北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)試卷

2024北京首都師大附中高二9月月考

數(shù)學(xué)

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng))

1.已知三=1一1,則目=()

A.OB.lC，V2D.2

2.如圖，在平行六面體48cz)—4片。］￡)］中，AB—AD-AAX—()

'.AC】B.4cC.D]BD.DB]

3.已知Z(2,-3,-1),8(—6,5,3),則標(biāo)的坐標(biāo)為()

A.(—8,8,—4)B.(-8,8,4)c.(8,—8,4)D.(8,—8,—4)

4.如圖，己知正方體4BCD—HB'C'D的棱長(zhǎng)為1,/.麗=()

A.lB，V2C，V3D.-1

5.設(shè)屋用分別是平面a,7的法向量,其中1=(1,%-2)同=(x,—2,1),若a〃尸則x+V=

()

6.已知直線4的方向向量為"=（0,0,1）,直線42的方向向量為舊=（0,6,-1）,則直線4與，2所成角的度數(shù)

為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

7.已知亢為平面a的一個(gè)法向量，G為直線/的一個(gè)方向向量，則“3,元”是“/〃a”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.己知點(diǎn)。,4民。為空間不共面的四點(diǎn)，且向量1=刀+礪+反，向量B=E+礪—玩，則與

不能構(gòu)成空間基底的向量是（）

A.O4B.OSC.OCD.況或無(wú)

9.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，點(diǎn)2（2,1,1）在坐標(biāo)平面Oxz內(nèi)的射影為點(diǎn)8,且關(guān)于丁軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

C,則民C兩點(diǎn)間的距離為（）

A.V17B.3V2C.2V5D.V21

10.在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）4BC。中，M,N分別為的中點(diǎn)，則/M和

CN夾角的余弦值為（）

二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）

11.已知向量5=（2,-3,1）,則與1共線的單位向量為.

12.已知向量1=（2,0,-1）,3=（7〃,一2,1）且〃3，則加=，卜+B卜.

13.己知直線I經(jīng)過(guò)A（1,0,1）,5（2,0,0）兩點(diǎn)，則點(diǎn)尸（2,1,4）到直線/的距離為.

14.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，己知方=（2,0,0）,%=（0,2,0）,通=（0,0,2）.則①與屈的夾角的

余弦值為；函在通的投影向量a=.

15.以下關(guān)于空間向量的說(shuō)法：

①若非零向量2滿足2〃B石〃則G〃己

②任意向量落反己滿足（鼠孫?=晨（『同

③若｛04赤，灰｝為空間向量的一組基底，且礪礪—；瓦，則48,c,￡)四點(diǎn)共面

_3-

④已知向量。=(1,1,x),3=(-3,x,9),若x〈而，則〈用3〉為鈍角

其中正確命題的序號(hào)是.

三、解答題(共4道大題，共60分)

16.如圖，在正方體Z5CD—44cl2中，48=2,￡為線段的中點(diǎn).

(1)求證：AAXLDXE.

(2)求平面ORE的法向量；

(3)求點(diǎn)4到平面ORE的距離.

17.如圖，正三棱柱ABC—44。的底面邊長(zhǎng)為2,高為4,。為cq的中點(diǎn)，￡為吊4的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面4瓦(；

(2)求直線5c與平面43。所成角的正弦值.

18.如圖，在平行六面體ABCD-中，AB=4,AD=2,AAX=272,ZBAD=60°,

ZBAAX=45°,ZC與8。相交于點(diǎn)O,設(shè)方=萬(wàn),詬=B,麗=乙

⑴試用基底忸方同表示向量函;

(2)求。4的長(zhǎng)；

(3)求直線。4與直線所成角?

19.如圖，四棱錐S-的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的后倍，尸為側(cè)棱上的點(diǎn).

(1)求證：ACLSD-.

(2)若5D_L平面尸/C,求平面尸/C與平面/CZ＞的夾角大小；

(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得成〃平面尸/C.若存在，求SE:EC的值;

若不存在，試說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng))

1.【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出z,再求出復(fù)數(shù)的模.

【詳解】依題意，Z=(i-l)i=-l-i,則|z|=J(-l)2+(-l)2

故選：C

2.【答案】C

【分析】利用向量的加減法法則計(jì)算即可.

【詳解】方-石-麴=麗-麴=麗-西

故選：C

3.【答案】B

【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)?(2,—3,—1),8(—6,5,3),

所以方=(—8,8,4)

故選：B.

4.【答案】A

【分析】結(jié)合圖形利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?礪+礪=加—通+礪=益—詬+/，

且"方=0,"同=0,

所以Z??麗=2??(刀_而+刀)=/?刀—Z??而+Z?2=]

故選：A.

