浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義：弧長與扇形的面積（學(xué)生版+解析）

第17課弧長及扇形的面積

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索弧長和扇形面積計算公式的過程.

2.掌握弧長和扇形面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題.

知識點01弧長公式

在半徑為R的圓中，“。的圓心角所對的弧長/的計算公式為：/=鬻.

ioU

知識點02扇形的面積公式

在半徑為R的圓中，廢的圓心角所對的扇形（弧長為/）面積的計算公式為：S扇彩=端=夕艮

考點01弧長的計算

【典例1】如圖，AB是半圓。的直徑，C、。是半圓上兩點，且滿足NAOC=120°,BC=1,則前的長為

)

A.2LB.2Lc.2LD.”

3463

【即學(xué)即練1】如圖，已知是半圓。的直徑，C、。是半圓。上的兩點，且0￡）〃2C,與AC交于

點、E,ZD=65°.

Cl）求NCAD的度數(shù)；

（2）若AB=4,求食的長.

考點02扇形面積的計算

【典例2］如果一個扇形的弧長等于它的半徑的加倍，那么此扇形稱為“優(yōu)雅扇形”，則半徑為2的“優(yōu)

雅扇形”的面積為（）

A.nB.&C.如RD.2A/2

【即學(xué)即練2】如圖，在。。中，弦BC垂直于半徑。4,垂足為E,。是優(yōu)弧BC上一點，連接B。，AD,

OC,ZADB=3Q°.

（1）求NAOC的度數(shù)；

（2）若眩BC=8Mcm,連結(jié)08,求圖中扇形20C的面積.

考點03組合圖形的面積

【典例3】如圖，半徑為10的扇形AOB中，ZAOB=90°,C為弧AB上一點，CDLOA,CE±OB,垂足

分別為。，E.若圖中陰影部分的面積為10m則（）

A.30°B.36°C.54°D.45°

【即學(xué)即練3】如圖，有一直徑是20厘米的圓型紙片，現(xiàn)從中剪出一個圓心角是90°的扇形ABC.

（1）求剪出的扇形ABC的周長.

（2）求被剪掉的陰影部分的面積.

A

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知扇形的半徑為6,圓心角為120°,則它的弧長是（）

A.2nB.4nC.6irD.8ii

2.若扇形的圓心角為60°,半徑為3,則該扇形的面積為（）

A.AnB.itC.—itD.3n

22

3.已知半徑為6的扇形的面積為12m則扇形的弧長為（）

A.4B.2C.4TTD.2n

4.如圖,C是O。劣弧AB上一點，。4=2,ZACB=120°.則劣弧AB的長度為（)

A.AirB.—itC.AitD.—it

3333

5.如圖，A8是。。的直徑，AC是（DO的弦，若/A=20°,AB=6,則弧部長為（

c.

6.把長度為2n的一根鐵絲彎成圓心角是120。的一條弧，那么這條弧所在圓的半徑是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如圖是2022年杭州亞運會徽標(biāo)的示意圖，若AO=5,BO=2,ZAOD=120°,則陰影部分面積為（

A.14nB.7nC.里■兀D.2n

3

8.如圖，正方形ABC。的邊A2=l,而和它都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（

9.已知弧的長是耳，弧的半徑為3,則該弧所對的圓心角度數(shù)為

3—

10.如圖，△A8C中，CA^CB,以AB為直徑的。。分別交C4,CB于點、D,E.

（1）求證：AD=BE；

（2）若/C=50°,半徑04=3,求鏡的長.

題組B能力提升練

11.已知扇形的圓心角為120。，面積為12m則扇形的弧長是（)

A.3nB.4nC.5TiD.611

12.如圖，在。。中，弦A3垂直平分半徑OC,。為垂足，AB=9cm,則AB的長為（）

C

A.6ircmB.3yf^RcmC.4ncmD.2Mncm

13.如圖，圓形掛鐘分針針尖到圓心的距離為10cm,經(jīng)過35分鐘，分針針尖轉(zhuǎn)過的弧長是（）

3?--71cirD-兀err――71cir兀err

6363

14.如圖，將半徑為2,圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點8落在扇形8AC

的弧AC的點g處，點C的對應(yīng)點為點C,則陰影部分的面積為（）

A.?+冗B.c.—n+>/3D.-5-n-Vs

32

15.如圖，C,。是以A3為直徑的半圓上的兩點，ZCAB^ZDBA,連結(jié)8C,CD.

