山東省淄博某中學2022級高三年級上冊第一次學習質量檢測數(shù)學試題及答案

2022級高三第一次學習質量檢測數(shù)學試題

2024年10月

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

2

A=\xy=y]2x-x\§=bb=2，+l|4R

1.已知集合(1,I4>,則A>=()

A.(1,2]B.(0,1]C.[1,2]D,[0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】化簡集合，由交集運算即可求解.

【詳解】解：A=y=^2x-x21=^x|2x-x2>oj=1x|0<x<2j

5=卜卜=2*+1}=卜|V>1}

所以A5=(1,2]

故選：A.

2.設xeR,則“4<x<5”是“,一2|〉1"的()

A,充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.

【詳解】因為2|〉1,所以x—2<—1或1—2>1,所以x<l或x>3,

所以"4<x<5”是“卜―2|>1”的充分不必要條件.

故選：B.

3.已知命題p:VxeR,?%2+2%+3>0為真命題，則實數(shù)。的取值范圍是()

Q|0<Q〈Ja\a>^

A.B.〃|0<QC.D.a\a>-

3

【答案】D

【解析】

【分析】問題轉化為不等式依2+2%+3>0的解集為R,根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.

【詳解】因為命題以2+2x+3>0為真命題，所以不等式公Z+2》+3>0的解集為R.

3

所以：若。=0,則不等式依2+2%+3>0可化為2x+3>0nx〉一一，不等式解集不是R；

2

a>01

若aw0,則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知：<，°2八=。>—.

A=22-12a<03

綜上可知：a>-

3

故選：D

4.設函數(shù)/（力=乂4則不等式/（21083同+/（3—蜒3%）<0的解集是（）

A.127）C.（0,27）D.（2…）

【答案】B

【解析】

【分析】先分段作出函數(shù)的圖象，結合圖象得函數(shù)為R上的增函數(shù)，再判斷函數(shù)的奇偶性，再利用單調(diào)性與

奇偶性性質將不等式轉化為210g3彳<log3x-3，化簡求解可得.

九2%〉0

詳解】xER,則y（x）=1;一,

［一廠，龍<0

作出函數(shù)/（X）的圖象，可知/（X）是R上的增函數(shù).

又/（一力=一*|一刀|=一目刀|=一〃］）,：./（%）是奇函數(shù).

不等式/（21og3x）+/（3-log3x）<0可化為/（21og3x）<-/（3-log3x）,

所以〃21og3X）</（log3X—3）,JU!］21og3x<log3x-3,即log3X<-3,解得0<x<一,

不等式f(21og3x)+f(3-log3x)<0的解集是I0,三

故選：B.

5.已知/(x)=ln(l—公+2a—2)(a>0),若/(x)在[1,2)上單調(diào)，則。的范圍是()

A.(1,2]B.(0,2]

C.(0,2]O[4,4<O)D.(1,2][4,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】由y=--奴+2a-2在［1,2)上單調(diào)且恒為正可得.

【詳解】由題意y=V—奴+2a-2在口,2)上單調(diào)且恒為正,

1—〃+2a—2>0

所以或q22,且＜，解得lv〃V2或

224—2a+2cl—2N。

故選：D.

6.定義在R上的函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，且/(九+1)為偶函數(shù)，當xe［0,l］時，/(x)=2x-l,則

/(2023)+/(2024)=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】結合已知得了(%)的周期為4,然后代入自變量求解即可.

【詳解】因為函數(shù)/(力為奇函數(shù)，且/(X+1)為偶函數(shù)，

所以/(%)=-/(-%)=-/(%+2)=/(%+4),所以f(x)的周期為4,

所以/(2023)+/(2024)=/(—1)+/(0)=/(0)—/(1)=2°—1—(2-1)=—1.

