四邊形-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題

專題07四邊形

多邊形及其內(nèi)角和專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.理解多邊形的定義：多邊形是由多條直線段順次首尾連接圍成的平面圖形，容易混

淆多邊形和圓形、橢圓形等其他形狀。

2.多邊形內(nèi)角和的計(jì)算：多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式為（n2）X180°,其中n為多邊形的

邊數(shù)。學(xué)生容易在計(jì)算過(guò)程中出錯(cuò)，如將邊數(shù)誤認(rèn)為是頂點(diǎn)數(shù)，或者忘記了減2的步驟。

3.多邊形的分類：多邊形根據(jù)邊數(shù)的不同可以分為三角形、四邊形、五邊形等，每種

多邊形的性質(zhì)和特點(diǎn)都有所不同。學(xué)生容易在分類時(shí)混淆，或者忽視了多邊形邊數(shù)的限

制。

4.特殊多邊形的處理：對(duì)于一些特殊的多邊形，如正多邊形（各邊相等，各內(nèi)角也相

等）、等腰多邊形（至少有兩邊相等）等，學(xué)生在處理時(shí)容易忽視其特殊性，導(dǎo)致計(jì)算

錯(cuò)誤。

5.多邊形與其他圖形的結(jié)合：多邊形常常與其他圖形（如圓、三角形等）結(jié)合出現(xiàn)，

這時(shí)需要綜合考慮多個(gè)圖形的性質(zhì)。學(xué)生容易在解題時(shí)忽視這一點(diǎn)，導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)1：多邊形截角

例：將一個(gè)五邊形紙片，剪去一個(gè)角后得到另一個(gè)多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和

是（）

A.360°B.540°C.360°或540°D.360°或540°或

720°

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，找出五邊形紙片剪去一個(gè)角出現(xiàn)的情況，再根據(jù)

〃邊形內(nèi)角和公式（〃-2）180。得出多邊形的內(nèi)角和，即可解題.

【詳解】解：如圖，將一個(gè)五邊形沿虛線裁去一個(gè)角后得到的多邊形的邊數(shù)是4或5或6,

其中四邊形內(nèi)角和為360。，五邊形內(nèi)角和為（5-2卜180。=540。，六邊形內(nèi)角和為

（6-2）x180°=720°,

???得到的多邊形的內(nèi)角和是360?；?40°或720°，

故選：D.

3

變式1:如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)>在第二象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)

尤

4

>=—在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C,且/C=3C,軸于

尤

點(diǎn)。，BE_Lx軸于點(diǎn)￡,連接DC,EC,則的面積是（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，平行線等分線段定理，梯形的中位線性質(zhì)，

先根據(jù)已知條件推導(dǎo)出CO為梯形/8EZ）的中位線，得到CO=g（/D+3E）,再根據(jù)反

比例函數(shù)解析式設(shè)8,，：；把C。、OE用含0的代數(shù)式表示出來(lái)，代入三

角形面積公式即可求解，利用梯形的中位線的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式用含。的代數(shù)式

表示出CO、是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：4DU軸，8EL軸，

，AD//CO//BE,

■：AC=BC,

：.DOEO,

，CO為梯形ABED的中位線,

CO=^（AD+BE）,

設(shè)/-〃,一],貝iJB[a,—4

aa

（）34

/.CO=^AD+BE=^—+—-—,DE=a—（_Q）=2a,

aa

117

,,SADCE=-xDExCO=—x2。x—=3.5,

222a

故選：B.

變式2：如圖是一個(gè)多邊形，你能否用一直線去截這個(gè)多邊形，使得到的新多邊形分別

滿足下列條件：（畫出圖形，把截去的部分打上陰影）

①新多邊形內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了180。.

②新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.

③新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了1801

【分析】（1）①過(guò)相鄰兩邊上的點(diǎn)作出直線即可求解；

②過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和相鄰邊上的點(diǎn)作出直線即可求解；

③過(guò)相鄰兩邊非公共頂點(diǎn)作出直線即可求解；

（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個(gè)角的情況

進(jìn)行討論.

【詳解】（1）如圖所示：

（2）設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃，

貝2）/80。=2520。，

解得〃=16,

①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為15,

②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為16,

③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

故原多邊形的邊數(shù)可以為15,16或17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進(jìn)行討論，避免漏解.

易錯(cuò)點(diǎn)2：多邊形對(duì)角線規(guī)律

例：某多邊形由一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線可以將該多邊形分成10個(gè)三角形，則這個(gè)多邊

形的邊數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】

此題考查了多邊形對(duì)角線條數(shù)，〃邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出（〃-3）條對(duì)角線，把多

邊形分成（〃-2）個(gè)三角形，據(jù)此作答即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是小則〃-2=10,解得”=12,

即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12,

故選：B.