（1）求證：CD//AB.

（2）若A2=4,ZACD=30°,求陰影部分的面積.

題組C培優(yōu)拔尖練

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2?,以點A為圓心，長為半徑畫弧交邊BC于點E,連接

A?爭B.nc9D.

17.如圖，扇形。48中，02=3,NA02=100°,點C在02上，連接AC,點。關(guān)于AC的對稱點。剛

)

D?號

33

18.如圖，將正方形A8CD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,點B的對應(yīng)點E落在正方形ABCD的

對角線上（E不與3、。重合），若4。=3?,則靜的長為（

c幾口冗

"1~~T~

19.如圖，己知O。的半徑為5,弦AB=8,CD=6,則圖中陰影部分面積為（）

C.至TT-12D.9ir-6

2

20.如圖，圓尸的半徑為10,A、8是圓上任意兩點，且A3=12,以A3為邊作正方形ABC。（點。、尸在

直線A3的兩側(cè)），若邊繞點P旋轉(zhuǎn)一周，則邊掃過的面積為（）

36itC.V436兀D.6n

21.如圖，OO的直徑AB的長為10,弦AC的長為5,/ACB的平分線交。。于點D

(1)求弧BC的長;

(2)求弦8。的長.

第17課弧長及扇形的面積

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索弧長和扇形面積計算公式的過程.

2.掌握弧長和扇形面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題.

知識點01弧長公式

在半徑為R的圓中，"。的圓心角所對的弧長/的計算公式為：/=鬻.

loU

知識點02扇形的面積公式

在半徑為R的圓中，“。的圓心角所對的扇形（弧長為/）面積的計算公式為：S扇形=喘斗艮

考點01弧長的計算

【典例1】如圖，是半圓。的直徑，C、。是半圓上兩點，且滿足NAOC=120°,BC=

A.—B.—C.—D.22L

3463

【思路點撥】由圓周角定理求出OCB=/OBC=/B=60°,再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算

即可.

【解析】解：如圖，連接OC.

VZADC=120°,

：.ZABC=60°,

\'OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC^ZB^60°,

OB=OC=BC=1,

.?我的長為筌=?,

故選：A.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理，掌握等邊三

角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理是正確解答的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練1】如圖，已知A8是半圓。的直徑，C、￡）是半圓。上的兩點，且Or>〃BC,

OO與AC交于點E,ZZ）=65°.

（1）求NC4。的度數(shù)；

（2）若AB=4,求前的長.

【思路點撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出/4。。=50。，再

根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求出NAOD=NOBC=/OC8=/CO￡）=50

°,由圓周角定理可得答案；

（2）根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可.

【解析】解：（1）如圖，連接0C,

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=65°,

ZAOD=180°-65°-65°=50°,

'：OD//BC,OB=OC,

：.ZAOD^ZOBC=ZOCB=ZCOD^50°,

/.ZCAD=1.ZCOD=25°；

2

(2)由AB=4可得半徑為2,ZBOC=180°-50°-50°=80°,

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定

理，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理是正確

解答的前提.

考點02扇形面積的計算

【典例2］如果一個扇形的弧長等于它的半徑的加倍，那么此扇形稱為“優(yōu)雅扇形”，則

半徑為2的“優(yōu)雅扇形”的面積為()

A.nB.V2C.D.2V2

【思路點撥】根據(jù)扇形的面積公式5=工/-，其中/=r,求解即可.

2

【解析】解：

2

.\5=AX2X72X2=272，

2

故選：D.

【點睛】本題是一個新定義的題目，考查了扇形面積的計算，注：扇形面積等于扇形的

弧長與半徑乘積的一半.

【即學(xué)即練2】如圖，在。。中，弦8C垂直于半徑垂足為E,￡＞是優(yōu)弧上一點，

連接3DAD,OC,ZADB^30°.

(1)求NAOC的度數(shù)；

(2)若弦連結(jié)08,求圖中扇形80C的面積.

【思路點撥】(1)先根據(jù)垂徑定理得出BE=CE,AB=AC，再根據(jù)圓周角定理即可得

出/AOC的度數(shù)；

(2)先解直角三角形得出OC的長，再求出N8OC的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式計算即

可.

