人教版中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：平行線的判定【九大題型】

專題5.1平行線的判定【九大題型】

【人教版】

【題型1對頂角的識別及其性質(zhì)】..............................................................1

【題型2平行、垂直】.........................................................................2

【題型3平行公理及其推論】...................................................................4

【題型4同位角相等，兩直線平行】............................................................5

【題型5內(nèi)錯角相等，兩直線平行】............................................................6

【題型6同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】...........................................................7

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】........................................................8

【題型8角平分線與平行線的判定綜合運用】....................................................9

【題型9平行線判定的實際應(yīng)用】.............................................................11

【題型1對頂角的識別及其性質(zhì)】

【變式1-1］（2022?廣東?揭西縣陽夏華僑中學(xué)七年級期末）已知：如圖，直線AB、相交于點O,OE平

分E1AOC,0EOC=|0COB.

OB

D

⑴圖中的對頂角有對，它們是.

（2）圖中互補的角有對，它們是.

⑶求SE。。的度數(shù).

【變式1-2]（2021?山東?濟南市鋼城區(qū)實驗學(xué)校期末）如圖，直線AB,CD相交于點。，OELCD,。e平

分〃?！辏?若〃。。=50°.求NEOF的度數(shù).

u

【變式1-3]（2022?遼寧?鞍山市第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）直線ZB,CD相交于點0,OE平分ABOD,OF平

（2）若乙8。尸=36。，乙40C的度數(shù)是多少？

【題型2平行、垂直】

【例2】（2022?福建?廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級期末）如圖，點A在直線//上，點、B,C在直線辦

A.點A到直線/2的距離等于4

B.點C到直線//的距離等于4

C.點C到A8的距離等于4

D.點2到AC的距離等于3

【變式2-1]（2022?廣西?欽州市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，S.a\\b,b\\c,則a||c

B.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且a16,b1c,則a1c

C.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，S.a\\b,b1c,則a||c

D.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線,且，a||b,b||c則a1c

【變式2-2]（2022?吉林?公主嶺市陶家中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，因為4B11,BC11,B為垂足，所以

4B和8c重合，其理由是（）

A

C

-----------=]---------1

B

A.兩點確定一條直線

B.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.垂直同一條直線的兩條直線平行

D.垂線段最短

【變式2-3]（2022?江蘇?九年級）如圖，點A、點8是直線/上兩點，AB=10,點M在直線/外，MB=G,

MA=8,HAMB=90。，若點尸為直線/上一動點，連接MP,則線段的最小值是.

M

APB

【知識點平行線的判定】

1.平行公理及其推論

①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行」

2.平行線的判定方法

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.

②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.）

【題型3平行公理及其推論】

【例3】（2022?江西上饒，七年級期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足alb,b1c,cId,則下列式子成

立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【變式3-1］（2022?河南漠河?七年級期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣的垂線a和乩得到a|山,

A.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

【變式3-2］（2022?湖北武漢?七年級期中）下列命題：①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③a,b,

c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b,b//c,則a//c；④a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若alb,

則“，c；其中真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式3-3］（2022?四川?甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖，ABWCD,如果N1=42,那么EF與

4B平行嗎？說說你的理由.解：因為N1=N2,

所以II.（）

又因為4BIICD,

所以陰IEF.)

DC

【題型4同位角相等，兩直線平行】

【例4】(2022?甘肅?隴南育才學(xué)校七年級期末)如圖，AB1MN,垂足為8,CD1MN,垂足為D,N1=N2.在

下面括號中填上理由.

因為4B1MN,CD1MN,

所以N2BM=NC￡W=90。.

又因為N1=N2(),

所以N4BM--N2(),

即=

所以EB||FD()

【變式4-1](2022?湖北?靳春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級階段練習(xí))如圖，過直線外一點畫已知直線的平行

【變式4-2](2022?山東泰安?七年級期末)如圖，AB1BC,Zl+Z2=90°,Z2=Z3.請說明線段BE與

OF的位置關(guān)系？為什么？

【變式4-3］（2022?北京東城?七年級期末）如圖，直線I與直線48,CD分別交于點E,F,N1是它的補角的

3倍，Z1-Z2=90°.判斷2B與CD的位置關(guān)系，并說明理由.

