立體幾何中的結構不良問題-高考數(shù)學題型歸納與方法總結（原卷版）

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(新高考通用)

素養(yǎng)拓展29立體幾何中的結構不良問題(精講+精練)

一、知識點梳理

一、空間向量與立體幾何的求解公式

(1)異面直線成角：設方分別是兩異面直線/1,/2的方向向量，則與/2所成的角6滿足：850=嬲；

⑵線面成角：設直線/的方向向量為a,平面a的法向量為“，a與"的夾角為從

則直線I與平面?所成的角為0滿足：sin。=|3川=韶.

(3)二面角：設"1,“2分別是二面角的兩個半平面a,￡的法向量，

則兩面的成角。滿足：cos6(=cos<rai,n2>=方向；

注意：二面角的平面角大小是向量"1與"2的夾角或是向量為與"2的夾角的補角，具體情況要判斷確定.

(4)點到平面的距離：如右圖所示，已知A3為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量，E

則點8到平面a的距離為：|的=?；?，即向量劭在法向量”的方向上的投影長./?

二'幾種常見角的取值范圍

__JT__TT

①異面直線成角e(0,N；②二面角q0,兀]；③線面角e[0,引；④向量夾角G[0,兀]

三、平行構造的常用方法

①三角形中位線法；②平行四邊形線法；③比例線段法.

四、垂直構造的常用方法

①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量證明空間中的平行關系

⑴線線平行：設直線h和h的方向向量分別為V1和V2,則(〃/2(或/1與L重合)〃也.

(2)線面平行：設直線/的方向向量為匕平面a的法向量為〃，則/〃a或/uae_L".

(3)面面平行:設平面a和夕的法向量分別為"1,u2,貝Ua〃伙=io〃"2.

六、用向量證明空間中的垂直關系

(1)線線垂直：設直線/1和/2的方向向量分別為燈和也，則/」/2令01"2=0.

(2)線面垂直：設直線/的方向向量為v,平面a的法向量為"，則

(3)面面垂直：設平面a和/的法向量分別為此和如貝Ija_LAuwi_L“2Uwr"2=0.

七、點面距常用方法

①作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；②等體積法；③向量法

二、題型精講精練

[典例1]（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-中，側(cè)面BCC內(nèi)為正方形,平面BCC國1

平面A2用A，AB=BC=2,M,N分別為4瓦，AC的中點.

4/彳

c

⑴求證：MN〃平面BCC4；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A3與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）取43的中點為K,連接"K,腿，可證平面MKN〃平面3CG耳，從而可證MN〃平面BCC4.

（2）選①②均可證明8月，平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量可求線面角

的正弦值.

【詳解】（1）取的中點為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-AeG可得四邊形ABB.A,為平行四邊形，

而B]M=MA1,BK=K4,則MK〃區(qū)81，

而MK<z平面BCClBl,BB[u平面BCCiBl,故MKII平面BCCtBt,

而CN=NA,BK=KA,則隧//3C,同理可得M7/平面BCQ用，

而NK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCG4,而MNu平面MKN,故〃平面BCC4,

（2）因為側(cè)面BCG片為正方形，故用，

而CBu平面BCG4，平面CBBg±平面ABB.Aj,

平面CBBlCln平面ABB^=BBt,故CB_L平面AB4A,

因為NK//BC,故A?_L平面，

因為Afiu平面AB4A，故NKLAB,

若選①，則ABLMN,而NKLAB,NK^\MN=N,

故AB工平面MAK,而必Tu平面MAK,故AB_LA/K,

所以片，而CB,BB],CBcAB=B,故B片，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故麗=（0,2,0）,前=（1,1,0）,麗=（0,1,2）,

設平面的法向量為五=（x,y,z）,

加麗=0_f元+y=0.-/、

從而jv+2z_0，取z=—1,貝！]鞏=(―2,2,—1),

n-BM=0

設直線A3與平面3NM所成的角為。，則

若選②，因為NK//BC,故雁，平面4即4，而平面MKN,

故NKLKM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B[B=MK=2,MB—MN,故ABB、MHAMKN,

所以NBB[M=4MKN=90°,故4園1BBt,

而C2_LBB|,CBoAB^B,故臺與，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則3（0,0,0）,4（0,2,0）,N。,1,0）,M（0,1,2）,

故麗=（0,2,0）,麗=（1,1,0）,西=（0,1,2）,

設平面BNM的法向量為n=（x,%z）,

n-BN=0\x+y=0一/、

從而1+；z=0'取z=—1，貝U〃=(—2,2,—1),

n-BM=0

設直線A5與平面BNM所成的角為。，則

42

2^33

z

【題型訓練-刷模擬】

一、解答題

1.（2023?北京海淀??？既＃┤鐖D，在四棱錐尸-A6CD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD為

JT

等腰直角三角形，且=點尸為棱PC上的點，平面AZ）尸與棱尸8交于點

⑴求證：EF/IAD-,

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為己知，求平面尸。與平面ADEE所成銳二面角的

大小.

條件①：AE=四;

條件②：平面R4D_L平面A3CD；

條件③：PB1FD.

2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在長方體ABCD-AgCR中，AB=AD=^AAI=1,E為。2的中點.

