2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期專項復(fù)習(xí)：特殊平行四邊形（重點+難點）解析版

特殊平行四邊形（重點+難點）

01重點

一、單選題

I.矩形和菱形都具有的性質(zhì)是（）

A.鄰邊相等B.對邊相等C.對角線互相垂直D.對角線相等

【答案】B

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形和矩形的性質(zhì)；

根據(jù)菱形和矩形的性質(zhì)即可判斷；

【解析】解：A、矩形鄰邊不一定相等，不符合題意，

B、矩形和菱形對邊相等，符合題意，

C、矩形對角線不一定互相垂直，不符合題意，

D、菱形對角線不一定相等，不符合題意，

故選：B.

2.如圖，在矩形A8O中，對角線NC與AD相交于點。，若4O=4B,則NCOD的度數(shù)（）

A.30°B.60°C.45°D.90°

【答案】B

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)可得8。，結(jié)合=可證明是等邊三角形，所以

ZAOB=60°,再根據(jù)對頂角相等即得答案.

【解析】四邊形/BCD是矩形，

:.AO=-AC,BO=-BD,AC=BD,

22

AO=BO,

vAO=AB,

AO-AB=BO,

是等邊三角形,

ZAOB=60°,

NCOD=ZAOB=60°.

故選B.

3.若面積為6菱形的一對角線長為2夜，則另一對角線長為（）

A.272B.3百C.372D.273

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線之積的一半可進行求解.

【解析】解：由題意得：另一條對角線的長為襄=3行；

故選C.

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在菱形48CD中，/ABC=70°,則。的度數(shù)是（）

A.110°B.70°C.45°D.35°

【答案】D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的對角線平分一組對角.根據(jù)菱形的對角線

平分一組對角即可求解.

【解析】解：：在菱形ABCD中，NABC=70°,

AABD=-AABC=35°,

2

故選：D.

5.如圖，在口48。中，NC與3D相交于點。，則下列說法不正確的是（）

A.若AB=AD，則nABCD是菱形B.^ABLAD,則口45co是矩形

C.若AC=BD,則口/3CO是矩形D.若ACJ.BD,則口N8CD是正方形

【答案】D

【分析】本題考查了矩形和菱形的判定，根據(jù)矩形和菱形的判定的判定定理逐項判斷即可求解，掌握矩形

和菱形的判定的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，若,則口/BCD是菱形，故A說法正確，不合題意；

?.?四邊形/3CD是平行四邊形，若則口/BCD是矩形，故B說法正確，不合題意；

???四邊形N5O是平行四邊形，若AC=BD,則口N8CA是矩形，故C說法正確，不合題意；

?.?四邊形/2CZ）是平行四邊形，若AC，BD,則口/BCD是菱形，故D說法錯誤，符合題意；

故選：D.

6.如圖，在正方形ABCD中，點E、尸分別在邊8c和4D上，BE=2,AF=6,如果/E〃CF,那么

的面積為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到

AD\\BC,AB=BC,ZABE=90。，進而證明四邊形/ECF是平行四邊形，得到/斤=（?￡=6,則

AB=BC=BE+CE=S,最后根據(jù)三角形面積計算公式求解即可.

【解析】解：???四邊形/BCD是正方形，

.-.AD\\BC,AB=BC,ZABE=90°,

???AE//CF,

.?.四邊形AECF是平行四邊形，

AF=CE=6,

.-.AB=BC=BE+CE=S,

??.S"E="2E=gx2x8=8，

故選：B.

7.如圖，在正方形/BCD外側(cè)，作等邊則—CAE為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，等邊三角形的三條邊都相等，三個角都是60。求出

AB=AE,4B/E的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形兩個底角相等求出即可.

【解析】解：.??四邊形43。是正方形，

:.AB=AD,ABAD=90°,

\ADE是等邊三角形，

/.AD=AE,/DAE=ZAED=60°,

在zMHE中，AB=AE,ABAE=ABAD+ZDAE=90°+60°=150°,

.Z^=180-Z^=180-150：=15

22

ZCBE=90°-ZABE=90°-15°=75°,

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，菱形/5CQ中，過點。作CEL3C交5。于點若/區(qū)4。=118。，則NCE3=()

A

B

C

A.59°B.62°C.69°D.72°

【答案】A

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得4D〃3C,

/ABD=/CBD,從而得到NCAD=31。，再由CE_L3C,即可求解.

【解析】解：???四邊形是菱形，

AD//BC,ZABD=ZCBD,

ABAD+AABC=\W0,

VZBAD=m0,

???N45C=180?！?18。=62。，

:.NCBD=L/ABC=31。,

2

?；CE上BC,

???/BCE=90°,

.-.ZC^=90°-31°=59°.

