2025屆高考湖北省高中高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（附答案）

2025屆高考湖北省高中名校高三10月聯(lián)考試卷

數(shù)學(xué)

考試時(shí)間：2024年10月8日下午15:00-17：00試卷滿分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)

考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2,選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3,非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1,已知命題?：VawR,sin(—+a)=cos(—-<z),則「p為()

36

sin(-y+a)wcos(-^-tz)

A.BaeRJB.VaeR,sin(—+a)Hcos(----a)

C-VaeR,sin(—+a)=cos(----a)D.3a,sin(—+a)=cos(-----a)

3636

2.已知集合力={%|y=Jlog05(2x-1)},B={yeZ\y=2sinx\9則月p|8=()

A.{0}1,2}B.{1,2}C.{0,1}D.{1}

3,在&48c中，已知tan4tan8是關(guān)于x的方程/+2以1+加%)+1=0的兩個(gè)實(shí)根，則角C的

大小為()

人?？?兀%n%

A.§B--c.不D--y

4.“一1<"1”是“函數(shù)/(x)=lg(，-2辦+1)的值域?yàn)?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5,已知函數(shù)/(x)=『inx，sinx<cosx,下列結(jié)論正確的是()

\7cosxsinx>cosx

i，

A./(x)是以乃為周期的函數(shù)

B./(x)的最大值為1

C.〃x)圖象的對(duì)稱軸為后寧航化的

D./(x)的增區(qū)間為_(kāi)爰+2碗號(hào)+2.(DwZ)

6.已知/(x)=x|x|+3x,若正實(shí)數(shù)。、6滿足/(a)+/(6-4)=0,則1~+工的最小值是()

4ab

A.-B.—C.-D.—

41699

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽，>=/(x)+2e”是偶函數(shù)，y=/(x)一4e~是奇函數(shù)，則/(￡)的

最小值為()

A.eB.25/2C.2V3D.2e

〕】nx|八

----L,x>0

X.Y—k

8.已知函數(shù)/a)={/，若函數(shù)g(x)=/a)-|U|恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范

exx

---，x<0

、x

圍是()

A.(-l,e)B.(^?,-l)u[e,+oo)

C.[-1J)D.(f,-伊)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.

9.下列不等式中，一定成立的是()

A.若ln(a+l)<ln(6+l),則—<—B.若a>b>l,則log”6<log源(6+2)

7ab

C.若a>b>O,cwR,則D.^c>a>b>0,則">—"

c-ac-b

10.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽，/(x+g為奇函數(shù)，/(x+切為偶函數(shù).當(dāng)xe[0,可時(shí)，

/(x)=cosx,則下列結(jié)論正確的有()

7TT

A./⑺在(3%,4%)上單調(diào)遞減B./(-y)=0

C.點(diǎn)(-1?肛0)是函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心D.方程/(x)+l聯(lián)=0有5個(gè)實(shí)數(shù)解

11.0表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，[-0,5卜-1,[1.1]=1,已知函數(shù)/(司=國(guó)，下列結(jié)論正

確的有()

A.若xe(0,l),m-x)+4<-[/W+1]

44

B./(x+y)</(x)+/(y)

J20

C.設(shè)g(x)=/(2石%)+/(有)，則Zg(k)=401

/「r、

D.所有滿足/(町=/(〃)嘰〃w0,^-的點(diǎn)(見(jiàn)〃)組成的區(qū)域的面積和為竺

IL39

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知幕函數(shù)g(x)=(r2-4r-4)/-9㈤4在(0,+券)上單調(diào)遞減，則/的值為

13.計(jì)算:sin700+sin200°

14.任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)/(x)=aF+日2+“+d的圖象都有且僅有一個(gè)中心對(duì)稱點(diǎn)為

3

(x05/(x0)),其中X。是/"(x)=0的根'.(X)是八x)的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)/(x)=x+p?+x+,

圖象的中心對(duì)稱點(diǎn)為(一1,2)，存在xe(l,+oo),使得/-加/(11)%+1)4[/(砌-，_3/+小，

成立，則機(jī)的取值范圍為.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15、(本小題滿分13分)

已蝦(x)=/'(l)x2-x+21nx

(1)求/⑴并寫(xiě)出了㈤的表達(dá)式；

⑵記g(x)=[(/(》)+%2+%)+。，若曲線y=e*+2x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是

曲線g(x)的切線，求a的值.