3

變式1:如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)>在第二象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)

尤

4

>=—在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C,且/C=3C,軸于

尤

點(diǎn)。，BE_Lx軸于點(diǎn)￡,連接DC,EC,則的面積是（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，平行線等分線段定理，梯形的中位線性質(zhì)，

先根據(jù)已知條件推導(dǎo)出CO為梯形/8EZ）的中位線，得到CO=g（/D+3E）,再根據(jù)反

比例函數(shù)解析式設(shè)8,，：；把C。、OE用含0的代數(shù)式表示出來(lái)，代入三

角形面積公式即可求解，利用梯形的中位線的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式用含。的代數(shù)式

表示出CO、是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：4DU軸，8EL軸，

AD//CO//BE,

???AC=BC,

：.DO=EO,

：.CO為梯形ABED的中位線,

/.CO=^AD+BE）,

設(shè)則8

；（）：

C0=AD+8E=——,DE=a—（一〃）—2a,

2aV7

117

?V=—xDExCO=—x2Qx——=3.5,

,,3DCE222a

故選：B.

圖3

(1)如圖1,經(jīng)過(guò)四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作.條對(duì)角線，它把四邊形分成

個(gè)三角形;

(2)如圖2,經(jīng)過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把五邊形分成

個(gè)三角形;

(3)探索歸納：對(duì)于“邊形(〃>3),過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把"邊形

分成個(gè)三角形；(用含〃的式子表示)

(4)如果經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作100條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)

為.

【答案】⑴12

(2)23

⑶（"3）（?-2）

（4）103

【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線、邊及三角形分割等規(guī)律探究.

(1)根據(jù)題意畫出對(duì)圖中的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)題意畫出對(duì)圖中的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論，可找到規(guī)律即可得到結(jié)論；

(4)將100代入(3)的結(jié)論中即可得到答案.

【詳解】(1)如圖1：

經(jīng)過(guò)1個(gè)頂點(diǎn)做1條對(duì)角線，它把四邊形分為2個(gè)三角形,

故答案為：1,2

經(jīng)過(guò)五邊形一個(gè)頂點(diǎn)，共有2條對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分為3個(gè)三角形；

故答案為：2,3.

(3)?.?經(jīng)過(guò)四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作4-3=1條對(duì)角線，它把四邊形分成4-2=2個(gè)三

角形；

經(jīng)過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作5-3=2條對(duì)角線，它把五邊形分成5-2=3個(gè)三角形；

經(jīng)過(guò)六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作6-3=3條對(duì)角線，它把六邊形分成6-2=4個(gè)三角形；

經(jīng)過(guò)七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作7-3=4條對(duì)角線，它把七邊形分成7-2=5個(gè)三角形；

???經(jīng)過(guò)〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作(〃-3)條對(duì)角線，它把〃邊形分成(〃-2)個(gè)三角形;

故答案為：(?-3),(?-2).

(4)?.,過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作100條對(duì)角線，

根據(jù)(3)中結(jié)論可得，"—3=100,

〃=103,

故答案為：103.

易錯(cuò)點(diǎn)3：平面鑲嵌

例：用下面圖形不能實(shí)現(xiàn)平面鑲嵌的是（）

A.等邊三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【分析】本題考查了平面鑲嵌、正多邊形的內(nèi)角和，先求出各個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度

數(shù)，再結(jié)合平面圖形鑲嵌的條件即可得，熟練掌握平面鑲嵌的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+3=60。，且360。+60。=6是

整數(shù)，則等邊三角形能實(shí)施平面鑲嵌，此項(xiàng)不符題意；

B、正方形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+4=90。，且360。+90。=4是整數(shù)，正方形能

實(shí)施平面鑲嵌，此項(xiàng)不符題意；

C、正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+5=108。，且360。+108。=/，不是整數(shù)，

正五邊形不能實(shí)施平面鑲嵌，此項(xiàng)符合題意；

D、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+6=120。，且360。十120。=3是整數(shù)，正

六邊形能實(shí)施平面鑲嵌，則此項(xiàng)不符題意；

故選：C.

變式1：如圖，用正多邊形鑲嵌地面，則圖中a的大小為度.

【答案】150

【分析】進(jìn)行平面鑲嵌就是在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為360。，據(jù)此求出a

即可.

【詳解】解：???正方形的內(nèi)角為90。，正六邊形的內(nèi)角為120。,

90°+120°+a=360°,

解得a=150。.

故答案為：150.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面鑲嵌，解題的關(guān)鍵是求正多邊形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)，可先求出這個(gè)

外角度數(shù)，讓180。減去即可.一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360。；

兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在

一起恰好組成一個(gè)周角.

變式2：在生活中經(jīng)?？吹揭恍┢春蠄D案如圖所示，它們或是用單獨(dú)的正方形或是用多

種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案要求嚴(yán)絲合縫，不留空隙.從數(shù)學(xué)角度看，這些

工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，通常把這類問(wèn)題叫做用多邊

形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問(wèn)題.

(1)如果限用一種正多邊形來(lái)覆蓋平面的一部分，正六邊形是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形?

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)同時(shí)用正方形和正八邊形是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)請(qǐng)你探索，是否存在同時(shí)用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個(gè)正五邊形)鑲嵌

成的平面圖形，寫出驗(yàn)證過(guò)程.