【題型5內(nèi)錯角相等，兩直線平行】

【例5】（2022?山東?曲阜九巨龍學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點A在直線。E上，ABEL4c于A,回1與EIC互

余，OE和8C平行嗎？若平行，請說明理由.

【變式5-1］（2022?北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知41=75。，Z2=35°,43=40。，求證:

a\\b.

【變式5-2］（2022?福建?莆田第二十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，CF是△力BC外角乙4cM的平分線,

ZXCB=4O°,ZX=7O°,求證：ABWCF.

AF

BCM

【變式5-3]（2022?遼寧?阜新市第十中學(xué)七年級期中）如圖，ABWDE,EI1=0ACB,回。48=扣BAD,試說明

ADWBC.

【題型6同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】

[例6]（2022?河北衡水?七年級階段練習(xí)）已知：乙4=NC=120°,乙4EF=乙CEF=60°,求證：ABWCD.

BA

F~^E

DC

【變式6-1]（2022?西藏昂仁縣中學(xué)七年級期中）如圖，0040=20°,05=70°,AB0AC,求證：AD\\BC.

【變式6-2]（2022?甘肅,平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級期中）如圖，Z1=30°,ZB=60°,ABVAC.

（1）+48等于多少度？

（2）AD與8c平行嗎？請說明理由.

【變式6-3]（2022?北京市第五中學(xué)分校七年級期末）如圖，已知點E在8C上，BD^AC,EF^AC,垂足分

別為。，F(xiàn),點M,G在AB上，GF交BD于點H,0BMD+0ABC=18O°,01=02,求證：MDWGF.

下面是小穎同學(xué)的思考過程，請補全證明過程并在括號內(nèi)填上證明依據(jù).

證明：0BDSAC,EI^AC,

00B￡?C=9O°,0￡FC=90°（①）.

WDC^EFC（等量代換）.

回8冽萬尸（同位角相等，兩直線平行）.

EB2=EIC8D（②）.

回回1=回2（已矢口）.

ffll=ECBD（等量代換）.

回③—（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

00BM￡）+EL4BC=180°（已知），

0MDIIBC（④）.

0MDIIGF（⑤）.

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】

【例7】（2022?廣西賀州?七年級期末）如圖，有下列條件：①N1=N2；②N3+N4=180。；③45+46=

180°；④N2=N3.其中，能判斷直線磯6的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【變式7-1]（2022?浙江臺州,七年級期末）在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道N2

是直角，那么再度量圖中已標出的哪個角，不熊判斷兩條直軌是否平行（）

A.Z1B.Z3C.44D.45

【變式7-2]（2022?山西臨汾?七年級期末）在下列圖形中，已知41=42,一定能推導(dǎo)出kll"的是（）

【變式7-3]（2022?山東日照?七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DEIIBC的是（）

A.Z.1=Z.2B.Z.3=Z.4C.Z.5=Z.CD.+Z.BDE=180°

【題型8角平分線與平行線的判定綜合運用】

【例8】（2022?吉林?大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形A8C。中，乙4DC+乙4BC=180°,

AADF+^AFD=90°,點、E、F分別在。C、AB上，且8E、。尸分別平分0ABC、0ADC,判斷BE、DF是

否平行，并說明理由.

【變式8-1]（2022?江蘇?揚州市邢江區(qū)實驗學(xué)校七年級期末）將下列證明過程補充完整:

已知：如圖，點E在AB上，且CE平分0AC。，01=02.求證：ABWCD.

證明：I3CE平分E1ACD（已知），

032=13（）.

1301=132（已知）,

回回1=回（）.

0715IICD（）.

【變式8-2]（2022?遼寧沈陽?七年級期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補充完整

如圖，直線分別與直線AC、OG交于點B、F,且加=132.0A8F的角平分線BE交直線ZJG于點E,0BFG

的角平分線FC交直線AC于點C.

求證：BE||CF.

證明：回回1=回2（已知）

EL4BF=E1（對頂角相等）

0BFG=EI2（）

BBABF=（等量代換）

E1BE平分E1AB/（已知）

SZ.EBF=-（）

2-----------------------------------------

團尸C平分團3廠G（已知）

-1

團NCF8=-（）

2-----------------------------------------

團團碎尸=

團BEIICF（）

【變式8-3］（2022?內(nèi)蒙古?扎賁特旗音德爾第三中學(xué)七年級期末）如圖，點G在C。上，已知4BAG+乙4G。=

180°,E4平分/BAG,FG平分N4GC.請說明AE||GF的理由.

