蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)【十大題型】

專題2.6直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)【十大題型】

【蘇科版】

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關(guān)系】..............................................2

【題型2已知直線與圓的位置關(guān)系確定取值范圍】................................................2

【題型3根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定交點個數(shù)】................................................3

【題型4利用直線與圓的位置關(guān)系求最值】......................................................3

【題型5定義法判斷切線】.....................................................................5

【題型6切線的判定（連半徑證垂直）】.........................................................5

【題型7切線的判定（作垂直證半徑）】.........................................................6

【題型8利用切線的性質(zhì)求線段長度】...........................................................8

【題型9利用切線的性質(zhì)求角度】..............................................................8

【題型10利用切線的判定與性質(zhì)的綜合運用】....................................................9

【知識點1直線與圓的位置關(guān)系】

設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d

則有：

相交：直線和圓有兩

個公共點直線/和OO相交odv廠

直

線

與

圓

的

相切：直線和圓只有

位

置一個公共點直線/和相切od=r

關(guān)!

系

相離：直線和圓沒有

公共點直線/和。。相離od>r

?___

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關(guān)系】

【例1】（2022春?金山區(qū)校級月考）已知同一平面內(nèi)有和點A與點8,如果。。的半徑為6c7九，線段

OA=lQcm,線段OB=6C7W,那么直線45與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【變式1-1］（2022秋?韶關(guān)期末）已知。。的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,那么直線/與O。

的位置關(guān)系是（）

A.直線/與。。相交B,直線/與。。相切

C.直線/與相離D.無法確定

【變式1-2］（2022秋?川匯區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，原點為。，點P在函數(shù)y=—i的圖象上，

以點P為圓心，以。尸為半徑的圓與直線＞=-2的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切

C.相交D.三種情況均有可能

【變式1-3］（2022秋?自貢期末）如圖，。。的半徑為5,圓心。到一條直線的距離為2,則這條直線

A.hB.hC./3D.U

【題型2已知直線與圓的位置關(guān)系確定取值范圍】

【例2】（2022秋?北侖區(qū)期末）O。的半徑為5,若直線/與該圓相交，則圓心。到直線/的距離可能是

（）

A.3B.5C.6D.10

【變式2-1］（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知中，NC=90°,AC=3,BC=4,如果以點C

為圓心的圓與斜邊AB有公共點，那么OC的半徑廠的取值范圍是（）

1212

A.OWr/B.y<r^3C.YWrW4D.3W/<4

【變式2-2]（2022秋?叢臺區(qū)校級期中）已知矩形ABC。中，AB=4,BC=3,以點B為圓心r為半徑作

圓，且OB與邊C。有唯一公共點，則r的取值范圍為（）

A.3WrW4B.3Wr<5C.3Wr<4D.3WrW5

【變式2-3]（2022秋?叢臺區(qū)校級期中）以坐標(biāo)原點。為圓心，作半徑為4的圓，若直線y=-尤+b與。。

相交，則b的取值范圍是（）

A.0</?<2V2B.-4V2<fe^4V2C.-2y[2<b<2-j2D.-4V2<b<4>/2

【題型3根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定交點個數(shù)】

【例3】（2022秋?武漢期末）己知。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與O。的公

共點的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【變式3-1]（2022秋?武漢期末）直角△ABC,ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以A為圓心，4.8長度為

半徑的圓與直線8c的公共點的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.不能確定

【變式3-2]（2022?武漢模擬）一個圓的半徑是5cd如果圓心到直線距離是4tto,那么這條直線和這個圓

的公共點的個數(shù)是（）個.

A.0B.1C.2D.0或1或2

【變式3-3]（2022秋?沐陽縣期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以點C為圓心，r

為半徑畫圓.

（1）當(dāng)廠=時，OC與邊相切；

（2）當(dāng)「滿足時，OC與邊48只有一個交點；

（3）隨著r的變化，OC與邊48的交點個數(shù)還有哪些變化？寫出相應(yīng)的r的值或取值范圍.

