北京市順義某中學2023-2024學年高一年級下冊4月月考數(shù)學試卷

數(shù)學試卷

（120分鐘）2024.04

第一部分（選擇題共24分）

一、選擇題共6小題，每小題4分，共24分，在每小題列出的四個選項中.選出符合題目要

求的一項.

1.sin585°值為（）

A立BcV3V3

A.--D.----C.---U.----

2222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)誘導公式，將所求的角轉化為特殊銳角，即可求解.

【詳解】sin585°=sin（360°+225°）=sin（l80。+45。）=—sin45。=一冬

故選：B.

【點睛】本題考查誘導公式求值，熟記公式是解題關鍵，屬于基礎題.

2.在平面直角坐標系中，若角。的終邊經(jīng)過點（T,3）,貝hina,cosa分別為（）

4334

A.—4，3B.3,-4C.D.

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算可得.

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點（T3）,

33-44

E二sinOL――/——cosa-—,——

所以「產(chǎn)5,E至5

故選：D

3.設。，A,B,C為平面四個不同點，它們滿足3礪+加=4函，貝U（）

A.A,B,。三點共線

B.0,B,C三點共線

C.A,0,。三點共線

D.A,B,。三點共線

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則得到3AB=CA>即可判斷.

【詳解】因3OB+OC=4OA>

所以3無-3礪=方-無，即3（無-函）=況-無，

所以3通=瓦，所以通〃5，所以A，B,C三點共線.

故選：A

4.下列條件滿足VA3C為直角三角形的個數(shù)為（）

①sin（A—5）=sin（A+3）；②sinCsing=cosCcos5；③sin2C+sin?8=1

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【解析】

【分析】利用和差角公式判斷①②，利用特殊值判斷③.

【詳解】對于①：sin（A-JB）=sin（A+JB）,

所以sinAcos5-cosAsin3=sinAcos3+cosAsin3,

所以cosAsinB=0,又3e（0,7i）,sinB>0,

所以cosA=0,又Ae（O,兀），所以A=1,則VA3C為直角三角形，故①正確；

對于②：sinCsinB=cosCeosB,貝!JcosCcoSjB-sinCsin5=0,

即cos（6+C）=0,又3+。€（0,兀），所以B+C=],則A=],即VA3C為直角三角形，故②正

確；

對于③：當B=g,C=—,貝iJsinB=L,sinC=@，滿足sin?C+sii?3=1，

6322

但是VA3C為鈍角三角形，故③錯誤.

故選：C

5.已知tanotan",那么下列命題成立的是（

A.若a,夕是第一象限角，貝！|cos。>cos,

B.若a,夕是第二象限角，則sina>sin"

C.若a,夕是第三象限角，則costzccos,

D.若a,夕是第四象限角，則sina>sin是

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結合三角函數(shù)線，以及三角函數(shù)的定義，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，若a,夕是第一象限角，且tana>tan/7,作出三角函數(shù)線，如圖1所示,

|OA||OA|,,,.

則cos"枕，cos/?=刃，因為所以costzccos，，所以A錯誤;

圖1

對于B中，若a,夕是第二象限角，且tanotan/7,作出三角函數(shù)線得到有向線段,

如圖2所示，貝！|sintz=N]N,sin尸=,所以sin(z<sin,,所以B錯誤;

圖2

對于C中，若a,夕是第三象限角，且tanc>tan〃，作出三角函數(shù)線得到有向線段OM”O(jiān)N1,

如圖3所示，貝ijcosa=。朋\,cos尸=。乂，所以cos。>cos分，所以C錯誤;

圖3

對于D中，若e,夕是第四象限角，且tana>tan/?,作出三角函數(shù)線得到有向線段,

如圖4所示，貝Using=Af]A/,cos，=NiN,所以sin。>sin,,所以D正確.

6.函數(shù)/（x）=sin（2x+0）（0>O）圖像上存在兩點尸（s/）,。（r>0）滿足r-s=芻，則下列結論

6

成立的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先求出周期，其次根據(jù)尸（S/）,。（廠/）（/>0）在函數(shù)〃外圖象上，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可得

7T

2r+j+2s+j=兀+2加次？Z,再聯(lián)立r-s=—得到2st/值，根據(jù)，>0縮小2s七的取值范圍，最

6

71

后代入了樂+—N求值即可.

