高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：三角函數(shù)的應(yīng)用 過(guò)關(guān)檢測(cè)

第31講三角函數(shù)的應(yīng)用

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模型，并會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三題.

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)2.實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)-----------------------------

函數(shù)y=Asin（wx+（p）（A>0,3>0）中,A,3,ip的物理意義

/三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用三函翻短.

三角函數(shù)的應(yīng)用---運(yùn)用三角函數(shù)模型解決問(wèn)題的幾種類(lèi)型

三角函瞬型的建立皿角函數(shù)耀的步驟

建立三角函數(shù)擬合模型的注意事項(xiàng)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)y=Asin（ex+e）（A>0,。>0）中，A,co,°的物理意義

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是A

2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T=f

3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率/=4=合

4、ox+o稱(chēng)為相位.

5、x=0時(shí)的相位夕稱(chēng)為初相.

知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、三角函數(shù)模型：三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻

畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面都發(fā)揮著十分重要的作用.

實(shí)際問(wèn)題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù).

2、運(yùn)用三角函數(shù)模型解決問(wèn)題的幾種類(lèi)型

(1)由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y=Asin(ox+9),然后根據(jù)圖象特征確

定解析式中的字母參數(shù)，在求解過(guò)程中還要結(jié)合函數(shù)性質(zhì).

(2)由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)：通過(guò)觀察分析函數(shù)圖象，能得出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性.

(3)利用三角函數(shù)研究實(shí)際問(wèn)題：首先分析、歸納實(shí)際問(wèn)題，抽象概括出數(shù)學(xué)模型，再利用圖象及性質(zhì)解

答數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后解決實(shí)際問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)模型的建立

1、建立三角函數(shù)模型的步驟

2、建立三角函數(shù)擬合模型的注意事項(xiàng)

(1)在由圖象確定函數(shù)的解析式時(shí)，注意運(yùn)用方程思想和待定系數(shù)法來(lái)確定參數(shù).

(2)在已知解析式作圖時(shí)要用類(lèi)比的方法將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題.

(3)在應(yīng)用三角函數(shù)模型解答應(yīng)用題時(shí)，要善于將符號(hào)、圖形、文字等各種語(yǔ)言巧妙轉(zhuǎn)化，并充分利用數(shù)

形結(jié)合思想直觀地理解問(wèn)題.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)三三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用,

［考點(diǎn)一三角函數(shù)在物理中的商）\____________4

三角函數(shù)的應(yīng)用t考點(diǎn)四擬合法建立三角函數(shù)贏］

;考點(diǎn)二三角函數(shù)在生活中的應(yīng)向】一^"

、一：考點(diǎn)五三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用）

考點(diǎn)一：三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

色2|例1.（2324高一下?遼寧沈陽(yáng)?月考）阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專(zhuān)業(yè)工

程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減振裝置，被稱(chēng)為“鎮(zhèn)樓神器”.某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似

看為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移s（cm）和時(shí)間心）的函數(shù)關(guān)系式為s⑺=3sin3+0）,其中0>0,

若該阻尼器模型在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次位移為“（-3<%<3）的時(shí)間分別為4,芍，t3,&<芍<切且

4+^=2,與+4=6,則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于1.5cm的總時(shí)間為（）

【答案】C

【解析】由題意得：（4+幻=1,；色+幻=3，

故函數(shù)的周期為『=2x（3—1）=4,則。=g=］,可得s⑺=3sing+e

位移的大小即故令3sin曰+“<1.5,得-；<sin伊,

3兀兀/兀c77rr-1…兀13兀_.7r

---F2ATIV—%+0<--F2kR,k￡Z,----F2AJTV—7+0<----2kK,k￡Z,

626626

5272

貝|4左H-----(p<t<4k-\---------(p,keZ,

371371

或者4左H------(p<t<4k-\----------(p,kQZ,

37i3兀

故總時(shí)間為：14發(fā)+++^+y-j^-^+y-=|,故選：c.