AR

【題型4利用直線與圓的位置關(guān)系求最值】

【例4】（2022秋?常熟市期中）如圖，直線y=,x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點，點尸是以C（1,0）

為圓心，1為半徑的圓上任意一點，連接/H,PB,則面積的最小值是（)

A.5B.10C.15D.20

【變式4-1］（2022秋?涼山州期末）點A是半徑為2的。。上一動點，點。到直線MN的距離為3.點P

是上一個動點.在運動過程中若/尸。4=90°,則線段B4的最小值是.

【變式4-2］（2022?樂亭縣一模）如圖，的半徑是5,點A在。。上.P是。。所在平面內(nèi)一點，且

AP=2,過點尸作直線/,使

（I）點。到直線/距離的最大值為一；

（2）若M,N是直線/與的公共點，則當(dāng)線段MN的長度最大時，。尸的長為.

【變式4-3］（2022?廣漢市模擬）在Rt^ABC中，NC=90°,AC=10,BC=12,點。為線段BC上一動

點.以CQ為。。直徑，作AQ交。。于點E,連BE,則BE的最小值為（）

【知識點2切線的判定】

（1）切線判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）

③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線

（2）切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

【題型5定義法判斷切線】

【例5】（2022?淮安模擬）下列直線中，一定是圓的切線的是（）

A.過半徑外端的直線

B.與圓心的距離等于該圓半徑的直線

C.垂直于圓的半徑的直線

D.與圓有公共點的直線

【變式5-1]（2022秋?嘉定區(qū)期末）下列四個選項中的表述，正確的是（）

A.經(jīng)過半徑上一點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

B.經(jīng)過半徑的端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

C.經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

D.經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線

【變式5-2]（2022秋?東臺市校級月考）下列命題：（1）垂直于半徑的直線是圓的切線.（2）與圓只有

一個公共點的直線是圓的切線.（3）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.（4）和三角形三邊所在

直線都相切的圓有且只有一個.其中不正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.1個

【變式5-3]（2022秋?慈溪市期末）己知O。的半徑為5,直線所經(jīng)過。。上一點尸（點￡,尸在點P的

兩旁），下列條件能判定直線所與O。相切的是（）

A.0尸=5B.OE=OF

C.。到直線所的距離是4D.OP±EF

【題型6切線的判定（連半徑證垂直）】

[例6]（2022?順德區(qū)一模）如圖，A,B,C,。是O。上的四個點，/ADB=NBDC=60°,過點A作

交CD延長線于點E.

（1）求NA8C的大小;

（2）證明：AE是。。的切線.

【變式6-1］（2022?昭平縣一模）如圖，AB是。。的弦，交。。于C,OC=2,ZABC=30°.

（1）求AB的長;

尸8是。。的切線.

【變式6-2］（2022春?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,平分/BAC交于點。,

。為48上一點，經(jīng)過點A,。的圓。分別交AS,AC于點E,F,連接EE

【變式6-3］（2022秋?武夷山市期末）如圖，點P是。。的直徑4B延長線上的一點,點、E是

線段OP的中點.在直徑上方的圓上作一點C,使得EC=EP

求證：PC是O。的切線.

【題型7切線的判定（作垂直證半徑）】

【例7】（2022?武漢模擬）如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,/BAC的平分線交8c于點。，E為AB上

的一點，DE=DC,以。為圓心，長為半徑作O。，AB=5,EB=3.

（1）求證：AC是的切線;

(2)求線段AC的長.

【變式7-1](2022秋?濱?？h期末)如圖，以點。為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是()

O

A.以。4為半徑的圓B.以08為半徑的圓

C.以O(shè)C為半徑的圓D.以。。為半徑的圓

【變式7-2](2022?椒江區(qū)一模)如圖，△A2C為等腰三角形，。是底邊8C的中點，腰A3與OO相切于

點。.求證：AC是。。的切線.

