2024-2025學(xué)年武夷山某中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月測(cè)試卷及答案解析

武夷山一中2024-2025學(xué)年（上）高二年段階段性測(cè)試

數(shù)學(xué)試卷（實(shí)驗(yàn)班）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

JL}

1.已知直線’的一個(gè)方向向量為I?，1），平面a的一個(gè)法向量為nxIl'若〃/&,則》=

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行得出玩，亢，從而成4=0即可求解

【詳解】若///a,貝U比」萬(wàn)，從而成?萬(wàn)=0,

即一x+2H—=0,解之得：x=—.

22

故選：A

2.若將直線/沿x軸正方向平移2個(gè)單位，再沿j軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，又回到了原來(lái)的位置，貝U的

斜率是（）

3322

A.----B.-C.----D.一

2233

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)幺（a,4，寫出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)，由此點(diǎn)也在原直線上，計(jì)算斜率即可.

【詳解】設(shè)2（。,人）是直線/上任意一點(diǎn)，則平移后得點(diǎn)H（a+2,b-3）,于是直線/的斜率

,,b—3—b3

k—左44，=7~~—?

Q+2—Q2

故選：A.

3.已知兩條平行直線＜：3x+4y+5=0,"：6x+勿+c=0間的距離為3,貝2+c等于（）

A,-12B.48C.36或48D.—12或48

【答案】D

【解析】

【分析】由兩直線平行，求出b的值，由平行直線間的距離求出c的值，可得6+c.

【詳解】將4:3x+4y+5=0改寫為6x+8y+10=0,

因?yàn)閮蓷l直線平行，所以6=8.

J

解得c=-20或c=40,

所以b+c=-12或48.

故選：D.

4.若直線小2x—y+3=0關(guān)于直線/：X一>+2=0對(duì)稱的直線為“，則4的方程為（）

A.2x+y+1=0B,x+2y—1=0

C.x+y=0D.x-2y+3=0

【答案】D

【解析】

【分析】直線4與/的交點(diǎn)在直線，2上，并且直線4上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)也在直線4上，

根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出，2斜率，即可求出直線，2的方程.

【詳解】聯(lián)立+2-0，解得X-1，即4與/的交點(diǎn)為（T/）?

又點(diǎn)N（0,3）在4上，設(shè)/關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為4（。力），

b—3

=一1

a—0

則解得即4（1，2），

a+06+3

+2=0

I22

,2-11

所以直線4的斜率左=可可=萬(wàn)，

從而直線，2的方程為了—2=g（x—l）,

即x—2y+3-0.

故選：D

5,已知｛癡同是空間向量的一個(gè)基底，忖+煦-正耳是空間向量的另一個(gè)基底，若向量力在基底

｛洛瓦耳下的坐標(biāo)為（4,2,3）,則向量萬(wàn)在基底拒+3方-瓦1｝下的坐標(biāo)為（）

A.(3,3,1)B.(3,1,3)C.(1,3,3)D.(1,1,3)

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)向量力在基底M+B4-B,耳下的坐標(biāo)為(xj,z),則

p=Aa+2b+3c=x(a+6)+y(a-b)+zc,由空間向量基本定理待定系數(shù)可得.

【詳解】設(shè)向量/在基底反耳下的坐標(biāo)為(x,y,z),

則p=Aa+2b+3c=x(a+6)+y(a-b)+zc，

整理得：45+26+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc，

x+y=4

x-y=2,解得x=3,歹=l,z=3.

z=3

,向量力在基底忸+a萬(wàn)一卜同下的坐標(biāo)是(3,i,3),

故選：B.

6.已知圓M:(x—Xo)2+(y—%)2=4,從點(diǎn)N(4,3)向圓〃作兩條切線NP、NQ,切點(diǎn)分別為尸、

7T

Q,若/PNQ=3,則圓心M的軌跡被直線y=2x—3截得的弦長(zhǎng)為()

A9R6#12A/5n12

5555

【答案】C

【解析】

【分析】連接VP、MQ,分析可知MWQ為正方形，可得出|MV|=J^〃P|=2JL可知M的軌跡

是以點(diǎn)N為圓心，半徑為2后的圓，再求出圓心到直線V=2x-3的距離，從而求出弦長(zhǎng).