解：因為N8AG+Z.AGD=180。(己知),

乙4GC+乙4G。=180°(),

所以4B4G=^AGC().

因為EA平分4BAG,

所以41=2砌).

因為FG平分乙4GC,

所以N2=m,

得41=42（等量代換），

所以（）.

【題型9平行線判定的實際應(yīng)用】

【例9】（2022?全國?七年級課時練習(xí)）如圖，若將木條。繞點。旋轉(zhuǎn)后使其與木條方平行，則旋轉(zhuǎn)的最小

角度為（）

A.65°B.85°C.95°D.115°

【變式9-1]（2022?河南?鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）如圖所示的四種沿進行折疊的方法

圖1圖2圖3圖4

A.如圖1,展開后測得回1=回2B.如圖2,展開后測得回1=02且回3=04

C.如圖3,測得m1=回2D.在圖4中，展開后測得回1+回2=180°

【變式9-2]（2022?全國?七年級）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向

相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向右拐40。，第二次向右拐140。.

B.第一次向右拐40。，第二次向左拐40。.

C.第一次向左拐40。，第二次向右拐140。.

D.第一次向右拐140。，第二次向左拐40。.

【變式9-3]（2022,江蘇?南京外國語學(xué)校七年級期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，N1=70°,Z2=100°,

現(xiàn)將木棒。、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結(jié)束，則

秒后木棒a,6平行.

2

1

專題5.1平行線的判定【九大題型】

【人教版】

【題型1對頂角的識別及其性質(zhì)】...............................................................1

【題型2平行、垂直】.........................................................................2

【題型3平行公理及其推論】..................................................................18

【題型4同位角相等，兩直線平行】............................................................21

【題型5內(nèi)錯角相等，兩直線平行】............................................................23

【題型6同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】.........................................................26

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】.......................................................28

【題型8角平分線與平行線的判定綜合運用】...................................................31

【題型9平行線判定的實際應(yīng)用】..............................................................35

?紜蘆，￡二

【題型1對頂角的識別及其性質(zhì)】

【例1】（2022?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?七年級期中）下列各圖中，回1與團2是對頂角的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)對頂角的概念逐一判斷即可.

【詳解】解：A、粗與回2的頂點不相同，故不是對頂角，此選項不符合題意；

B、與囪2的一邊不是反向延長線，故不是對頂角，此選項不符合題意；

C、國1與國2是對頂角，故此選項符合題意；

D、團1與團2的一邊不是反向延長線，故不是對頂角，此選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查的是對頂角的判斷，有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角

的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角,解題關(guān)鍵是熟練掌握定義,

正確判斷.

【變式1-1](2022?廣東?揭西縣陽夏華僑中學(xué)七年級期末)已知：如圖，直線A3、O相

交于點O,OE平分0AoC,SEOC^COB.

⑴圖中的對頂角有對，它們是.

⑵圖中互補的角有對，它們是.

(3)求&EOD的度數(shù).

【答案】(1)兩；0Aoe和OB。。，EIBOC和0AO。

⑵八；0Aoe和回BOC,EL4OC和0AO。，EIBOD和EA。。，勖?！?和回BOC,EIAOE和回BOE,0EOC

和I3E0。，I3EOC和I3EO8,MOE和I3EO。

(3)140°

【分析】(1)根據(jù)對頂角的定義，判斷即可；

(2)根據(jù)補角的定義進行判斷即可；

(3)根據(jù)OE平分EAOC,得出此0c=EAOE,設(shè)M0C=尤，貝l]MOC=0AOE=|x,列出關(guān)

于X的方程，解方程即可得出aeoc的度數(shù)，再求出回DOE的度數(shù)，即可得出結(jié)果.

(1)

解：圖中的對頂角有：EAOC和回8。。，I38OC和她?！?.

故答案為：兩；0Aoe和I3BOO,EIBOC和0AOZ).