【變式7-3](2022秋?丹江口市期中)如圖，。為正方形ABCD對角線上一點，以點。為圓心，OA長為

半徑的O。與BC相切于點E.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若正方形ABC。的邊長為10,求。。的半徑.

【知識點3切線的性質(zhì)】

(1)切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑

(2)切線性質(zhì)的推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

②經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

【題型8利用切線的性質(zhì)求線段長度】

【例8】（2022?新平縣模擬）如圖，已知A2是。。的直徑，是。。的切線，點C是切點，弦CfUAB

于點E,連接AC.

（1）求證：AC平分/DCF；

（2）若AD_LCD,BE=2,CP=8,求的長.

【變式8-1］（2022?瀘縣一模）如圖，AB是。。的切線，A為切點，AC是O。的弦，過。作OHLAC于

點、H.若OH=3,AB=12,BO=13,求：。。的半徑和AC的長.

【變式8-2］（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，AB,是O。的切線，B、。為切點，AB=2,C￡>=4,AC=10.若

ZA+ZC=90°,則。。的半徑是.

【變式8-3X2022?新?lián)釁^(qū)校級三模）如圖，△AC￡）內(nèi)接于OO,A8是。。的切線，/C=45°,ZB=30°.AD

C.2V3D.2V6

【題型9利用切線的性質(zhì)求角度】

【例91（2022?紅橋區(qū)三模）已知B4、尸2是。。的切線，A、2為切點，連接A。并延長，交PB的延長

線于點C,連接P。，交。。于點。.

圖①圖②

（/）如圖①，若NAOP=65°,求NC的大??；

（〃）如圖②，連接2D若B￡）〃AC,求NC的大小.

【變式9-1］（2022秋?香洲區(qū)期末）如圖，抬、P8是。。的兩條切線，A、8是切點，AC是。。的直徑,

NBAC=35°,求/尸的度數(shù).

【變式9-2］（2022?老河口市模擬）PA,是。。的切線，A,8是切點，點C是。。上不與A,8重合

的一點，若/APB=70°,則NACB的度數(shù)為.

【變式9-3］（2022?曲阜市二模）已知8C是。。的直徑，AO是。。的切線，切點為A,交C8的延長

線于點。，連接AB,AO.

（I）如圖①，求證：ZOAC^ZDAB；

（II）如圖②，AD=AC,若E是。。上一點，求/E的大小.

【題型10利用切線的判定與性質(zhì)的綜合運用】

【例10】（2022?五華區(qū)三模）如圖，在△ABC中，點。是AC邊上一點，且AO=A8,以線段A8為直徑

作O。，分別交3。，AC于點E,點F,/BAC=2/CBD.

（1）求證：8C是。。的切線；

（2）若CD=2,BC=4,求點8到AC的距離.

【變式10-1】（2022?邵陽模擬）如圖，AC是。。的直徑，與。。相交于點8,ZDAB=ZACB.

（1）求證：A。是O。的切線.

（2）若/ADB=30°,DB=2,求直徑AC的長度.

c

【變式10-2】(2022?衡陽)如圖，為。。的直徑，過圓上一點。作。。的切線C。交瓦1的延長線于點

C,過點。作OE//AD交CD于點E,連接BE.

(1)直線BE與。。相切嗎？并說明理由；

(2)若CA=2,CD=4,求QE的長.

【變式10-3】(2022?盤錦模擬)如圖，△ABC內(nèi)接于ZABC=45°,連接A。并延長交。。于點。,

連接BD,過點C作CE〃A。與BA的延長線交于點E.

(1)求證：CE與。O相切；

(2)若AZ)=4,Z￡)=60°,求線段AB,8C的長.