【答案】(1)正六邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形，理由見(jiàn)解析

(2)同時(shí)用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形，理由見(jiàn)解析

(3)存在同時(shí)用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個(gè)正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，

驗(yàn)證見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的外角和問(wèn)題，熟練掌握正多邊

形的內(nèi)角和為(〃-2)x180。是解此題的關(guān)鍵.

(1)先求出正六邊形的內(nèi)角和，再求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，用360。除以內(nèi)角的度數(shù)，

看是否能夠除盡，由此即可得出答案；

(2)正方形的每個(gè)內(nèi)角為90。，求出正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為135。，再結(jié)合

135。乂2+90。=360。，即可得出答案；

(3)求出正方形的每個(gè)內(nèi)角為90。，正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108。，正二十變形的每

一個(gè)內(nèi)角為162。，由162。+108。+90。=360。，即可得出答案.

【詳解】(1)解：正六邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形，

理由如下：

??,正六邊形的內(nèi)角和為：(6-2*180。=720。，

，正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：720°+6=120°,

?.?360°+120。=3，

???正六邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形；

（2）解：同時(shí)用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形,

理由如下：

??,正八邊形的內(nèi)角和為：（8-2）x1800=1080°,

，正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：1080°+8=135°,

■.?135°x2+90o=360°,

，同時(shí)用1塊正方形和2塊正八邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形；

（3）解：存在同時(shí)用三種不同的正多邊形組合（至少包含一個(gè)正五邊形）鑲嵌成的平面

圖形，

理由如下：

正方形的每個(gè)內(nèi)角為90。，

??,正五邊形的內(nèi)角和為：（5-2*180。=540。，

，正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：540°-?5=108°,

???正二十邊形的內(nèi)角和為：（20-2*180。=3240°,

，正二十邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：3240^20=162°,

■.■1620+1080+90°=3600,

???存在同時(shí)用三種不同的正多邊形組合（至少包含一個(gè)正五邊形）鑲嵌成的平面圖形，此

時(shí)該平面圖形由1塊正二十邊形、1塊正五邊形、1塊正方形構(gòu)成.

平行四邊形專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.性質(zhì)與判定的混淆：平行四邊形的性質(zhì)和判定條件容易混淆。例如，知道一個(gè)四邊形

是平行四邊形，并不意味著它的對(duì)角線一定相等或互相平分。同樣，即使一個(gè)四邊形的

對(duì)角線相等或互相平分，也并不意味著它一定是平行四邊形。

2.面積計(jì)算錯(cuò)誤：平行四邊形的面積計(jì)算公式為底乘以高，但有時(shí)候可能會(huì)錯(cuò)誤地將對(duì)

角線長(zhǎng)度或鄰邊長(zhǎng)度作為底或高來(lái)計(jì)算面積。

3.特殊平行四邊形的識(shí)別：對(duì)于矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形，需要明確它們

的性質(zhì)，例如矩形的對(duì)邊相等且鄰邊垂直，菱形的四邊相等，正方形的四邊相等且鄰邊

垂直等。錯(cuò)誤地識(shí)別這些特殊平行四邊形可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

4.對(duì)稱性的理解：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，這意味著通過(guò)其對(duì)稱中心的任何直線都

會(huì)將其分成面積相等的兩部分。同時(shí)，對(duì)角線也會(huì)將四邊形分成面積相等的四部分。對(duì)

這些對(duì)稱性的理解不足可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

5.全等和相似三角形的誤用：在平行四邊形中，雖然可以利用全等三角形和相似三角形

的性質(zhì)解題，但這并不意味著所有的三角形都是全等或相似的。錯(cuò)誤地應(yīng)用這些性質(zhì)可

能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

6.矩形和正方形的折疊問(wèn)題：在解決矩形和正方形的折疊問(wèn)題時(shí)，需要理解折疊后的圖

形及其性質(zhì)。例如，折疊后的圖形可能仍然是矩形或正方形，也可能變成其他類型的四

邊形。對(duì)這些變化的理解不足可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)1：已知三點(diǎn)組成平行四邊形

例：以點(diǎn)。、A、B、。為頂點(diǎn)的平行四邊形放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其中點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,點(diǎn)/的坐標(biāo)是（5,0）,則點(diǎn)2的坐標(biāo)是（）

A.（6,3）或（4,一3）B.（6,3）或（一4,3）

C.（6,3）或（一3,4）或（3,-4）D.（6,3）或（T3）或（4,一3）

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后分NC為邊和對(duì)角線兩種情況，分別根據(jù)平行四邊

形的判定和平移的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：如圖：當(dāng)NC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)用的坐標(biāo)為。+5,3）,即（6,3）；

當(dāng)/C為邊時(shí)，點(diǎn)層的坐標(biāo)為0-5,3）,即（-4,3）；點(diǎn)區(qū)的坐標(biāo)為（0+4,0-3）,即（4,-3）.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定、平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想

是解答本題的關(guān)鍵.