楸6

【詳解】周期T=—=兀，

2

因為函數(shù)/(x)=sin(2x+0)(0>0)圖像上存在兩點尸(s/),>0),

所以sin(2st/)=sin(2r+/)=%>0,

兀兀TT

因為r-s=—<一=一，所以0<2―一2s<一,

6442

故由正弦函數(shù)圖像的性質可得27取+25+/=兀+2加,左？Z,

2r+2s=兀+2kn-2(p

兀71

聯(lián)立《7i，解得2s=左兀+―-J,則2s4y.=kn+—,

r-s=-33

6

TT

又sin(2s~^)=sin(2廠4^=t>0,所以2s+/=24兀+3,匕？Z,

兀兀

+—+—故B正確；A錯誤;

33

—+J

6

=sin覆匕兀+巴--^.=sin0=0,故C、D錯誤.

輟33-

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能夠根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性得到2廠零+25+/=兀+2也,左？Z.

第二部分（非選擇題共126分）

二、填空題共9道小題，其中710題，每小題4分，共16分，1115題，每小題5分，共25

分.把答案填寫在答題卡上.

7.兩個非零向量Z=—B=（2x—1,0）共線，則％=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)共線向量的坐標表示可求x的值.

【詳解】因為萬=（l,x—1）,B=（2x—l,0）共線，故lx0=（x—l）（2x—1）,

故％=1或%=j，而當％=工時，b=6＞與題意不合，舍,

22

故X=1,

故答案為：1.

8.設4，元2為方程入2—2%—根=0的兩個根，且2%+%2=。，則加的值為.

【答案】8

【解析】

【分析】利用韋達定理計算可得.

【詳解】因為X],%為方程2x—加=0的兩個根，

MS=2

所以A=4+4加之0即加）一1，且〈，

[x[x2=-m

--2

又2%+九2=。，所以（x1,，所以一加二-2x4,解得機=8.

_區(qū)=4

故答案為：8

9.函數(shù)〃X）=COSX在—l,71上的值域為.

【答案】[-1,1]

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結合余弦函數(shù)圖象與性質，即可求解.

【詳解】由余弦函數(shù)的性質，可得/（x）=cos為在一§,0上單調遞增，在[0,可上單調遞減,

所以，當％=0時，/（x）a=/（O）=l，

1

又因為/（—]7r）=e，z'（兀）=—i,所以函數(shù)八工）的值域為[-M].

故答案為：[-ML

10.己知彳=（、療,1）,&=（-2A/3,2）,則日與彼的夾角為.

【答案】—

3

【解析】

【分析】根據(jù)題意結合向量的坐標運算求解.

r「r

【詳解】由題意可知：a-b=-6+2=-4,a=2,^|=4,

/ra-b

可得cos",b)=百百=2>且（￡,石）e［0,兀|,

\a\-\b\

2兀

所以五與5的夾角為J.

3

2兀

故答案為：—.

3

11.函數(shù)V=sin2%+1圖像上的點尸向右平移s(s>0)個單位后得到p,若p落在函數(shù)

y=sin2x上，則s的最小值為.

兀1

【答案】一##—71

66

【解析】

【分析】先把點代入y=sin"x+。求出f=g,再把P嚕+取代入y=sin2x,求出s值,

結合s>0求出其最小值即可.

【詳解】因為點在函數(shù)>=5由［2%+三］圖像上，

所以1m|?：I

2

由題意可知P我菁+sj

又P'落在函數(shù)y=sin2x上,

所以sin|?j

…當+25=COS25=-

2

TT'll'll'll

解得2s=24兀+—或2E——,k?Z,即5=阮+—或左?！?？Z,

3366

TTIT

又s>0,所以s=：,即s的最小值為二.

66

IT

故答案為：—.

6

12.若。+/?=；,則tana+tan￡+Gtanatan0的值_____.

【答案】73

【解析】

【分析】利用兩角和的正切公式計算可得.

【詳解】因為a+〃=g,則tan(e+/)=tanm=JL

即tan(a+mJane+ta”=技

1一tanatan/?

所以tana+tan/?=6(1—tanatan/?)

所以tana+tan0+指tanatan/?二百.

故答案為：百

13.如圖，函數(shù)/(%)=ACOS(0X+0)(A>O,G>O,O<0<2TI),則①=；(P=.

7

【分析】由周期的定義結合圖象可得@=w7r，代入點（3,o）后再結合余弦函數(shù)值可得兀.

【詳解】由圖象可知，函數(shù)的周期為7=7—（—1）=8,

二匚I、?2兀兀

所以0=k=/;

jrjr

根據(jù)五點法，當x=3時，-x3+0=2E+—/wZ,

42

71

所以夕=2hi--,kGZ,

7

因為040<2兀，所以。=^兀；

。）是奇函數(shù)，則有序實數(shù)對（。1）可以是..（寫出

【答案】（1,1）（答案不唯一）

【解析】

【分析】首先根據(jù)正弦函數(shù)和差角公式將原式化簡整理，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義得到參數(shù)。，b應該滿足的

條件，按等式關系選取答案即可.