專題2.6直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)【十大

題型】

【蘇科版】

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關(guān)系】.............................................2

【題型2已知直線與圓的位置關(guān)系確定取值范圍】...............................................2

【題型3根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定交點個數(shù)】...............................................3

【題型4利用直線與圓的位置關(guān)系求最值】......................................................3

【題型5定義法判斷切線】.....................................................................5

【題型6切線的判定（連半徑證垂直）】........................................................5

【題型7切線的判定（作垂直證半徑）】........................................................6

【題型8利用切線的性質(zhì)求線段長度】...........................................................8

【題型9利用切線的性質(zhì)求角度】...............................................................8

【題型10利用切線的判定與性質(zhì)的綜合運用】....................................................9

。如聲，，二

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關(guān)系】

【例1】（2022春?金山區(qū)校級月考）已知同一平面內(nèi)有。。和點A與點8,如果。。的半

徑為6cm,線段。1=10。相，線段OB=6c根，那么直線48與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷.

【解答】解：的半徑為6cm,線段。4=10c%,線段O3=6cm,

即點A到圓心。的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，

.,.點A在O。外.點2在。。上，

直線AB與。。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

【變式1-1］（2022秋?韶關(guān)期末）已知O。的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,那

么直線/與O。的位置關(guān)系是（）

A.直線/與。。相交B.直線/與。。相切

C.直線/與。。相離D.無法確定

【分析】根據(jù)“若d<r,則直線與圓相交；若1=廠，則直線于圓相切；若d>r,則直線

與圓相離”即可得到結(jié)論.

【解答】解：：。。的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,3<5,

.?.直線/與O。相離.

故選：C.

【變式1-2］（2022秋?川匯區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，原點為O,點尸在函數(shù)y-1x2-l

的圖象上，以點尸為圓心，以。尸為半徑的圓與直線y=-2的位置關(guān)系是（）

A.相昌B.相切

C.相交D.三種情況均有可能

【分析】設(shè)P（31-1），利用兩點間的距離公式計算出。尸=1+1，再計算出尸點

1

到直線y=-2的距離為/2+1,然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法可得到圓與直線

4

y=-2相切.

【解答】解：設(shè)P。，1）,

4

,。尸=Jt2+（lt2_1）2=醇2+1）2=1^1,

:拋物線的頂點坐標(biāo)為（0,-1）,

.?.尸點在直線>=-2的上方，

：.P點到直線y=-2的距離為［f2-1-（-2）=1?+1,

二尸點到直線丫=-2的距離等于圓的半徑，

以點P為圓心，以。尸為半徑的圓與直線>=-2的位置關(guān)系是相切.

故選：B.

【變式1-3］（2022秋?自貢期末）如圖，。。的半徑為5,圓心。到一條直線的距離為

A.hB.；2C.hD.U

【分析】利用直線與圓的位置的判定方法進行判斷.

【解答】解：?.?直線/1與O。相切，

圓心O到一條直線/1的距離為5,

?.?直線/2與O。相離，

圓心O到一條直線12的距離大于5,

?.?直線/3與〃與0O相交，

圓心O到一條直線h和直線U的距離都小于5,

而圓心O到直線h的距離較小，

圓心O到一條直線的距離為2,這條直線可能是直線h.

故選：C.

【題型2已知直線與圓的位置關(guān)系確定取值范圍】

【例2】（2022秋?北侖區(qū)期末）的半徑為5,若直線/與該圓相交，則圓心。到直線/

的距離可能是（）

A.3B.5C.6D.10

【分析】根據(jù)直線/和O。相交即可判斷.

【解答】解：的半徑為5,直線/與。。相交，

圓心D到直線I的距離d的取值范圍是0Wd<5,

故選：A.

【變式2-1］（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC

=4,如果以點C為圓心的圓與斜邊AB有公共點，那么OC的半徑r的取值范圍是（）

1212

B.—<r^3C.—<r^4D.3WrW4

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時有一交點，再結(jié)合圖形得出另一種有一個

交點的情況，即可得出答案.

【解答】解：過點C作于點D,

'：AC=3,BC=4.如果以點C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點,

當(dāng)直線與圓相切時，d=r,圓與斜邊A8只有一個公共點，圓與斜邊A8只有一個公共點,

:.CDXAB=ACXBC,

12

：.CD=r=^f

當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有交點,

12

<r^4.