【解析】解:(1)VBC±OA,

：.BE=CE,AB=AC-

又?.,NADgnSO。，

/AOC=ZA0B^2ZADB,

：.ZAOC=60°.

(2)'：BC=8-J3cm,

：.CE=^BC=4sf3cm,

2

VZAOC=60°,

OC=8cm,

VZAOC=ZAOB=60°,

：.ZBOC=120°,

；?S扇形。3。=12°兀X8=_§生n(cm2).

3603

【點睛】本題考查的是垂徑定理，涉及到圓周角定理及扇形面積的計算，解直角三角形

等，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

考點03組合圖形的面積

【典例3】如圖，半徑為10的扇形A05中，ZAOB=90°,C為弧AB上一點，CD±OA,

CELOB,垂足分別為。，E.若圖中陰影部分的面積為10m則NC￡)E=()

A.30°B.36°C.54°D.45°

【思路點撥】連接OC,易證得四邊形CDOE是矩形，則△DOE絲△CEO,得到圖中陰

影部分的面積=扇形OBC的面積，利用扇形的面積公式即可求得/BOC=36°,然后根

據(jù)求得三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可求得/C￡>E=36°.

【解析】解：連接OC,

VZAOB=90°,CDLOA,CELOB,

四邊形CDOE是矩形，

；.OD=CE,

在△DOE與△CEO中，

:.ADOE出ACEO(SAS),

圖中陰影部分的面積=扇形OBC的面積=10TT,

.小兀XI()2=.,

360

?"=36,

：.ZBOC=36°,

ADOE^ACEO,

:?/DEO=/BOC=36

'JCD//OE,

/C￡)E=/Z)EO=36°,

【點睛】本題考查了扇形的面積，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用

扇形OBC的面積等于陰影的面積是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練3】如圖，有一直徑是20厘米的圓型紙片，現(xiàn)從中剪出一個圓心角是90。的扇

形A8C.

（1）求剪出的扇形ABC的周長.

（2）求被剪掉的陰影部分的面積.

【思路點撥】（1）連接2C,首先證明2C是直徑，求出AB,AC,利用弧長公式求出弧

BC的長即可解決問題.

（2）根據(jù)5陰=5圓。-S扇形ABC計算機(jī)可解決問題.

【解析】解：（1）?.，/A4C=90°,

；.BC是OO的直徑，

.\BC-2Qcm,

\"AB=AC,

.?.AB=AC=10五,

，前的長=90冗?10&=5&口,

180

扇形ABC的周長=（20^/2+sV2n）cm.

（2）s陰=s圓0—s扇形ABC=TI：.]02-兀.（匕J-=50冗5?.

360

A

【點睛】本題考查扇形的面積公式，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考?？碱}型.

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知扇形的半徑為6,圓心角為120。，則它的弧長是（）

A.2nB.4nC.6TCD.8n

【思路點撥】根據(jù)弧長的計算方法進(jìn)行計算即可.

【解析】解：由弧長公式可知，

/=120H><6=4Tr,

180

故選：B.

【點睛】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算方法是正確計算的關(guān)鍵.

2.若扇形的圓心角為60°,半徑為3,則該扇形的面積為（)

旦

A.AirB.TTC.TTD.3TT

22

【思路點撥】利用扇形面積公式求解即可.

【解析】解：這個扇形的面積=6。兀X[2=之,

3602

故選：C.

【點睛】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積=史￡.

360

3.已知半徑為6的扇形的面積為12m則扇形的弧長為（）

A.4B.2C.4TUD.2n

【思路點撥】根據(jù)扇形面積的計算公式即可求出答案.

【解析】解：設(shè)扇形的弧長為/,由扇形面積公式可得，

=12ir,

解得/=軌，

故選：c.

【點睛】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算公式是正確解答的關(guān)鍵.

4.如圖，C是。。劣弧A8上一點，。4=2,ZACB=120°.則劣弧AB的長度為（）

A.工nB.—TTC.AnD.—TT

3333

【思路點撥】作圓周角NAOB,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出NADB,根據(jù)圓周角定理求

出/AO8的度數(shù)，再由弧長計算公式求解即可.

如圖，作圓周角使。在優(yōu)弧上，

D、B、C四點共圓，ZACB=120°,

：.ZACB+ZD=180°,

.?./￡）=60°.