變式1:平面直角坐標(biāo)系中，/（TO）,8（3,0）,C（0,2）,。為平面內(nèi)一點(diǎn)?若A、B、

C、。四點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，則平面內(nèi)符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為

【答案】（2,-2）或（4,2）或（-4,2）

【分析】分三種情形畫出圖形即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，

當(dāng)AD〃BC,/C〃&）時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-2）；

當(dāng)AB"CD,/C〃臺(tái)。時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,2）；

當(dāng)AB"CD,3c時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為（一4,2）；

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,-2）或（4,2）或（-4,2）,

故答案為：（2,-2）或（4,2）或（-4,2）.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用

分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

變式2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線了=-尤+8分別交x軸，y軸于點(diǎn)/、B,直

線交直線N5于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4.

（1）求直線。的函數(shù)解析式；

⑵在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)R使以4C、。、/為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

44

【答案】⑴y=y

（2）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3,4）或（11,4）或（5,-4）

【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C,D的

坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式；

（2）存在，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（如〃），分為對(duì)角線，NC為對(duì)角線及/。為對(duì)角線三

種情況考慮，利用平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分），即可得出關(guān)于“,"的二元

一次方程組，解之即可得出點(diǎn)b的坐標(biāo).

【詳解】（1）（1）當(dāng)x=4時(shí)，y=-lx4+8=4,

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,4）；

設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為了=履+。（左/0）,

將點(diǎn)C（4,4）,。（1,0）代入廠去+6,

得：[U左k++6b==04'

所以3

4

y=——

[3

44

則直線的函數(shù)解析式：y=-x--

（2）解：存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為例，〃），

當(dāng)歹=0時(shí)，一%+8=0,

解得：x=8,

...點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8,0）.

若使以/、C、D、尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，分三種情況討論：

V四邊形/巾。為平行四邊形,

m+8=4+1

〃+0=4+0

m=-3

解得

n=4

所以耳的坐標(biāo)為(-3,4)；

②當(dāng)/C為對(duì)角線時(shí)，記為點(diǎn)F2,

V四邊形/巴CO為平行四邊形,

［加+1=4+8

［幾+0=4+0

m=11

解得:

〃=4

點(diǎn)心的坐標(biāo)為(11,4)；

③當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，記為點(diǎn)工,

?.?四邊形/CD層為平行四邊形,

Jm+4=1+8

［幾+4=0+0

m=5

解得:

n=-4

點(diǎn)馬的坐標(biāo)為(5,-4)；

綜上所述，存在點(diǎn)尸，使以/、C、D、尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

(-3,4)或(11,4)或(5,-4).

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及

平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出點(diǎn)C,

/的坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；(2)分為對(duì)角線,

/C為對(duì)角線及/。為對(duì)角線這三種情況，求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

易錯(cuò)點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)與判定

例：如圖，平行四邊形48CD中以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交84BC于F,G,

分別以點(diǎn)RG為圓心大于gbG長(zhǎng)為半作弧，兩弧交于點(diǎn)X,作BH交AD于點(diǎn),E,連

接CE,若/6=10,DE=6,CE=8,則BE的長(zhǎng)為（

A.2741B.40A/2C.475D.875

【答案】D

【分析】本題考查基本作圖作角平分線，掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，勾

股定理的逆定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

如圖，過(guò)點(diǎn)A作47/EC交于J.證明四邊形A/CE是平行四邊形，再利用勾股定理

的逆定理證明乙40=90。，推出N8CE=90。，利用勾股定理求出5E即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作交于J.

???四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.AD//BC,

ZAEB=ZEBC,

?;AJ〃EC,AE//JC,

???四邊形/JCE是平行四邊形，

AJ=EC,

?;BE平分NABC,

/ABE=NEBC,

/ABE=ZAEB,

/.AB=AE=\Q,AJ=EC=S,AE=JC=10,

???DE=6,

AD=BC=16,

:.BJ=BC-JC=16-10=6f

AB2=BJ2+AJ2,

：./AJB=90°,

AJ〃EC,

/BCE=NBJA=90°,

/.BE=^BC2+EC2=V162+82=875，

故選：D.

變式1：如圖，若四邊形為矩形，AB=643,ZDCA=30°,DE,AC于點(diǎn)、E,

8r2/C于點(diǎn)R連接BE,DF,則四邊形。￡8尸的面積為

【答案】18月

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，解直角三角形得出EF=AF-AE=9-3=6,BF=DE=36,

證明四邊形DE2F為平行四邊形，得出SKmBF=BFxEF=3百x6=186.

【詳解】解：在矩形/BCD中，ZADC=9Q°,ZDCA=3Q°,CD=AB=643,AB//CD,

'：DEIAC,

：.ZDEC=90°,

ii/T

￡>E=-￡>C=-X6A/3=3>/3,C￡=CDxcos30。=6氐組=9,

222

："DC=90。，CD=6y/3,ZDCA=3Q°,

mDC6G0

.AC=---------=-L=12

??cos30°V3,

T

???AE=AC-CE=12-9=3f

???AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA=30°,

：.AFIAC,

：.ZAFC=90°,

***AF=ABxcos30°=6^/3x=9,BF=大AB=二乂=3也,

222

***EF=AF—AE=9—3=6,BF=DE=3-\/3,

'：DEIAC,BF1AC,

：.DE//BF,

???四邊形。匹方為平行四邊形，

*,*$四邊形mN=BFxEF=3A/3X6=186.