故選：C.

【變式2-2]（2022秋?叢臺區(qū)校級期中）已知矩形ABC。中，AB=4,BC=3,以點B為

圓心r為半徑作圓，且08與邊有唯一公共點，則r的取值范圍為（）

A.3WW4B.3WY5C.3WY4D.3WY5

【分析】由于BD>AB>BC,根據(jù)點與圓的位置關(guān)系得到3Wr<5.

【解答】解：：矩形ABCD中，AB=4,BC=3,

:.BD=AC=7AB2+BC2=5,AO=BC=3,CD=AB=4,

:以點B為圓心作圓，08與邊CO有唯一公共點，

，02的半徑，的取值范圍是：3WrW5；

故選：D.

【變式2-3]（2022秋?叢臺區(qū)校級期中）以坐標(biāo)原點。為圓心，作半徑為4的圓，若直線

y=-x+6與。。相交，則6的取值范圍是（）

A.0W6<2&B.-4V2<b^442C.-2V2<b<242D.-4V2<b<4>/2

【分析】求出直線y=-x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，和當(dāng)直線y=-x+6

與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限時b的值，則相交時6的值在相切時的兩個b的

值之間.

【解答】解：當(dāng)直線y=-x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限時，如圖.

在>=7+》中，令尤=0時，y=b,則與y軸的交點是2（0,b）,

當(dāng)y=0時，x=b,則與y軸的交點是A（6,0）,

貝|」。4=。8=6,即△048是等腰直角三角形，

在RtZXABC中，

AB=y/OA2+OB2—yjb2+b2=y[2b,

連接圓心O和切點C,則0C=4,OCLAB,

"：S^AOB=^OA'OB=^AB-OC,

.“OA-OBb-b

??4=R=商'

則b=4&；

同理，當(dāng)直線y=-x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限時，b--4>/2；

則若直線y=-x+b與00相交，則b的取值范圍是-4V2<fe<4V2.

故選：D.

y

I0|］

【題型3根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定交點個數(shù)】

【例3】（2022秋?武漢期末）已知。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直

線/與。。的公共點的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法得到直線/和。。相離，然后根據(jù)相離的定

義對各選項進行判斷.

【解答】解：的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,

即圓心。到直線/的距離大于圓的半徑，

...直線/和O。相離，

...直線/與O。沒有公共點.

故選：A.

【變式3-1］（2022秋?武漢期末）直角△ABC,ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以A為圓

心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.不能確定

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進行判斷.若則直線與圓相

交；若4=廠，則直線于圓相切；若d>r,則直線與圓相離.

【解答】解：90°,AB=8,AC=6,

：.BC=10,

ABAC

.?.斜邊上的高為：——=4.8,

BC

圓與該直線BC的位置關(guān)系是相切，交點個數(shù)為1,

故選：B.

【變式3-2］（2022?武漢模擬）一個圓的半徑是5c〃z,如果圓心到直線距離是4c〃z,那么這

條直線和這個圓的公共點的個數(shù)是（）個.

A.0B.1C.2D.0或1或2

【分析】根據(jù)當(dāng)圓的半徑r>圓心到直線的距離d時，直線與圓相交，即可得出直線/和

這個圓的公共點的個數(shù).

【解答】解：,圓的半徑是5c/w,如果圓心到直線距離是4C?7,

r>d,

.?.直線與圓相交，

這條直線和這個圓的公共點的個數(shù)為2.

故選：C.

【變式3-3](2022秋?沐陽縣期中)如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以

點C為圓心，r為半徑畫圓.