【變式11】（2324高一下?遼寧?期中）（多選）在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比

于它離開(kāi)平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)

/（x）=Asin（（yx+^）（A>0,?>0,網(wǎng)<兀）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-J對(duì)稱(chēng)

O

C.函數(shù)?。┰谟铱丈系闹涤?yàn)閇0,目

197125兀)

D.若/（%）在[0,加|上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是

五’m1

【答案】BD

冗

【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象，A=2,]37=1詈3it-4?=37r故丁=兀，所以。=2；

412124

當(dāng)兀=三時(shí)，嗎）=2sin仔+夕）=2,

所以〒+9=2E+%,（左￡Z）,整理得°=2E—2，（左￡Z）,

326

TTTT

由于101V兀，所以當(dāng)k=0時(shí)，(P―――,故/(%)=2sin(2x—.

66

對(duì)于A：0=2,r=7t,頻率為]初相為-m71，故A錯(cuò)誤;

710

TTqrrr

對(duì)于B：當(dāng)％=-二時(shí)，/(--)=2sin(--)=-2,故B正確；

662

TTSjTTT27TTT

對(duì)于C：由于xe,故2彳-六0,—,故/(無(wú))=2sin(2x/)e[0,2],故C錯(cuò)誤;

1.41.4UDO

對(duì)于D：xe[0,m],則2xje-：,2吁：,若在[0,詞上恰有4個(gè)零點(diǎn),

JrIy兀23兀

則3兀42根一更＜4兀，——,

61212

19TI25兀)

故機(jī)的取值范圍是D正確.故選：BD.

【變式12】（2324高三下?重慶?月考）（多選）如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在fs時(shí)相對(duì)于平衡

位置的高度〃（單位：cm）由關(guān)系式/z=Asin（@f+0）,te[O,+8）確定，其中4>0,。>0,。?0,兀].小球從最

高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)L8s后，第一次回到最高點(diǎn)，則（）

//////

?h>0

卜力=0

Ih<Q

3

C.r=9s與/=2.Is時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度//之比為二

2

D.t=9s與f=2.1s時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為2

【答案】BD

2兀10兀

【解析】由題可知小球運(yùn)動(dòng)的周期T=L8s,所以一二1.8,解得。=/,故B正確;

CD9

當(dāng)，=0s時(shí)，Asin°=A.

又9?0,可，所以夕=],故A錯(cuò)誤；

則h=Asin

所以f=9s與1=2.1s時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為=2,故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

【變式13】（2324高一下.北京?期中）在近期學(xué)校組織的論文展示大賽中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在音樂(lè)欣賞中

起著重要的作用?純音的數(shù)學(xué)模型是三角函數(shù)?如音叉發(fā)出的純音振動(dòng)可表示為＞=Asinox,其中x表示時(shí)間,

y表示純音振動(dòng)時(shí)音叉的位移?我們聽(tīng)到的每個(gè)音是由純音合成的，若某合音的數(shù)學(xué)模型為函數(shù)

n1

/（x）=Z：sinix,且聲音的質(zhì)感與y=/（尤）的參數(shù)有關(guān)，比如：音調(diào)與聲波的振動(dòng)頻率有關(guān)，頻率低的聲音

低沉，頻率高的聲音尖利.

（1）當(dāng)”=1時(shí)，函數(shù)/（X）的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為

（2）當(dāng)〃=50時(shí)，合音/"）的音調(diào)比純音°（x）=-'-sin49x______（填寫(xiě)“高”或“低”）.

49

【答案】（曲,0）（左eZ）低

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，時(shí)，函數(shù)〃x）=sinx的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（E,0）aeZ）；

501

當(dāng)”=50時(shí)，/（x）=Z：sinix,函數(shù)y=sinx的最小正周期為2兀，函數(shù)>=sin2x的最小正周期為兀,

9jrIT

函數(shù)y=sin3尤的最小正周期為鼻，L,函數(shù)y=sin50尤的最小正周期為主，

1127r49

因此函數(shù)/（x）的最小正周期為2兀，頻率為二，*（x）=々sin49尤的周期為黃，頻率為

2兀49492兀

所以/（X）比。（無(wú)）的頻率低，即合音/“）的音調(diào)比純音G（x）=，sin49x音調(diào)低.