、

71一A、/2一(72垃

【詳解】已知龍?00,/(x)=?sinIx+^-1+Z?sinIx二a—sinxH-----cosx+b—sinx-------cosx

22)I22)

COSX9

2

若/(%)是奇函數(shù),則a—人=。即可,

可以取a=l,b=l.

故答案為：(1,1)(答案不唯一)

15.在平面直角坐標系中，4(1,0),8(0,2).集合

M={P|OP=AOA+//OB,0<2<2,0<//<1},下列結論正確的是.

①點C(3,1)GM；

②若NAOP=45。，則4=2；

③若M|=l,則礪.曲的最小值為—20.

【答案】②③

【解析】

【分析】首先求出點尸所在的平面區(qū)域，再數(shù)形結合即可判斷.

【詳解】對于①，因為A(l,o),5(0,2),

所以厲=(1,0),礪=(0,2),

又詼=4畫+〃礪=彳(1,0)+〃(0,2)=(/1,2川，

因為0WXW2,0<//<1,

所以點尸在邊長為2的正方形OB防區(qū)域內(nèi)(包括邊界上的點)，如下圖所示:

顯然C(3』)eM,故①錯誤；

對于②，若NAOP=45°,即尸在0E上，則加=/亦(O</Wl),又無=2厲+礪,

所以麗=2f礪+/礪，

又麗=彳函+〃礪，0A，礪不共線

\2t—X2

所以《,所以一二2,故②正確；

J=〃"

對于③，因為|皿|=1,則N在以圓點為圓心，半徑為1的圓上，

由圖可知當P在E點且N在E0的延長線與圓的交點時OP-ON取得最小值，

且(OPQV).=1x2^2x(-1)=-2A/2,故③正確.

三、解答題共6道題，共85分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

16.函數(shù)/(x)=cos2<?x-sin2a>x(a>>0)的最小正周期為兀.

(1)求①；

(2)求/(%)單調遞增區(qū)間，

【答案】(1)0)=1

g

(2)jS/i--,k?Z

【解析】

【分析】⑴由三角恒等變換化簡/任)=cos2m,再由周期的定義求出口=1；

(2)由余弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間解出即可.

【小問1詳解】

因為/(x)=cos2vur-sin2vur=cos2vur,

所以空=兀？w1,

2w

【小問2詳解】

由(1)可知，/(x)=cos2x,

-I-*71

所以24兀-7i#2x2kn.kku——#xkn.klZ,

2

較71

所以/(%)的單調遞增區(qū)間為簪3配,k?z.

17.在VA5C中，角A,B,。對應邊長分別為〃，b,C,其中a=4,b=2,A=60°.

(1)求c；

(2)求sinB.

【答案】(1)1+而

⑵如

4

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求解即可

(2)利用正弦定理求解即可

【小問1詳解】

由余弦定理得/=c2+b2-2Z?ccosA-

即16=4+C2—2C，解得c=l+而(負值舍去).

故c值為1+JTL

【小問2詳解】

由正弦定理得sin5=2g=*咧：=蟲.

a44

故sinB值為也.

4

18.在VABC中，角A,B,C對應邊長分別為a,b,c.

(1)設AD,BE,CF是VA3C的三條中線，用通，恁表示而，BE，CF-,

(2)設NA=90°,ADJ.BC,求證：二臺。。。.(用向量方法證明)

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，結合向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解；

(2)根據(jù)題意，得到麗=前-而，反=衣-礪，結合向量的數(shù)量積的運算公式和數(shù)量積的幾何意

義，即可得證.

【小問1詳解】

解：由A。，BE,CE是VA3C的三條中線，

ai^AD=AB+Bl5=AB+^BC=AB+^（AC-AB）=^AB+^AC,

_?__,_,\__,_._k1__,umuumuuniuunumn

BE=AE-AB=-AC-AB=-AB+-AC,CF=AF-AC=-AB-AC.

222

【小問2詳解】

證明：在VABC中，因為NA=90°,AD1BC,所以通?%=()，

可得加=而一須，友=才至一而,

則-5*D----D--?C/=----（--A?D--—----A?\B/）---（--A-?C-_----A-?\D）-=----A-?D--.----A*C-_----A-?￡2）-----A-?B------A?C--+----A?D-----A?B

=AD-AC+ADAB-AD'

因為而?/=|AD||AC|COSACAD=|AD|2,AD-AB=IAD|IAB|COSNBAD=|AD|2,

所以麗?配=|而『+|而|而2=|而2,即池2ugn.Dc.

x=xz,

19.設4n是方程Lx+y=1的一組解,計算:

〔V=%4

九為

(1)

XQ+2XQ—2

⑵求2+』41+04的值.