(1)當(dāng)r=2.4時,OC與邊AB相切；

(2)當(dāng)r滿足3<rW4或r=2.4時,OC與邊A2只有一個交點；

(3)隨著廠的變化，OC與邊AB的交點個數(shù)還有哪些變化？寫出相應(yīng)的r的值或取值

【分析】(1)當(dāng)OC與邊相切時，則4=/，由此求出/"的值即可；

(2)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時有一交點，再結(jié)合圖形得出另一種有一個交點

的情況，即可得出答案；

(3)隨著r的變化，OC與邊的交點個數(shù)由0個、1個、2個三種情況.

【解答】解：(1)過點C作于點。，

VAC=3,BC=4.如果以點C為圓心，/■為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點，

：.AB=5,

當(dāng)直線與圓相切時，d=r,圓與斜邊A2只有一個公共點，圓與斜邊A2只有一個公共點，

如圖1,

：.CDXAB^ACXBC,

：.CD=r=?.A,

故答案為：廠=2.4.

(2)①當(dāng)直線與圓相切時，即d=r=2.4,圓與斜邊AB只有一個公共點，圓與斜邊

只有一個公共點，

②當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有一個交點，如圖2,

故答案為：3<r<4或廠=2.4；

(3)①如圖3,當(dāng)0Wr<2.4時，圓C與邊A3有。個交點；

②如圖1,當(dāng)廠=2.4時，圓C與邊A8有1個交點；

③如圖4,當(dāng)2.4OW3時，圓C與邊A2有2個交點；

④如圖2,當(dāng)3<rW4時，圓C與邊A2有1個交點；

⑤如圖5,當(dāng)廠>4時，圓C與邊A8有。個交點；

綜上所述，當(dāng)0Wr<2.4或r>4時，圓C與邊有。個交點;

當(dāng)3cA<4或廠=2.4時，圓C與邊AB有I個交點；

當(dāng)2.4<r/3時，圓C與邊AB有2個交點.

【題型4利用直線與圓的位置關(guān)系求最值】

【例4】(2022秋?常熟市期中)如圖，直線y=3+3與x軸、y軸分別交于A,8兩點，點

P是以C(l,0)為圓心，1為半徑的圓上任意一點，連接B4,PB,則△B48面積的最

小值是()

A.5B.10C.15D.20

【分析】作于X交。。于E、F.當(dāng)點尸與E重合時，ZkRlB的面積最小，求

出EH、AB的長即可解決問題

【解答】解：作CHL43于H交。。于E、F.

VC(1,0),直線A3的解析式為y=1x+3,

I.直線CH的解析式為y=-

r44r4

ly---X+-i%-_-

得

由

33解5

u3l

xy--X+3ly-152-

4

.?.CH=J(l+，+/)2=3,

VA(4,0),B(0,3),

；.OA=4,02=3,AB=5,

：.EH=3-1=2,

當(dāng)點尸與E重合時，△出2的面積最小，最小值=*x5X2=5,

故選：A.

【變式4-1](2022秋?涼山州期末)點A是半徑為2的。。上一動點，點。到直線的

距離為3.點尸是跖V上一個動點.在運動過程中若NPOA=90°,則線段的最小值

【分析】根據(jù)勾股定理用。尸表示出PA,根據(jù)垂線段最短解答即可.

【解答】解：VZPOA=90°,

：.PA=y/OA2+OP2=V4+OP2,

當(dāng)OP最小時，B4取最小值，

由題意得：當(dāng)。時，OP最小,最小值為3,

J.PA的最小值為：V4T32=V13,

故答案為：V13.

【變式4-2](2022?樂亭縣一模)如圖，O。的半徑是5,點A在。。上.尸是。。所在平

面內(nèi)一點，且4尸=2,過點尸作直線/,使吐E4.

(I)點。到直線I距離的最大值為7；

(2)若M,N是直線I與。。的公共點，則當(dāng)線段MN的長度最大時，0P的長為_同_.