故選：A.

|lgx|,0<x<10

7.已知函數(shù)/(%)=<1,若a,b,c,d互不相等，且===則

—x+6,x>10

2

〃+Z?+c+d的取值范圍為(

A.［26,+8)B.(14,+co)

【答案】c

【解析】

【分析】由分段函數(shù)的性質畫出函數(shù)圖象，若于(a)=于助=f(c)=f(d)=ma<b<c<d,將問題轉化

為曲線/(%)與直線丁=加的交點問題，應用數(shù)形結合判斷交點的區(qū)間，結合絕對值函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質

可得￡<a<l<〃vl0<c<12vd<14,c+d=10,ab=l,結合對勾函數(shù)的性質求范圍即可.

【詳解】令|lgx|=l,則%=」■或x=10,令一;x+6=l,則x=10或x=14,

102

由解析式知：/(X)在(0』上遞減且值域為(0,+8),在(1,10］上遞增且值域為(0,1］,在(10,12)上遞減且

值域為(0,1),在(12,轉)上遞增且值域為(0,+8).

令〃。)=/(，)=/(C)=/(d)=機，不妨設a<b<c<d,則。，b,c,d為曲線/(x)與直線V=加的

交點橫坐標，

由圖知：c+d=24,aZ?=1且，va<l<Z?v10<c<12<d<14,

貝Ua+Z?+c+d=24+aH—,

a

由對勾函數(shù)可知y=a在［二』］上遞減，故y=—|2,——-

aVIO)aI10

341

故a+b+c+d=24+a+—￡26,

a10

故選：c

8.設定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足對任意xwR,都有/(x)=〃2—x),且當X?0,1］時,

201820192020

f(x)=—.若a=f，b=f，則()

e357

A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】

Y

【分析】先判斷函數(shù)為周期函數(shù)，對稱軸為X=l,利用導數(shù)判斷/(%)=/在區(qū)間(。，1］上單調(diào)遞增，將

a,4c化在同一單調(diào)區(qū)間比較即可.

【詳解】因為函數(shù)“可是偶函數(shù)，所以/(4=/(—%)=〃2+4，即“X)是以2為周期的周期函

數(shù)，

因為對任意xeR,都有/(x)=〃2—力，所以函數(shù)〃龍)的圖象關于直線x=l對稱,

當時，/(%)==20,即函數(shù)/(x)在(?！簧蠁握{(diào)遞增,

e

142

,且0〈一〈一〈一〈1,

573

所以，所以bvcva.

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.設正實數(shù)。，〃滿足a+〃=l,則()

,-1

A.—I—有最小值4B.GF有最小值Q

ab

D.6+片有最小值］_

c.6+JF有最大值貶

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式可進行判斷.

11a+b1

——?--=----±>=4當且僅當】=b=!時等號成立，故A正確;

【詳解】選項A：ababab；(a+")2

2

選項B：，法W"2=!，當且僅當。=人=工時等號成立，故B錯誤；

222

選項C：&+G=J(G+阿=Ja+L+2V^wj2(a+0)=&，當且僅當。=6=；時等號成

立，故C正確；

選項D：4+6Ja+3」，當且僅當a=b=，時等號成立，故D正確；

222

故選：ACD

10.下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)=優(yōu)t—2(。>0且aw1)的圖象恒過定點(1,-2)

B.已知函數(shù)/(%)的定義域為(0,1),則函數(shù)的定義域為(1,2)

函數(shù)/(x)-Jx?+16+/,

的最小值為6

Vx2+16

D.函數(shù)g(x)=的單調(diào)增區(qū)間為

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的性質分析A,由函數(shù)的定義域分析B,由復合函數(shù)的值域分析C,由復合