【詳解】圓〃：(x—Xo)2+(y—%,)2=4的圓心為〃(%,外)，半徑為2,連接VP、MQ,

則WNP,MQVNQ,又因?yàn)镹PN0=5,且四。|=|兒倒,

所以四邊形“如照為正方形，貝|]|肱口=行|上。|=2后，

即J(x。-4『+(%-3『=2后,即(與-4+(為-3)2=8，

所以點(diǎn)”的軌跡方程為(x—4)2+(>—3)2=8,

即點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N(4,3)為圓心，半徑為20的圓,

|2x4-3-3l2

又圓心N(4,3)到直線y=2x—3的距離d=/仔=忑，

所以圓心"的軌跡被直線V=2x-3截得的弦長(zhǎng)為2

故選：C

7.如圖，在平行六面體A8CD-4與。2中，以頂點(diǎn)/為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是

60°,下列說(shuō)法中正確的是()

B.AAX-BD、—36

C.鴕與麴夾角是30。

D.直線AC與直線4G的距離是2g

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)方=￡,N萬(wàn)=及石="，依題得同=W=同=6為Z=B々=e也=18,運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算

律計(jì)算即可判斷A,B兩項(xiàng)；利用向量夾角的公式計(jì)算排除C項(xiàng)；利用空間向量關(guān)于點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)

算即可驗(yàn)證D項(xiàng).

貝ij同=忖=同=6,展BB111=6x6xcos60°=18.

A項(xiàng)，因CC\=c,BD=b-a,

則CCX-BD=c-(J)-a)=c-b-c-a=0,

則故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，因^4]=c,BD{=b-a^-c,

則44]/n=L(B-a+c)=c,B-c.々+?2=18-18+36=36,

故B正確;

C項(xiàng)，B、C=B-c,AA[=c,

且|麻|=yl（b-c）2=7l^|2+|c|2-2b-c=736=6,|Z^|=6,

設(shè)麻與麴夾角為，，

?AA]18_1

則cos9=

676-2,

5c舊4

因8e[0,7i],則。=3-,即C錯(cuò)誤;

D項(xiàng),在平行六面體ABCD-481GA中，易得力4〃BBJ!CQ,AAX=BBX=CQ,

則得四邊形ACCXA,是平行四邊形，故AC//4cl,

故點(diǎn)4到直線AC的距離d即直線AC與直線4G的距離?

因AC=a+b,AA1-AC=c?（a+b）=36，

且畫=6,西=J伍+斤=/同2+2展B+,

則d=U茄；11就1）2-（9?就）2=2XJ（36君）2-362=2后,故D錯(cuò)誤.

|AC\6V3

故選：B.

8.已知△/BC為等腰直角三角形，N8為斜邊，△48。為等邊三角形，若二面角C-48-。為150°,

則直線CD與平面/3C所成角的正切值為（）

1J2V32

A.-B.—C.—D.-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取48的中點(diǎn)￡,連送CE,DE,因?yàn)椤鱊BC是等腰直角三角形，且48為斜邊，則有

CE1AB,

又△48。是等邊三角形，則從而NCED為二面角。一48-。的平面角，即/CED=150°,

D

顯然。￡小。￡=￡,。￡,?！?lt;=平面。。￡,于是平面CDE,又NBu平面/8C,

因此平面CDE±平面ABC,顯然平面CDEn平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而/OCE為直線CD與平面48。所成的角，令4B=2,則CE=1,DE=JJ,在ACDE中，由余弦定

理得：

CD=〃爐+DE?-2CE?DEcosNCED=

由sin150°V3

由正弦定理得,即sinZDCE=

sin/DCEsinZCED

顯然/OC￡是銳角，cosNDCE=Jl-si/NDCE=

25

所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為

故選：C

二、選擇題，本題共3小題，被小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.

