山東省某中學2024-2025學年高二年級上冊第二次考試（9月月考） 數(shù)學試題

山東省北鎮(zhèn)中學高69級第二次考試數(shù)學試題

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目

要求的.

I.若2=（2,3,2）,刃=（1,2,2）,c=（-1,2,2）,則@一3）七的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

22

2.已知命題p：方程上二+一」=1表示焦點在y軸上的橢圓，則加的取值范圍是（）

5-mm-1

A.3<m<5B.4<m<5C.1<m<5D.m>1

3.如圖，在空間四邊形。13C中，OA=a,OB=b,OC=c,點M在。/上，且=N

為8c的中點，則加等于（）

22-12-11一

B.-a+-b——cC.—uH—brH—CD.-a+-b--c

332322222

4.已知〃（4,2）是直線/被橢圓/+4/=36所截得的線段的中點，則直線/的方程為（）

A.2x+y—8—0B.x+2y—8—0C.x—2y—8=0D.2x—y—6=0

5.已知點N（2,-3）,5（-3,-2）,若過點（1,1）的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）

33

A.-CO,-—U[4,+8)B.(-co,-4]U*，+°°C.-i4D.

6.已知向量3=歷），（-3,2,0）,則2—B在G上的投影向量為)

323忖「333而(230

A.B.;25。C.~5~5~D.

2225'5’5’

7

V22

7.已知橢圓M：—+%=l（a〉b〉0）的左、右焦點分別為片,F2，點尸在M上，。為尸耳的中點,

a

且大。，尸巴，山。|=6,則M的離心率為（）

A.211D,正

B.-C.一

3322

8.已知圓C：X2+（J-3）2=4,過點（0,4）的直線/與x軸交于點尸，與圓C交于/,2兩點，則

麗?@+無）的取值范圍是（

A.[0,1]B.[0,1)c.[0,2]D.[0,2)

二、多選題：本題共3個小題,每小題6分，共18分.在每小給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知橢圓C：f+4/=16的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,P是C上的任意一點，貝|（）

A.C的離心率為工B.|尸國十|尸聞=8

2

C.|尸局的最大值為4+26D.使/公尸鳥為直角的點尸有4個

10.已知直線/：kx—y+左=0,圓C：X2+/-6X+5=0,尸（%,%）為圓C上任意一點，則下列說

法正確的是（）

9r

A.x；+.y：的最大值為5B.匹的最大值為22

X。5

C.直線/與圓C相切時，k=+—D.圓心C到直線/的距離最大為4

3

11.如圖所示，在直三棱柱48C-451cl中，底面N8C是等腰直角三角形，AB=BC=44=L點、D

為側棱85］上的動點，M為線段中點，則下則說法正確的是（）

A.存在點D,使得平面80〃

B.△NDG周長的最小值為1+行+百

C.三棱錐G-N8C的外接球的體積為型

12

D.平面ADC1與平面ABC的夾角正弦值的最小值為以

13

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分

12.直線3x+4y+2=0被圓J+j?—2%一3=0截得的弦長為.

,4

13.點尸是橢圓亍+/=1上一點，耳,鳥分別是橢圓的左、右焦點，若|巴訃|尸閭=§，則

的大小為

ZFXPF2

14.如圖，長方體48CD—451GA中，CC[=C[D]=6,Gg=l,點P為線段與。上一點，則

麗?印的最大值為

四、解答題：本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）如圖，在直四棱柱48CD—451G2中，底面四邊形N8CD為梯形，AD//BC,

AB=AD=2,BD=242,BC=4.

(1)證明：AXB}1AD1；

（2）若441=2，求點8到平面BCD1的距離.

16.已知圓C經(jīng)過點2（3,1）,8（-1,3）且圓心。在直線3%—了—2=0上.

（1）求圓C方程；

（2）若E點為圓C上任意一點，且點E（4,0）,求線段斯的中點M的軌跡方程.

17.已知橢圓C：｝=l（a〉b〉O）的一個焦點為尸（1,0）,且離心率為萬.

（1）求C的方程；

（2）過產(chǎn)作直線/與。交于M,N兩點，。為坐標原點，若S/A\O\yiMvnvN=7X，求/的方程?

18.在Rt/XZBC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是NC,N2上的點，滿足

OE〃8C且DE經(jīng)過△NBC的重心，將三角形NDE沿DE折起到△耳￡)￡的位置，使Z。，CD,M

是4。的中點，如圖所示.

(1)求證：4。，平面8。?！?；

(2)求CM與平面45E所成角的大??；

(3)在線段4c上是否存在點N,使平面與平面8MN成角余弦值為立？若存在，求出CN的長

14

度；若不存在，請說明理由.

22]

19.已知橢圓C：++%=1(。〉6〉0)的離心率為5,右頂點0與C的上，下頂點所圍成的三角形面

積為2省.

(1)求C的方程.

(2)不過點。的動直線/與C交于/,3兩點，直線Q4與03的斜率之積恒為工.

4

(i)證明：直線/過定點；

(ii)求△Q4B面積的最大值.

山東省北鎮(zhèn)中學高69級第二次考試數(shù)學試題參考答案

題號12345678910

答案CACBBBCDBCDBC

題號11

答案ACD

12.2G13.60°14.3

15.【詳解】(1)因為48=40=2,BD=242,

所以4^+402=8=5。2,所以48,4D,因為48CQ—45cl'為直四棱往,

所以因為4幺0力。=幺，AXA,2。匚平面幺。24，

所以Z51.平面ZD。/],因為4片〃，所以4A,平面NDD/i，

因為gu平面幺￡>24,所以AXBX±AD,.