(2)

圖中互補的角有：13Aoe和EIBOC,0AOC和EL4。。，回80。和0AOO,團8?！辏竞虸3B0C,13AoE

和I3B0E,I2E0C和國E。。，

EIOE平分0AOC,

EHAOE=EICOE,

EEAOE+[3BOE=180°,

EIEICOE+0BOE=18O°,

EEEOC和ELEOB互補，

BHCOE+團E0D=180°,

H3AOE+EIEOD=180°,

EBAOE和EIEOD互補.

故答案為：八；0Aoe和EIBOC,EIAOC和固4。。，回8?！?和0AOD的?！?和勖。C,0A0E和

^BOE,SEOC^EOD,I3EOC和團EOB,EIAOE和EIEOO.

(3)

I3OE平分她OC,

EHEOC=0AOE,

設(shè)的9C=無，貝物EOC=0AOE=|x,由平角定義得，

22

-x+-x+x=180°,

解得：x=100°

QEEOC=BAOE=-(180--100°)=40°,

2

EB￡)OE=100°+40°=140°,

答：ae。。的度數(shù)為140。.

【點睛】本題主要考查了對頂角的定義、補角的定義、角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)定義,

根據(jù)題意求出SBOC的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2021?山東?濟南市鋼城區(qū)實驗學(xué)校期末)如圖，直線AB,C。相交于點O,0E1CD,

OF平分乙4。。，若乙4。。=50°.求NE0F的度數(shù).

【答案】650

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得回/0〃=她0尸=扣40〃=25。，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得

E￡O￡>=90°,再進行解答即可.

【詳解】解：回。b平分E1AOD,EL4O￡)=50。，

1

^\FOD=^\AOF=-^AOD=25°,

2

回。砸CO,

團團E。。=90°,

^\EOF=^EOD-^FOD=90o-25o=65°.

【點睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的

關(guān)鍵.

【變式1-3](2022?遼寧?鞍山市第二中學(xué)七年級階段練習(xí))直線CD相交于點。，0E平

分乙BOD,。尸平分“。E.

⑴若〃0C=76°,乙BOF=度.

(2)若NBOF=36°,乙4OC的度數(shù)是多少？

【答案］⑴33

(2)0AOC的度數(shù)是72。

【分析】(I)根據(jù)對頂角、鄰補角、角平分線的定義，求出aeob和團EOB的度數(shù)，再根據(jù)

角的和差即可得SBOP的度數(shù)；

(2)根據(jù)對頂角、鄰補角、角平分線的定義，先用aBOE的等式表示0AOC,再根據(jù)角分線

的定義，列出等式即可求得結(jié)果.

(1)

Z40C=76°,

???乙BOD=AAOC=76°,

???0E平分乙BOD,

Z.BOE=4DOE=38°,

???/.COE+Z.DOE=180°,

乙COE=180°-4DOE=142°,

。尸平分NCOE,

???乙EOF=/-COF=71°,

Z.BOF+乙BOE=/.EOF,

??Z.BOF=4EOF—乙BOE

=71°-38°

=33°

故答案為：33；

(2)

設(shè)N40C=

?1.Z.BOD=Z.AOC=x°,

???OE平分乙BOD,

."B0E=CD0E=3X。，

???乙COE+乙DOE=180°,

???乙COE=180°-(DOE=180°--x°,

2

???。尸平分“OE,

?-,乙EOF=Z.COF=|(180。-療)°,

???乙BOF+乙BOE=乙EOF,乙BOF=36°

???36°+-x°=-(180°-ixo>)°,

22I2J

???x=72°.

【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是觀察圖形分清楚哪兩個

角相等，哪些角相加得180度.

【題型2平行、垂直】

【例2】（2022?福建?廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級期末）如圖，點A在直線//上，點

B,C在直線/2上，ABSl2,ACSh，AB=4,BC=3,則下列說法正確的是（）

BCh

A.點A到直線辦的距離等于4

B.點C到直線。的距離等于4

C.點C到AB的距離等于4

D.點8到AC的距離等于3

【答案】A

【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，即可得到答

案.

【詳解】解：點A到直線/2的距離為A8的長，等于4,故A正確；

點C到直線的距離為AC的長，大于4,故B錯誤；

點C到AB的距離為8c的長，等于3,故C錯誤；

同理，點8到AC的距離也不是3,故D錯誤，

故選：A

【點睛】本題考查點到直線的距離，掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?廣西?欽州市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且a||b,b||c,則a||c

B.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且alb,b1c,則a_Lc

C.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，S.a\\b,b1c,貝！］a||c

D.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且，a||b,b||c則a1c

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分析判斷即可.