故答案為：184.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，是一道不錯(cuò)的中考題.

變式2：已知，如圖，YABCD.

（1）Y/BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,直線E尸過(guò)點(diǎn)O,分別交于點(diǎn)

E,F.求證：AE=CF；

⑵將YABCD（紙片）沿直線防折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，點(diǎn)B落在點(diǎn)耳處，設(shè)FB&CD

于點(diǎn)G,4月分別交。于點(diǎn)H,M.

①求證：ME=FG；

②連接MG,求證：MG//EF.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)即可得證；

（2）①由（1）中結(jié)論ME=FG,結(jié)合折疊性質(zhì)，利用三角形全等的判定與性質(zhì)即可

得證；②過(guò)點(diǎn)G作GK〃EN,交EF于點(diǎn)、K,如圖所示，由等腰三角形的判定與性質(zhì)、

平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得證.

【詳解】（1）證明：?.?在Y/BCD中，AD//BC,AO=OC,

：.ZDAC=NBCA,

又：NAOE=NCOF,

在△/￡?￡和ACO廠中,

/DAC=/BCA

AO=OC

AAOE=ACOF

：.(ASA),

???AE=CF；

(2)解：①由(1)得4E=CF,

由折疊得/￡=4EN4=N4,ZAEF=/A#,ZBFE=ZB.FE,

ZAEF=ZEFC,

：./BFE=/DEF,

:?NDEF=NEFB、,ZA'EF=/B'FE,

：./A、ED=/CFG,

.?.△4EA&△。尸G,

：.EM=FG；

②過(guò)點(diǎn)G作GK〃瓦彳，交EF于點(diǎn)K,如圖所示：

???ZMEF=/GFE,

ZGFK=ZGKF,

：.GK=GF,

?:GF=ME,

：.GK=ME,

???四邊形￡KGW是平行四邊形,

???MG//EF.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性

質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形與三角形全等的

判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)3：三角形的中位線

例：如圖，矩形N3C。和矩形CE尸G,N3=1,8C=2,CE=4,點(diǎn)尸在邊GF上，且

PF=CQ,連結(jié)NC和尸。，點(diǎn)N是/C的中點(diǎn)，”是尸。的中點(diǎn)，則九W的長(zhǎng)為（）

BCQE

Aa<「歷17

A.3Bn.6C.------nD.

22

【答案】C

【分析】連接CF,交PQ于點(diǎn)K,利用全等三角形的判定與性質(zhì)，得到PK=QK,則

M,K兩點(diǎn)重合，CM=FM,連接/尸，延長(zhǎng)4D交E廠于點(diǎn)“，利用矩形的判定與性

質(zhì)可得四邊形CE/位和四邊形Z）〃FG為矩形，可求得線段/〃，切，利用勾股定理求得

AF,利用三角形的中位線定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：連接CF,交P。于點(diǎn)K,

?.?四邊形CE/G為矩形，

FG//CE,

ZFPQ=ZCQP,ZPFC=ZFCQ,

在APFK和AQCK中，

ZFPQ=ZCQF,PF=CQ,ZPFC=ZQCF,

/.△尸相絳QCK（ASA）,

FK=CK,PK=QK,

即點(diǎn)K為尸。的中點(diǎn)，

:點(diǎn)M為尸。的中點(diǎn)，

：.M,K兩點(diǎn)重合.

CM=FM.

連接N尸，延長(zhǎng)交E尸于點(diǎn)X,

矩形ABCD和矩形CEFG,

：./B=ZBAD=ZE=ZGDH=ZCDH=ZG=ZEFG=90°,

四邊形CEHD和四邊形DHFG為矩形，

/.AB=CD=HE=1,DH=CE=4,AD=BC=2,

.?.AH=AD+DH=2+4=6,FH=FE-HE=2-1=\,

?**AF=yjAH2+FH2=A/62+12=A/37.

,.?CM=FM,CN=AN,

???〃N為VC4廠的中位線,

?A八T1pA?5y

??MN=—A7fFz=------?

22

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理,

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

變式1：如圖，Y/BCD中，AB=3,BC=4,BE平分/4BC,交4D于點(diǎn)￡,C尸平

濟(jì)NBCD,交/。于點(diǎn)R交BE于點(diǎn)。，點(diǎn)G,//分別是。尸和0E的中點(diǎn)，則的

長(zhǎng)為.

【答案】1

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出48=CD=3,BC=AD=4,AD〃BC,結(jié)合

平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證乙48￡=乙4仍，NDCF=/DFC,得出

AB=AE=3,DC=DF=3,從而可求出EF=2,最后根據(jù)三角形中位線定理求解即

可.

【詳解】解：Y/BCD中，AB=3,BC=4,

：.AB=CD=3,BC=AD=4,ADBC,

：.ZAEB=ZCBE,ZDFC=NBCF.

平分//BC,CF平分NBCD,

：.NABE=ZCBE,NBCF=ZDCF,

：.NABE=ZAEB,NDCF=ZDFC,

：.AB=AE=3,DC=DF=3.