故選：A.

9.如圖，在矩形28C。中，40=7,CD=4,點、E,尸分別在BC,CD上，BE=3,CF=2,若G是/￡的

中點，〃是3尸的中點，連接G",則G〃的長為（）

A.72B.V3C.2D.Vs

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)定理，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)

鍵.連接2G,并延長交AD于N,連接NF,證a/GN烏AEGB可得3G=GN,AN=BE=3；結(jié)合H是BF

的中點，BG=GN,可得即可求解；

2

【解析】解：如圖，連接3G,并延長交于N,連接湎，

???四邊形"CD是矩形,

AD//BC,

■■■ZDAE=ZAEB,

???G是NE的中點，

:.AG=GE,

又?：4AGN=ABGE,

4AGNmEGB,

BG=GN,AN=BE=3,

■：AD=7,CD=4,CF=2,

:.DF=2,DN=4,

NF=yjDN2+DF2=275；

???H是3尸的中點，BG=GN,

:.GH==NF=E

2

故選：D.

10.如圖，正方形N8CD的邊長為9,￡為對角線NC上一點，連接DE,過點￡作跖，交射線2C

于點尸，以DE,印為鄰邊作矩形DEEG,連接CG,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.矩形DEFG是正方形B.ZCEF=AADE

C.CG平分ZDCHD.CE+CG=972

【答案】B

【分析】過點￡分別作EKLBCECCD,垂足分別為K,L,則/EKF=/ELD=90。，根據(jù)角平分線的

性質(zhì)，可得EK=EL,可證明四邊形EKCZ是矩形，再證明空可得DE=EF,從而得到矩形

DEFG是正方形，可判斷A選項；證明AADE絲ACOG,可得CG=/E,ZDCG=ACAD=45°=-ADCH,

2

從而得到CG平分/DC",可判斷C選項；再由勾股定理可得CE+CG=NC=90，可判斷D選項；再由

ZCEF與NFEK的大小無法判斷，可得ZADE=ZCEF不一定成立，可判斷B選項.

【解析】解：如圖，過點￡分別作EKL8C,磯，CD,垂足分別為K,L,則NEKF=/ELD=90°,

,??四邊形/5C7）是正方形,

AB=CB=AD=CD,NB=N4DC=90。,ZDCA=ZDAC=ZBCA=45°,

???EK=EL,

■:/EKC=ZELC=ZLCK=90°,

???四邊形EKC￡是矩形，

??.AKEL=90°,

???四邊形。斯G是矩形，

；,/DEF=/KEL=9。。,

??.ZFEK=/DEL,

???^EFK=^EDL,

DE=EF,

矩形G是正方形，故A選項正確，不符合題意；

DG=DE

???/EDG=/ADC=90。,

/CDG=/ADE=90°-ZCDE,

。:CD=AD,DG=DE,

^ADE=^CDG,

CG=AE,ZDCG=/CAD=45°=-ZDCH,

2

??.CE+CG=CE+AE=AC,CG平分/DCH,故C選項正確，不符合題意；

?.?AB=BC=9,ZB=90°,

-CE+CG=AC=^AB2+BC2=972，故D選項正確，不符合題意；

-ELLCD.ADLCD,

??.EL//AD,

???/ADE=/DEL=ZFEK,

???ZCEF與ZFEK的大小無法判斷，

；.NADE=NCEF不一定成立,故B選項不正確，符合題意；

故選：B

【點睛】此題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角

形內(nèi)角和定理及其推論以及數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助

線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.在矩形/BCD中，對角線NC、8。相交于點0,若/C=6,則8的長度為.

【答案】3

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等，且互相平分；理解性質(zhì)定理是關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的對角線相等，且互相平分即可求解.

【解析】解：：四邊形N3CD是矩形，

BD=AC=6,

:.OD=-BE)=3.

2

故答案為：3.

12.菱形的一個內(nèi)角是120。，邊長是5cm,則這個菱形較短的對角線長是cm.

【答案】5

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得菱形60。角所對的對角線與菱形的兩邊構(gòu)成的三角形是等邊

三角形，據(jù)此即可求解；

【解析】解：???菱形的一個內(nèi)角是120。，

??.其鄰角為60。，

根據(jù)菱形的性質(zhì)得，60。角所對的對角線與菱形的兩邊構(gòu)成的三角形是等邊三角形,

故這個菱形較短的對角線長是5cm.

故答案為：5.

