專題23直線的方程（二）（舉一反三）（人教A版2019選擇性）

專題2.3直線的方程（二）【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求直線方程】 1【題型2直線過定點問題】 3【題型3求與已知直線垂直的直線方程】 4【題型4求與已知直線平行的直線方程】 6【題型5根據(jù)兩直線平行求參數(shù)】 7【題型6根據(jù)兩直線垂直求參數(shù)】 9【題型7直線方程的實際應用】 10【知識點1求直線方程的一般方法】1．求直線方程的一般方法(1)直接法

直線方程形式的選擇方法：

①已知一點常選擇點斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點斜式；

③已知在兩坐標軸上的截距用截距式；

④已知兩點用兩點式，應注意兩點橫、縱坐標相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.

若已知直線過定點，則可以利用直線的點斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).【題型1求直線方程】【例1】（2023·全國·高三專題練習）過點2,1和1,2直線方程是（

）A．y=?x+3 B．y=?x+1 C．y=x?1 D．y=x?3【解題思路】先利用斜率公式求得直線的斜率，再利用點斜式即可得解.【解答過程】因為直線過點2,1和1,2，所以k=2?1所以直線方程為y?2=?1×x?1，即y=?x+3故選：A.【變式11】（2023·全國·高三專題練習）經(jīng)過點P(?1,0)且傾斜角為60°的直線的方程是（

）A．3x?y?1=0 B．C．3x?y?3=0【解題思路】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程；【解答過程】由傾斜角為60°知，直線的斜率k=3因此，其直線方程為y?0=3(x+1)，即故選：B.【變式12】（2023秋·遼寧沈陽·高二校考期末）過點A1,2在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（

A．y=2x B．x+y?3=0C．x=y或x+y?3=0 D．y=2x或x+y?3=0【解題思路】按截距為0和不為0分類討論分別求得符合題意的直線方程【解答過程】當截距a≠0時，設(shè)直線方程為xa將x=1，y=2代入得a=3，∴方程為x+y?3=0當截距a=0時，過原點和點A1,2的直線方程為又y=2x且在兩坐標軸上的截距相等，∴過點A且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為y=2x和x+y?3=0故選：D.【變式13】（2023秋·高一單元測試）經(jīng)過點P(?5,?4)，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（

）A．8x+5y+20=0或2x?5y?10=0B．8x?5y?20=0或2x?5y+10=0C．8x+5y+10=0或2x+5y?10=0D．8x?5y+20=0或2x?5y?10=0【解題思路】由題意設(shè)直線為kx?y+5k?4=0，根據(jù)直線與坐標軸所圍成三角形的面積，應用三角形面積公式求參數(shù)k，即可確定直線方程.【解答過程】由題意，直線斜率一定存在，設(shè)所求方程為y+4=k(x+5)(k≠0)，即kx?y+5k?4=0.由12?|5k?4|?|4k?5|=5故所求直線方程為2x?5y?10=0或8x?5y+20=0.故選：D.【題型2直線過定點問題】【例2】（2023·全國·高二專題練習）直線kx?y+1=3k，當k變動時，所有直線恒過定點坐標為（

）A．(0,0) B．(0,1) C．【解題思路】整理所得直線方程為kx?3【解答過程】把直線方程整理為kx?3令x?3=0?y+1=0，故x=3y=1，所以直線恒過定點為故選：C.【變式21】（2023·全國·高二專題練習）直線a?1x?a+1y+2=0A．1,1 B．1,?1 C．?1,1 D．?1,?1【解題思路】將直線變形為x?ya?x?y+2=0，由x?y=0且?x?y+2=0【解答過程】將a?1x?a+1y+2=0變形為：x?ya?x?y+2=0，令x?y=0且所以直線恒過定點1,1.故選：A.【變式22】（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）不論取任何實數(shù)，直線l:m?1x?y+2m+1=0恒過一定點，則該定點的坐標是（A．2,3 B．?2,3 C．?2,0 D．1,?【解題思路】整理直線方程，根據(jù)直線過定點的求法直接求解即可.【解答過程】直線方程可整理為：x+2m?x?y+1=0則由x+2=0?x?y+1=0得：x=?2y=3，即直線l恒過定點故選：B.【變式23】（2023·全國·高三對口高考）以下關(guān)于直線3x?ay+1=0的說法中，不正確的是（