故答案為：（奴,0）（丘Z）；低

考點(diǎn)二：三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用

（2324高一下?江西萍鄉(xiāng)?期末）如圖所示是一個(gè)主體高為1.5m的螺旋形旋轉(zhuǎn)滑梯.某游客從該滑

梯頂端出發(fā)一直滑到底部，把其運(yùn)動(dòng)軌跡投影到滑梯的軸截面上，得到的曲線對(duì)應(yīng)的方程為

y=Asin（ox+0）（A>0,?>0）（x,y的單位：m）,若該游客整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相位的變化量為彳兀,

則。的值為（）

51113

A.—兀B.—7iC.2兀D.—71

366

【答案】D

【解析】由旋轉(zhuǎn)滑梯高為L(zhǎng)5m知，投影到軸截面上后，游客對(duì)應(yīng)在橫軸上移動(dòng)的距離是1.5m,

當(dāng)X=0時(shí)，初相為夕，且游客一直滑到底部，則最后的相位為L(zhǎng)50+。，

1313

故整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相位的變化量為1.5。+°-夕=二兀,=￡0=^兀.故選：D.

46

【變式21】（2324高一下?江西景德鎮(zhèn)?期中）某市一年中的月平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似用函數(shù)

JT

J=Acos2(x-6)+2來(lái)表示已知6月份的月平均氣溫為28%：,12月份的月平均氣溫為18。(2,則10月份

O

的月平均氣溫為()

A.17.5℃B.18.5°<C.19.5℃D.20.5℃

【答案】D

7TAcos0+B=283=23

【解析】因?yàn)閥=Acos-(x-6)+B,且Acos;t+B=18，解得

oA=5

71Jr

所以y=5cos-(x-6)+23,當(dāng)x=10時(shí)>=5cos-(10-6)+23=20.5,

所以10月份的月平均氣溫為20.5。仁故選：D

【變式22】(2324高一下.北京?期中)一架飛機(jī)從北京向南飛行1935公里到達(dá)廣州，假設(shè)在廣州白云國(guó)際

機(jī)場(chǎng)上空的等待航線是圓形，飛機(jī)到達(dá)機(jī)場(chǎng)上空后，繼續(xù)沿原航線向南飛行20公里后，開(kāi)始在直徑40公

里的圓形等待航線上飛行，飛機(jī)每15分鐘飛行一周，如圖所示，設(shè)飛機(jī)在等待航線上飛行的時(shí)間為f小時(shí),

飛機(jī)從北京出發(fā)向南的飛行距離為/(/),/⑺可以近似地表示為/W=1935+Acos>0,69>0),貝|

【解析】依題意，/(0)=1935+A,而7(0)=1935+20,因此A=20,

12兀

又飛機(jī)每15分鐘飛行一周，則函數(shù)/⑺的周期T=a小時(shí)，因止匕。=學(xué)=8兀.

故答案為：20；阮

【變式23】(2324高一下?江西南昌?期中)4月11日至13日，我校組織高一高二全體師生一千六百余人前

往九江、景德鎮(zhèn)、上饒、撫州等地開(kāi)展為期三天的融研學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，湯顯祖文化館是此次研學(xué)的路線點(diǎn)之

一，該文化館每年都會(huì)接待大批游客.在該文化館區(qū)的一家專(zhuān)門(mén)為游客提供住宿的客棧中，工作人員發(fā)現(xiàn)為

游客準(zhǔn)備的食物有些月份剩余較多，浪費(fèi)很?chē)?yán)重.為了控制經(jīng)營(yíng)成本，減少浪費(fèi)，計(jì)劃適時(shí)調(diào)整投入.為此他

們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)客棧入住的游客人數(shù)呈周期性變化，并且有以下規(guī)律:

①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，

相差約400；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增，在8月份達(dá)到最多.