ZAOB=2ZD=nO°.

劣弧AB的長度為：12071x2=42L

1803

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理和弧長的計算，能正確作出輔助線是解此題的突破口.

5.如圖，是。。的直徑，AC是。。的弦，若/A=20°,AB=6,則弧々長為（）

【思路點撥】連結(jié)C。，根據(jù)AO=C。，得到NA=/C=20°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

求出圓心角的度數(shù)，根據(jù)直徑的長求出半徑，根據(jù)弧長公式/=電目即可得出答案.

180

【解析】解：如圖，連結(jié)C。，

；AO=CO,

AZA=ZC=20°,

ZAOC=180°-ZA-ZC=140°,

?.?直徑AB=6,

半徑r=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了弧長的計算，掌握弧長公式/=亞三是解題的關(guān)鍵.

180

6.把長度為如的一根鐵絲彎成圓心角是120。的一條弧，那么這條弧所在圓的半徑是（）

【思路點撥】設(shè)半徑為凡利用弧長公式構(gòu)建方程求出R即可.

【解析】解：設(shè)半徑為艮

由題意，2TT=120兀XR,

：.R=3,

故選：C.

【點睛】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式/=亞三.

7.如圖是2022年杭州亞運會徽標(biāo)的示意圖，若AO=5,BO=2,ZAOD=120°,則陰影

部分面積為（）

A.14nB.7nD.2n

【思路點撥】根據(jù)S陰影=S扇形a。。-S扇形BOC,求解即可.

【解析】解：S陰影=S扇形A。。-S扇形50C

=120兀X鏟_120兀XQ

360360

=21兀

=711,

故選：B.

【點睛】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是熟記扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是〃。，

圓的半徑為R的扇形面積為S,則S扇形=」_冗網(wǎng)或$扇形=工東（其中/為扇形的弧長）.

3602

8.如圖，正方形A8CD的邊AB=1,命和會都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的

【思路點撥】圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，1、2和兩個3的面積和是

兩個扇形的面積，因此兩個扇形的面積的和-正方形的面積=無陰影兩部分的面積之差，

即-1=-,i.

2

【解析】解：如圖：

正方形的面積=S1+S2+S3+S4;①

兩個扇形的面積=2S3+S1+S2；②

②-①，得：53-54=25扇形-S正方形=-1=工--]-

【點睛】本題主要考查了扇形的面積計算公式及不規(guī)則圖形的面積計算方法.找出正方

形內(nèi)四個圖形面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

9.已知弧的長是至m,弧的半徑為3,則該弧所對的圓心角度數(shù)為100。.

3

【思路點撥】根據(jù)弧長的公式/=電￡三，代入計算即可.

180

【解析】解：?.?弧長的公式/=匚工工，

180

...弧長的公式3r=n兀冬，

3180

解得，"=100,

故該弧所對的圓心角度數(shù)為100°,

故答案為：100。.

【點睛】本題考查了弧長的公式計算，熟練掌握弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，△ABC中，CA=CB,以AB為直徑的o。分別交CA,于點。，E.

（1）求證：AD=BE；

（2）若NC=50°,半徑0A=3,求贏的長.

【思路點撥】（1）由CA=C8,推出推出益=而，可得結(jié)論;

（2）求出圓心角NOOE=80°,再利用弧長公式求解.

【解析】（1）證明：?..C4=CB,

ZA=ZB,

AE=BD,

AD+DE=DE+BE，

；?AD=BE-

(2)解：'：CA=CB,

(180°-ZC)=65°,

2

?：OA=OD=OB=OE,

：.ZADO=ZA=65°,ZB=ZOEB=65°.

AZAOD=ZEOB=\^°-2X65°=50°,

：.ZDOE=180°-2X50°=80°,

兀

，府的長=8°X3=27T

1803

【點睛】本題考查弧長的計算，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握基本知識，記住弧長公式/=迎二.

180

題組B能力提升練

11.已知扇形的圓心角為120°,面積為12ir,則扇形的弧長是（）

A.3KB.4JiC.5irD.6n

【思路點撥】根據(jù)扇形面積公式求得半徑R,再根據(jù)弧長的公式求弧長即可.

【解析】解：令扇形的半徑為凡弧長為/,

,:S=120兀R2=12TT,

360

:?R=6,

???/=120兀區(qū)=M.