9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.已知向量2=(9,4,—4)]=。,2,2),則￡在B上的投影向量為(1,2,2)

—■1—■1—.1—-

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)。，有。尸=—CM+—08+—OC,則P,48,C四點(diǎn)共面

632

c.已知｛'瓦斗是空間的一組基底，若沅=￡+),則舊,幾碼也是空間的一組基底

D.若直線/的方向向量為工=(1,0,3),平面a的法向量1=則直線/'a

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用投影向量的定義判斷A,利用空間四點(diǎn)共面，滿足而=能力+〃醞+/雙，其中m+〃+/=1

判斷B,根據(jù)向量基底的概念判斷C,利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?=(9,4,-4)花=(1,2,2),所以￡在[上的投影向量為

WH7H'故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：因?yàn)椤狪----1—=1,故選項(xiàng)B正確；

632

選項(xiàng)C：是空間的一組基底，m^a+c>所以兩向量之間不共線，所以,，瓦機(jī)｝也是

空間的一組基底，故選項(xiàng)C正確；.

選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€/的方向向量為工=(1,0,3),平面々的法向量1=[-2,0]],e-n=-2+0+2=0>

則直線/〃a或/ua,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：ABC

10.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯

發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)48的距離之比為定值無(wú)(無(wú)〉0,且4/1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波

羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，/(-2,0),5(4,0),點(diǎn)P滿足至.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,則

rJj\2

下列說(shuō)法正確的是()

A.。的方程為(x+4)2+/=16

B.點(diǎn)48都在曲線C內(nèi)部

C.當(dāng)，，民P三點(diǎn)不共線時(shí)，則N4Po=NAPO

D.若。(2,2),則|尸理+2忸必的最小值為46

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,通過(guò)直接法求出點(diǎn)P的軌跡方程即可判斷；

對(duì)于B,利用點(diǎn)到圓心的距離，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；

對(duì)于C,由題意，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理進(jìn)行判斷即可；

對(duì)于D,將|尸81+21P0轉(zhuǎn)化為2|上4|+21P0進(jìn)行判斷即可.

【詳解】設(shè)P(x,y),儼不與A,2重合),

由4-2,0),8(4,0),有|尸*=J(X+2)2+/,\PB\^^(x-4)2+y2,

2

兩\PA\=21‘即J(X+"2))+"/=15,化間得(x+4),+>,=16,

所以點(diǎn)尸的軌跡曲線C是以c(-4,0)為圓心，半徑尸=4的圓，如圖所示,

對(duì)于A選項(xiàng)，由曲線C的方程為(x+4y+y2=i6,選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，由8c=8,點(diǎn)8在曲線C外，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由1ali=2,Ios1=4,有扁=E=/，

則當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理知，P。是內(nèi)角N4P5的角平分線,

所以N4Po=NRPO,選項(xiàng)C正確;

IpaI1

對(duì)于D選項(xiàng)，由篇=不，得|尸8|=2|尸4],

IrbI/

貝U|+21PD|=2|+21|=2(|P/1+1P0)221/0=2x7(-2-2)2+(0-2)2=475,

當(dāng)且僅當(dāng)尸在線段幺。上時(shí)，等號(hào)成立，

則\PB\+2\PD\的最小值為46，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

11.如圖，在正方體48CD—481GA中，43=2,點(diǎn)尸為線段401上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.直線尸與〃平面8G。

4

B.三棱錐尸—5G。的體積為]

C.三棱錐8GD外接球的表面積為6兀

D.直線PB]與平面BCC.B,所成角的正弦值的最大值為逅

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)A選項(xiàng)，可先證平面平面BQ。，再證線面平行；對(duì)B選項(xiàng)，可用等積變換的方法求

三棱錐體積；對(duì)C選項(xiàng)，把三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，即可得到答案；對(duì)D選項(xiàng)，先做出線

面角，再確定線面角的三角函數(shù)的最值.