(1)試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；

(2)請(qǐng)問(wèn)客棧在哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物？

【答案】(1)仆)=200sin~x——j+300(%=1,2,...,12)；(2)6,7,8,9,10月份

【解析】(1)設(shè)該函數(shù)為〃x)=Asin(ox+,)+8(A>0,。>0,罔<兀)，其中x=l,2,…,12.

根據(jù)①，可知這個(gè)函數(shù)的周期是12；

由②，可知〃2)最小，“8)最大，且〃8)-〃2)=400,故該函數(shù)的振幅為200；

由③，可知在［2,8］上是增函數(shù)，且"2)=100,所以"8)=500.

根據(jù)上述分析可得型=12,故

co6

f-A+B=100

由,「“c，解得4=200,5=300,

A+5=500

當(dāng)％=2時(shí)，/(力最小，當(dāng)了=8時(shí)，/(%)最大,

且sin8x3+0=1,可(p-........F2kit,keZ,

由|同<萬(wàn)，得9=一等

所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的函數(shù)關(guān)系式為

/(x)=200sinj+300(x=l,2,...,12),

7t5TT

(2)由條件,可知200sin—x-----+300>400,

66

,,f口.\n1…兀5兀5兀，?

化間得sin—x------2—,即13rlH—<—x-------W2farH，左￡Z,

<66J26666

解得12k+6?x<12k+10,keZ,

因?yàn)閖t￡N+,且尤K12,所以x=6,7,8,9,10,

即客棧在6,7,8,9,10月份要準(zhǔn)備400份以上的食物.

考點(diǎn)三：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用

例3.(2324高一下?遼寧沈陽(yáng)?月考)某游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖，已知該摩天輪的半徑為30米,

輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為7=24分鐘.在圓周上均

勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1?12(可視為點(diǎn))，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，座艙與地面的距離〃與時(shí)間才的函數(shù)關(guān)

系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/分鐘.

(1)求1號(hào)座艙與地面的距離△與時(shí)間f的函數(shù)關(guān)系的解析式；

⑵在前24分鐘內(nèi)，求1號(hào)座艙與地面的距離為17米時(shí)f的值；

■JT

【答案】⑴〃⑺=30sin12t+32(/20)；(2"=14分鐘或"22分鐘.

【解析】(1)設(shè)1號(hào)座艙與地面的距離》與時(shí)間f的函數(shù)關(guān)系的解析式為磕)=Asin3+0)+6(A>0,

69>0,Z>0),

依題意可得A=30,b=32

%⑺=30sin3+O)+323>0).

2兀兀

依題意T=24min,:.co=-=—(rad1^11)，

當(dāng)/=0時(shí)，/z(，)=32,:.(p=0,

jr

:.h(t)=30sin—t+32(t>0).

(2)令人(。=17,gp30sinj|z+32=17,sin^?=-1,

71

0W/W24,「.0V—tW27i,

12

71771rs,兀11兀bn/0_p.

.■.二fL或二f=—,解侍f=14或7=22,

126126

.?1=14或t=22時(shí)，1號(hào)座艙與地面的距離為17米.

【變式31】(2324高一上?江蘇無(wú)錫?期末)深圳別稱(chēng)“鵬城”，“深圳之光”摩天輪是中國(guó)之眼?游客坐在摩天

輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色?如圖，游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn),每轉(zhuǎn)一圈需要12min,

其中心。距離地面40.5m,半徑40m.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而

變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間《單位：min)之后，請(qǐng)解答下列問(wèn)題.

(1)求出你與地面的距離〃(單位：m)與時(shí)間f之間的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)你登上摩天輪2min后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，求兩人距離地面的高度差H(單位：m)

關(guān)于f的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值.

【答案】⑴/?=40sin(/—$+40.5,(04/412)；⑵H=40卜n(*+,),40m.

【解析】(1)

如圖，設(shè)摩天輪最低處為點(diǎn)P,以摩天輪中心。為原點(diǎn)，

與地面平行的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.