（2）由（1）及題意知，AB,AD,2/兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系

因為48=/。=2,BD=272,5C=4.

所以2（0,0,0）,8（2,0,0）,耳（2,0,〃），C（2,4,0）,R（0,2,〃），D（0,2,0）

所以加=（2,0,0）,西=（0,—4,〃），西=（一2,—2,〃），前=（0,4,0）,麗=（—2,2,0）,

\BC-n\Q

解得，n=（2,2,4）所以點B到平面5cA的距離為d===」.

\n\2,63

'（3-4+（j）2=/

16.【詳解】（1）由題可設圓C的標準方程為（x—ay+（y—6）2=/,貝i]Qi—口丫十^一6丫=/

3?！猙—2—Q

解之得a=2,6=4,產(chǎn)=10,所以圓c的標準方程為（x—2）+3—4）2=10；

x+4

x=----

（2）設河（xj）,￡（項,必），由E（4,0）及〃為線段E尸的中點得2,

y=2i±2

r2

Xi—2x—4/、2/、2

解得2y，又點E在圓C（X—2）+3—4）=10上，

所以有（2x—4—2y+（2y—4）2=10,化簡得：（％—3y+（y—2）2=g,

故所求的軌跡方程為（x-3）2+（J-2）2=1.

「1

17.【詳解】（1）由已知得。=1,離心率e=—二—,得。=2,b2=a2-c2=3,

a2

22

則C的方程為土+工=1.

43

（2）由題可知，若△OMN面積存在，則斜率不為0,

y/

所以設直線/的方程為x=叩+1,加顯然存在，N(x2,y2).

土+匕=1

聯(lián)立《43-'消去x得@機2+4）西+6叩—9=0,

X=叩+1,

6m9

因為直線/過點R所以△>（）顯然成立，且%+%=——*二，乂%=——7—,

1233m2+4-23m2+4

因為S/XOMN=||^|-|ji-j2|=1'+g）2_4了必=當,

J，/CII/

化簡得18機4—機2—17=0解得機2=1或加2=——17（含）

18

所以直線I的方程為x+y-1=0^x-y-l=0.

18.【詳解】(1)因為在RtZXZBC中，ZC=90°,DE//BC,且3CLC。，

所以。￡LCD,DELAD,則折疊后，DE1A.D,

又4。口。。=。，4。，CDu平面4。,

所以。EJ,平面4co,4Cu平面4co,所以。

又已知4C_LCD,。口?！?。且都在面8。?！陜?nèi)，所以4。，平面8cDE；

(2)由(1),以CD為x軸，C8為y軸，C4為z軸，建立空間直角坐標系C-乎

2

因為/Z）=2C￡>,故DE=—BC=2,

3

由幾何關系可知，CD=2,4。=4,AXC=273,

故C（0,0,0）,0（2,0,0）,￡（2,2,0）,5（0,3,0）,4@，0,26），河1,0,6）,

01=（1,0,73）,港=0,3,-26），石=9,2,-26），

3v-2y[3z=0,

設平面4臺￡的法向量為為=(x,y,z),則＜心藝，隊

n-AXE-0,2x+2y-2G2=0,

不妨令歹=2,則2=J§\x=l,n=0,2,G)

設CM與平面A】BE所成角的大小為6,

\cosCM,n\=^P--4rV2

則有sin。二

11\CM\^n\2x2行2

JT

設。為CM與平面45E所成角，故。=乙,

14

IT

即CM與平面ABE所成角的大小為一.

X14

(3)假設在線段4。上存在點N,使平面與平面8MN成角余弦值為立

14

在空間直角坐標系中，BM=3,G),CM=^,0,V3),CA,=伙0,26),

設函=4直，則國=9,0,26/1),BN=BC+CN=(O,-3,0)+^),0,2732)=-3,2732),

--?---?

n,-BM=0x2-3y之+V3Z2=0

設平面的法向最為元=(%,%,Z2),則有＜2—，即

%,BN=0—3_y2+九z,—0

不妨令Z2=JL則％=24,x2=62-3,所以n=?4—3,24G),

.—??

n~.-BM=0x3-3y3+V3Z3=0

設平面CBM的法向量為〃3=(x3,j3,z3),則有＜2—..即《

x+V3Z=0

?3-CM=O33

所以^

不妨令z3=A/3,則與=-3,%=0,=63,0,6),

/7

若平面C8M與平面8九W成角余弦值為J.

4

|9-182+3|V3

則滿足COS%,〃3=I—...—.1—------------1----

網(wǎng)同273x^9(22-I)2+422+34

化簡得2儲—32+1=0,解得2=1或工，即函=/或函=4方，

2121

故在線段4c上存在這樣的點M使平面C期與平面出N成角余弦值為彳’止匕時CN的長為由或

2vL

22]]

19.【詳解】（1）令橢圓C：0+q=1的半焦距為c,由離心率為―，得反=—,解得a=2c,

a2b22al

b=y/a*2*—c~=，

由三角形面積為2百，得ab=2道，則c=l,a=2,b=6，

所以C的方程是工+匕=1.

43

（2）（i）由（1）知，點0（2,0）,設直線/的方程為x=少+〃，設4（須,必），5（x2,j2）,

[x=my+n（、、、、

由《消去x得：（3加2+4）y2+6加即+3/-12=0,

3x+4y=12、/

皿6mn3n2-12

則%+為―2＞，%%12;，

3m+43m+4

直線QA與QB的斜率分別為k0A=,k0B=

X,-2x2-2

"2

于是左02,左Q5