13.如圖，四邊形/BCD是菱形，AC=8,DB=6,DH上AB于點、H,則?！?,

D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對

角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的面積等于對角線乘積的一半.掌握菱形的性質(zhì)是

解本題的關(guān)鍵.

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得。4=。。=4,OB=OD=3,ACLBD,再利用勾股定理計算出45=5,然后根據(jù)菱形

的面積公式得到。再解關(guān)于。〃的方程即可.

【解析】解：：四邊形/BCD是菱形，

OA=OC=4,OB=OD=3,AC上BD,

在RM/O5中，AB=V32+42=5，

S菱形NBCZ)=5,/C,BD,

S菱形/BS=DH?AB,

:.DH-5^-x6x8,

2

24

DH=—.

5

24

故答案為

14.如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個四邊形，如果直尺的寬度是2,兩把直尺

所夾的銳角為453那么這個四邊形的周長為.

【答案】80

【分析】本題考查了菱形的判定，四邊形的面積的計算，解題關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，求出/E.由題

意可知/D〃8C,AB//CD,再證明3C=CD,得出四邊形/BCD是菱形，再根據(jù)/E=2,N/3C=45。，求

出43,即可求解.

【解析】解：過點工作/ELBC于RAFLDC^-F,

四邊形/BCD是平行四邊形，

又?.,平行四邊形/5CD的面積=3C?/E=Z?C?/月，

BC=CD

???平行四邊形是菱形，

在Rt/\ABE中，AB=2,ZABC=45°,

??.ANBE為等腰直角三角形，

BE=AE=2,

■■AB=>l22+22=2>/2,

這個四邊形的周長為4x2收=80，

故答案為：872.

15.如圖，在矩形ABCD中，點E是邊上一點，將ABCE沿CE折疊，使點3落在/D邊上的F處，已知

理可求出DR,進而求出/F,在RtA/EF中由勾股定理可求出3E.

【解析】解：由翻折的性質(zhì)可知，BE=EF,BC=FC=AD=5,

在RtzXCD廠中，CF=5,CD=AB=3,

DF=A/52-32=4，

/.AF=AD-DF=5-4=1,

設(shè)BE=x,貝!JEF=x,AE=3-x,

在Rt”即中，由勾股定理得：AF2+AE2=EF2,

即1+(3—x)2=%2,

解得x=:

即

5

故答案為:

3

16.如圖,在平面直角坐標系中，。為坐標原點，正方形。48c的頂點/的坐標為(1,2),點2為第二象限

的點，則點2的坐標為.

【答案】(-1,3)

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，坐標與圖形，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵；過A作

1x軸，過C作。F1x軸，過8作BE1C尸，證明AAOH咨AOCF四“CBE(AAS)得出CF=OH,CE=4H,

再根據(jù)點A的坐標即可求解.

【解析】解：過A作/軸，過C作CRLx軸，過8作如圖:

ZE=ZCFO=ZOHA=90°,

???四邊形CM8C是正方形,

OA=OC^BC,ZAOC=ZOCB^90°,

；.NBCE+ZOCF=ZOCF+ZCOF=ZCOF+ZAOH=ZAOH+NOAH=90°

/./BCE=ZFCO=ZOAH,

:AAOH知OCF知CBE(AAS),

CF=OH=BE,CE=OF=AH,

???4的坐標為(1,2),

...OH=CF=BE=1,AH=0F=CE=2,

.-.EF=3,

即點B的縱坐標為3,

???點2為第二象限的點，

.??點8的坐標為

故答案為：(T,3).

17.如圖，在矩形中，邊48的長為4,點E,F分別在AD,BC上，連接BE,DF,EF與

BD相交于點。，若四邊形BEDF是菱形，S.EF=AE+FC,則邊BC的長為.

【答案】473

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)可利用“HL”證明△48E空△CDF,即得出/E=CF,由￡F=/E+FC,即可證明

AE=OE,繼而可再次利用“HL”證明之即得出=NOBE,從而可求出

AABE=ZDBE=ZDBC=|ZABC=30°,最后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可求出答案，掌握以上知

識點是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：???四邊形/BCD是矩形，

BC=AD,Z_A-Z.C—90°,

???四邊形方是菱形，

??.BE=DF,OE=OF,NDBE=NDBC,EFLBD,

???/BOE=90°,

在RtZ\45￡和RtZkCD廠中，

AB=CD

BE=DF

??.AE=CF,

-：EF=AE+FC,^OE+OF=AE+FC,

20E=2AE,

AE=OE,

在RtZk45￡和中，

jAE=OE

[BE=BF'

.?.RM/BE絲RMOBE(HL),

/ABE=/OBE,

/ABE=/DBE=/DBC=-/ABC=30°,

3

BD=2AB=8,

???BC=AD=y/BD2-AB2=Vs2-42=4百，

故答案為：4A/3.