【分析】(1)如圖1,當(dāng)點P在圓外且。，A,尸三點共線時，點。到直線/距離的最

大，于是得到結(jié)論；

(2)如圖2,根據(jù)已知條件得到線段MN是。。的直徑，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1,VZXB4,

...當(dāng)點尸在圓外且。，A,尸三點共線時，點。到直線/的距離最大，

最大值為AO+4P=5+2=7；

(2)如圖2,N是直線/與。。的公共點，當(dāng)線段MN的長度最大時，

線段是。。的直徑，

'JILPA,

：.ZAPO=90",

：AP=2,OA=5,

OP=<0A2-PA2=V21,

故答案為：7,VH.

圖1

圖2

【變式4-3](2022?廣漢市模擬)在RtZXABC中，NC=90°,AC=10,BC=12,點、D為

線段BC上一動點.以為。。直徑，作A。交。。于點E,連BE,則BE的最小值為

()

【分析】連接CE,可得/CED=NCEA=90°,從而知點E在以AC為直徑的。。上,

繼而知點Q、E、8共線時BE最小，根據(jù)勾股定理求得的長，即可得答案.

【解答】解：如圖，連接CE,

...點E在以AC為直徑的O。上，

VAC=10,

QC=QE=5,

當(dāng)點。、E、8共線時BE最小，

VBC=12,

QB=yjBC2+QC2=13,

：.BE=QB-QE=8,

故選：B.

【知識點2切線的判定】

(1)切線判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法)

③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線

（2）切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

【題型5定義法判斷切線】

【例5】（2022?淮安模擬）下列直線中，一定是圓的切線的是（）

A.過半徑外端的直線

B.與圓心的距離等于該圓半徑的直線

C.垂直于圓的半徑的直線

D.與圓有公共點的直線

【分析】根據(jù)選項舉出反例圖形即可判斷A、C、D；根據(jù)切線的判定即可判斷8.

【解答】解：切線的判定定理有：①經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線，②與圓心的距離等于該圓的半徑的直線是圓的切線，

A、如圖EF不是。。的切線，故本選項錯誤；

8、與圓心的距離等于該圓的半徑的直線是圓的切線，故本選項正確;

C、如圖，所，半徑OA,但EF不是。。的切線，故本選項錯誤；

D、如上圖，EFO。有公共點，但所不是O。的切線，故本選項錯誤；

故選：B.

【變式5-1］（2022秋?嘉定區(qū)期末）下列四個選項中的表述，正確的是（）

A.經(jīng)過半徑上一點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

B.經(jīng)過半徑的端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

C.經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

D.經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線

【分析】根據(jù)切線的判定對各個選項進行分析，從而得到答案.

【解答】解：由切線的判定定理可知：經(jīng)過半徑外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的

切線，

故A,B,。選項不正確，C選項正確，

故選：C.

【變式5-2］（2022秋?東臺市校級月考）下列命題：（1）垂直于半徑的直線是圓的切線.（2）

與圓只有一個公共點的直線是圓的切線.（3）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.（4）

和三角形三邊所在直線都相切的圓有且只有一個.其中不正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.1個

【分析】利用切線的性質(zhì)進行判斷后即可得到答案.

【解答】解：（1）過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，原命題錯誤.

（2）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線，原命題正確.

（3）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線，正確.

（4）和三角形三邊所在直線都相切的圓有且只有四個，原命題錯誤.

故選：A.

【變式5-3］（2022秋?慈溪市期末）已知O。的半徑為5,直線E尸經(jīng)過OO上一點尸（點

E,尸在點尸的兩旁），下列條件能判定直線跖與OO相切的是（）

E

A.0尸=5B.OE=OF

C.。到直線跖的距離是4D.OPLEF

【分析】根據(jù)切線的判定定理可求得需要滿足和條件，即可求得答案.

【解答】解：

:點尸在O。上，

只需要。尸，EF即可，

故選：D.

【題型6切線的判定（連半徑證垂直）】

【例6】（2022?順德區(qū)一模）如圖，A,B,C,。是上的四個點，ZADB=ZBDC=60°,

過點A作AE//BC交CD延長線于點E.