【詳解】A.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且a||b,b||c,則a||c,故選項正確，符合題意.

B.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且a1b,b1c,貝Ua〃c,故選項錯誤，不符合題意.

C.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且a||b,blc,則a_Lc,故選項錯誤，不符合題意.

D.在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且，a||b,bile則a〃c,故選項錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022?吉林?公主嶺市陶家中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，因為ABI/,BC11,

B為垂足，所以AB和BC重合，其理由是（）

A

C

----------------------1

B

A.兩點確定一條直線

B.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.垂直同一條直線的兩條直線平行

D.垂線段最短

【答案】B

【分析】利用"平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，逐一分析，排除錯誤

答案即可.

【詳解】解：A.點4C可以確定一條直線，但不可以確定三點2、4C都在直線/的垂線

上，故本選項錯誤；

B.直線BA、都經(jīng)過一個點2,且都垂直于直線/,故本選項正確；

C.在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項錯誤；

D.此題沒涉及到線段的長度，故本選項錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查了垂直的定義、兩點確定一條直線、垂線段最短，熟練掌握和運用各定義

和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022?江蘇?九年級）如圖，點A、點B是直線/上兩點，AB=10,點M在直

線/外，MB=6,MA=8,若點P為直線/上一動點，連接MP,則線段的

最小值是.

【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MPEA2時，有最小值，利用三角形的面積可列式計

算求解WP的最小值.

【詳解】解：當(dāng)MP0AB時，MP有最小值，

EL4B=10,MB=6,MA=8,0AA/B=9O°,

^AB?MP=AM?BM,

即10MP=6x8,

解得MP=4.8.

故答案為：4.8.

【點睛】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時的P點位置是解題的關(guān)

鍵.

【知識點平行線的判定】

1.平行公理及其推論

①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

2.平行線的判定方法

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩

直線平行）.

②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯角相等，兩

直線平行.

③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補，兩

直線平行.）

【題型3平行公理及其推論】

【例3】（2022?江西上饒,七年級期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a16,b1c,c1d,

則下列式子成立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【答案】C

【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證allc,再結(jié)合cld,可

證a1d.

【詳解】解：:alb,b

Ea||c,

Ec1d,

0a1d,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一

條直線的兩條直線平行.

【變式3-1］（2022?河南漫河?七年級期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣A8的垂線

A.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】B

【分析】三條直線48、。、6位于同一平面內(nèi)，且直線。與直線6都垂直于AB,即可根據(jù)在

同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的性質(zhì)來判斷出a\\b.

【詳解】回直線AB、a、》位于同一平面內(nèi)，且A施a、AB勖

加怙（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）

故答案為B.

【點睛】本題考查了平行線判定的性質(zhì)，根據(jù)已知題目反應(yīng)出兩條直線是同一平面內(nèi)，且同

時垂直于一條直線是本題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?湖北武漢?七年級期中）下列命題：①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是

鈍角；③a，b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b,b//c,則a//c；④a,b,c

是同一平面內(nèi)的三條直線，若則其中真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)可判斷①，根據(jù)兩銳角的大小求和可判斷②，根據(jù)平行公理推論

可判斷③，根據(jù)垂直定義得出如=回2=90。，然后利用同位角相等，兩直線平行的判定可判斷

【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故①不正確；

②兩個銳角的和可以是銳角，直角，鈍角，故②不正確；

③b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若功仍，b//c,則〃〃c,故③正確;

（4）a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，如圖

團。-L6,6-Lc,

001=90°,02=90",

001=02

Ela0c,故④不正確；

回真命題只有1個.

故選A.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，兩銳角和的大小，掌握平行線的性質(zhì)與判定，銳角

定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-3］（2022?四川?甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖，ABWCD,如果Nl=N2,

那么EF與平行嗎？說說你的理由.解：因為41=42,

所以II.（）

又因為4BIICD,

所以力BIIEF.（）

【答案】CDWEF-,內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行

【分析】根據(jù)平行線的判定定理完成填空即可求解.

