浙江省兩校2024-2025學(xué)年高三第一模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江省兩校2024-2025學(xué)年高三第一模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等比數(shù)列{4}的前幾項和為S”，且滿足2s"=2""+4,則X的值是()

A.4B.2C.-2D.-4

2.復(fù)數(shù)Zj在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,3)0=-2+z；則五=()

Z2

18.18,18.18.

A.------\--iB.------------1C.-1+—zD.-1——I

555555

3.若復(fù)數(shù)z滿足2z—Z=3+12i,其中i為虛數(shù)單位，N是z的共朝復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)忖=()

A.3#>B.2A/5C.4D.5

4.設(shè)集合A={1,2,3},B=[^-2x+m=6\,若AcB={3},則3=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

5.點以在曲線G:y=31nx上，過以作x軸垂線/,設(shè)/與曲線y=,交于點N,OP^OM+ON,且P點的縱坐

x3

標(biāo)始終為0,則稱M點為曲線G上的“水平黃金點”，則曲線G上的“水平黃金點”的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

x

6.已知函數(shù)/(%)=%—?(x>0),g(x)=x+e9=%+的零點分別為玉，/，W，則()

A.x1<x2<x3B.x2<xr<x3

C.x2<x3<xrD.x3<Xj<x2

7.設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的前”項和為S“，若2+%=4+%,貝!J$7=()

A.28B.14C.7D.2

8.集合{2,0,1,9}的真子集的個數(shù)是()

A.13B.14C.15D.16

9.函數(shù)/(x)=sin@c(o>0)的圖象向右平移二個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，并且函數(shù)g(x)在區(qū)間［工，工］上

1263

單調(diào)遞增，在區(qū)間［］,(］上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的值為()

735

A.-B.-C.2D.-

424

10.已知a為銳角，且6sin2a=2sintz,則cos2戊等于()

2214

A.—B.-C.—D.----

3939

x+y>-l

1L若實數(shù)MV滿足不等式組卜―2yV—1，則2x—3y+4的最大值為()

2x-y-l<0

A.-1B.-2C.3D.2

12.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，則()

066

A./(-3)</(-log313)</(2-)B./(-3)</(2°-)</(-log313)

66

C./(2°-)</(-log313)</(-3)D./(2°-)</(-3)</(-log313)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在長方體ABCD—4片￡。］中，AD=DD［=1,AB=BE,F,G分別為的中點，點尸在

平面A5CZ>內(nèi)，若直線2尸//平面E/G,則線段長度的最小值是.

14.已知函數(shù)/(x)=lnx+x2,則曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為

15.已知函數(shù)/(九)是定義在R上的奇函數(shù)，且周期為2,當(dāng)時，/(x)=x+［,則〃a)的值為

21,?

16.已知x>0,y>0,且一H—=1,則x+2y的最小值是

冗y

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知5=3,c=8,角4為銳角，AABC的面

積為6^3.

(1)求角A的大??；

(2)求。的值.

22

18.(12分)已知橢圓石：上+上=1,過Q(-4,0)的直線/與橢圓E相交于A,3兩點，且與y軸相交于尸點.

62

—.3—.

(1)若求直線/的方程；

(2)設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點為C,證明：直線8C過x軸上的定點.

19.(12分)在AA8C中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,V3sin(A+B)=4sin2.

(1)求cosC；

(2)若b=7,。是5c邊上的點，且AAC。的面積為66,求sin/AOB.

20.(12分)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點尸(。，c)，(c>0)關(guān)于直線l:x-y-2=0的對稱點為M,且|FM|=3&.

若點P為。的準(zhǔn)線上的任意一點，過點尸作C的兩條切線K4,PB,其中4B為切點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)求證：直線恒過定點，并求△243面積的最小值.

21.(12分)已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為4(0,1)、8(0,-1),焦距為2百.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線了=根與橢圓C有兩個不同的交點"、N,設(shè)。為直線AN上一點，且直線班)、的斜率的積

為-證明：點。在x軸上.

4

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系X0V中，已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點。焦點在x軸上，右頂點4(2,0)到右焦點的

距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為工.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點，設(shè)P(-4,0),連接PM交橢圓C于另一點E.求證：直線NE過

定點8,并求出點3的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，過點3的直線交橢圓C于S,T兩點，求麗?麗的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用先求出?！?，然后計算出結(jié)果.