）A．直線3x?ay+1=0一定不經(jīng)過原點B．直線3x?ay+1=0一定不經(jīng)過第三象限C．直線3x?ay+1=0一定經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．直線3x?ay+1=0可表示經(jīng)過點?1【解題思路】首先求出直線過定點坐標，即可判斷A、D，再分a=0、a>0、a<0三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B、C；【解答過程】對于直線3x?ay+1=0，令y=0，解得x=?13，故直線恒過點一定不經(jīng)過原點，故A正確；當a=0時直線即為x=?1當a≠0時直線即為y=3若a>0，則1a>0，若a<0，則1a<0，所以直線一定過二、三象限，故B錯誤，C正確；因為直線恒過點?13,0，所以直線故選：B.【知識點2兩條直線的位置關(guān)系】1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當時，記為）垂直k1·k2=1（當時，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當時，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當時，記為）【題型3求與已知直線垂直的直線方程】【例3】（2023春·新疆伊犁·高二?？计谥校┻^點P(?1,3)且垂直于直線x+2y?3=0的直線方程為（

）A．x+2y+5=0 B．2x?y+5=0C．x+2y?5=0 D．2x?y?5=0【解題思路】根據(jù)兩直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，?1,3代入，即可求解.【解答過程】設(shè)所求的直線方程為2x?y+c=0，?1,3代入方程解得c=5，所求的直線方程為2x?y+5=0.故選：B.【變式31】（2023秋·高二課時練習）過點A(4,?5)，且與原點距離最遠的直線方程為（

）A．y=?5 B．4x+5y?41=0C．4x?5y?41=0 D．4x?5y+41=0【解題思路】根據(jù)垂直關(guān)系可得斜率，由點斜式即可求解.【解答過程】當直線與OA垂直時，此時原點到直線的距離最大，kOA=?54,所以所求直線斜率為45故選：C.【變式32】（2023·高三課時練習）已知A3,1，B1,?2，C1,1，則過點C且與線段ABA．3x+2y?5=0 B．3x?2y?1=0C．2x?3y+1=0 D．2x+3y?5=0【解題思路】求出直線AB的斜率，可得其垂線的斜率，再利用點斜式可求出答案【解答過程】解：因為kAB所以與AB垂直的直線的斜率為?2所以過點C且與線段AB垂直的直線方程為y?1=?23(x?1)故選：D.【變式33】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則ABA．2x+y?7=0 B．2x?y?1=0C．x+2y?8=0 D．x?2y+4=0【解題思路】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，求出直線l的斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案.【解答過程】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，由已知可得，kAB=1?21?3=又l過C2,3，所以l的方程為y?3=?2整理可得，2x+y?7=0.故選：A.【題型4求與已知直線平行的直線方程】【例4】（2023春·天津北辰·高二?？茧A段練習）過點?1,3且平行于直線2x?3y+1=0的直線方程為（