【詳解】解：因為N1=N2,

所以COIIEF.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

又因為ABIICD,

所以4BIIEF.（平行于同一直線的兩條直線平行）

【點睛】本題考查了平行線的判定，平行公理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【題型4同位角相等，兩直線平行】

【例4】（2022?甘肅?隴南育才學(xué)校七年級期末）如圖，AB1MN,垂足為B,CD1MN,

垂足為D,Z1=Z2.在下面括號中填上理由.

因為AB1MN,CD1MN,

所以N4BM=NCDM=90。.

又因為41=42（）,

所以NABM-N1=/CDM—N2（）,

所以EB||FD（）

【答案】已知等量減等量，差相等同位角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)垂線的定義，得出乙4BM=NCDM=90。，再根據(jù)角的等量關(guān)系，得出=

4FDM,然后再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得出EBIIFD,最后根據(jù)解題過程的理由填寫

即可.

【詳解】因為2B1MN,CD1MN,

所以/ABM=乙CDM=90°.

又因為41=42（已知），

所以乙48M—N1=ZCDM—42（等量減等量，差相等），

即4E8M=Z_F0M.

所以￡8|尸。（同位角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握平行線的判定定

理.

【變式4-1］（2022?湖北,新春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，過直線外一點畫

已知直線的平行線的方法叫"推平行線”法，其依據(jù)是

【分析】作圖時保持回g團2,根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可畫出已知直線的平行線.

【詳解】解：過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫"推平行線”法，其依據(jù)是：同位角

相等，兩直線平行.

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的

判定和性質(zhì).

【變式4-2］（2022?山東泰安?七年級期末）如圖，ABIBC,zl+Z2=90°,Z2=Z3.請

說明線段BE與。F的位置關(guān)系？為什么？

【答案】BEWDF,見解析

【分析】由已知推出團3+回4=90。，利用41+42=90。,Z2=Z3,得到如=團4,即可得到結(jié)論

BEWDF.

【詳解】解:BEWDF,

SAB1BC,

EBABC=90°,

003+04=90°,

0Z1+Z2=90°,Z2=Z3,

001=04,

SBEWDF.

【點睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2022?北京東城?七年級期末）如圖，直線/與直線SB,CD分別交于點E,F,Z1

是它的補角的3倍，Z1-Z2=9O°.判斷4B與CD的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】AB||CD；理由見解析

【分析】先根據(jù)補角的定義求出41的度數(shù)，然后求出團CFE和團2的度數(shù)，最后根據(jù)平行線

的判定進行解答即可.

【詳解】解:AB||CD-,理由如下：

回41是它的補角的3倍，

13設(shè)Nl=a,則N1的補角為1a,

回a+5a=180。，

解得：a=135°,

0Z1=135°,

回NCFE=180°-Z1=45°,

0Z1-Z2=90°,

回42=41—90°=45°,

0Z2=乙CFE=45°,

SAB||CD.

【點睛】本題主要考查了補角的有關(guān)計算，平行線的判定，根據(jù)題意求出N2=乙CFE=45。,

是解題的關(guān)鍵.

【題型5內(nèi)錯角相等，兩直線平行】

【例5】（2022?山東?曲阜九巨龍學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點A在直線。E上，ABMC

于A,如與EIC互余，OE和8C平行嗎？若平行，請說明理由.

【答案】平行，理由見解析

【分析】由垂直定義可得SBAC=9O。，根據(jù)平角定義得回l+aBAC+回CAE=180。，即可得出

團1+回C4E=90。，由如與國C互余，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得出國CAE=囪C,根據(jù)平行線的判定定

理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：平行，理由如下：

0AB0AC,

團團A4C=90°,

釀1+團團1C+團CAE=180°,

盟11+團CAE=90°,

團團1與團C互余，即團1+團C=90。，

團團CAE二團C,

WEWBC.

【點睛】本題考查平行線的判定，余角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2022?北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知41=75。，42=35。,

Z3=40°,求證：a\\b.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，求得/4=75。，再根據(jù)乙1=75。，即可得到乙1=44,

進而判定allb.

【詳解】證明：如下圖：

???44=43+42=75°,

又???Z1=75°,

???Z1=乙4,

a\\b.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題時注意：內(nèi)錯角相等，

兩直線平行.

