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文檔簡介
2024北京首都師大附中高二9月月考
數(shù)學
一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分,每題只有一個正確選項)
1.已知三=1一1,則目=()
A.OB.lC,V2D.2
2.如圖,在平行六面體48cz)—4片。]£)]中,AB—AD-AAX—()
'.AC】B.4cC.D]BD.DB]
3.已知Z(2,-3,-1),8(—6,5,3),則標的坐標為()
A.(—8,8,—4)B.(-8,8,4)c.(8,—8,4)D.(8,—8,—4)
4.如圖,己知正方體4BCD—HB'C'D的棱長為1,/.麗=()
A.lB,V2C,V3D.-1
5.設屋用分別是平面a,7的法向量,其中1=(1,%-2)同=(x,—2,1),若a〃尸則x+V=
()
6.已知直線4的方向向量為"=(0,0,1),直線42的方向向量為舊=(0,6,-1),則直線4與,2所成角的度數(shù)
為()
A.30°B.60°C.120°D.150°
7.已知亢為平面a的一個法向量,G為直線/的一個方向向量,則“3,元”是“/〃a”的()
A.充分不必要條件B,必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
8.己知點。,4民。為空間不共面的四點,且向量1=刀+礪+反,向量B=E+礪—玩,則與
不能構成空間基底的向量是()
A.O4B.OSC.OCD.況或無
9.在空間直角坐標系。孫z中,點2(2,1,1)在坐標平面Oxz內(nèi)的射影為點8,且關于丁軸的對稱點為點
C,則民C兩點間的距離為()
A.V17B.3V2C.2V5D.V21
10.在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)4BC。中,M,N分別為的中點,則/M和
CN夾角的余弦值為()
二、填空題(共5小題,每小題4分,共20分)
11.已知向量5=(2,-3,1),則與1共線的單位向量為.
12.已知向量1=(2,0,-1),3=(7〃,一2,1)且〃3,則加=,卜+B卜.
13.己知直線I經(jīng)過A(1,0,1),5(2,0,0)兩點,則點尸(2,1,4)到直線/的距離為.
14.在空間直角坐標系Oxyz中,己知方=(2,0,0),%=(0,2,0),通=(0,0,2).則①與屈的夾角的
余弦值為;函在通的投影向量a=.
15.以下關于空間向量的說法:
①若非零向量2滿足2〃B石〃則G〃己
②任意向量落反己滿足(鼠孫?=晨(『同
③若{04赤,灰}為空間向量的一組基底,且礪礪—;瓦,則48,c,£)四點共面
_3-
④已知向量。=(1,1,x),3=(-3,x,9),若x〈而,則〈用3〉為鈍角
其中正確命題的序號是.
三、解答題(共4道大題,共60分)
16.如圖,在正方體Z5CD—44cl2中,48=2,£為線段的中點.
(1)求證:AAXLDXE.
(2)求平面ORE的法向量;
(3)求點4到平面ORE的距離.
17.如圖,正三棱柱ABC—44。的底面邊長為2,高為4,。為cq的中點,£為吊4的中點.
(1)求證:〃平面4瓦(;
(2)求直線5c與平面43。所成角的正弦值.
18.如圖,在平行六面體ABCD-中,AB=4,AD=2,AAX=272,ZBAD=60°,
ZBAAX=45°,ZC與8。相交于點O,設方=萬,詬=B,麗=乙
⑴試用基底忸方同表示向量函;
(2)求。4的長;
(3)求直線。4與直線所成角?
19.如圖,四棱錐S-的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的后倍,尸為側棱上的點.
(1)求證:ACLSD-.
(2)若5D_L平面尸/C,求平面尸/C與平面/CZ>的夾角大?。?/p>
(3)在(2)的條件下,側棱SC上是否存在一點E,使得成〃平面尸/C.若存在,求SE:EC的值;
若不存在,試說明理由.
參考答案
一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分,每題只有一個正確選項)
1.【答案】C
【分析】利用復數(shù)的乘法求出z,再求出復數(shù)的模.
【詳解】依題意,Z=(i-l)i=-l-i,則|z|=J(-l)2+(-l)2
故選:C
2.【答案】C
【分析】利用向量的加減法法則計算即可.
【詳解】方-石-麴=麗-麴=麗-西
故選:C
3.【答案】B
【分析】利用空間向量坐標運算即可.
【詳解】因為2(2,—3,—1),8(—6,5,3),
所以方=(—8,8,4)
故選:B.
4.【答案】A
【分析】結合圖形利用空間向量的線性運算求解即可.
【詳解】因為加=礪+礪=加—通+礪=益—詬+/,
且"方=0,"同=0,
所以Z??麗=2??(刀_而+刀)=/?刀—Z??而+Z?2=]
故選:A.
5.【答案】D
一一1y—2
【分析】本題根據(jù)圖形關系得到〃1〃々,得到一=—=——,解出即可.
x—21
【詳解】---a//13,且)凡分別是平面a源的法向量,則
1y-217
則有一=J=一,故》=一一,y=4,則x+y=-.
x-2122
故選:D.