【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：如圖：

連接用AB{,

因?yàn)锽\DJIBD,HDu平面BCQ,平面BCQ,所以穌劣//平面BCQ；

同理48"/平面BCQ.

又42AABX=B],BR,AB[u平面ABR,所以平面ABQJ/平面BCXD.

PB[u平面ABR,所以尸耳〃平面8GD故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)椤ㄆ矫鍮CQ，所以：

1114

，P-BGD=七-Bq。=VD-BB￡=gS?BB\GxCD=-x-X2X2X2=—,故B正確；

對(duì)選項(xiàng)c：因?yàn)槿忮FA-5G。的外接球就是正方體4BCD-44cl2的外接球，所以三棱錐

A-5CQ的外接球半徑為：R=5所以外接球表面積為：5=4兀叱=12兀，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D選項(xiàng)：如圖:

過(guò)尸做PH，平面BCCR于H,因?yàn)槠矫鍭BC.D,1平面BCCR,

且平面ZBGAn平面BCGg=8G，所以HeBC一再連接,

則在直角△力珥中，ZPHBl=90°,/尸與〃就是直線尸發(fā)與平面5CG4所成角，設(shè)為8.

cPH2LLJ6

因?yàn)閠an0=￡下=（下，且//4的最小值為血，所以tan?！葱?，所以sinOW、？，故D正確.

HB、"g3

故選：ABD

三、本題共3小題，每小題5分，共15分

12.若直線4:xcosd+2y=0與直線4：3x+ysin6+3=0垂直，則sin20=.

【答案】一百

【解析】

【分析】由兩直線垂直求出tan，的值，然后利用二倍角的正弦公式結(jié)合弦化切的思想可求出sin2。的值.

【詳解】由于直線4：xcosd+2y=0與直線乙：3x+ysin9+3=0垂直，則3cosO+2sin。=0,

32sin6)cos6(12

可得tand=——sin26)=2sin0cos0—

2sin29+cos2013-

故答案為：--.

13

【點(diǎn)睛】本題考查二倍角正弦值的計(jì)算，涉及利用兩直線垂直求參數(shù)以及弦化切思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求

解能力，屬于中等題.

13.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形狀體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直

角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵4BC—4gG中，M,N分別是4G的中點(diǎn)，AB^2AA^2AC,

動(dòng)點(diǎn)G在線段MV上運(yùn)動(dòng)，若+y4S+z/C,則x+y+z=

G

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】利用等和面定理求解即可.

【詳解】如圖，取4片的中點(diǎn)￡,連接力￡交45于點(diǎn)廠.

因?yàn)轷臢分別是ZG，85］的中點(diǎn)，所以EM〃BCi〃BC,EN〃AB.

因?yàn)?c，48u平面48C,所以瓦0,￡N〃平面48c.

因?yàn)榭贓N=￡,W,￡Nu平面EMN,所以平面EMN//平面&BC,

\AE\

點(diǎn)G在平面EMN內(nèi)，所以由等和面定理可知，x+y+z=k=

\AF\

AF+EFAE

X=1+2

=1+

AFAB22

3

故答案為：一

2

14.在等腰直角三角形N3C中，AB=AC=1,點(diǎn)尸是邊48上異于4,3的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC,

C4反射后又回到點(diǎn)尸，如圖所示，若光線0R經(jīng)過(guò)△N8C的重心G,則

【解析】

【分析】建立坐標(biāo)系，根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出重心G,利用光的反射與軸對(duì)稱的性質(zhì)確定Q?的所在直線

斜率，結(jié)合斜率公式進(jìn)行求解即可

【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得5（1,0）,C（0,l）,

所以直線BC的方程為：+；=1，即x+/-1=0,AABC的重心G的坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)尸（a,0）,M,N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線和y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接NR,QM,所以N（-a,0）,

x-a%=1

設(shè)M（Xo，%）,則有<Q解得<

=1a

a+x0?為+0]0y0-

22—

所以

由光的反射原理可知，M,Q,R,N四點(diǎn)共線，所以除W=KVG，

1—aQ11

即;一，解得。=—或〃=0（舍去），止匕時(shí)4。=—,

l+a1,。33

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.