【變式5-2]（2022?福建?莆田第二十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，CF是AABC外角NACM

的平分線，乙4c8=40。，乙4=70。，求證：ABWCF.

AF

BCM

【答案】證明見解析

【分析】由角平分線的定義及補角的定義可求得乙4CE的度數(shù)，即可得乙4=N4CE,進而可

證明結(jié)論.

【詳解】證明：回乙4cB=40°,

回4力CM=180°-40°=140°,

EICF是△48c夕卜角乙4cM的平分線，

回乙4。尸=戛4cM=70。，

2

回乙力=70°,

團N4=N4CF=70°,

EXBHCF.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)和平行線的判定，證得乙4=乙4。尸

是解題的關(guān)鍵.

［變式5-3］（2022?遼寧?阜新市第十中學(xué)七年級期中）如圖,ABWDE,01=0ACB,SCAB=^\BAD,

試說明ADWBC.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得UR4c=如，等量代換得她尊=回54（7,根據(jù)乙乙48="比4。可

得0ACB=［3D4C,即可得.

【詳解】證明：SABWDE,

RBBAC=m,

0EI1=EIACB,

SSACB=^BAC,

^/.CAB=-/.BAD,

2

團她C3二團ZMC,

^1AD\\BC.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì).

【題型6同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】

[例6]（2022?河北衡水,七年級階段練習(xí)）已知：zX=ZC=120°,^AEF=乙CEF=60°,

求證：ABWCD.

BA

F~^E

DC

【答案】見解析

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行即可證

明結(jié)論.

【詳解】證明：4力=NC=120°,/-AEF=乙CEF=60°,

???Z.71+Z.AEF=180°,Z.C+乙CEF=180°,

AB||EF,CD||EF,

：.AB||CD.

【點睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定.

【變式6-1]（2022?西藏昂仁縣中學(xué)七年級期中）如圖，EICA￡）=20o,回8=70。，AB0AC,

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行證明即可.

【詳解】解：HABI3AC,

00BAC=9O°,

E0CA￡）=20°,郎=70°,

00B+EIBAD=7OO+9OO+2OO=18OO,

EL4DIIBC.

【點睛】本題考查平行線的判定、垂直定義，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵.

【變式6-2]（2022?甘肅?平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級期中）如圖，Z1=30°,ZB=60°,AB1AC.

（1）N￡MB+NB等于多少度？

(2)4。與BC平行嗎？請說明理由.

【答案】(1)0￡>AB+0B=18O°

(2)AD||BC；理由見解析

【分析】(1)由己知可求得回￡>48=120。，從而可求得EIDA8+EIB=：L80。；

(2)根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行可得2DIIBC.

(1)

解：EIABEIAC,

aaBAC=90°.

又021=30",

00BA￡)=12O°,

038=60°,

E0￡>AB+0B=18O°.

(2)

解：AD||BC.理由如下：

ffl0Z)AB+0B=18O°,

固4。IIBC.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

【變式6-3](2022?北京市第五中學(xué)分校七年級期末)如圖，已知點E在BC上，BDSAC,

EF^AC,垂足分別為。，F(xiàn),點、M,G在上，GF交BD于點、H,0BMZ)+0ABC=180°,01

=回2,求證：MDWGF.

下面是小穎同學(xué)的思考過程，請補全證明過程并在括號內(nèi)填上證明依據(jù).

證明：0BDEL4C,EM3AC,

032。。=90°,(BE尸C=90°(①).

00B￡)C=0EFC(等量代換).

0BDHEF(同位角相等，兩直線平行).

002=ECB￡>(②).

001=02(已知).

0EI1=ECB￡)(等量代換).

回③—(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).

00BMD+0ABC=18O°(已知)，

13Moi18c(④).

SMDWGF(⑤).

【答案】垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF^BC,同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

平行于同一直線的兩直線平行.

【分析】根據(jù)垂直定義得出回BOC=SEFC,根據(jù)平行線的判定推出瓦兆￡凡根據(jù)平行線的

性質(zhì)得出13cB。=m2,求出EIC8O=EI1,根據(jù)平行線的判定得出GRSBC,GR3M。即可.

【詳解】證明：0BDEAC,E/WC,

00B￡）C=9O°,I3EFC=9O。（垂直的定義）.

^BDC^EFC（等量代換）.