6.【答案】B
__u-v
【分析】根據(jù)空間向量夾角公式cos<M,n>=m^,代入即可得到向量夾角,同時注意直線夾角的范圍.
【詳解】直線4方向向量江=(0,0,1),
直線方向向量E=(0,G,—l),
一_M-V-11
COS<M,V>=?...=---------1==——
同歸力2,
所以兩向量夾角為120°,
二直線4和,2所成角為60°,
故選:B.
7.【答案】B
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)及其法向量和方向向量的關系判斷即可.
【詳解】防為平面a的一個法向量,G為直線/的一個方向向量,
若方,則/ua或/〃a,充分性不成立,
若/〃a,則1,亢,必要性成立,
所以“3,方”是“/〃a”的必要不充分條件.
故選:B.
8.【答案】C
【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出.
【詳解】?.?OC=1(5-6)=|(a4+O5+OC)-1(d3+O5-OC),
.?.瓦與區(qū)很不能構成空間基底;
故選:C.
9.【答案】D
【分析】先求得民c的坐標,再用兩點的距離公式求解
【詳解】因為點2(2,1,1)在坐標平面Oxz內(nèi)的射影為點8,
所以8(2,0,1),
因為點幺(2,1,1)關于歹軸的對稱點為點C,
所以C(―2,1,-1),
所以忸C|=J(-2-2)2+(1—0)2+(—1—1)2=V21,
故選:D
10.【答案】A
【分析】根據(jù)正四面體性質(zhì)取8N的中點為尸,即可知N3P即為異面直線4M和CN的夾角的平面
角,計算出各邊長利用余弦定理即可求得結果.
【詳解】連接5N,取5N的中點為尸,連接4P,10,如下圖所示:
由正四面體的棱長為1用得AM=CN=BN=
2
又",P分別是8C8N的中點,所以MP〃CN,且MP==CN=型,
24
所以/4WP即為異面直線4W和CN的夾角的平面角,
又易知BNLAN,J!LPN=—BN=>所以4P=JAN。+PN?=Al--+—=—
24V4164
337
—1-----------2
因此cos/AMP=——詈_隼=-,
°J3J33
2x——x——
24
即AM和CN夾角的余弦值為
3
故選:A
二、填空題(共5小題,每小題4分,共20分)
3V14JV143V14
n.【答案】或—一丁,…
14714
?,,a
【分析】求出同,再根據(jù)土同求解即可.
【詳解】因為向量1=(2,-3,1),所以同=也2+(_3)2+12=9,
a(2,—3,1)3V14
所以土曰=±\J
同V1414
3屆V14^JV143V14
所以與2共線的單位向量為14'N)[―_1~,14
3AV14^JV143V14
故答案為:14'N尸[―"r’14
12.【答案】(1)-##0.5(2)亞I##工商
222
【分析】利用空間向量的垂直關系即可求解;根據(jù)向量的加法及模的運算即可求解.
【詳解】因為萬=(2,0,-1)石=(機,—2,1),
當時,所以2機一1=0,
所以加=-;
因為1=(2,0,-Q,B=K,—2,1
2+B=R—2,0
故答案為:—;2^1.
22
13.【答案】3
【分析】根據(jù)坐標求出cos〈不,刀然后得到|4P[,最后用勾股定理求忸P|即可得到點尸到
直線/的距離.
【詳解】
如圖,過點尸作?于點尸'
|1-3|_V22
由題意得,2P=(l,l,3),A8=(l,0,-l),cos<AP,2g>=
VnxVi_11'
|AP|=Vl+1+9=VTT,所以|ZP[=|AP|-COS<AP,AB>=后尸尸[=Vll-2=3.
故答案為:3.
14.【答案】①(②(1,一1,0)
【分析】先根據(jù)空間向量的坐標運算求出函與赤的坐標,然后由向量夾角的運算公式和投影向量的計
算公式即可求出結果.
【詳解】因為方=(2,0,0),%=(0,2,0),詼=(0,0,2),
所以函=力—k=(0,-2,2),而=益—%=(2,—2,0),
CDCB4_1
所以cos<CD.CB>=
20x2后一萬
CB
團在屈的投影向量為陰cos<CD,CB>R=(I0).
故答案為:—.
15.【答案】①③
—■1—■1—.
【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷①;由向量數(shù)量積的運算律可判斷②;根據(jù)幺。=—N8+—C8可判斷
33
③;當x=—3時可判斷④.
【詳解】對于①,因為扇是非零向量,且滿足故存在實數(shù)使得萬=彳3,
b=/JC,故5=4〃己,所以2〃己,故①正確;
對于②,因為仇?不一定共線且向量的數(shù)量積為實數(shù),所以卜=不一定成立,故②不正
確;
對于③,若{厲,礪,灰}為空間向量的一組基底,所以4民C三點不共線,
--2--2--1->----1--2--1--1/->—-\1/----1
OD=-OA+-OB——OC,且00—04=——OA+-OB——OC=-(OB-OA]+-(OB-OC
3333333、,3、
—?1—?1—?