【詳解】

4+2

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時，2S]=2〃]=4+X,4=—-—,

故當(dāng)〃22時，氏=S，—

???數(shù)列｛aJ是等比數(shù)列，

則q=1,故?~4=1,

解得4=—2,

故選C.

本題主要考查了等比數(shù)列前幾項和S“的表達形式，只要求出數(shù)列中的項即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).

2.B

【解析】

z.

求得復(fù)數(shù)Z1,結(jié)合復(fù)數(shù)除法運算，求得」的值.

Z2

【詳解】

Zl_2+3i_(2+3/)(-2-0_(2+3/)(-2-0-l-8z18.

易知12+3,,則，=Wr(-2+')(一2一1—5—=『=一丁『

故選：B

本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則先求出復(fù)數(shù)z,再計算它的模長.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)z=a+6i,“、6GR；

?23=3+12"

.,.2(a+bi)-(a-bi)—3+12z,

2a-a=3

即4,

2b+b=12

解得。=3,6=4,

?*.z=3+4/,

,,lzl=y)3~+42=5?

故選D

本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式，是基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，從而可求3.

【詳解】

依題意可知3是集合3的元素，即32—2x3+〃z=0,解得機=—3,由V—2光—3=0,解得x=—l,3.

本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

設(shè)M?,31nt),則則成=+即可得ln/+J=0,設(shè)g⑺=+\利用導(dǎo)函數(shù)判斷g(7)的零

\t)I33tj3t3t

點的個數(shù)，即為所求.

【詳解】

設(shè)M?,31n/),則N、［，所以屈+—)

依題意可得ln/+'=0,

3t

設(shè)g⑺1，則g'⑺=；-5=

當(dāng)0</<g時,g'?)<。，則g(t)單調(diào)遞減；當(dāng)/〉；吐g'Q)>。，則g?)單調(diào)遞增,

所以g(f)mm=gm=l—ln3<0,且=-2+：〉0,g(l)=g〉0,

g(/)=In/+g=0有兩個不同的解，所以曲線G上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.

故選:C

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點問題，考查向量的坐標(biāo)運算，考查零點存在性定理的應(yīng)用.

6.C

【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)/(%)=x-y/x(x>0),g(x)=x+eJ,/7(x)=x+lnx(x>0)的零點為丁=%與y=Vx(x>0),y=-ex,

y=—lnx(x>0)的交點，數(shù)形結(jié)合，即得解.

【詳解】

函數(shù)/(x)=>0),g(x)=x+e',"(x)=x+lnx(x>0)的零點，即為y=x與>=&(x〉0),>=-/,,

y=—In尤(x>0)的交點，

作出V=%與y=?(X〉0),y=—e*,y=—lnx(x>0)的圖象，

故選：C

本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.

7.B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)4+。3=%+。5并結(jié)合已知可求出為，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得§7=7"%)=7%,即可求

出結(jié)果.

【詳解】

因為。6+%=。4+。5，所以2+%=。4+。5，所以。4=2,

所以S7=7(4；%)=7%=]4,

故選：B

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前幾項和公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

根據(jù)含有“個元素的集合，有2"個子集，有2"-1個真子集，計算可得；

【詳解】

解:集合｛2,0,1,9｝含有4個元素，則集合｛2,0,1,9｝的真子集有元—1=15(個)，

故選：C

考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有〃個元素的集合，有2〃個子集，有2"-4個真子

集，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

由函數(shù)/(x)=sina>x(o>>0)的圖象向右平移個單位得到g(x)=sz力、■)]=sin(,函數(shù)g(x)在

jrITJrjr

區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

_63J|_32_

上單調(diào)遞減，可得x=0時，g(x)取得最大值，即—爸)=春+2丘，ZeZ,口>0,當(dāng)k=0時，解得69=2,

故選C.

點睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”

的規(guī)律求解出g(x),根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得x=g時，g(x)取

得最大值，求解可得實數(shù)。的值.

10.C

【解析】

由Gsin2a=2sina可得cosa=~^~‘再利用cos2。=2cos2a—1計算即可.

【詳解】

因為2A/^sinacosa=2sina，sinawO,所以cosa=

221

所以cos2o=2cosa-l=——1=——.

33

故選：C.

本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

作出可行域，直線目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線/,平移該直線可得最優(yōu)解.

【詳解】

作出可行域，如圖由射線AB，線段AC,射線CD圍成的陰影部分(含邊界)，作直線/:2尤-3y+4=0,平移直線

I,當(dāng)/過點C(LD時，z=2x—3y+4取得最大值1.