18.如圖，正方形/BCD的邊長為8,點E為線段CD上的動點，EGLEH,EG=EH,M為名中點，F(xiàn)

為6c中點，則九值的最小值為.

【答案】20

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形等知識，建立平面直角坐標系

求解是解答的關(guān)鍵.

過G作GP_LCD于尸，證明APEG取ACTffi(AAS)得到P￡=CH,PG=CE,設(shè)CE=a,CH=b,以點2

為坐標原點，8c所在的直線為x軸建立直角坐標系，則G(8-a,a+b),笈(8-6,0),利用中點坐標公式得

“0-審，等）尸（4,0）,再利用兩點坐標距離公式得尸M=j2（審-2

,利用非負數(shù)的性質(zhì)求

解即可.

【解析】解：???正方形"CO的邊長為8,

：.BC=CD=8,/ABC=/BCD=9。。,CD//AB,

如圖，過G作G0_LC￡）于P,貝！JNGPE=ZECH=90°,

???EG1EH,

???/PEG+ACEH=90°,

ZPGE=ACEH,又EG=EH,

??.△PEG慫△CTffi'(AAS),

??,PE=CH,PG=CE,

設(shè)CE=。，CH=b,貝!J0WQW8,0<6<8,

/.CP=a+bfBH=8—6,

以點8為坐標原點，3c所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，則G（8-a,a,H(8-b,0),

為名中點，廠為3C中點，又8_a+8i=8—

2

*Jc"bQ+b\z人八'

J,尸（4,0）,

a+b

-8+16

~Y~

>78=272,當(dāng)且僅當(dāng)審=2即a+6=4時取等號,

???FM的最小值為2夜.

故答案為：2行.

三、解答題

19.如圖，己知矩形/BCD,過點。作CE〃臺。交的延長線于點E.求證：AC=EC.

【分析】根據(jù)矩形的對應(yīng)邊相等及對角線相等，找出等量關(guān)系求解即可.

主要考查了矩形的性質(zhì).要掌握矩形的性質(zhì)：對角線相等，對應(yīng)邊平行且相等.

【解析】證明：???四邊形是矩形，

BD=AC,CD//AB,

又???CE//BD,

???四邊形OBEC是平行四邊形，

BD=EC,

AC=CE.

20.如圖，四邊形4BC〃是矩形，AE//BD,交C2的延長線于點￡,CF//BD,交48的延長線于點廠,

連接跖.

求證：四邊形NEFC是菱形.

【答案】見詳解

【分析】本題考查菱形的判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì).根據(jù)題意先證四邊形是平行

四邊形，再由//5C=90。即可.

【解析】證明：,??四邊形/2C。是矩形

AD//BC,AB//DC,AC=BD/ABC=90°

.-.AD\\EB,BF]\DC

???AE//BD,CF//BD

四邊形ZEB。，四邊形5/7CZ）都是平行四邊形

:.AEHBD,AE=BD,BDHFC,BD=FC

:.AEHFC,AE=FC

???四邊形N斯C是平行四邊形

ZABC=90°

四邊形NMC是菱形.

21.如圖，在正方形4BCD中，點E在邊的延長線上，點尸在CD邊的延長線上，且CE=DF,連接4E

和3尸相交于點

求證：AE=BF.

【答案】證明見解析.

【分析】利用正方形的性質(zhì)證明：AB=BC=CD,Z.ABE=Z.BCF=9Q°,再證明2E=CF,可得三角形的全等，利

用全等三角形的性質(zhì)可得答案.

【解析】證明：???四邊形N8CD為正方形，

：.AB=BC=CD,乙1BE=LBCF=90°,

又,:CE=DF,

■■.CE+BC=DF+CD即BE=CF,

在△8CF和"BE中，

BE=CF

<NABE=NBCF

AB=BC

:.AABEmLBCF(S4S),

：.AE=BF.

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，4x6的網(wǎng)格中，每個小正方形邊長都是1,它們的頂點為格點.在圖1,圖2中已畫出線段

且點A,8均在格點上.

(1)在圖1中以A8為對角線畫出一個矩形，使矩形的另兩個頂點也在格點上，且所畫矩形不是正方形.

(2)在圖2中以45為對角線畫出一個菱形，使菱形的只兩個頂點也在格點上，且所畫菱形不是正方形.