%_1xo-2|

【答案】(1)--

4

(2)4

【解析】

2

【分析】(1)依題意可得辛+＞；=1,即/+4尤=4,再將所求式子化簡，最后整體代入即可;

(2)由同網(wǎng)=|明將所求式子展開，再代入■+4尤=4計算可得.

【小問1詳解】

X=XV2c

因為°n是方程上+/=1的一組解，

[y=y04

丫2

所以多+4=1,即其+4*=4,即片-4=-4y，

則」_____業(yè)=券=券=_J_

5+2x0-2%Q—4—4%4

【小問2詳解】

因為2+』41+^^

%)—2

2%-2+/2%+X。-2

%—1x0—2

(2%―2+X())2

(%T)(%-2)

_4y；+x；+4+4%%-8%-4%

2+x0y0-2y0-x0

又x；+4y；=4,

所以原式=8+4%%—4%=4,

2+x0y0-2y0-x0

即2+」^1+?2L=4.

%-1xo-2|

20.已知函數(shù)/(x)=kinM+|cosx|,xeR.

(1)

(2)求/(尤)的最大值并寫出取得最大值時x的集合；

(3)定義g(a)=n^/(x)-,aeR,求函數(shù)g(a)的最小值.

【答案】(1),[￡]=F[事]=3工，最小正周期為

(2)/(%)max=72,此時對應的工的取值集合為1x|x=：+g,左eZ

V2-1

⑶g(amin2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可求(1]的值，而/(x)=Jl+Mn2x],故可求

/(x)=Jl+Mn2x|的最小正周期.

(2)先求出OgsinZRwl,結合(1)的化簡結果可得/(%)何時取何最值.

(3)利用(2)的結合可求g(。)的解析式，故可求其最小值.

【小問1詳解】

73+173+1

22

又f(x)=^l+|sin2x|,而y=卜垣2%|的最小正周期為1-,

故/（%）=產(chǎn)國）的最小正周期為”

【小問2詳解】

因為04同112兀歸1,故

故/（%）=血，止匕時sin2x=±l即2工=巴+左兀即x=四+如，左eZ.

"\/max242

兀左兀

對應的X的集合為jx|x=z+E，4eZ）；

【小問3詳解】

由⑵可知，〃磯「1，〃到皿=夜，

當aWl時，，("―a|=/(x)—a,所以g(a)=Ji—ci;

當時，|/(x)-a|=a-/(x)，所以g(a)=a—l；

/T1/<1+應

A/2-6Z,1<a<-------

當l<a<應時，g(a)=max{0-a,a-l}=<一

a—l,3<a<?

[2

0?l+6

yJ2-a,a<---

故g(a).=交工

綜上，g(a)=<

1+A/20\/mino

a-1.a>-------

2

21.已知集合S.={x|x=(/,％2,…,土),為e{0,l},z=l,2,---,nJ(n>2),對于A

，（G,。2’,,a”），

B={bl,b1,---,bn）&Sn,定義A與8的差為4一8=（同一4],卜2-4卜一,|。"一包|），A與8之間的距離為

d（A3）=fk—用.

i=l

（1）直接寫出s“中元素的個數(shù)，并證明：任意A3eS“，有A-3eS“；

⑵證明：任意A坎CeS“，有d（A3）+d（AC）+d（5,C）是偶數(shù)；

（3）證明：VA,B,CGS?,^-d（B,C）＜d（A,B）-d（A,C）＜d（B,C）.

【答案】（1）S“中元素的個數(shù)為才；證明見詳解

（2）證明見詳解（3）證明見詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意分析可知s“中元素的個數(shù)為2"，結合定義可得|q-4但{0,1}，即可證明結論;

（2）分類討論可知%-4+舊-q|+也-可為偶數(shù)，結合定義分析證明即可;

⑶根據(jù)題意分析可得一四―q閆可―4―忖―c,|,進而可得結果.

【小問1詳解】

因為乙e（0,l},z=l,2,---,n,77>2,可知王均為2個值可取，

所以S“中元素的個數(shù)為2'，

對于任意A=（%,a2，…,4），3=（4也,…也）e5”,

可知知4e{0,1},/=1,2,???,?,71>2,

則何一修的結果如下表所示：

ai

01

001

110

可得舊-'e{0,l},所以A-BeS".

【小問2詳解】

設4=（。1，4,…,。0）,3=（4也,…，2），C=（Ci，C2，,'g）eS0,ai,bi,cie{0,l}（z=1,2,???,?）,

對任意Ie{1,2,…㈤,均有的一切=也一4|，則d（A5）=。（民A），

若生,4,q.均為0或%%,q?均為1,則|a;.-Z?,.|=|a,.-c,.|=|Z