故選：C.

本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形.

12.C

【解析】

06

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得/(—3)=〃3),/(-log313)=/(log313),Xi2-<2<log313<log327=3,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，則/(—3)=/⑶，/(-log313)=/(log313),

有2°6<2<log313<log327=3,

又由/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則有/(2°6)</(—log313)</(—3),故選C.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.叵

2

【解析】

如圖，連接2AAe證明平面AC。//平面EPG因為直線2尸//平面EFG,所以點尸在直線AC上.當(dāng)

AC時.線段2P的長度最小，再求此時的2P得解.

【詳解】

如圖，連接2AAe，

因為E,F,G分別為AB,BC,G01的中點，

所以AC//EF,跖a平面AC。1，

則EE//平面ACA.因為EG//AD],

所以同理得EG//平面ACR,又EFCiEG=E.

所以平面ACDJ/平面EFG.

因為直線2尸//平面EFG,所以點尸在直線AC上.

在"3中，9="數(shù)=2,3="-；x&x

也

故當(dāng)RPJ.AC時.線段DXP的長度最小，最小值為-2-=也.

1x22

2

故答案為：立

2

本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

14.3x-y-2=0

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.

【詳解】

因為/(X)=-+2%,

x

所以左=/g)=3,

又/'⑴=1,

故切線方程為y—1=3(尤—1),

整理為3%—y_2=0,

故答案為：3x-y-2=Q

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于容易題.

15.0

【解析】

x+—,0<^<1

3

由題意可得:/(%)=<0,x=0,周期為2,可得=可求出。=0,最后再求/(a)的值即可.

%--,-l<x<0

3

【詳解】

解：?.?函數(shù)/(%)是定義在H上的奇函數(shù),

x+—,0<%<1

3

〃x)=<0,大=0

x—,—1?尤<0

3

由周期為2,可知=二1+1=1—I，,。=0.

/(?)=/(o)=o.

故答案為：0.

本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.8

【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】

x+2y=(x+2y)—+—=2+—+—+2>4+2I---=8,

(x切yx\yx

x4y

當(dāng)且僅當(dāng)一=一時等號成立.

yx

故x+2y的最小值為8,

故答案為：8.

本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

兀

17.(1)-；(2)7.

3

【解析】

分析：(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值，進而求得A；(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求

得a.

詳解：⑴

VSMflC=^csinA=—x3x8xsinA=6^3,

???A為銳角,

(2)由余弦定理得:

=,9+64-2x3x8xg=7.

a=y/b2+c2-2bccosA

點睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩

7,22_2

種形式：(1)a2^b2+c2-2bccosA；(2)cosA="^一土，同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解

2bc

與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住30°,45。,60°等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.

18.(1)>=走了+走或y=—正X—正；(2)見解析

■82■82

【解析】

一3—.

(1)由已知條件利用點斜式設(shè)出直線/的方程，則可表示出點尸的坐標(biāo)，再由=的關(guān)系表示出點A的坐標(biāo),

而點A在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率;

(2)設(shè)出A,3兩點的坐標(biāo)，則點C的坐標(biāo)可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)

于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線的方程，化簡可得結(jié)果.

【詳解】

(1)由條件可知直線/的斜率存在，則

可設(shè)直線/的方程為y=?%-4),則尸(0,4k),

__3__3

由PA=-AQ,有（xA,yA-4k）=~（-4-xA,-yA）,

128k

所以與

由一"’,二)在橢圓E上，則，解得左=±立，此時P0,+

在橢圓E內(nèi)部，所以滿足

+——=181

2、

直線/與橢圓相交,

故所求直線I方程為y=￡x+?或yV2V2

----x------

82

(也可聯(lián)立直線/與橢圓方程，由/〉0驗證)

（2）設(shè)4（和％）,5（々，%）,則C（X|,-%）,

直線8C的方程為（%+為）%+（%-々）丁一（々%+石％）=。?

y=k（x+4）,.,,,

由〈，,得（1+3左2）12+2442%+48左2—6=0,

x2+3y2=6

22

由△=（24/）-4（1+3k）（48左2—6）〉0,

1

解得左29<j，

24k24842—6

X,1+X,=---------7，%1%2=--------7

-1+3421+342

當(dāng)y=0時,

_xy+xy2_%2%(石+4)+%/(%2+4)_2kxx+4%(藥+x)

x——211————r22

%+，2+%2+%2

k(x1+8)k(x1+8)

48左2—6-24k2

2k-+4k-

1+3公1+3公2(48左2—6)—96汰23

(-24左282

'11+342+8

/

「3、

故直線BC恒過定點一二,0.