(3)圖1中所畫矩形的面積為;圖2中所畫菱形的面積為.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)8,8

【分析】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟記矩形和菱形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵所在.

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)畫圖即可，

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)畫圖即可，

(3)根據(jù)矩形的面積公式和菱形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解析】(1)解：如圖①所示，矩形/BCD即為所求，

(2)解：如圖②所示，菱形/尸8E即為所求,

(3)解：矩形43。的面積=2乂4=8；

菱形NFSE的面積=4x4-2-4x-x3=8,

2

故答案為：8,8.

23.如圖，在矩形NBCD中，點M在DC上，AM=AB,且垂足為N.

⑴求證：^ABN^MAD；

(2)若AD=2,AN=4,求四邊形8cMN的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)4>/5-8

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定，了解矩形的對邊平行且相等，四個角都是直角，對

角線相等且互相平分是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.

(1)利用矩形的對邊平行和四個角都是直角的性質(zhì)得到兩對相等的角，利用44s證得兩三角形全等即可;

(2)利用全等三角形的性質(zhì)求得4。=5N=2,AN=4,從而利用勾股定理求得的長，利用

=

S四邊形BOVWS矩形245cZ)-S^ABN—^^MAD求得答案即可.

本題考查了矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，了解矩形的對邊平行

且相等，四個角都是直角，對角線相等且互相平分是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.

【解析】(1)證明：在矩形/BCD中，ND=90°,DC//AB,

/BAN=/AMD,

BNVAM,

=90°,

在AABN和AMAD中,

NBAN=NAMD

<ZBNA=ZD=90°,

AB=AM

:AABN也/XMAD(AAS)；

(2)解：-.■Z\ABN^Z\MAD,

BN=AD,

■：AD=2,

BN=2,

又<4N=4,

在RtAABN中，AB=JAN。+BN。="+■=275，

S矩物BS=2x275=475,S^ABN=S^MAD=1x2x4=4,

==

一S四邊形BCMVS矩形/BCD—S^ABN-S&MAD4#-8"

24.如圖，在菱形/BCD中，/E，BC于點￡,/斤JLCO于點尸，連接EF.

（1）求證：AE=AF

⑵若乙8=60。，求NN跖的度數(shù).

【答案】（1）見解析

⑵乙4所=60°

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角

形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.

（1）欲證明=只需要證得A48E會尸即可；

（2）根據(jù)菱形的鄰角互補和全等三角形的性質(zhì)進行推理解答.

【解析】（1）證明：???四邊形/8C〃是菱形，

AB^AD,NB=ND.

又???/El3c于點￡,于點尸，

ZAEB=ZAFD=90°,

在與△4。尸中，

ZB=ZD

???<ZAEB=ZAFD.

AB=AD

:."BE%ADF(AAS).

/.AE=AF；

(2)解：=四邊形45c。是菱形,

ZB+ZBAD=\S0°.

而NJ5=60。，

ZBAD=120°,

又???/AEB=9()。,ZB=60°,

/./BAE=30°.

由(1)知"BE知ADF,

...ZBAE=ZDAF=30°.

/EAF=120。一30。-30。=60。.

:.^AEF是等邊三角形.

ZAEF=60°.

25.如圖，已知矩形/BCD的長48=x米，寬臺。=＞米，x,y滿足|x-5|+(y-4)2=0,一動點P從/出發(fā)

以每秒1米的速度沿著Cf8運動，到達8點停止.另一動點。從3出發(fā)以每秒2米的速度沿

BrCfDfA運動,到達4點停止.P,。同時出發(fā)，運動時間為f.

DC

A

(1)^=,蚱；

(2)當(dāng)/=5時，求△/尸0的面積；

(3)當(dāng)尸，。都在DC上，且尸。距離為;時，求才的值.

【答案】⑴5,4

52

259

⑶"1或

【分析】本題考查了矩形性質(zhì)及一元一次方程的應(yīng)用，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

(1)由非負性可求解；

(2)由三角形的面積公式可求解；

(3)分兩種情況可求解.

【解析】(1)小-5|+(廣4)2=0,

x-5=0,_4=0,

x=5,y=4,

故答案為：5,4；

(2)當(dāng)f=5時，尸走過的路程為5米，。尸=1米，

。走過的路程為10米，在邊上，。。=1米，

13

此時，(米)，(平方米)

AQ=3S^APQ=--AQ-DP=-

(3)點尸在DC上,

■-4<t<9,

???點。在DC上，

：.2<t<4.5,

.-.4<t<4.5,

當(dāng)尸左0右時，DP=t-4,CQ=2t-4,

.■.PQ=CD-DP-CQ=5-(t-4)-(2t-4)=13-3t,

/.13—3Z=一,

2

解得”手.