函數(shù)的單調(diào)性分析D,綜合可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

A.函數(shù)”刈=4-2,當x—1=0,即x=l時，/(x)=l—2=—1,則函數(shù)/(x)的圖象恒過定點(1,-1),

A錯誤，不符合題意；

B.已知函數(shù)/(幻的定義域為(0,1),

對于函數(shù)/(%—1),則有0<x—1<1,解可得1<%<2,即函數(shù)/(x—1)的定義域為(L2),B正確，符合

題意；

C.設/=6+16,則丁=。+一，

又由t=6+16之4,結合對勾函數(shù)的性質可得V=/+：在區(qū)間［4,+8)上遞增，

則/(x)24+=9=上25，C錯誤，不符合題意；

44

D.函數(shù)g(x)=(3'r2r+2,有x+220,解可得—24x41,即函數(shù)的定義域為［-2,1］；

設f=yl—x1—x+2，則y=(5)'，

在區(qū)間［-2,-；］上，/為增函數(shù)，在區(qū)間［-上，/為減函數(shù)，

由于y=(gy為定義域為R的減函數(shù)，故有

故函數(shù)g(x)=(g)k：G的單調(diào)增區(qū)間為［_:」，正確，符合題意；

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(x)=X2—21HX,則下列選項中正確的是()

A.函數(shù)/(%)的極小值點為x=l

/QA

B

c若函數(shù)g(x)=/(|x|)-f有4個零點，則fe(l,+8)

D.若/(%)=/'(%2)(玉W%2)，則西+工2<2

【答案】AC

【解析】

【分析】求導，利用導數(shù)判斷了(可的單調(diào)性和最值，可得“X)的圖象，進而可以判斷A；對于B：根

據(jù)/(%)的單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)偶函數(shù)性質分析可知：原題意等價于當x>0時，y=/(x)與

y=f有2個交點，結合/(%)的圖象分析求解；對于D：構建g(x)=/(2—力―/(x),xe(O,l),結合

導數(shù)可得/(2-X)</(X),XG(O,1),結合極值點偏移分析證明.

【詳解】由題意可知：/(%)的定義域為(0,+”),且小)=2一=2(一),

令/'(X)>0,解得X>1；令/'(力<0,解得0<%<1；

可知/(九)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在0,+")內(nèi)單調(diào)遞增，

則⑴=1,且當X趨近于?；?8時，“X)趨近于+8,

可得函數(shù)/(%)的圖象，如圖所示:

O1尤

對于選項A：可知函數(shù)/(尤)的極小值點為x=l,故A正確；

3

對于選項B：因為1<五<不，且/(%)在內(nèi)單調(diào)遞增,

對于選項C：令g(X)=/(|R)T=O,可得/(附=[,

可知函數(shù)8(%)=/(國)—有4個零點，即丁=/(國)與V=，有4個交點，

且y=/(M)的定義域為(—0,0)(0,+8),且/(卜乂)=/(國)，

可知y=/(N)為偶函數(shù)，且當%>o時，j=/(|%|)=/(x)

原題意等價于當x>0時，丁=/(力與t=/有2個交點，

由題意可知：t>2,故C正確；

對于選項D：^g(x)=/(2-x)-/(x)=21nx-21n(2-x)+4-4x,xe(0,l),

，/、224(1)2

則g(x)=-+----4=當一r>0,

x2-xx[2-x)

可知y=g(￡)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則g(x)<g⑴=0,

即/(2-%)</(x),xe(O,l),

若/(%)=/(*2)(玉。工2)，不妨設。<玉<1<%,

則7(2-=/(%)，

且2-西>1,々>1,且/(力在(1,+⑹內(nèi)單調(diào)遞增,

則2-西<%2，所以斗+%>2,故D錯誤;

故選：AC.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟

(1)作差或變形；

(2)構造新的函數(shù)可尤)；

(3)利用導數(shù)研究丸(力的單調(diào)性或最值；

(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

特別地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問

題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

100%+1000,%<-1

,則

12.已知函數(shù)/(九)=\l-/(x-2),x>-l/(1001)=

【答案】700

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，探討1時函數(shù)/(x)的性質，再借助性質求出分段函數(shù)的函數(shù)值.

【詳解】當1時，/(%)=—/(%—2)+1,

貝i]/(x+2)=-/(x)+l=-[-{-2)+l]+l=/(x-2),

即/(x+4)=/(x),所以/(1001)=/(250x4+l)=/(1)=/(—3)=100x(-3)+1000=700.