15.設(shè)，〃eR,復(fù)數(shù)z=（〃/-5加+6）+（"/.

（1）求m為何值時(shí)，z為純虛數(shù)；

（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求〃?的取值范圍.

【答案】（1）2（2）0<"?<2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念即可列出方程，進(jìn)而求解即可；

（2）復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于第四象限，則橫坐標(biāo)大于0,同時(shí)縱坐標(biāo)小于0,據(jù)此列出不等式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由加2—5m+6=0解得加=2或加=3；

當(dāng)加=2時(shí)，z=—2i是純虛數(shù)，

當(dāng)加=3時(shí)，z=0為實(shí)數(shù)，

所以％=2.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閆二（加2一5加+6）+（加2,3加）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,

m2-5m+6>0

解得0<m<2.

m2-3m<0

16.在△NBC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別a,b,c,且滿足bsinZ-J^acosB=0

（1）求角8的大小；

（2）若b=4,的面積為百，求的值.

71

【答案】（1）B=-

3

⑵2S

【解析】

【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用正弦定理即可求解；（2）由已知條件求出QC,然后利用余弦定理求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由bsinA—y/3acosB=0及正弦定理得：

sinBsinA-y/3sinAcos5=0

?.?Ae(0,乃),/.sin>0,

tan5=V3，

IT

BG(0"),：.B=—

3

【小問(wèn)2詳解】

,,,SARC~-acsinB————etc—y/3

△24??etc—4，

由余弦定理得，b2=（72+c2—laccosB，

,?*b=4fB=—,<16=/+/—2x4x—,即/+02=，

32

[a+c)~="+c~+lac=20+2x4=28,

a+c=V28=2V7.

17.已知△48C的頂點(diǎn)/(2,1),在邊上的中線CM所在的直線方程為2x+y—1=0,/48C的角平分

線BH所在直線方程為x-y=0.

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)42,1),并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；

(2)求直線3c的方程；

(3)在線段48上是否存在點(diǎn)。，滿足若存在，求。點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)X—2歹=0或x+y—3=0.

(2)3x—2y+1=0

J535、

(3)D\一,一

⑼91)

【解析】

【分析】(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合直線斜率可得方程；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合直線方程截距式可求得

結(jié)果.

(2)設(shè)8(鞏加)，將43中點(diǎn)坐標(biāo)代入CW方程可求得8點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)42,1)關(guān)于直線8〃的對(duì)稱點(diǎn)的

坐標(biāo)為/伍力)，將利用44'，8〃和將線段44的中點(diǎn)代入角平分線8〃上，可得到關(guān)于的方程

組，最后利用點(diǎn)斜式方程即可求解

(3)聯(lián)立直線方程求C坐標(biāo)，由。在線段48上，設(shè)。根據(jù)垂直關(guān)系求參數(shù)〃并判斷點(diǎn)的

存在性.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)直線在羽^軸上的截距分別為兄6,

1-01

當(dāng)。=6=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與/(2,1),則直線斜率上=--=

2-02

，直線方程為y=即x-2y=0；

當(dāng)。=bwO時(shí)，可設(shè)直線方程為x+N=。，

代入4(2,1)坐標(biāo),可得a=2+1=3,

，直線方程為x+y-3=0；

綜上所述：直線方程為x-2y=0或x+y-3=0.