依題意，點(diǎn)尸(0,-40),以0P為終邊的角為-1,

因摩天輪每轉(zhuǎn)一圈需要12min，則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為7md/min,

6

JTJT

由題意可得：/?=40sin(-Z-—)+40.5,(0<?<12)；

62

JTJT

(2)設(shè)朋友登上摩天輪的時(shí)間為fmin,其與地面的距離為4=40sin(2"=)+40.5,

62

則我已在摩天輪上的時(shí)間為Q+2)min,

我與地面的距離為％=40sin[-Q+2)—-]+40.5=40sin(-r--)+40.5,

6266

由0VW12可知：+警，故當(dāng)?r+￡=：或￥時(shí)，優(yōu)_=40,

6666662662

即在f=2或t=8時(shí)，兩人距離地面的高度差最大，為40m.

【變式32】（2324高一下?廣東廣州?月考）近年，我國(guó)短板農(nóng)機(jī)裝備取得突破，科技和裝備支撐穩(wěn)步增強(qiáng)，

現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)扎實(shí)推進(jìn).農(nóng)用機(jī)械中常見(jiàn)有控制設(shè)備周期性開(kāi)閉的裝置.如圖所示，單位圓。繞圓心做逆

2兀

時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度大小為27trad/s,圓上兩點(diǎn)A,8始終滿足/AO2=可，隨著圓。的旋轉(zhuǎn)，A,B

兩點(diǎn)的位置關(guān)系呈現(xiàn)周期性變化.現(xiàn)定義；A,8兩點(diǎn)的豎直距離為A,8兩點(diǎn)相對(duì)于水平面的高度差的絕

對(duì)值.假設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)刻，即f=0秒時(shí)，點(diǎn)A位于圓心正下方：貝h=g秒時(shí)，A,B兩點(diǎn)的豎直距離第一次

為0；A,8兩點(diǎn)水平面的豎直距離關(guān)于時(shí)間r的函數(shù)解析式為/■（/）=.

,"T

豎直距離

…L.

//////////

水平面

【答案】6|sin（2就+?|

TTJT

【解析】記r=0時(shí)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角為-1,則3點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角為

設(shè)H為A,8兩點(diǎn)的豎直距離，

由題意可知H=\yA-yB\f

由題意可知，秒后，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的角為：-]+2加，

此時(shí)點(diǎn)5所對(duì)應(yīng)的角為：等苫+2而，

兀

所以>A=sM（—1+2兀。=-cos2兀1,

.2兀712兀

yB=sin（--—+2兀力=-cos（—+2加）,

27r

由題意可得了⑺=1%-%1=1cos（—+2M—cos2M

1733A/3

=1——cos2nt-----sin2兀1-cos271tI=1—cos2兀1H------sin271tI

2222

=\Z5|^cos2;i:/+gsin27i/|=6|sin（2加+/）|.

故答案為：&|sin（2m+「）].

【變式33】（2324高一下?四川成都?期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,

至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).

如圖，將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形(圓)，筒車(chē)半徑為2.4m,筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距離為

1.2m，筒車(chē)每分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)3圈.規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)(即Po時(shí)的位

置)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓心0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)

系wy.設(shè)盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為/(單位：$),且此時(shí)點(diǎn)p距離水面

的高度為/?(單位：機(jī))(在水面下則h為負(fù)數(shù))

(1)求h與時(shí)間t之間的關(guān)系.

(2)求點(diǎn)尸第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為多少？在轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，點(diǎn)P在水中的時(shí)間是

多少？

【答案】⑴人(t)=2.4sin(*f-：)+1.2(￡20。(2)—s,—s；

jr

【解析】(I)依題意，設(shè)/Z與時(shí)間/之間的關(guān)系為帖)=Asin(S+e)+K(A>O,0>O,|?|<5),

由筒車(chē)半徑為2.4m,筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距離為1.2m,

拉max=1.2+2.4=3.6=A+K[A=2.4

得點(diǎn)P距離水面的高度人的最值為

Anin=1.2-2A=-1.2=-A+K[K=12

而筒車(chē)每60s沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)3圈，則周期T=$=20,①吟吟，

由力(0)=2.4sin夕+1.2=0,得sin0=而|夕|<[,解得0=—?,

226

JTJT

所以九與時(shí)間f之間的關(guān)系是h(t)=2.4sin(-t--)+1.2(t>0).