5.【答案】D

一一1y—2

【分析】本題根據(jù)圖形關(guān)系得到〃1〃々，得到一=—=——，解出即可.

x—21

【詳解】---a//13,且)凡分別是平面a源的法向量，則

1y-217

則有一=J=一,故》=一一,y=4,則x+y=-.

x-2122

故選：D.

6.【答案】B

__u-v

【分析】根據(jù)空間向量夾角公式cos<M,n>=m^,代入即可得到向量夾角，同時(shí)注意直線夾角的范圍.

【詳解】直線4方向向量江=(0,0,1),

直線方向向量E=(0,G,—l),

一_M-V-11

COS<M,V>=?...=---------1==——

同歸力2，

所以兩向量夾角為120°，

二直線4和，2所成角為60°，

故選：B.

7.【答案】B

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)及其法向量和方向向量的關(guān)系判斷即可.

【詳解】防為平面a的一個(gè)法向量，G為直線/的一個(gè)方向向量，

若方，則/ua或/〃a,充分性不成立，

若/〃a,則1,亢，必要性成立，

所以“3，方”是“/〃a”的必要不充分條件.

故選：B.

8.【答案】C

【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出.

【詳解】?.?OC=1(5-6)=|(a4+O5+OC)-1(d3+O5-OC),

.?.瓦與區(qū)很不能構(gòu)成空間基底；

故選：C.

9.【答案】D

【分析】先求得民c的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)的距離公式求解

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)2(2,1,1)在坐標(biāo)平面Oxz內(nèi)的射影為點(diǎn)8,

所以8(2,0,1),

因?yàn)辄c(diǎn)幺(2,1,1)關(guān)于歹軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,

所以C(―2,1,-1),

所以忸C|=J(-2-2)2+(1—0)2+(—1—1)2=V21,

故選：D

10.【答案】A

【分析】根據(jù)正四面體性質(zhì)取8N的中點(diǎn)為尸，即可知N3P即為異面直線4M和CN的夾角的平面

角，計(jì)算出各邊長(zhǎng)利用余弦定理即可求得結(jié)果.

【詳解】連接5N,取5N的中點(diǎn)為尸，連接4P,10,如下圖所示：

由正四面體的棱長(zhǎng)為1用得AM=CN=BN=

2

又",P分別是8C8N的中點(diǎn)，所以MP〃CN,且MP==CN=型,

24

所以/4WP即為異面直線4W和CN的夾角的平面角，

又易知BNLAN,J!LPN=—BN=>所以4P=JAN。+PN?=Al--+—=—

24V4164

337

—1-----------2

因此cos/AMP=——詈_隼=-,

°J3J33

2x——x——

24

即AM和CN夾角的余弦值為

3

故選：A

二、填空題(共5小題，每小題4分，共20分)

3V14JV143V14

n.【答案】或—一丁，…

14714

?,,a

【分析】求出同，再根據(jù)土同求解即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄?=(2,-3,1),所以同=也2+(_3)2+12=9,

a（2,—3,1）3V14

所以土曰=±\J

同V1414

3屆V14^JV143V14

所以與2共線的單位向量為14'N)[―_1~，14

3AV14^JV143V14

故答案為:14'N尸[―"r’14

12.【答案】（1）-##0.5（2）亞I##工商

222

【分析】利用空間向量的垂直關(guān)系即可求解；根據(jù)向量的加法及模的運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)=（2,0,-1）石=（機(jī),—2,1）,

當(dāng)時(shí)，所以2機(jī)一1=0,

所以加=-；

因?yàn)?=(2,0,-Q,B=K，—2,1

2+B=R—2,0

故答案為：—；2^1.

22

13.【答案】3

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出cos〈不，刀然后得到|4P[,最后用勾股定理求忸P|即可得到點(diǎn)尸到

直線/的距離.

【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作?于點(diǎn)尸'

|1-3|_V22

由題意得，2P=(l,l,3),A8=(l,0,-l),cos<AP,2g>=

VnxVi_11'

|AP|=Vl+1+9=VTT,所以|ZP[=|AP|-COS<AP,AB>=后尸尸[=Vll-2=3.

故答案為：3.

14.【答案】①（②（1,一1,0）

【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出函與赤的坐標(biāo)，然后由向量夾角的運(yùn)算公式和投影向量的計(jì)

算公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榉?（2,0,0）,%=（0,2,0）,詼=（0,0,2）,

所以函=力—k=（0,-2,2）,而=益—%=（2,—2,0）,

CDCB4_1

所以cos<CD.CB>=

20x2后一萬(wàn)

CB

團(tuán)在屈的投影向量為陰cos<CD,CB>R=(I0).

故答案為：—.

15.【答案】①③

—■1—■1—.