,：AE+DF^AD+EF,即3+3=4+EF

/.EF=2.

:點(diǎn)G,“分別是。尸和OE的中點(diǎn)，

是AOEF的中位線，

GH=-EF=l.

2

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的

判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí).證明出48=4E=3,DC=DF=3,并掌握三

角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

變式2：【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容.

如果在圖①中，取NC的中點(diǎn)尸，假設(shè)3尸與交于G',如圖②，那么我們同理有

G'DG'F1所以有華=寫j即兩圖中的點(diǎn)G與G,是重合的.

AD一BF-3

于是，我們有以下結(jié)論:

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的

長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的.

【結(jié)論應(yīng)用】

如圖③所示，在中，已知點(diǎn)。，E,尸分別是8C,AD,CE的中點(diǎn)，DE、3尸相

較于點(diǎn)。，且以加=12,則四邊形8c戶的面積值為

AA

【答案】教材呈現(xiàn)：見(jiàn)解析；結(jié)論概括：I；結(jié)論應(yīng)用：2

【分析】本題考查了相似三角形判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的

重心性質(zhì)：重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的;解答.

教材呈現(xiàn)：連接如圖①，先利用三角形中位線的性質(zhì)得到龐〃/C,DE=\AC,

則證明ADEGSANCG,利用相似三角形的性質(zhì)得黑=器=會(huì)4,然后利用比例的

CCrACrAC2

性質(zhì)得到結(jié)論;

結(jié)論概括：根據(jù)第=當(dāng)]_GD整=；,則嚕=平=即兩圖中的點(diǎn)G與

GEAD3~ADBF3ADAD3

G'是重合的，即可歸納出結(jié)論;

結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得LBD=S-c?=:LBC=6，S&BDE=：S"=3,

S/\CDE=5sAz4cz)=3,則$△BEC=S^BDE+S叢CDE=6,SXBEF=~￡^AEC=3,由題意知。為三角形

的重心，則。尸=；8尸，可得黑的=；S△詼=1,進(jìn)而根據(jù)四邊形O0CF的面積為

SMDE-SMOF，即可求解.

【詳解】解：教材呈現(xiàn)：連接。E,如圖①,

；D、E分別為BC、A4的中點(diǎn),

，DE1為的中位線,

/.DE//AC,DE=-AC,

2

小DEGs^ACG,

.EG_DGDE

，9~CG~^G~^C~2

EGGD_\

CG+EG~AG+GD~^2+\

即笠二必」

CEAD3

結(jié)論概括：由上可知，IfG'DG'F1GDG'Dj,即兩圖中的

則niI——二——

~ADBF3ADAD

點(diǎn)G與G，是重合的.

則三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線

的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的;,

故答案為：—

結(jié)論應(yīng)用：:ZNBC=12,。為8c的中點(diǎn),

**,SMBD=S“CD=3S“BC=6，

為的中點(diǎn),

,,SgDE=3SAABD=3,S/\CDE=^ACD=3,則S4EC=^ABDE+^ACDE=6,

為8C的中點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn),

:"即=。==3,。為三角形的重心,

則0尸=；B/，

,?S^EOF=]SABEF=1，

則四邊形ODCF的面積為S“DE—Sg°F=3—l=2,

故答案為：2.

特殊平行四邊形專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.概念理解：對(duì)于特殊平行四邊形的定義和性質(zhì)，學(xué)生可能會(huì)存在理解上的困難。例

如，對(duì)于矩形、菱形和正方形的定義和性質(zhì)，學(xué)生需要清楚地區(qū)分它們之間的不同和聯(lián)

系。

2.性質(zhì)應(yīng)用：在應(yīng)用特殊平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視一些重要的條件，導(dǎo)

致結(jié)論錯(cuò)誤。例如，在證明兩個(gè)四邊形是矩形時(shí)，學(xué)生需要證明其對(duì)角線相等且互相平

分，或者證明其所有角都是直角。

3.判定方法：在判定一個(gè)四邊形是否是特殊平行四邊形時(shí)，學(xué)生可能會(huì)混淆不同的判

定方法。例如，對(duì)于矩形，學(xué)生需要清楚其判定方法包括有一個(gè)角是直角的平行四邊形

是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形等。

4.圖形識(shí)別：在識(shí)別特殊平行四邊形時(shí)，學(xué)生可能會(huì)受到圖形的干擾，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。

例如，對(duì)于一個(gè)看起來(lái)接近正方形的四邊形，學(xué)生需要仔細(xì)判斷其是否滿足正方形的所

有條件，包括四個(gè)角都是直角、四條邊都相等等。

5.計(jì)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行特殊平行四邊形的計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致結(jié)果

錯(cuò)誤。例如，在計(jì)算特殊平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生需要正確應(yīng)用公式，并注意單位換

算等問(wèn)題。

三^^009

易錯(cuò)點(diǎn)1:矩形的折疊

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/（4,0）,5（4,2）,C（0,2）,將

沿直線0B折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,0D與BC交于點(diǎn)E,則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是（）

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出ZEOB=ZEBO,進(jìn)而可得出OE=BE,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（由2）,則0E=8E=4-m,CE=m,利用勾股定理即可求出俏值，再

根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)。作。FLC8軸于點(diǎn)R利用8。廢=）醋以）DE=^BEDF,

可以求出。產(chǎn)的長(zhǎng)，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【詳解】解：?“（44）,8（4,2）,C（0,2）,0（0,0）,

.??四邊形CM8C為矩形，

BC〃0A,

ZEB0=ZAOB.