10o

(2)依題意，。兄與x軸正方向的夾角為:，因此點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要轉(zhuǎn)動(dòng)F+W=

6623

所以點(diǎn)尸第一次到達(dá)最高點(diǎn)所需時(shí)間為T(mén):=y20s；

在轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，點(diǎn)P在水中轉(zhuǎn)動(dòng)2x（】-：）=與

263

T20

所以點(diǎn)尸在水中的時(shí)間是

考點(diǎn)四：擬合法建立三角函數(shù)模型

4.（2324高一下?北京昌平?期末）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般

早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面是某港

口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值（單位：m）的部分記錄表.

時(shí)間0:003:006:009:0012:00

水深值5.07.55.02.55.0

據(jù)分析，這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的關(guān)系可近似的用三角函數(shù)來(lái)描述.試估計(jì)13：00的水深值為（）

A.3.75B.5.83C.6.25D.6.67

【答案】C

【解析】記時(shí)間為x,水深值為幾

設(shè)時(shí)間與水深值的函數(shù)關(guān)系式為y=/（x）=Asin（°x+e）+6,（A>0,（y>0）,

由表中數(shù)據(jù)可知，T=12,1mx=7.5,/（外.=2.5

兀47.5-2.55,7.5+2.5

所以A==5,

亨22

所以〃x)=gsin—x+(p\+5,

又x=3時(shí)，y=7.5,所以［sin—x3+^?j+5=7.5,

jrTV

所以5+°=5+2E,即9=2E,左eZ,

5.(71,5.7T1,

所以“x)=—sin—x+2也+5=—sm—%+5,

2(66)2266

5.13TI

43)=—sm-----b5=—sm—+5=—x—+5=6.25,

262622

即13:00的水深值大約為6.25.故選：C

【變式41】（2223高二下?貴州遵義?月考）彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).下表給出了振子在完成一次全振動(dòng)

的過(guò)程中的事件t與位移s之間的測(cè)量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動(dòng)函數(shù)的解析式為（）

t0123456789101112

S-20.0-17.8-10.10.110.31.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0

A.s=20sin一,Ze[0,+oo）B.5=20cos一

6L76

C.s=-20cosWD.51=20sin^^--^,G[0,-K

【答案】D

【解析】設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為5=擊皿由+0）/且0,y），其中4〉0,?！?

由表格可知：振幅A=20,周期T=12,過(guò)點(diǎn)（0,-20）,

2兀

由周期T=tr=12,且切>0,可得口=9

\co\6

由過(guò)點(diǎn)（0,-20）,可得20sine=-20,即sin*=-l,則0=2E-,AeZ,

可得s=20sin]?+=20sin^^---|-^,r6[0,+co）,A:eZ,

所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為s=[0,+8）.故選：D.

【變式42】（2324高一下?湖北武漢?月考）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一

般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期現(xiàn)象.某海濱浴場(chǎng)內(nèi)水位丁（單位：m）是時(shí)間f（0W，W24,單位：h）

的函數(shù)，記作y=/（。，下面是某天水深的數(shù)據(jù)：

t03691215182124

y21.511.521.511.52

經(jīng)長(zhǎng)期觀察，y=〃f）的曲線可近似的滿足函數(shù)y=Asin3x+0）+b（A>0,o>0）.

S（水深值）

2.0—

1.5--

1.0-------：—■

0.5-------i—?