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=(1-V3)cos2x+sinxcosx+sin(x+—)sin(x-—)

44

(1)求八》)的最小正周期；

(2)若工€[0,乃],求/")的單調(diào)遞增區(qū)間.

17,(本小題滿分15分)

在銳角A45C中，角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC+asinC—a-c=0.

(1)求角5的大??；

(2)求以)5/+853+以)5。的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

將一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒.

(1)試把方盒的容積P表示為x的函數(shù)，x多大時(shí)，方盒的容積P最大？

(2)若/(x)=e*+3一￡_^+帆)，證明：當(dāng)打42時(shí)，/(x)>0.

2824

19.(本小題滿分17分)

丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式

方面留下了很多寶貴的成果.若玉，w，…，馬為(。,6)上任意〃個(gè)實(shí)數(shù)，滿足

了仔+吃+一'/(再)+仆2)+-+小),當(dāng)且僅當(dāng)巧=%~..=%時(shí)等號(hào)成立,

\?7n

則稱函數(shù)/(x)在(a,6)上為“凸函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)/(x)在(a,6)上的導(dǎo)函數(shù)為/(x),

/'(x)在(a,5)上的導(dǎo)函數(shù)為廣(x),當(dāng)廣(x)<0時(shí)，函數(shù)/(x)在(a,6)上為“凸函數(shù)”.

若玉,％2,…,Z為(。,6)上任意〃個(gè)實(shí)數(shù)，滿足

)(下+9：…+專)工/(再)+/(%:+…+」(4)，則稱函數(shù)/(x)在(a,6)上為“凹函數(shù)”當(dāng)

且僅當(dāng)天=%=-=瑞時(shí)等號(hào)成立.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)/(%)在(a,6)上的導(dǎo)函數(shù)為

/'(X)在(a/)上的導(dǎo)函數(shù)為/"(x),當(dāng)廣(x)>0時(shí)，函數(shù)/(x)在(a,6)上為“凹函數(shù)”.這里

關(guān)于凹凸函數(shù)的不等式即為著名的琴生不等式.

1

(1)討論函數(shù)y———,xe的凹凸性;

sinx

(2)在2U5C中，求證:>6;

(3)若〃個(gè)正實(shí)數(shù)七(/?=1,2/、〃)滿足9乙,=1,求證：xp.琢…琮

z=in

參考答案

1-4ADBD5-8CBCC9,BD10.BCD11.AD

12.513.-414.[-e,+oo)

14.【詳解】f(x)=x3+px2+x+q,/*(x)=3x2+2/?x+l,f"(x)=6x+2p,

因?yàn)?(x)圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)為(-1,2),所以廣(-1)=-6+2p=0,所以。=3,

由/'(-1)=-1+3—1+g=2,所以g=1,f(x)=/+3彳2+1+]

原不等式為e"-(Inx+1)<[x+1+e]xe,

“4、e'-'-a+l+e)

因?yàn)閤e(l,+oo),所以加n-------------乙

lux+1

設(shè)g(f)=e'T-l,則g'?)=e'-l,

當(dāng)f<0時(shí)，g'(/)<0,當(dāng)/>0時(shí)，g'(t)>0,

所以當(dāng)"0時(shí)，g⑺單調(diào)遞減，當(dāng)f>0時(shí)，g⑺單調(diào)遞增，

所以g⑺2g(0)=0,即e'2f+l,

因?yàn)閑LZx-elnx+l,當(dāng)且僅當(dāng)x-elnx=0,即X=e時(shí)等號(hào)成立，

所以廣如-5+1+"「Ylnx+「(x+l+e)=Y,所以其最小值為-e,故m‘_e.

lux+1lux+1

2

15.解：⑴由f\x)=2f'(y)x-\+-,取x=l得到

X

/XI)=2/”)—1+2,解得/(1)=-1..........................................2分

代入可得/(x)=-x2-x+21nx5分

(2)對(duì)于曲線》=ex+2x,yr=ex+2

曲線》=e"+2x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為：y-l=3x,即y=3x+l...........