）A．2x?3y+11=0 B．3x+2y?3=0 C．2x?3y?7=0 D．3x+2y+3=0【解題思路】先設(shè)出平行于直線2x?3y+1=0的直線系方程，再將點?1,3代入方程，進而求得所求直線的方程.【解答過程】平行于直線2x?3y+1=0的直線方程可設(shè)為2x?3y+?=0(?≠1)又所求直線過點?1,3則2×(?1)?3×3+?=0，解之得?=11，則所求直線為2x?3y+11=0故選：A.【變式41】（2022·全國·高三專題練習）若直線l1:2x?3y?3=0與l2互相平行，且l2過點(2,1)，則直線A．3x+2y?7=0 B．3x?2y+4=0C．2x?3y+3=0 D．2x?3y?1=0【解題思路】由題意設(shè)直線l2的方程為2x?3y+m=0，然后將點(2,1)代入直線l1:2x?3y?m=0中，可求出m【解答過程】因為直線l1:2x?3y?3=0與l2互相平行，所以設(shè)直線l因為直線l2過點(2,1)所以4?3+m=0，得m=?1，所以直線l2的方程為2x?3y?1=0故選：D.【變式42】（2023秋·陜西西安·高二西安市鐵一中學?？计谀┡c直線y=?2x+3平行，且與直線y=3x+4交于x軸上的同一點的直線方程是（

）A．y=?2x+4 B．y=C．y=?2x?83 【解題思路】先求出直線y=3x+4交于x軸交點P(?43,0)，再設(shè)與直線y=?2x+3【解答過程】設(shè)直線y=3x+4交于x軸于P點，令y=0，則x=?43，所求直線與y=?2x+3平行，設(shè)y=?2x+m，把P(?代入得?2×(?43所求直線方程為：y=?2x?故選：C.【變式43】（2022秋·天津西青·高二?？计谥校┲本€mx?y?m+2=0過定點A，若直線l過點A且與2x+y?2=0平行，則直線l的方程為（

）A．2x+y?4=0 B．2x+y+4=0C．x?2y+3=0 D．x?2y?3=0【解題思路】根據(jù)直線方程可求得定點A1,2；根據(jù)直線平行求得直線l斜率；利用點斜式方程求得l【解答過程】由mx?y?m+2=0得：y?2=mx?1

∴直線mx?y?m+2=0過定點又直線2x+y?2=0的斜率k=?2且與直線l平行

∴直線l斜率為?2∴直線l的方程為：y?2=?2x?1，即：2x+y?4=0故選：A.【題型5根據(jù)兩直線平行求參數(shù)】【例5】（2023春·河南·高二聯(lián)考開學考試）已知直線l1:x?1+ay+a?2=0與l2A．2 B．3 C．?3 D．2或?3【解題思路】由直線平行的條件求解即可.【解答過程】因為l1∥l2，所以a1+a=6，解得a=2或a=?3．當a=?3時，故選：A.【變式51】（2023秋·湖北黃岡·高二校考期末）l1:a2x?y+a2?3a=0，A．1 B．1或2 C．1或3 D．3【解題思路】利用直線平行的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因為l1:a2x?y+當4a?3=0，即a=34時，a2≠0，此時當4a?3≠0，即a≠34時，有a2經(jīng)檢驗，當a=3時，l1所以a=3.故選：D.【變式52】（2022·全國·高二專題練習）已知條件p：直線x+y+1=0與直線x+a2y?1=0平行，條件q:a=?1，則p是qA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先求出兩條直線平行時對應的a的值，再判斷兩者之間的條件關(guān)系.【解答過程】若直線x+y+1=0與直線x+a2y?1=0平行，則1×當a=1時，x+a2y?1=0此時直線x+y+1=0與直線x+a當a=?1時，x+a2y?1=0此時直線x+y+1=0與直線x+a故若直線x+y+1=0與直線x+a2y?1=0平行，則a=±1若a=?1，則直線x+y+1=0與直線x+a故p是q的必要不充分條件.故選：C.【變式53】（2022·全國·高二專題練習）已知直線l1過(0,0)、(1,?3)兩點，直線l2的方程為ax+y?2=0，如果l1//lA．3 B．13 C．?1【解題思路】先求直線l1斜率，再根據(jù)兩直線平行列式求得a【解答過程】因為直線l1過(0,0)、(1,?3)兩點，所以直線l1斜率為因為直線l2的方程為ax+y?2=0，所以直線l2斜率為因為l1//故選：D.【題型6根據(jù)兩直線垂直求參數(shù)】【例6】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期中）直線4x+2y?1=0與直線ax+4y=0垂直，則a等于（