0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00”時(shí)間）

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出函數(shù)簡(jiǎn)圖，并求出函數(shù)y=/（。一個(gè)近似表達(dá)式；

（2）一般情況下，水深超過(guò)1.25米該海濱浴場(chǎng)方可開(kāi)放，另外，當(dāng)水深超過(guò)1.75米時(shí)，由于安全原因，會(huì)被

關(guān)閉，那么該海濱浴場(chǎng)在一天內(nèi)的上午7：00到晚上19：00,有多長(zhǎng)時(shí)間可以開(kāi)放？

【答案】(1)圖象見(jiàn)解析，/(r)=0.5cosy%+1.5；(2)4h

6

【解析】(1)函數(shù)簡(jiǎn)圖如下：

T2兀2兀兀A2-1__72+11_

T=12,/.co=—=—=—,A------=0.5,/?-------=1.5,

T12622

：y=0.5sin（弓f+夕）+1.5過(guò)點(diǎn)（0,2）,/（0）=0.5sin^x0+^+l.5=2,

JI

貝Usin夕=l,:.（p=—+2kit,keZ,

i7171ijr

=的一個(gè)解析式可以為/（O=0$sin|-x+-+1.5=0.5cos-x+1.5

yoZ）o

jr

（2）由題意得：1.25<〃。<1.75即1.25<0.5COST+L5<1.75,

6

兀

-0.5<cos—/<0.5

6

2kn——<—t<2kn——,keZ或2癡+二<—t<2hi+—,A:eZ

363363

解得一4+12%</<—2+12%或2+124<r<4+12々，左eZ

X0</<24,解得一（2,4）U（8,10）U（14,16）U（20,22）

又re（7,19）e（8,10）u（14,16）

故開(kāi)放時(shí)間共4h.

【變式43】(2324高一上.浙江溫州?期末)下表是A地一天從2~18時(shí)的部分時(shí)刻與溫度變化的關(guān)系的預(yù)

報(bào)，現(xiàn)選用一個(gè)函數(shù)y=/(x)來(lái)近似描述溫度與時(shí)刻的關(guān)系.

時(shí)刻/h26101418

溫度/℃2010203020

⑴寫(xiě)出函數(shù)y=的解析式:

(2)若另一個(gè)8地區(qū)這一天的氣溫變化曲線也近似滿足函數(shù)了=/(尤)且氣溫變化也是從1(TC到30。(2,只不過(guò)

最高氣溫都比A地區(qū)早2個(gè)小時(shí)，求同一時(shí)刻，A地與8地的溫差的最大值.

【答案】⑴〃x）=10s喉xf+20,（24E8）；⑵10亞二萬(wàn)

【解析】（1）由題意不妨設(shè)丁=/（幻=水皿的+0）+3,

可以發(fā)現(xiàn)周期7=18-2=16=臼27r，解得G=7gT,

CD8

fB+A=30

而L4s，解得A=10I=20，

[B-A=10

所以〃14）=10sintxl4+\+20=30,gpsin^+^=l,不妨取夕=當(dāng)，

所以函數(shù)y=/（x）的解析式為〃x）=10sinqx+g1+20,（2WxW18）.

（2）設(shè)8地區(qū)的溫度變化函數(shù)為

g(x)=/(x+2)=10sin/(X+2)+T+20=-10sin-x+20,(2<x<18),

o48

10sin[—x+—|+20——lOsin—x+20

令〃(x)=/(x)-g(x)=

184j8

=//%+當(dāng)+sin4]=10/i-正]sin與+受cos%

(84)8JI2J828

其中tan傷=A/2+1,不妨設(shè)夕2

所以,（同〈10也-后,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)京+°2=]+配丘Z,

Q

即尤=4+8左一—（P，e[2,18],^eZ,

兀

所以只能取左=1或％=2滿足A地與B地的溫差的最大值為io亞二3.

考點(diǎn)五：三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用

5.（2324高一下?山東青島?月考）如圖所示，海爾學(xué)校要在操場(chǎng)上一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)開(kāi)辟一個(gè)矩形

花園A8CD現(xiàn)已知扇形圓心角為45。，扇形半徑為10m,則該矩形花園的面積的最大值為m2.