180

扇形的弧長為4n.

故選：B.

【點睛】本題考查了弧長的計算和扇形面積的計算.解答該題需要牢記弧長公式和扇形

的面積公式.

12.如圖，在。。中，弦AB垂直平分半徑OC,。為垂足，AB=9cm,則第的長為（）

A.6ucmB.3y[3TicmC.4'acmD.2MTicm

【思路點撥】連接。4、OB,先求出NO4B=/O2A=30°,得到NAOB,再求出。4=

343cm,然后代入弧長公式計算即可.

【解析】解：連接。4、OB.

?.?弦垂直平分半徑OC,

AZADO=ZBDO=90°,OD=^OC=^OA=^OB,

222

：.ZOAB=ZOBA=3>0°,

AZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=120°.

?/OC±AB,

.,.AD=LB=—cm,

22

：.0A=3如(cm),

.,.源的長為=12。冗x=2心1(cm).

180

故選：D.

【點睛】本題主要考查垂徑定理、銳角三角函數(shù)，弧長公式，關(guān)鍵在于正確地作出輔助

線構(gòu)建直角三角形.

13.如圖，圓形掛鐘分針針尖到圓心的距離為10”〃，經(jīng)過35分鐘，分針針尖轉(zhuǎn)過的弧長是

D.苧-冗CIT

U

【思路點撥】根據(jù)弧長公式可求得.弧長公式為/=史"

180

【解析】解:/=n-r=35X6X7T-10=圣n（cm）.

1801803

故選：D.

【點睛】主要考查了圓周的弧長公式和鐘表上分針?biāo)哌^的角度與時間之間的關(guān)系.弧

長公式為/=匚二三，需要注意的是求弧長需要知道圓心角的度數(shù)和半徑；分針1分鐘走

180

過的角度為6°.

14.如圖，將半徑為2,圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點

8落在扇形BAC的弧AC的點⑶處，點C的對應(yīng)點為點C,則陰影部分的面積為（

"兀

A.y/~3+兀B.C.D.-1-7T-V3

O乙

【思路點撥】連接8夕，過A作于R根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形ABC和扇形

AB'C的面積相等，AB=AB'=BC=BB'=2,求出△ABB'是等邊三角形，求出/

ABF=60°,解直角三角形求出8月和AR再根據(jù)陰影部分的面積S=S扇形ABC-(S扇形

ABB'-S^ABB')求出答案即可.

【解析】解：連接88,，過A作A7U.8B'于凡貝i]NAF8=90°,如圖，

BC

:將半徑為2,圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在扇形BAC的

弧上的點⑶處，點C的對應(yīng)點為點C,

扇形ABC和扇形AB'C的面積相等，AB=AB'=BC=BB'=2,

.?.△ABB'是等邊三角形，

AZABF=60°,

：.ZBAF=30°,

.,.BF=^AB=—1,由勾股定理得：AF=^22-I2=V3>

陰影部分的面積S=S扇形ABC-(S扇形ABB，-&ABa)

兀義2

=9022_(607rX2,l

3603602、

=An+V3>

3

故選：C.

【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，扇形

的面積計算等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)

鍵，注意：如果扇形的圓心角為w°,扇形的半徑為廠，那么扇形的面積5=史￡.

360

15.如圖，C,。是以A3為直徑的半圓上的兩點，NCAB=NDBA,連結(jié)BC,CD.

(1)求證：CD//AB.

(2)若AB=4,ZACD^3O°,求陰影部分的面積.

【思路點撥】(1)根據(jù)圓周角定理可得，ZACD=ZDBA,由已知條件可得NC4B=N

ACD,再根據(jù)平行線的判定方法即可得出答案；

(2)連結(jié)?！?gt;,過點。作￡>瓦LAB,垂足為E.由NACD=3O°,可得

=30°,根據(jù)圓周角定理可得/4。。=/<7。8=60°,即可得出/(7。。=180°-ZAOD

-ZCOB=60°,ZBOD=1SO°-44?！?=120°,即可算出S扇形BOD=史r*?的面積,

360

在RtZXODE中，根據(jù)三角函數(shù)可算出OE=cos30°的長度，即可算出以8。。=的面

積，根據(jù)S陰影=S扇形BOD-S/YBOZ)代入計算即可得出答案.