ZEOB=ZAOB,

/.ZEOB=ZEBO,

/.0E=BE.

設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（m,2）,貝UOE=3E=4-"7,CE=m,

在RtaOCE中，0C=2,CE=m,0E=4-m,

（4-m）2=22+m2,

3

:.m=—

29

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(|，2；

:.OE=BE=4-m=-,

2

53

:.DE=OD-OE=OA-OE=4-,

22

\S.DEB='酉部。DE='醋SEDF,

3HB22

35

:.2x-=-DF

22f

,DF=-,

5

.\DF+(9C=-+2=—,

55

則點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為g.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、圖形的折疊、等腰三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)、圖形的折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

變式1：如圖，在長(zhǎng)方形/BCD中，AB=5,AD=6,點(diǎn)E為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把

△4BE沿BE折疊,若點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)/剛好落在邊/￡）的垂直平分線上，則ZE的長(zhǎng)

為

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得BN=3,再由折疊的性質(zhì)，得到A'B=5,

根據(jù)勾股定理可求得/'N=4,因此?M=l,設(shè)AE=AE'=x,在■中，由勾股

定理列方程并求解，即得答案.

【詳解】四邊形/BCD為矩形，

N4=NABC=90°

???MN是邊AD的垂直平分線，

MN_LAD,AM=BM=—48=3

2

四邊形為矩形，

BN=AM=3,MN=AB=5,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知=A'B=AB=5,

在RLA'BN中，A'N^A'B2-BN2=752-32=4，

A'M=5-4=1,

設(shè)/E=NE'=x,貝!]ME=3-x,

在Rtd'EM中，(3-x)2+12=x2,

解得T，

AE的長(zhǎng)為g.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，圖形折疊

的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題關(guān)鍵.

變式2：如圖，矩形48co中，AB=8,BC=\2,E,尸分別為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接E尸，將矩形沿E尸折疊，點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為“，G.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)G落在DC邊上時(shí)，連接3G.

①求會(huì)的值；

DKJ

②若點(diǎn)G為。。的中點(diǎn)，求C尸的長(zhǎng).

CF1

(2)如圖2,若E為/。的中點(diǎn)，——'=—,求sin/GBC的值.

BF2

【答案】⑴①②T

⑵洋

【分析】(1)①過(guò)點(diǎn)A作/M〃斯，交BC于點(diǎn)交8G于點(diǎn)N,證明四邊形4EFM

為平行四邊形，可得AM=EF,然后求出ABAM=ZCBG,證明^BAMsKBG,利

用相似三角形的性質(zhì)解答即可；

②設(shè)CF=x,貝1]8/=12-無(wú)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求出GF=12-無(wú)，再在RMG戶C中利用

勾股定理解答即可；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作尸K_LN。于點(diǎn)K,證明四邊形KECD為矩形，利用勾股定理求出EF,

可得sin/EFK=業(yè)，再利用直角三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)證明/G3C=/EFK即

17

可.

【詳解】(1)解：①過(guò)點(diǎn)A作/M〃防，交3c于點(diǎn)交BG于點(diǎn)、N,如圖，

四邊形48CD為矩形，

，AD//EF,

?-,AM//EF,

.I四邊形AE/W為平行四邊形,

AM=EF,

?.?將矩形沿E尸折疊，點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為H,G,

廠垂直平分5G,

AM上BG,

ZBAM+ZABG=90°.

\-ZABG+ZCBG=90°9

:./BAM=/CBG.

???/ABM=/BCG=9伊,

:ABAMsKBG,

.4》_48_8_2

,BG~BC~n~3'

.EF_2

??茄一§；

②設(shè)CF=x,則8尸=12—x.

,?,點(diǎn)8,G關(guān)于川對(duì)稱，

.?.所垂直平分BG,

:.BF=GF=n-x.

??,點(diǎn)G為。。的中點(diǎn)，

/.CG=-CD,

2

AB=CD=8,

/.CG=4.

在Rt^GFC中，

\-CF2+CG2=FG2,

.*.X2+42=(12-X)2,

解得：X=y.

.??C戶的長(zhǎng)為g;

(2)過(guò)點(diǎn)尸作尸K_LN。于點(diǎn)K,如圖,

為/。的中點(diǎn),

:.DE=-AD=6.

2

CF1

，^F~29

:.FC=-BC=4.

3

四邊形力BCD為矩形，

:.ZD=ZC=90°,

???FKLAD,

二?四邊形AFC。為矩形，

:.ZKFC=90°,DK=FC=4,FK=CD=8.