;g(x)=lnx+。，設(shè)g(x)在點(diǎn)(Xo，ln1o+a)的切線為歹=31+1

-=3,且In/+a=3x0+1.......................11分

貝必=2+山313分

16.解：(1)

/(x)=(l-V3)cos2x+sinxcosx+sin(x+—)sin(x-—)

44

△W、l+cos2x1...1/-22x

=(1-V3)--------1-—sm2x+—(sinx-cosx)

=(1一回1±^+J_sin2x」cos2x

222

1-V3-V3cos2x1._

=---------------1——sin2x

22

=sin(2x-y)+],...........5分

.??/W的最小正周期為合=......................7分

_x_7CTC5兀、

⑵zt=2x-—,ter[-y,—]

y=sin庵fe瑪爭(zhēng)耳,爭(zhēng)上單調(diào)遞增

11分

故2x——G[——,—],[——,——]

33223

解得X￡

故/"（X）的單調(diào)增區(qū)間為詈.............15分

17.解析（I）由bcosC+gftsinC-。一。二0及正弦定理得

sinBcosC+V3sinBsinC-sin24-sinC=0.

因?yàn)閟in/=sin(^--S-C)=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以Gsin5sinC—cos5sinC—sinC=0.5分

由于sinCw°.V3sinB-cosB-l=0

所以$出(2一曰=；.

TT

又0<B<兀，故3=—.7分

3......................

(II)［方法一］:余弦定理基本不等式

因?yàn)?=工，并利用余弦定理整理得〃=/+，2-℃,即3ac=(a+c)2-匕

3

結(jié)合℃<(匕丫，得竺￡?2.由臨界狀態(tài)(不妨取/=工)可知

2Jb2

"310分

b

而V/8C為銳角三角形，所以￡±￡>6.由余弦定理得

b

b2+c2-a21a2+b2-c2

cosA+cosB+cosC=2^―2ab

2bc

b2=a2+c2—ac代入化簡(jiǎn)得cosA+cosB+cosC=—f"I1

2(b

‘6+13

故cosZ+cosB+cosC的取值范圍是15分

252

［方法二］【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有：

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cosf—-/)=cosA-—cosA+sinN+,

2I3J222

=-^-sin^+—cos^+—.......................10分

222

/\［0<_71—A<—

sinf^+―|H--由132可得：—<^<—,................12分

I6j2兀62

0<A<-

71.7127r'百+13

—<A+—<——?jiǎng)t+與,1sinh?He

3632,2

pl

即cos/+COS5+COSC的取值范圍是+315分

22

3

18.【詳解】⑴由題意，%二(3—2x)2%,0<x<一.......................2分

2

3

V\x)=(3-2x)(3-6x)(0<%<-)

由廠(x)=0nx=g

113

當(dāng)0<x<—時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)一<x<—時(shí)函數(shù)遞減，

222

所以當(dāng)x=工時(shí)，盒的容積廠最大.6分

2......................

(2)P'(x)=(3-2x)(3-6x)=9-24x+12x2

…/(x)=e龍一ln(x+m).....................8刀

當(dāng)m<2,xG(-m,+oo)時(shí)，ln(x+冽)<ln(x+2),

故只需證明當(dāng)m=20t,/(x)=ex-ln(x+2)>0,......................10分

當(dāng)加=2時(shí)，函數(shù)>=/與函數(shù)y=-一匚在(-2,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)

x+2

/''(》)=/一占在(-2,+8)上單調(diào)遞增，

又/''(-I)<0/(0)>0,故/"'(>)=0在(-2,+到有唯一實(shí)數(shù)根，記為x=x°,且x°e(-l,0),

......................12分

當(dāng)工￡(-2,x0)時(shí)，/(%)<0,/(x)單調(diào)遞減;當(dāng)％€(x0?+oo)時(shí)，/(%)>0,/(x)單調(diào)遞增,

從而當(dāng)x=%時(shí)，“X)取得最小值，由/'(%)=0得e"

%+2

即ln(%o+2)=-Xo,14分

(%+1)2

故/(X)的最小值八%)=1三+X°----^>0

“0+-

綜上，當(dāng)心2時(shí)，/(x)>0.17分

19.解：⑴y=—^―,XG|0,7^1COSX2分

sinx2sin2x