⑴證明：平面平面EACi；

(2)若點p在AEAC內(nèi)，且R尸〃BE,從下面三個結論中選一個求解.

①求直線所與平面EAG所成角的正弦值；

②求平面E4B與平面K4B所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-AQ的余弦值.

注：若選擇多個結論分別解答，按第一個解答計分.

3.(2023?北京?統(tǒng)考模擬預測)如圖，在三棱柱ABC-4月G中，相，平面ABC,AB=AC=AAi=l,M

為線段AC上一點，平面3cM交棱4月于點尸.

⑴求證：FM//BC;

TT

(2)若直線A片與平面3cM所成角為:，再從條件①和條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求點A到平

面BCM的距離.

條件①：AB1AC-,

條件②：BC=V2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

4.(2023?北京海淀?校考三模)在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，AC^BD^O,^.PO1

平面ABC。，PO=2,尸,G分別是的中點，E是以上一點，且AP=3AE.

(1)求證：30〃平面跖G；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面跖G所成角的正弦值.

條件①：BD=20

條件②：ZDAB=^-.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答記分.

5.(2023?全國?高三專題練習)如圖在幾何體ABCDEE中，底面ABCD為菱形，

ZABC=60°,AE//DF,AE±AD,AB=AE=2DF=2.

(D判斷AD是否平行于平面CEF,并證明；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，求：

(i)平面ABCD與平面CEF所成角的大小；

(ii)求點A到平面CEF的距離.

條件①：面面ABCD

條件②：BD1CE

條件③：EF=CF

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

6.(2023.北京.?？寄M預測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABJ.BC,AD//BC,底面ABC。，M

為棱PC上的點，PB=AB=BC=2,AD=\.

p

(1)若DM//平面R40,求證：點M為尸C的中點；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面C3D與平面3ZW夾角的余弦值.

條件①：FA//平面

條件②：直線■與夾角的余弦值為g

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

7.(2023?全國?高三專題練習)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZABC=6ff,四邊形叢。。為矩

形，PA=1,從下列三個條件中任選一個作為己知條件，并解答問題(如果選擇多個條件分別解答，按第一

個解答計分).

①班上與平面A3CD所成角相等；②三棱錐尸一體積為且；③cos/8PA=@

35

(1)平面PACQ，平面ABCD；

(2)求二面角3-P。-D的大??；

⑶求點C到平面臺尸。的距離.

8.(2023?全國?高三專題練習)如圖在三棱柱ABC-A4G中，。為AC的中點，AB=BC=2,

NAABi=NB[BC.

（2）若且滿足：,（待施條件）.

從下面給出的①②③中選擇兩個填入待造第件，求二面角B-B.D-G的正弦值.

①三棱柱ABC-的體積為3相；

②直線A片與平面BCCR所成的角的正弦值為我；

13

③二面角-C的大小為60°；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

9.（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考模擬預測）如圖所示的五邊形S&LDC中ABCD是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿BC

⑴在四棱錐S-MCD中，可以滿足條件①&4=#；②cosNSBM=嶼;?sinZSAM=—,請從中任選

53

兩個作為補充條件，證明：側(cè)面SBC,底面ABC。；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計

分.）

（2）在（1）的條件下求直線SC與平面&W所成角的正弦值.

10.（2023?全國?高三專題練習）在AABC中，ZACB=45°,BC=3,過點A作AD13C,交線段BC于點。

（如圖1）,沿AD將△ABD折起，使ZBOC=90。（如圖2）,點分別為棱3C,AC的中點.

圖1

⑴求證：CDLME；

4__.?__?1__.

（2）在①圖1中tan2B=-],②圖1中蒞=]通+3才至，③圖2中三棱錐的體積最大.

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，再解答問題.

問題：已知,試在棱CD上確定一點N,使得并求平面與平面CBN的夾角的余

弦值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

11.（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考模擬預測）如圖所示的五邊形甌M）C中ABC。是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿

8C折疊成四棱錐S-MCD,點M是的中點，SM=2.

⑴在四棱錐S-MCD中，可以滿足條件①&4=灰；②cos/SBM=昱;③sin/S4W=逅，請從中任選

53

兩個作為補充條件，證明：側(cè)面SBC,底面A5cD；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計

分.）

⑵在（1）的條件下求點M到平面SAD的距離.

12.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在四棱錐A-3CDE中，側(cè)棱2平面BCDE,底面四邊形BCDE是

矩形，AB=BE=4,點、P、M分別為棱A￡、AC的中點，點廠在棱8E上.

(D若B會F=:1，求證：直線四〃平面PCF；

(2)若3c=2,從下面①②兩個條件中選取一個作為已知，證明另外一個成立.

①平面ADE與平面ABC的交線為直線/,I與直線CF成角的余弦值為平；

②二面角P—CF—E的余弦值為9.

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注：若選擇不同的組合分別作答，則按第一個解答計分.

13.(2023?江蘇鹽城?鹽城中學?？寄M預測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是矩形，尸。,底

?ABCD,且PD=AD=2,E是PC的中點，平面A8E與線段尸。交于點E

(1)證明：F為的中點；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求直線8E與平面外。所成角的正弦值.

條件①：三角形BC尸的面積為加；

條件②：三棱錐P-3CF的體積為1.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

14.（2023?北京?高三專題練習）如圖，已知直三棱柱