（1）求NABC的大小；

（2）證明：AE是O。的切線.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到NCAB=NB￡)C=60°,ZACB=ZADB=60°,根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)連接AO并延長交8C于R根據(jù)垂徑定理的推論得到AFLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)

得到AFLAE,根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】(1)解：由圓周角定理得：NCAB=NBDC=60°,ZACB=ZADB=60°,

...△ABC為等邊三角形，

AZABC=60°；

(2)證明：連接A。并延長交BC于R

VAB^AC,

：.AB=AC,

C.AFLBC,

：.AF±AE,

:。4是O。的半徑,

是O。的切線.

【變式6-1](2022?昭平縣一模)如圖，是。。的弦，。尸，AB交。。于C,0c=2,

ZABC=30°.

(1)求A2的長；

(2)若C是。尸的中點，求證：尸8是O。的切線.

【分析】⑴連接。4、OB,根據(jù)圓周角定理得到/AOC=2/ABC=60°,則

1

=30°,所以0。=2。4=1,AD=WOD=?再根據(jù)垂徑定理得4￡>=2￡>,所以

（2）由（1）ZBOC=60°,則△OCB為等邊三角形，所以2C=0B=0C,NOBC=/

0cB=60°,ffuCP=CO=CB,則NCBP=NP,可計算出NCBP=30°,所以NOBP=

ZOBC+ZCBP=90°,于是根據(jù)切線的判定定理得P8是。。的切線.

【解答】（1）解：連接04、OB,如圖，

VZABC=30°,OPLAB,

：.ZA（?C=60°,

：.ZOAD=30°,

11

.?.0。=件=.x2=l,

：.AD=y/3OD=V3,

XVOPXAB,

：.AD^BD,

：.AB=2V3；

（2）證明：由（1）ZBOC=60°,

而OC=OB,

...△OCB為等邊三角形，

：.BC=OB=OC,ZOBC=ZOCB=60°,

;.c是。尸的中點，

:.CP=CO=CB,

：.ZCBP=ZP,

而/0CB=/C2P+/P,

：.ZCBP=3Q°

：.ZOBP=ZOBC+ZCBP=900,

C.OBLBP,

.??PB是O。的切線.

A

【變式6-2］（2022春?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,平分N8AC

交BC于點。，。為A8上一點，經(jīng)過點A,。的圓。分別交AB,AC于點E,F,連接

EF.

求證：8C是圓。的切線.

【分析】連接OO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得出/CAO=/OD4,根據(jù)

平行線的判定得出ODMkC,求出ODLBC,再根據(jù)切線的判定推出即可.

【解答】證明：連接。。，

：.ZOAD=ZODA,

平分/A4C,

：.ZCAD^ZOAD,

：.ZCAD=ZODA,

J.OD//AC,

VZC=90°,

：.AC±BC,

：.ODLBC,

過圓心O,

是圓。的切線.

【變式6-3］（2022秋?武夷山市期末）如圖，點尸是OO的直徑AB延長線上的一點（PB

＜。8）,點E是線段。尸的中點.在直徑上方的圓上作一點C,使得EC=EP.

【分析】連接。C,根據(jù)線段中點的定義得到OE=EP,求得OE=EC=EP,得至Ij/COE

=ZECO,/ECP=/P,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：連接0C,

:點E是線段0P的中點,

?；EC=EP,

：.OE=EC=EP,

；.NCOE=NECO,NECP=NP,

ZCOE+Z￡CO+Z￡CP+ZP=180°,

：.ZECO+ZECP=90°,

OC±PC,

：oc是。。的半徑，

...PC是。。的切線.

【題型7切線的判定（作垂直證半徑）】

【例7】（2022?武漢模擬）如圖，在RtZkABC中，NB=90°,N8AC的平分線交BC于

點、D,E為A3上的一點，DE=DC,以。為圓心，長為半徑作O。，A2=5,EB=3.

（1）求證：AC是OO的切線；

（2）求線段AC的長.

【分析】（1）過點。作。fUAC