故答案為：700

13.與曲線丁=工和曲線丁=-Inx-2均相切的直線的方程為.

ex

【答案】>=一前

【解析】

【分析】設出切點和5(%,—山西—2),求導得到/。=西，并寫出切線方程

y—5=—；(x—%),將5(%,—In%—2)代入，化簡得從而求出切線方程.

eee

【詳解】設y=?在點A，,Tj和y=一向一2在點5(”ln%—2)的切線重合，

,1,1

y=--7-y=―一，

ex

11

故——=---,即e/=&,玉）=In/，

eX]

在點A1%,/]處的切線方程為y—'=—g，(x—Xo),

將_8(菁,一Inx-2)代入得一In%—2——=—斤(不一改))，

即一In玉—2-----=----(再一In玉)，

%]玉

所以_(石+l)ln%=飛+1,

又玉>0,故玉二一，則A：。=In—=—1,

ee

故切線方程為y—e=—e(x+l),即y=一

故答案為：y=-ex

14.已知函數(shù)/(%)=—的圖象關于點(0,1)成中心對稱圖形，/(-r2)+/(2z+3)>2,則實數(shù)

C?L

，的取值范圍是.

【答案】(Y,T)D(3,+8)

【解析】

【分析】由函數(shù)/(九)的圖象關于點(0,1)成中心對稱，所以/(x)+/(—x)=2,求出函數(shù)“X)的解析

式，構造函數(shù)g(x)=/(%)-1,所以g(x)的圖象關于點(0,0)對稱，所以g(x)是定義域R上的奇函數(shù)，

且在R上單調(diào)遞減，然后利用奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=-2x3+1看的圖象關于點(0,1)成中心對稱，

所以/("+/(—1)=2,即—2三+-^+213+~^=2,所以c=2,

e+1e+1

2

所以/(x)=-2/+/^,在定義域R上單調(diào)遞減，

9

令g(x)=/(%)-1=-2d+――-1,因為函數(shù)/(%)的圖象關于點(0,1)成中心對稱，

所以g(x)的圖象關于點(0,0)對稱，所以g(x)是定義域R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，

因為了(—產(chǎn))+/(2/+3)>2,所以/(—/)—1>_[/⑵+3)—1],

即g(—，2)>—g⑵+3),所以g(-2r—3),

所以一/<-2,-3，解得/<一1或￡>3,

故實數(shù)?的取值范圍是(—e,—1)u(3,+。).

故答案為：(一8,-1)。(3,+8).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)f(x)=展〉是定義在R上的奇函數(shù)(a>0力>0).

(1)求的解析式；

(2)求當xe[0,l]時，函數(shù)g(x)=/(x>(3x+l)+9*—l的值域.

【答案】a)/(x)=3Q-3)；

1+3*

⑵[-1,2]

4

【解析】

【分析】(1)利用奇函數(shù)定義及性質，列式計算求出a,6作答.

(2)由(1)的結論，求出函數(shù)g(x)的解析式，結合二次函數(shù)求出值域..

【小問1詳解】

。一+1

由函數(shù)/(x)=3*+i是R上的奇函數(shù),則有/(0)=^—a-3=0,解得a=3,即/(%)=三3-匚V,

y+b0+13'+b

3-3-x+13v+1-33-3x+1

VxeR于(-x)==一/(x)，

3-x+bb-3x+l3x+b

即VxeR,b-3x+\=3X+b解得6=1，經(jīng)驗證得a=3,b=l時，/(%)是奇函數(shù),

所以/(》)=斗章?

【小問2詳解】

31

由(1)知，g(x)=/(%)?(3V+1)+9'-1=3-3r+1+9"-1=(3X)2-3X3V+2=(3'-1)2-

31

當XG[0,1]時，1W3*W3，因此當3、=5時，g(x)min當x=l時，g(x)1mx=2,

所以所求值域為[-2].