I2)

此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過定點問題，計算過程較復(fù)雜，屬于難題.

19.(1)-；(2)其羽.

713

【解析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將己知等式化為角W關(guān)系式，求出tan?,再由二倍角余弦公式，即可求解;

22

(2)在△ACD中，根據(jù)面積公式求出。長，根據(jù)余弦定理求出AO，由正弦定理求出

sinZADC,即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)5/3sin(A+B)=4sm2^-,2^sinyCOSy=4sin2y,

oC.C

廠廠cos-----sin2——in2mj_

「2C.C22

cosC=cos-----sin2—=-------3---------W

2J.2。l+t"7；

22cos——I-sin——

222

(2)在AACD中，由(1)得sinC=±正，

7

S,rn=-x7xCDx^=6A--.CD=3.

△Ac。27，

由余弦定理得

AD2=Z?2+CD2-2Z?-CD-COSC=49+9-2X7X3X-=52,

7

.?.AD=2而，在AACD中，

74#)

ADAC

sinCsinZADC

2、麗

sinZADB=sinZADC=——

13

本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.

20.(1)%2=4y(2)見解析，最小值為4

【解析】

(1)根據(jù)焦點產(chǎn)到直線/的距離列方程，求得c的值，由此求得拋物線的方程.

(2)設(shè)出A,B,P的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線PA,PB的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點F.求得三角形？

面積的表達式，進而求得面積的最小值.

【詳解】

(1)依題意d-°一二2|=乎,解得c=l(負根舍去)

2

拋物線。的方程為必=4y

(2)設(shè)點A&，M),B(X2，%)，P"，T),由兀2=4、，

即y=得y

42

A拋物線C在點A處的切線PA的方程為y—%=5(x-玉)，

1X

???乂???'%：點尸CT)在切線上，

-1=?/-%①，同理，-1=^%②

綜合①、②得，點的坐標(biāo)都滿足方程T=，-%

即直線A8：y=$+1恒過拋物線焦點F（O,1）

當(dāng)f=0時，此時P（O,—1）,可知：PF±AB

2

當(dāng)，。0,此時直線p尸直線的斜率為左"=-7,得PFLAB

于是刊4|AB|,而|。尸|=^?-0）2+（-1一1）2牧2+4

把直線y=；x+l代入犬=今中消去x得y2—Q+/）y+i=o

AB="]+%+2卜4+/，即：S=g（4+〃）J'4+1。=g（4+產(chǎn)）5

當(dāng)方=0時，S/4B最小，且最小值為4

本小題主要考查點到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過定點問題,

考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運算求解能力，屬于難題.

21.（1）—+y2=1；（2）見解析.

4

【解析】

（1）由已知條件得出力、c的值，進而可得出a的值，由此可求得橢圓。的方程；

（2）設(shè)點”（而,m），可得N（—%,加），且求出直線物/的斜率，進而可求得直線3D與AN的

方程，將直線直線3。與AN的方程聯(lián)立，求出點。的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.

【詳解】

b—\

故橢圓。的方程為三+>2=1；

4'

（2）設(shè)加（石,相），則N（-石,加），石。0,-l<m<l.

機一（―1）771+1

所以直線的斜率為一一二——，

石一0xx

因為直線、8M的斜率的積為-工，所以直線的斜率為一

44“（加“+1一）?

l-m.再1

直線AN的方程為y=——％+1,直線3。的方程為y=一%—1.

石4（m+nlJ

1-m1

>=丁'+1一蘇+i

%]A1

聯(lián)立《

,解得點D的縱坐標(biāo)為yD=—：-----------

y=7^~—xi+-1

4（m+1）4

因為點M在橢圓。上，所以互+m2=1,則”,=0,所以點。在x軸上.

4

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.

22__2

22.(1)亍+1_=1；⑵證明詳見解析，8(—1,0)；⑶4

，4

【解析】

⑴根據(jù)題意列出關(guān)于口力,C的等式求解即可.

(2)先根據(jù)對稱性，直線NE過的定點B一定在x軸上，再設(shè)直線PM的方程為y