所以2。=—48+—C8,則4民。,。四點共面,所以③正確;
33
對于④,當x=-3時,用3反向共線,有B=-31,1,3為180°,所以④不正確.
故答案為:①③.
三、解答題(共4道大題,共60分)
16.【答案】(1)證明見解析;
(2)(2,-1,1),答案不唯一;
⑶半
【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì),即可證明線線垂直;
(2)建立空間直角坐標系,求得對應點的坐標,利用向量法即可求得結果;
(3)根據(jù)(2)中所求平面的法向量,求得而在平面法向量上的投影向量的長度即可.
【小問1詳解】
因為ABCD-44cl2是正方體,故可得幺41面44。〃,
又DXEu面AiBlClDl,故可得4411DXE.
【小問2詳解】
以。為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系,如下所示:
則可得:^(0,0,2),5(2,2,0),£(1,2,2),4(2,0,2),
字=(1,2,0),阮=(-1,0,2),葩'=(-2,0,0)
設平面25E的法向量為應=(x,y,z),
m-D[E=0x+2y=0
則即…2z=。’取A?,可得—1,
m-BE=0
故平面25E的一個法向量為(2,-1,1).
【小問3詳解】
設點4到平面DXBE的距離為d,
4〃同_4_276
貝Ud=
\m\J4+1+13
故點4到平面D[BE的距離為巫
3
17.【答案】(1)證明見解析
(2)
5
【分析】(I)由已知建立空間直角坐標系,求出直線GE的方向向量和平面的法向量,利用線面
平行的向量判定方法求解即可;
(2)根據(jù)線面角的向量求解公式求解即可.
【小問1詳解】
如圖以/為坐標原點,以ZC,所在直線為〉軸,z軸,在平面48C內(nèi)做與/C垂直的直線為x軸
建立空間直角坐標系,
G(O,2,4),5(G,l,O),£>(O,2,2),£?,g,4,4(0,0,4),C(0,2,0)
_.(ha、—.—.
所以C]£=^,--,0,&B=(瓜1,-4),BD=(-51,2)
設平面4助的法向量為為=(%〃/),
n-A,B-0fV3x+y-4z=0
所以1,,即《廠,
n?BD=0[-J3]+y+2?=0
令x=,所以z=l,歹=1,
即萬=(G,1,1)為平面4Ao的一個法向量,
所以印?拓=年義6+[—[]xl+0xl=0,
又因為qE(z平面4Ao,
所以〃平面4AD;
【小問2詳解】
由(1)知5c=(—6,1,0),為=(6,1,1),
設直線5C與平面4AD所成角為巴
所以smO^cos(前,引=”=患=?,
所以直線5c與平面4AD所成角的正弦值為工1.
5
—■]_1—
18.【答案】(1)OA,——ci—bc
22
⑵V3
【分析】(1)利用空間向量的線性運算求解即可;
—■11-
(2)由(1)可知。4=——而——b+c,然后利用數(shù)量積求模長即可;
22
(3)利用空間向量線線角的向量法求解即可.
【小問1詳解】
----***1/>->\*1>11**11—*
OA=04+44=——(AB+AD]+AA=——AB——AD+AA=——a——b+c;
12、/12222
【小問2詳解】
】=
AB=4,4。=2,44=2①NBAD=60°,NBAAZDAAX=45°,
所以=|5||6|cos60°=4x2x^-=4,
BN=問同cos45°=2x2-V2x=4,
5
a-c=|5||c|cos45°=4x2-72x-8,
—?1一1-一
由(1)知OA——a—bc,
X22
所以=\--a-—b+cI=-a2+~b2+c2+-a-b-a-c-b-c=3>
[22J442
所以W=g;
【小問3詳解】
BC=AD=b^
OA,-BC=\——a一一b+c\-b=——a-b——b2+b-c=O,
1I22J22
cos(西,正卜"青=0,
--?__?7T
所以。&與8c所成角為萬,
JT
所以直線。4與直線3。所成角為
19.【答案】(1)證明見解析;(2)30°;(3)存在,SE-EC=2-A.
【分析】(1)由題設知,連BD,設NC交于8。于O,由題意知SO_L平面48c。似O為坐標原點,
礪,反,礪分別為x軸、歹軸、z軸正方向,建立空間直角坐標系,求得向量反與麗,結合數(shù)量積即
可證明/CLS。;
(2)分別求出平面尸/C與平面48的一個法向量,求法向量的夾角余弦值,即可求出結果;
(3)要使3E〃平面尸/C,只需礪與平面的法向量垂直即可,結合(2)中求出的平面尸/C的一個法
向量,即可求解.
【詳解】(1)證明:連接助,設AC交BD于O,由題意知S
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