）A．2 B．?2 C．1 D．?1【解題思路】利用平面內(nèi)兩直線垂直，得?4【解答過程】因為直線4x+2y?1=0與直線ax+4y=0垂直，所以?42×故選：B.【變式61】（2022秋·湖南長沙·高二?？计谥校┤糁本€ax+1?ay=3與a?1x+2a+3y=2A．?3 B．1 C．?3或1 D．?【解題思路】根據(jù)兩條直線互相垂直列關(guān)于a的方程求解.【解答過程】因為直線ax+1?ay=3與所以aa?1+1?a解得a=1或a=?3.故選：C.【變式62】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線mx+4y?2=0與直線2x?5y+n=0互相垂直，垂足為1,p.則m+n?p等于（）A．24 B．20 C．4 D．0【解題思路】由兩直線垂直得m=10，進而根據(jù)垂足是兩條直線的交點代入計算即可得答案.【解答過程】由兩直線垂直得m?2+4×(?5)=0，解得m=10，所以原直線直線mx+4y?2=0可寫為10x+4y?2=0，又因為垂足為(1,p)同時滿足兩直線方程，所以代入得{10×1+4p?2=0解得{p=?2所以m+n?p=10?12+2=0，故選:D.【變式63】（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知a>0，b>0，直線l1：x+a?4y+1=0，l2：2bx+y?2=0，且l1A．2 B．4 C．23 D．【解題思路】根據(jù)l1⊥l2得到【解答過程】因為l1⊥l2，所以因為a>0,b>0，所以a+1>0,2b>0，所以1a+1+12b=1a+1+1當且僅當a=3故選：D.【知識點3直線方程的實際應用】1．直線方程的實際應用利用直線方程解決實際問題，一般先根據(jù)實際情況建立直角坐標系，然后分析直線斜率是否存在，從而能夠為解決問題指明方向，避免解決問題出現(xiàn)盲目性.【題型7直線方程的實際應用】【例7】（2022·高二課時練習）有一根蠟燭點燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點燃21min后，蠟燭長為8.4cm.已知蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線方程的斜率k及所過的點，進而得到直線方程，再求蠟燭從點燃到燃盡所耗時間即可.【解答過程】由題意知：蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程，過(6,17.4),(21,8.4)兩點，故其斜率k=8.4?17.4∴直線方程為l?8.4=?3∴當蠟燭燃盡時，有t?21=14，即t=35，故選：B.【變式71】（2022·全國·高三專題練習）我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長這種用極限思想解決數(shù)學問題的方法是數(shù)學史上的一項重大成就，現(xiàn)作出圓x2A．x+(2?1)y?2C．x?(2+1)y+2【解題思路】由題意求解題中所給的直線方程，對比選項，利用排除法即可求得最終結(jié)果.【解答過程】如圖所示可知A(2所以直線AB，BC，CD的方程分別為：y=整理為一般式即：x++分別對應題中的ABD選項.故選C.【變式72】（2022·全國·高二專題練習）為了綠化城市，準備在如圖所示的區(qū)域ABCDE內(nèi)修建一個矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，點Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，經(jīng)測量BC=70m，CD=80m，（1）如圖建立直角坐標系，求線段AB所在直線的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應如何設(shè)計才能使草坪的占地面積最大，確定此時點Q的坐標并求出此最大面積（精確到1m2【解題思路】（1）根據(jù)題意可得OA=20,OB=30，根據(jù)直線的截距式方程即可求解.（2）設(shè)Qx,20?2x3【解答過程】（1）由題意得OA=20,OB=30，所以線段AB所在直線的方程為x30+y（2）設(shè)Qx,20?S=(100?