【小問(wèn)2詳解】

由題意知：點(diǎn)3在直線x-y=O上，則可設(shè)8（加,加）,

,,（m+2加+1、

AB中點(diǎn)為一--—，

I22）

.2xm+2+ffl^l_1=0>解得機(jī)=_i,

設(shè)點(diǎn)/（2,1）關(guān)于直線8〃的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為/（口）），

則點(diǎn)/'在直線8C上，線段的中點(diǎn)（審，等］在角平分線8〃：x—>=0上,

且

b-1

=-1

n—2a=\

由題意知《-解得/c，即4(1,2),

a+2b+10=2

=0

I22

7,2-(-1)3

因?yàn)樽骻=kBA,=i,

3

所以直線8C的方程為y+l=5(x+l),

即3x—2y+1=0.

【小問(wèn)3詳解】

由C為直線。0:2'+>-1=0與直線8。：3%—2^+1=0的交點(diǎn)，

1

x=—

2x+y—1=07

聯(lián)立[3x-2"」?！獾脛tC

y=-

,7

由點(diǎn)。在線段48上，由Z(2,l),8(—1,-1),

22

可得人招=§，貝U4S:y+l=](x+l),

即AB\2x3y—1=0,

可設(shè)0[〃,浮)又

2/1-15

a1253

因?yàn)镃D_L4B,所以/^口小方=--------—x—=-1,解得〃=一,

n—

7

由4(2,1),5(-1,-1),因?yàn)椤狪<—<2,所以存在。

18.在四棱錐S—48cB中，底面ABCD為矩形，△雙。為等腰直角三角形，SA=SD=242>AB=2,F

是2C的中點(diǎn)，S/與底面/BCD的角等于30。，面“。與面SBC的交線為

(2)求出點(diǎn)E的位置，使得平面SEF，平面N2CD,并求二面角S—4D—C的值；

(3)在直線加上是否存在點(diǎn)。，使二面角尸一CD—0為60。，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求線段

QD的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)￡是AD中點(diǎn)，二面角S—AD—C的平面角為120。；(3)0

【解析】

【分析】(1)利用線面平行的性質(zhì)即可得證；

(2)點(diǎn)E是4D中點(diǎn)，證明面面垂直，利用幾何法求二面角的平面角；

(3)根據(jù)二面角大小作圖求解.

【詳解】(1)底面/BCD為矩形，BCHAD,4Du平面&4。，平面&4。，

所以8c〃平面S/D,5Cu面S8C,

面SAD與面SBC的交線為m,

所以8c〃加；

(2)點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，連接跖,ES,5F,SA=SD,SELAD,EFIIAB,

所以EESE,￡尸是平面S斯內(nèi)兩條相交直線，

所以40,平面SER

4Du平面4BCD,所以平面S斯，平面/BCD,

SF與底面ABCD的角就是ZSFE=30°,

二面角S—AD—C的平面角就是ZSEF,

△雙。為等腰直角三角形，SA=SD=2?，AB=2,

所以S￡=EE=2,所以NSEF=120。，

所以二面角S-AD-C的平面角為120。；

(3)過(guò)S作FE延長(zhǎng)線的垂線，垂足為。，過(guò)。作的平行線，交CD延長(zhǎng)線于T,

由(2)平面SEZL平面4BCD,

所以SO_L平面48。，

過(guò)。作7。延長(zhǎng)線的垂線，垂足為SO//QH,EO=1,QH=SO=道

N。用就是二面角尸一CD一。的平面角，ZQTH=60°,則HT=1,

即“是。T中點(diǎn)，QD=dQH?+HD?=J3+2=逐

19.在空間直角坐標(biāo)系?！獂yz中，已知向量1=(a,白c),點(diǎn)勺(%,為/0).若平面。以￡為法向量且經(jīng)

過(guò)點(diǎn)勺，則平面々的點(diǎn)法式方程可表示為a(x—/)+僅)—%)+c(z—z0)=0,一般式方程可表示為

ax+by+cz+d=0.

(1)若平面%:2x-y-l=0,平面4：3歹-22+1=0,直線/為平面4和平面片的交線，求直線/

的一個(gè)方向向量；

(2)已知集合尸={(x,y,z)\