6

②當(dāng)0左尸右時，4)米，。。=(2-4)米，

尸Q=QP+C<—CD=?—4)+(2"4)-5=(31一13)米,

???3/13」

2

9

解得，=5=4.5,

綜上，滿足題意的，=套25或9

26.如圖，正方形/BCD,N3=8.將正方形/BCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度&(0°<a<90°),得到正方

形4EFG,EF交CD于點、M,延長FE交8c于點N.

備用圖

(1)求證：MN=DM+BN-

(2)順次連接。，E,C,F,得到四邊形OECF.在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形DECF能否為矩形？若能，求出

BN的值；若不能，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析；

Q

⑵能，-.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及選轉(zhuǎn)的不變性證明△/斯)。加和絲A/EN即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)得：CD=EF,故當(dāng)CD,跖互相平分時，四邊形CEZW為矩形，設(shè)BN=x,則CN=8-x,

DM=CM=4,ME=x+4,在RtZXNCM中，由勾股定理得：(8-x『+4?=(x+4『，解方程即可.

【解析】(1)證明：連接4/,/N

,??四邊形48C〃是正方形,

.-.ZB=ZD=90°,AB=AD,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AE,ZAEM=ZAEN=ZB=90°,

AD=AE,ZAEM=ZD=90°,

AM=AM,

???DM=EM,

同理可證："BNmMEN,

BN=EN,

?：MN=ME+EN,

:.MN=DM+BN；

o

(2)解：能，BN=-

3

G

,??四邊形N5CD是正方形，

；.BC=CD=AB=8,/BCD=90°,

由旋轉(zhuǎn)得：CD=EF,

故當(dāng)CD,所互相平分時，四邊形CEDE為矩形，

?.?。，斯互相平分，

???四邊形CEDF為平行四邊形，

???CD=EF,

四邊形CEDF為矩形，

設(shè)BN=x,貝!|CN=8-x,DM-CM=—x8=4,

2

由（1）知=河=x+4,

.?.在RtZXNCM中，由勾股定理得：（8-x『+42=（x+4『,

QO

解得：x=|,即8N=g.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，熟練掌握知識點,

正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

27.如圖①，在矩形/BCD中，點E在邊48上，點尸在邊3c上，連接DE,DF,EF,已知

NEFB=2ZCDF.

圖①

(1)求證：DF平分NCFE；

(2)如圖②，若矩形/5CD為正方形，求/FDE的度數(shù);

(3)如圖③，在(2)的基礎(chǔ)上，將點E繞點。順時針旋轉(zhuǎn)使點E的對應(yīng)點落到點已知點￡’恰好落在

邊8C的延長線上，連接。E',EE',若E￡=80，求ADEE'的面積.

【答案】(1)見解析

(2)45°

(3)32

【分析】此題考查了全等三角形的的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì).

(1)設(shè)/CDF=a,則喈=2NCD尸=2a,得到=90。-1,NDFE=90°-a,即可得到

NDFE=NDFE,結(jié)論得證；

(2)過點。作0/7，E尸于H,證明^CDF^HDF(AAS),則CD=DH,ZCDF=ZFDH,證明

"DE%HDE(HL),則NHDE=N4DE,則NFDH+NEDH=NCDF+NADE=gNADC=45。,即可得到

答案；

(3)證明RtAOCEWRtAD4￡(HL),plijZEDC=ZEDA,得到△￡?)￡是等腰直角三角形，即可得到

DE=DEf=8.