:.EK=DE-DK=2.

：.EF=NEK、FK2=2后.

FK2叵

...sinZEFK=——

EF2M—17

?//KFC=90。，

:.ZBFK=90°,

ZEFK+ZBFE=90°,

?：EFLBG,

ZBFE+ZGBC=90°,

/GBC=/EFK,

而

sinZGBC=sin/EFK=-—.

17

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三

角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)2：矩形的性質(zhì)與判定

例：如圖，在正方形中，E為對(duì)角線ZC上與4,C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作與點(diǎn)方，EG工BC于點(diǎn)、G,連接FG,若NAED=a,貝()

A.Q—90。B.180。-〃C.Q—45。D.2a—90。

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)GE交4。于點(diǎn)首先證明出四邊形qGE是矩形，得到廠G=B￡,

/FEG=90。，然后證明出尸E,是等腰直角三角形，得到4H=EH,然后證

明出Rt△尸￡G絲Rt△麗(HL),得至“NEFG=NHEQ,然后利用角度的等量代換求解即

可.

【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)GE交4。于點(diǎn)”,

???四邊形是正方形，力。是對(duì)角線

：.BE=DE,ZABC=90°

■:EF1AB,EG-LBC

???四邊形/BGE是矩形

:?FG=BE,ZFEG=90°

：.FG=DE,AB〃GH

：.EH±AD

???四邊形4BCD是正方形，/C是對(duì)角線

???NFAE=NHAE=45。

：./HEA=/FEA=45。

?**/\AFE,^AHE是等腰直角三角形

???AH=EH

ZFAH=ZAFE=ZAHE=90°

...四邊形AFEH是正方形

:.FE=HE

：.在RtAFEG和Rt^EHD中

{EF=HE

[FG=DE

：.Rt(HL)

ZEFG=ZHED

'：ZAED=ZAEH+ZHED=a

：.450+ZEFG=a

：.NEFG=a—45°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判

定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明出

Rt^FEG^Rt^EHD(HL).

變式1：如圖1是七巧板圖案，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“臺(tái)燈”造型(如圖2),過(guò)該造型的上

ARQ

下左側(cè)五點(diǎn)作矩形/3CD,使得。=三，點(diǎn)N為尸。的中點(diǎn)，并且在矩形內(nèi)右上角部分

留出正方形作為印章區(qū)域(EX〃/O,//G〃Cr>),形成一幅裝飾畫，則矩形

48co的周長(zhǎng)為_(kāi)cm.若點(diǎn)M,N,￡在同一直線上，且點(diǎn)〃到4D的距離與到的

【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，能由圖1求出各圖形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

臺(tái)燈”的造型及圖1,可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出矩形的周長(zhǎng)；延長(zhǎng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E并

與/。相交于點(diǎn)心連接可得出四邊形是平行四邊形，求出DZ長(zhǎng)即可解決

問(wèn)題.

【詳解】解：由圖1可知，

七巧板中的等腰直角三角形最大的直角邊長(zhǎng)為6,然后3亞，最小的直角邊長(zhǎng)為3,

正方形和平行四邊形的短邊長(zhǎng)都是3.

過(guò)點(diǎn)N作40和8C的垂線，垂足分別為J,K,則N/=3+3+3=9,

又；兒W=3亞，且ANMC是等腰直角三角形，

：.NK=3,故加=9+3=12.

文:ZA=/B=ABKJ=90°,

二四邊形是矩形，

AB=JK=12.

□AB3

又..夫=丁

BC=20,

故矩形ABCD的周長(zhǎng)為2x(12+20)=64.

延長(zhǎng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E與/。交于點(diǎn)3連接

???ZNMC=45°,且,

ZALM=45°.

又?.,點(diǎn)H到的距離與到C。的距離相等，

點(diǎn)〃在NADC的角平分線上，則ZADH=1x90°=45°.

2

AZADH=NALE,

LE//DH,

又?:LD//EH,

，四邊形￡瓦力是平行四邊形.

又；AJ=6+1.5=T.5,JL=JN=9,

4=7.5+9=16.5.

DZ=20-16.5=3.5.則E〃="=3.5,

???四邊形E/G〃是正方形，

印章區(qū)域的面積為=12.25cm2.

故答案為：64,12.25.

變式2：如圖1,在矩形4BCD中，BE是的角平分線，/E=3,點(diǎn)尸為對(duì)角線8D

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/尸，線段AP與線段BE相交于點(diǎn)足

圖1圖2

(1)當(dāng)AP_L8。時(shí)，求證：AABESAPBF；

⑵在(1)的基礎(chǔ)上，EF=^->BP=—.求/P的長(zhǎng)；

55

(3)如圖2,若/。=8,48=6,過(guò)點(diǎn)尸作尸尸，尸。與直線3C相交于點(diǎn)。，試判

斷點(diǎn)P在線段8。上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，笥的值是否發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)求出其變化

范圍；若無(wú)變化，請(qǐng)求出這個(gè)定值.

【答案】(1)見(jiàn)解析

/24

⑵彳

4

(3)不變，定值§

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)和角平分線的定義證得N