【解析】(1)證明：???俞=俞，

???ZACD=ZDBA,

又?：/CAB=/DBA,

：.ZCAB=ZACD,

：.CD//AB.

(2)如圖，連結(jié)?！?gt;,過點。作OEJ_A5,垂足為E.

VZAC￡>=30°,

AZACD=ZCAB=30°,

AZAOD=ZCOB=60°,

：.ZCOD=1SO°-ZAOD-ZCOB=60°,

：.ZBOD=1SO°-ZAOD=\20°,

**?S扇形BOD=?

在RtZkODE中，ZDOE=60°

:.DE=M，

.,.SABOD==-A-x2X?=?，

【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理，熟練掌

握扇形面積的計算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

16.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=2f，以點A為圓心，長為半徑畫弧交邊

BC于點、E,連接AE,則贏的長為（）

D

A.返ITB.nC.當(dāng)巨nD.如《

33

【思路點撥】求出/D4E的度數(shù)，再利用弧長計算公式求出即可.

【解析】解：由題意可知：AE=AD=BC=243,

：.ZAEB=6Q°,

'：AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE=60°,

=n-r=60兀X2炳=3幾

DE180180~3~，

故A、B、D錯誤,

故選：C.

【點睛】本題考查弧長的計算，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)等知識，本題中根據(jù)BE、AE

的長結(jié)合三角函數(shù)求出NAEB的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

17.如圖，扇形。4B中，02=3,ZAOB=1QQ°,點C在。2上，連接AC,點。關(guān)于AC

的對稱點。剛好落在窟上，則面的長是（）

3322

【思路點撥】連接?！?，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到4。=。4,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出/

AOD=60°,結(jié)合圖形求出/BO。，根據(jù)弧長公式計算，得到答案.

【解析】解：連接。D

二,點D是點0關(guān)于AC的對稱點，

：.AD^OA,

"：OA=OD,

.'.OA^OD^AD,

：.AOAD為等邊三角形,

AZAOD=60°,

：.ZBOD=100°-60°=40°,

/.俞的長=虱冗X」=2n,

1803

【點睛】本題考查的是弧長的計算、軸對稱的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，將正方形A8CZ）繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到正方形AEPG,點B的對應(yīng)點E落在

正方形ABC。的對角線上（E不與B、。重合），若4。=3愿，則靜的長為（）

A3%冗B3遙兀?幾口3相兀

'-8--4--8--

【思路點撥】連接AC,AF,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出/ZMC=45°,AD=DC=3M，Z

ADC=90°,求出NE4C=45°,再根據(jù)弧長公式求出答案即可.

【解析】解:連接AC、AF,

:四邊形ABC。是正方形，AD=3yf3,

：.ZDAC=45°,AD=CD=3M，ZADC=90°,

???AC=7AD2+CD2=V（3V3）2+（3A/3）2=3a,

?.?正方形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,點B的對應(yīng)點E落在正方形

ABCD的對角線上（E不與3、。重合），

在AC上，尸在直線A。上，

/.靜的長是457r奸3娓=3>"后兀，

1804

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式等知識點，能求

出AC長和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，注意：一條弧所對的圓心角是,半徑為r,

那么這條弧的長度是迎三.

180

19.如圖，已知。。的半徑為5,弦AB=8,0)=6,則圖中陰影部分面積為()

A.罵r-24B.9TtC.至TT-12D.9it-6

22

【思路點撥】過點。作OE，48于E,作。/，C￡)于R根據(jù)垂徑定理求出AE、CF,

再利用勾股定理列式求出O￡=OP,從而得到AK=OROE=CF,然后利用“邊角邊”

證明AAOE和AOC尸全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NAOE=/OCR再求出/

AOE+ZCOF=90°,然后求出/AOB+NCOO=180°,把弧CO旋轉(zhuǎn)到點。與點B重

合，構(gòu)建直角三角形ABC;然后根據(jù)圓的面積公式和直角三角形的面積公式來求陰影部

分的面積：陰影面積=半圓面積-直角三角形ABC的面積.

【解析】解:如圖，過點0作OELAB于E,作OF±CD于F,

由垂徑定理得，AE=-1AB=AX8=4,

22

CF=Ac￡>=Ax6=3,

22

由勾股定理得，0E=雙042_人.2==3,

OF=、0C2_CF2==4,

：.AE=OF,OE=CF,

在△