【解析】(1)證明：設(shè)2CDF=a,則/E尸8=2/CD尸=2a,

?.?四邊形ASO矩形，

.-.ZC=90°,

.-.ZCFD=90°-ZCDF=90°-?,

:.乙DFE=180°-ZDFC-NBFE=180°-(90°-a)-2a=90°-a

："DFE=NDFE,

；.DF平分NCFE；

(2)過點。作0/7E尸于

ZC=ZDGF=90°,

由(1)可知，NDFE=NDFE,

又?:DF=DF

^CDF^HDF(AAS),

.-.CD=DH,ZCDF=ZFDH,

?.?四邊形/BCD是正方形，

CD=DA,ZA=ZCDA=90°

■.DA=DH,

???DE=DE

.?."DE知HDE(HL),

AHDE=NADE,

ZFDH+ZEDH=ZCDF+ZADE=-ZADC=45°,

2

ZFDE=NFDH+ZEDH=45°

(3)將點E繞點D順時針旋轉(zhuǎn)使點E的對應(yīng)點落到點E',

■■DE=DE'>

???DC=DA,NA=NDCB=ZDCE'=90°

.?.RtAOCESRtlE^HL),

AEDC=/EDA,

ZCDE'+ZCDE=ZADE+ZCDE=90°,

NE'DE=90°

■■^E'DE是等腰直角三角形，

???DE=DE'=—EE'=—x8y/2=8

22

ADEE'的面積=-DE'-DE=-xSxS=32

22

02難點

一、單選題

1.如圖，E、尸、X分別為正方形45CQ的邊45、BC、8上的點，連接。尸，HE,且HE=DF,QG平

分/40尸交48于點6.若/8￡〃=52。，則446。的度數(shù)為（）

A.26°B.38°C.52°D.64°

【答案】D

【分析】過點//作由正方形的性質(zhì)8C=CD,44=/C=N4DC=90。，4D〃3C,四邊形BCW

為矩形，利用HL易證得AHEMmADFC,可得NBEH=ZDFC=52°,進而可得ZADF=ZDFC=52°,由角平

分線可得的4DG度數(shù)，即可求得得乙4G。度數(shù).

【解析】解：過點“作

?.?四邊形A8CD是正方形，

BC=CD,NA=NC=NADC=90°,AD//BC

■：HMVAB,則四邊形BCW為矩形,

：.MH=BC=DC,

vHE=DF,

:.△HEM經(jīng)4DFC（HL）,

ZBEH=ZDFC=52°,

???AD//BC,

NADF=ZDFC=52°,

又?；DG平分NADF,

ZADG=-ZADF=26°,

2

ZAGD=90°-NADG=64°.

故選：D.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用其性質(zhì)轉(zhuǎn)

化角度是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，在矩形中，對角線NC與AD交于點O,BFLAC交CD于點、F,DE1AC交于點E,垂

足分別為M、N,連接EM、FN.則下列四個結(jié)論：①DN=BM；②EMHFN；@AE=CF-④當(dāng)=

時，四邊形。￡8廠是菱形；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得至ABHCD,^DAE=^BCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DEL4C,根據(jù)垂直的定義得到乙DN4=A8MC=90。，由全等三角形的性質(zhì)得到

DN=BM,乙4DE=4CBF,故①正確；證A4OE三△CB尸（4SL4）,得出/￡=尸C,DE=BF,故③正確；證四邊

形NEWF是平行四邊形，得出EM//FN,故②正確；證四邊形。班廠是平行四邊形，證出/。四=乙4AD,

則。得出四邊形。EAF是菱形；故④正確；即可得出結(jié)論.

【解析】解：???四邊形是矩形，

；.AB=CD,AB!/CD,乙DAE=KBCF=9Q°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,ADUBC,

:.乙DAN=LBCM,

-BFLAC,DEHBF,

：.DELAC,

:，DNA=LBMC=9G。,

在△QN4和△BMC中，

'/DAN=/BCM

<ZDNA=/BMC,

AD=BC

??△DNA2BMC(AAS),

??.DN=BM,UDENCBF,故①正確;

在A4OE和aCBb中，

/ADE=ZCBF

<AD=BC,

/DAE=/BCF

??,3DE三ACBF(ASA),

；,AE=FC,DE=BF,故③正確；

???DE-DN=BF-BM,即NE=MF,

?:DEIIBF,

???四邊形NEMF是平行四邊形，

:?EMHFN,故②正確；

???AB=CD,AE=CF,

:,BE=DF,

-BE//DF,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

-AO=AD,

：.AO=AD=OD,

???A40D是等邊三角形，

山DO=3AN=60。,

工乙4BD=90。-乙4DgO。,

-DELAC,

??&DN=CODN=3。。,

.,.ZODN=Z-ABD,

??DE=BE,

二四邊形DE3廠是菱形；故④正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等

邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等

是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，菱形N8CD中，4840=60。，AC與BD交于點、O,E為CD延長線上一點，且CD=DE,連接

BE,分別交/C,于點尸、G,連接。G,則下列結(jié)論：

①。G=3AB；②S四邊形ODGF>;③由點/、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④）S6共口=4S&BOG，其

中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】①由//S證明MBG三ADEG,得出NG=OG,證出0G是A4AD的中位線，得出OG=；/2,①

正確；

③先證明四邊形N8AE是平行四邊形，證出A48。、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD,因此

OD=AG,得出四邊形/8DE是菱形，③正確；

②連接ED,由等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得尸到A48O三邊的距離相等，則

SABDF=SAABF=2SABOF=2SADOF=Saii^ODGF,貝l|S原媛ODGQS/B尸，②錯誤；即可得出結(jié)論.

