：根據勾股定理的幾何意義，可得：

E

SE-Sp+SG

=SA+SB+SC+SD

=6+10+4+6

=26

故選R

【點睛】本題考查勾股定理，熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關鍵.

【變式訓練】

蜃目Q（2023?廣西柳州?校考一模）如圖，"￡石=90°,正方形BEGC和正方形AFED的面積分別是289

和225,則以BD為直徑的半圓的面積是（）

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出8。,再求半圓的面積即可.

【詳解】解：：正方形BEGC和正方形AFED的面積分別是289和225,

:.BE?=289,DE2=225,

/BDE=90°,

：.BD=y/BE2-DE2=V289-225=8,

：.以BD為直徑的半圓的面積為：5x管丫義7r=87t;

故選B.

【點睛】本題考查勾股定理.熟練掌握勾股定理，是解題的關鍵.

［題目團（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，以母△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S,S2,S3且

8=4,S?=8,則S3=；以724“18。的三邊向外作等邊三角形,其面積分別為Si,S2,S3,則三

【分析】首先根據正方形面積公式得到三個正方形的面積與ACAABC的三邊關系，然后根據勾股定理找到

RtZXABC的三邊之間的關系，并由此得到三個正方形的面積關系，最后算出S3的值；第二空同理根據正三

角形面積公式與勾股定理，得到$,S2,S3三者之間的關系，完成解答.

【詳解】解：AB都是正方形的邊長，?M

222

???S尸AC,S2=BC,S3=AB,

又-/△ABC是直角三角形，

???AC2+BC2=AB\

：.$3=4+8=12,

又???RtAABC三邊向外作等邊三角形，其面積為Si,S2,S3,

...Si=]x4CxACxW=WxAC2,

同理可得：$2=牛xBC2,53=卓xAB2,

?：△ABC是直角三角形，

AC2+BC2=AB2,

.?.Si+S2=S3.

故答案是：12,Si+$2=S3.

【點睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計算，解題的關鍵在于靈活運用勾股定理.

題目叵〕（2023春?八年級課時練習）已知：在國△ABC中，90°,/B、/C所對的邊分別記作a、6、

C.如圖1,分別以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形,其正方形的面積由小到大分別記作S、52、$3,則

圖3圖4

⑴如圖2,分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分J、S?、S3,請問&+S2與

S3有怎樣的數量關系，并證明你的結論；

⑵分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示,其面積由小到大分別記作SI、S2Sa,根據⑵

中的探索，直接回答S1+S2與53有怎樣的數量關系；

（3）若Rt/\ABC中，力。=6,=8,求出圖4中陰影部分的面積.

【答案】（1）&+$2=$3,證明見解析

⑵&+$2=&

（3）24

6

【分析】（1）由扇形的面積公式可知S=5MIC,S2=±啟。2,S3=在Rt/\ABC中，由勾股定理

OOO

得AC2+BC-^AB2,即$+$2=S3；

（2）根據（1）中的求解即可得出答案；

（3）利用（2）中的結論進行求解.

【詳解】⑴解:①???Sl+$2=$3=

ooo

根據勾股定理可知：a+b2=c2,

：.Sl+$2=S3；

（2）解：由（1）知，同理根據根據勾股定理：a2+&2=c2，從而可得S+S2=S3;

⑶解：由⑵知S陰影=Si+S?—（S3—Sag。）—S^BC——x6X8—24.

【點睛】本題考查勾股定理的應用，解題關鍵是對勾股定理的熟練掌握及靈活運用.

題目回（2023春?江西南昌?八年級南昌市第三中學?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學發(fā)現之一,

西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載,我國漢

代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

圖5圖6圖7

（1）①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑,分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為

S，$2,53,利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關系滿足S+S2=$3的有個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓,設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為

S,$2，直角三角形面積為$3，也滿足$+$2=S3嗎？若滿足,請證明;若不滿足,請求出&,52，S3的數量關

系.

（2）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,重復這

一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形河的

邊長為定值機，四個小正方形A，B,C,。的邊長分別為a,6,c,d,則a2+/+c2+d2=.

【答案】（1）①3;②滿足，證明見解析

（2）m2

【分析】（1）設兩直角邊分別為;r,沙,斜邊為z,用以y,z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據外

兀兀（立）2

+“=z?,求解Si,S?,S3之間的關系，進而可得結果;②根據a2+b2=c,Si+$2=—2--------1---------------------F—

=萼，S：產軟，可得S1+S2=S3;

222

⑵由題意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=（f,（SA+SB）+（S°+SD）=S“=病,代入求解即可.

【詳解】（1）①解:設兩直角邊分別為①，y,斜邊為z,

則圖2中，&=。2,$2=才，$3=22,

,/22+d=Z2,

.?.S1+S2=S3,故圖2符合題意；

兀信）2兀小乃傳丫2兀㈤2

圖3中，=詈，$2==+，$3==管，?M

..E+尤=乃（，+/）=,兀廿

*~8~~T~8-_8",

???S+S2=S3,故圖3符合題意；

圖4中，Si="1■2：-x-sin60°=瓜:,S2=~^y?y?sin60°=瓜:,S3=-z?z?sin60°=瓜j,

..出后，△寸_代（3+4）_愿/

,444—4，

.?.Si+S2=S3,故圖4符合題意；

.?.這3個圖形中面積關系滿足Si+S2=$3的有3個，

故答案為：3;

②解：滿足，證明如下：

由題意知/+〃=。2,S]+S2=+萼一=半，Ss=萼，

SI+S2=$3；

2222

⑵解：由題意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=d,（SA+SB）+（SC+SD）=SM=rn,

.?.a2+62+c2+d2=m2,

故答案為：m2.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹.解題的關鍵在于正確的表示各部分的面積.

【類型五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程”

的1（2023春?河南許昌?八年級統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6,8,現將△ABC

按如圖所示的方式折疊，使點A與點B重合，則CE的長是（）

C

【答案】B

【分析】根據圖形翻折變換的性質可知，AE=BE,設=則BE=H,（3七=8—2：,再RtABCE中利用

勾股定理即可求出CE的長度.

【詳解】解：?.?△ADE翻折后與完全重合，

,,.AE=BE,

設AE=力，則BE=x,CE=8—T,

在Rt^BCE中，CE2=BE2-BC\

即（8—6）2=療一62,

解得,6=:,

???CE=4.

4

故選：B

【點睛】本題考查了圖形的翻折變換,解題中應注意折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱，根據軸對稱的性

質，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

【變式訓練】

題目Q（2023春?湖北咸寧?八年級?？茧A段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，/。=90°,AC=4,BC=

3,將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處,折痕為AO,則的長為（）

A.4B.1.5C.3D.3

43

【答案】。

【分析】利用勾股定理求得AB=5,由折疊的性質可得AB^AE^5,DB=DE,求得CE=1,設DB=DE

=力，則6=3—2,根據勾股定理可得12+（3—2）2=;1：2,進而求解即可.

【詳