【答案】50(72-1)

【解析】連接。C,令ZBOC=6?(0°<e<45°),則BC=10sine,03=10cose,

顯然(M=AZ)=3C=10sine,AB=03—04=lOcos。一lOsin。，

因此矩形ABCD的面積S=AB?3C=100(cos^-sin6)sin6

=50sin20+50cos26?-50=5072sin(26?+45°)-50<50(應(yīng)-1),

當(dāng)且僅當(dāng)2。+45。=90。，即6=22.5°時(shí)取等號(hào)，

所以該矩形花園的面積的最大值為50(0-1)m2.

故答案為：50(A/2-1)

JT

【變式51]⑵24高一下.遼寧大連?期中)校園里有個(gè)如圖的半徑為4,圓心角為萬(wàn)的扇形花壇A。。，P

是圓弧A8上一點(diǎn)(不包括A,B),點(diǎn)N分別在半徑0A,上.為美化校園，分別在四邊形PMQV,

△P3N和△PM4種植紅色，黃色的牡丹花,其余地方種植綠草點(diǎn)綴.

(1)若種植紅色牡丹的四邊形PMON為矩形，求其面積最大值;

(2)若種植黃色牡丹的APBN和△尸均為直角三角形，求它們面積之和的取值范圍.

【答案】⑴8；⑵[8拒-8,8)

【解析】(1)連接OP,如圖，令=

因四邊形尸MON為矩形，

貝ijOM=OPcos0=4cos0,PM-OPsin夕=4sin夕，

可得矩形尸MON的面積SPMON=OM?PM=4cos<9-4sin6=8sin26,

TTIT

且0<2。<兀，則當(dāng)29=5,即e時(shí)，sin2。取最大值1,

所以SpMfflv的最大值為8,

所以矩形尸MON面積最大值為8；

（2）由（1）矢口，PN=OM=4cosO,ON=PM=4sin9,

貝［J3N=4-4sin（9,AM=4-4cosO,

所以RsPBN和Rt^PMA的面積和：

S=SAPBN+SNMA=；PN-BN+$M-AM

=；x4cose（4-4sine）+gx4sinex（4-4cose）=8（sine+cos。）-16sin6cos。，

令sinO+cos",即:+“*+：哼則IKZ

且2sin6cos6=（sin6+cos0^-（sin20+cos20^=t2-1,

則S=/(/)=8t-8/+8=-8「-；］+10,

顯然/⑺在(1，應(yīng)］上單調(diào)遞減，

當(dāng)t=6,即。=:時(shí)，/(x)min=/(V2)=8V2-8,

且/⑴=8,因此8&-8WS<8，

所以R.PBN和RtAPMA的面積和的取值范圍是［80-8,8).

【變式52］(2324高一下?上海嘉定?期中)如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃裁剪成等腰梯形A3CZ)

的形狀，它的下底A3是半圓的直徑，上底。的端點(diǎn)在圓周上.記NC4B=6.(提示：直徑所對(duì)的圓周角

是直角，即圖中ZACB=90°)

⑴用夕表示CD的長(zhǎng)；

(2)若BC=2，求如圖中陰影部分的面積S；

(3)記梯形ABCD的周長(zhǎng)為V,將，表示成夕的函數(shù)，并求出，的最大值.

2

【答案】(l)4cos29；(2)S=2+2sinl；(3)y=-8sin6>+8sin+8,G|^0,；ymax=10

【解析】(1)連接OC,過(guò)。作OELCD,則。。=2,/￡。。=/80。=2凡

所以CE=OCcosNECO=2cos2&CD=2CE=4cos2。.

OB

11

92

S△AQO「C=—2OAOE=2sin26=2sinl,S扇…08。=2-l-2=2,

所以S=S^AOC+S扇OB。=2+2sinl,

(3)BC=AD=ABsinO=4sin6>

貝ljy=4+8sin6+4cos2。=4+8sin0+4(l-2sin2^)=-8sin26>+8sin6>+8,6>G0,^

當(dāng)"g時(shí)，>2=10.