16.《中華人民共和國鄉(xiāng)村振興促進法》中指出：全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，開展促進鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才

振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興，推進城鄉(xiāng)融合發(fā)展，為深入踐行習近平總書記提出“綠水青山就

是金山銀山”的理念，圍繞產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化，生態(tài)建設產(chǎn)業(yè)化”思路，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全力打造成“生態(tài)特色小

鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量?(單位：kg)與肥料費用x(單位：元)滿足如下關系：

-(X2+40),0<X<3

'(")=5144其他總成本為3x(單位：元)，已知這種農(nóng)作物的市場售價為每5元/kg,

18--,3<x<10

、5x

且供不應求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤為/(%)(單位：元)

(1)求/(%)的函數(shù)關系式；

(2)當投入的肥料費用為多少元時，該農(nóng)作物單株獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

x~-4-X+40,0<%<3

【答案】⑴/■(%)=144

'790---------4%,3<x<10

(2)當投入的肥料費用為6元時，該農(nóng)作物單株獲得的利潤最大，為42元

【解析】

【分析】(1)代入售價和成本即可得到利潤結果.

(2)由函數(shù)圖像的性質即可得到最大值點和最大值.

【小問1詳解】

解：由題意可得，f(x)=5t(x)-x-3x

(X2+40)-4X,0<X<3

〃x)=144

90--------4x,3<x<10

%2-4x+40,0<x<3

所以函數(shù)/(%)的關系式為/(X)=144

90--------4%,3V10

、%

【小問2詳解】

當0?x<3時，/(力二犬—4x+4。的圖象為開口向上的拋物線，

-4

對稱軸為x=-------=2,

2x1

2

所以當％=0時，/Wmax=/(0)=0-4x0+40=40；

當3<xV10時，/(x)=90-4<90-4x2.

當且僅當3=x,即％=6時等號成立，此時/(力3=42.

綜上：當投入的肥料費用為6元時，該農(nóng)作物單株獲得的利潤最大，為42元.

17.已知函數(shù)f(x)=(m+l)x2-mx+m—l(meR).

(1)若不等式/(x)<0的解集為0,求加的取值范圍；

(2)對任意的,不等式/(%)2必-x+l恒成立，求用的取值范圍.

【答案】(1)

【解析】

【分析】(1)分類討論，當不等式為二次不等式時，由題意列出不等式組求解即可;

(2)分離參數(shù)，換元后利用基本不等式求最值，即可得出機的取值范圍.

小問1詳解】

當機=—1時，由/(x)<0,得到X—2<0,所以x<2,不合題意，

當mW—1時，由/(x)<0的解集為0,

m+i>o

得到L2、，，、/,、c，解得m2年，

A=m-4(m+l)(m-1)<03

所以實數(shù)加的取值范圍為

【小問2詳解】

由題對任意xe[-1,1],不等式。〃+1)爐-mx+m-l>x2-x+l恒成立.

即m(x?—x+1)22—x,因為1/]時，(廠—尤+1)>0恒成立.

2—x

可得加2=--------，設，=2—%,則所以％=2—九

%-x+1

2-x_t_1

可得x2-x+l-(2—)2_(2—)+1——3.

In-----J

因為7+當且僅當^=百時取等號.

t

所以j—J_=2'3+3,當且僅當％=2—退時取等號

x2-x+l2V3-33

故得m的取值范圍

18.已知函數(shù)/(x)=x-xlnx-a.

(1)若曲線y=/(%)在點處的切線方程為丁="+2,求實數(shù)。和人的值;

(2)若函數(shù)/(x)無零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)a=-l,b=0

(2)(1,+co)

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，由/'(1)求出6,再由/。)求出。；

(2)令/(無)=0可得a=x—xlnx,令g(x)=x—xlnx,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大

值，依題意丁=。與y=g(尤)無交點，即可求出參數(shù)。的取值范圍.

【小問