回以加所（同位角相等，兩直線平行）.

EEI2=fflCB￡）（兩直線平行，同位角相等）.

001=02（已知）.

0EH=fflCBZ）（等量代換）.

EGfBBC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

EHBMO+0ABC=18O°（已知），

EIMDE1BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

0MZMGF（平行于同一直線的兩直線平行）.

故答案為：垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GfBBC；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行;

平行于同一直線的兩直線平行.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】

[例7]（2022?廣西賀州?七年級期末）如圖，有下列條件：①Nl=Z2；②N3+Z4=180°；

③45+46=180。；④42=43.其中，能判斷直線磯6的有（）

【答案】B

【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.依

據(jù)平行線的判定方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：①由如=團2,可得川也

②由團3+團4=180°,可得allb；

③由團5+回6=180°,03+06=180°,可得回5=03,即可得到。|仍；

④由回2=回3,不能得到。|也

故能判斷直線的有3個，

故選：B.

【點睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2022?浙江臺州?七年級期末）在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，

如圖，已經(jīng)知道N2是直角，那么再度量圖中已標出的哪個角，不熊判斷兩條直軌是否平行（）

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】因為回2是直角，只要找出與回2互為同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)

平行線的判定定理判定即可得到正確答案.

【詳解】因為團2是直角，回4和回2是同位角，如果度量出44=90°,

根據(jù)"同位角相等，兩直線平行"，就可以判斷兩條直軌平行，

回5■和回2是內(nèi)錯角，如果度量出45=90°,

根據(jù)"內(nèi)錯角相等，兩直線平行"，就可以判斷兩條直軌平行,

團3和團2是同旁內(nèi)角，如果度量出43=90°,

根據(jù)"同旁內(nèi)角互補，兩直線平行"，就可以判斷兩條直軌平行，

所以答案為：A.

【點睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理.

【變式7-2］（2022?山西臨汾?七年級期末）在下列圖形中，已知Nl=/2,一定能推導(dǎo)出人||"

的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)鄰補角的定義，對頂角相等和平行線的判定定理即可求解.

【詳解】解：A.如圖,

Vzl=z2,+43=180°,

???N2+N3=180°,

???不能推導(dǎo)出kII%，不符合題意;

■B.如圖,

Vzl=z2,zl+Z3=180°,

.??42+43=180°,

???不能推導(dǎo)出人11%，不符合題意;

C如圖,

???z.1=Z2,zl+Z3=180°,

匕2+43=180°,

，不能推導(dǎo)出人II%，不符合題意;

D汝口圖，

zl=z2,zl=乙3,

???z2=z3,

二一定能推導(dǎo)出kII",符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩

直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的知識點.

【變式7-3］（2022?山東日照?七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DEIIBC的

是（）

aE

2

BC

A.Z1=Z2B.Z3=Z4C.z5=Z-CD.(B+乙BDE=180°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】因為41=42,

所以DEIIBC,

故A不符合題意；

因為43=Z.4,

不能判斷DE||BC,

故B符合題意；

因為45=Z.C,

所以DEIIBC,

故C不符合題意；

因為NB+乙BDE=180°,

所以DEIIBC,

故D不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【題型8角平分線與平行線的判定綜合運用】

【例8X2022?吉林?大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABC。中，乙4DC+

N4BC=180°,AADF+^AFD=90°,點E、/分另1J在DC,AB1.,且8E、。/分另U平分0A8C、

0A￡）C,判斷BE、。尸是否平行，并說明理由.

【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得N4BE=（乙4BC,乙4DF=（乙4DC,從而可得N4DF+

乙4BE=90°,再結(jié)合4WF+AAFD=90。可得乙4BE=乙AFD,然后根據(jù)平行線的判定即

可得.

【詳解】解：BE||DF,理由如下：

BE,DF分別平分乙4BC,N/WC,

^ABE=-Z.ABC,Z.ADF=-^ADC,

22

???Z.ADC+/.ABC=180°,

???^ADF+^ABE=|（4WC+乙4BC）=90°,

又???Z.ADF+Z.AFD=90°,

Z.ABE=Z-AFD,

???BE||DF.

【點睛】本題考查了角平分線、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵.

【變式8-1］（2022?江蘇,揚州市祁江區(qū)實驗學(xué)校七年級期