④???連接CG,由。、G分別是/C,AD的中點，得至！J%g=SMOG，SAACG=SADCG,貝”△/CD=4&/OG,

再由SA/OG=SA3OG,得到DCD=4S/OG,故④正確；

【解析】???四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,AB^CD,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

:.乙BAG=LEDG,

■■■CD=DE,

??.AB=DE,

在AABG和△Z)EG中,

"NAGB=ZDGE

</BAG=ZEDG,

AB=DE

?，AABG=ADEG(AAS),

：.AG=DG,

：.OG是的中位線，

.■.OG^^AB,故①正確；

"ABWCE,AB=DE,

???四邊形ABDE是平行四邊形,

“BCD=ABAD=6Q°,

：.AABD,ABCD是等邊三角形，

：.AB=BD=AD,z<9￡>C=60°,

??.平行四邊形是菱形，故③正確；

???連接CG,

???。、G分別是NC,4D的中點，

S&AOG=SACOG，SAACGS4CG，

■■.SAACD=4SAAOG,

■.-OG//AB,

:.SAAOG=S*OG,

??.SAACD=4SABOG,故④正確；

連接ED,如圖：

???A43。是等邊三角形，AO平分乙BAD,BG平分乙4BD,

.■.F到A48。三邊的距離相等，

:SABDF=SAABF=2SABOF=2SQOF=S四邊彩ODGF,

：.Sa?ODGF=S^ABF,故②錯誤；

正確的是①③④，

故選C.

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中

位線定理以及三角形面積等知識，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在正方形中，E、尸是射線3。上的動點，且NE4F=45。，射線NF分別交8C、CD

延長線于G、H,連接EC,在下列結(jié)論中：①AE=CE；（2）BG=GH+DH；③EF?=BE?+DF?;④若

AB=3DH,則CD=ICG,

⑤工AGH:%BCD=G〃：/8,其中正確的結(jié)論有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分析】由“SAS”可證△42E叢CBE,可得NE=EC,故①正確；

如圖1,在3c上截取BN=OH連接/N,由“SAS”可證△/8N四△4DH,可得=ZBAN=ADAH

由“SAS”可證AANGdAHG,可得NG=HG,

BG=BN+NG=GH+DH,故②正確；

如圖2,將/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到連接瓦W,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=

NABM=NADF,DF=BM,由“SAS”可證△/￡尸也,可得EF=￡M,由勾股定理可得

EF2=BE2+DF2^故③正確；

如圖1,設(shè)DH=a,則/3=3OH=34=BC=CD,利用勾股定理可求CG=3a=Q）,故④錯誤；

由三角形的面積公式可求：SABCD=GH:AB,故⑤正確；

【解析】解：,??四邊形/BCD是正方形,

:.AB=BC,AABD=ZCBD=45°,

BE=BE,

:.^ABE^CBE(SAS),

/.AE=EC,

故①正確；

如圖1,在5C上截取連接4N,

?/AB=AD,/ABN=/ADH=90。，BN=DH,

.?.△45N之△/DH(SAS),

/.AN=AH,/BAN=ADAH,

/./BAD=ZNAH=90°,

???ZEAF=45°,

/EAF=/NAG=45。,

又?：AN=AH,AG=AG,

「.△4NG之△/HG(SAS),

:.NG=HG,BG=BN+NG=GH+DH,

故②正確；

如圖2,將△4Db繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到連接EM,

HF

.?△ADFmAABM，/FAM=90°,

/.AF=AM,ZABM=ZADF,DF=BM,

?//ABD=/ADB=45。,

/ABM=ZADF=135。，/MBE=90°,

???ZEAF=45°,

ZEAF=ZEAM=45°,

又AE=AE,AF=AM,

:.dAEF必AEM(SAS),

EF=EM,

在中，EM2=BE2+BM2，

:.EF2=BE2+DF2^

故③正確；

AB=3DH,

:'沒DH=a,則4B=3OH=3Q=3C=C。,

CH=4a,

如圖1,在5。上截取3N=。"，連接ZN,

H

由③可得：HG=NG,

設(shè)CG=x,貝i]2G=3a+x,

NG=2a+x=HG,

■：CH2=CG'+HG1,

..(4a)~+—(2a+x),,

■■x=3a,

CD—CG,

故④錯誤；

如圖1,?:AANGdAHG,

SAACH=SAANC=—NG-AB=—HG-AB,

-S&AGH'SABCD=GH：AB,

故⑤正確；

，正確的結(jié)論有①②③