【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷①；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷②；根據(jù)幺。=—N8+—C8可判斷

33

③；當(dāng)x=—3時(shí)可判斷④.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)樯仁欠橇阆蛄浚覞M足故存在實(shí)數(shù)使得萬(wàn)=彳3,

b=/JC,故5=4〃己，所以2〃己，故①正確；

對(duì)于②，因?yàn)槌?不一定共線且向量的數(shù)量積為實(shí)數(shù)，所以卜=不一定成立，故②不正

確；

對(duì)于③，若｛厲，礪，灰｝為空間向量的一組基底，所以4民C三點(diǎn)不共線，

--2--2--1->----1--2--1--1/->—-\1/----1

OD=-OA+-OB——OC,且00—04=——OA+-OB——OC=-(OB-OA]+-(OB-OC

3333333、,3、

—?1—?1—?

所以2。=—48+—C8,則4民。,。四點(diǎn)共面，所以③正確;

33

對(duì)于④，當(dāng)x=-3時(shí)，用3反向共線，有B=-31,1,3為180°，所以④不正確.

故答案為：①③.

三、解答題（共4道大題，共60分）

16.【答案】（1）證明見解析；

（2）（2,-1,1）,答案不唯一;

⑶半

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證明線線垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法即可求得結(jié)果；

（3）根據(jù)（2）中所求平面的法向量，求得而在平面法向量上的投影向量的長(zhǎng)度即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳BCD-44cl2是正方體，故可得幺41面44?！?

又DXEu面AiBlClDl,故可得4411DXE.

【小問(wèn)2詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如下所示:

則可得：^(0,0,2),5(2,2,0),￡(1,2,2),4(2,0,2),

字=(1,2,0),阮=(-1,0,2),葩'=(-2,0,0)

設(shè)平面25E的法向量為應(yīng)=（x,y,z）,

m-D[E=0x+2y=0

則即…2z=。’取A?，可得—1，

m-BE=0

故平面25E的一個(gè)法向量為（2,-1,1）.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)點(diǎn)4到平面DXBE的距離為d,

4〃同_4_276

貝Ud=

\m\J4+1+13

故點(diǎn)4到平面D[BE的距離為巫

3

17.【答案】（1）證明見解析

（2）

5

【分析】(I)由已知建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線GE的方向向量和平面的法向量，利用線面

平行的向量判定方法求解即可；

(2)根據(jù)線面角的向量求解公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

如圖以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ZC,所在直線為〉軸，z軸，在平面48C內(nèi)做與/C垂直的直線為x軸

建立空間直角坐標(biāo)系,

G（O,2,4）,5（G,l,O）,￡＞（O,2,2）,￡?,g,4，4（0,0,4）,C（0,2,0）

_.（ha、—.—.

所以C]￡=^,--,0,&B=（瓜1,-4）,BD=（-51,2）

設(shè)平面4助的法向量為為=（%〃/）,

n-A,B-0fV3x+y-4z=0

所以1，，即《廠,

n?BD=0[-J3]+y+2?=0

令x=,所以z=l,歹=1,

即萬(wàn)=(G,1,1)為平面4Ao的一個(gè)法向量，

所以印?拓=年義6+[—[]xl+0xl=0,

又因?yàn)閝E(z平面4Ao,

所以〃平面4AD；

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知5c=(—6,1,0),為=(6,1,1),

設(shè)直線5C與平面4AD所成角為巴

所以smO^cos（前，引=”=患=?，

所以直線5c與平面4AD所成角的正弦值為工1.

5

—■]_1—

18.【答案】（1）OA,——ci—bc

22

⑵V3

【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可；

—■11-

（2）由（1）可知。4=——而——b+c,然后利用數(shù)量積求模長(zhǎng)即可；

22

（3）利用空間向量線線角的向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

----***1/>->\*1>11**11—*

OA=04+44=——（AB+AD]+AA=——AB——AD+AA=——a——b+c;

12、/12222

【小問(wèn)2詳解】

】=

AB=4,4。=2,44=2①NBAD=60°,NBAAZDAAX=45°,

所以=|5||6|cos60°=4x2x^-=4,

BN=問(wèn)同cos45°=2x2-V2x=4，

5

a-c=|5||c|cos45°=4x2-72x-8，

—?1一1-一

由（1）知OA——a—bc,

X22

所以=\--a-—b+cI=-a2+~b2+c2+-a-b-a-c-b-c=3>

[22J442

所以W=g；

【小問(wèn)3詳解】

BC=AD=b^

OA,-BC=\——a一一b+c\-b=——a-b——b2+b-c=O,

1I22J22

cos(西，正卜"青=0,

--?__?7T

所以。&與8c所成角為萬(wàn)，

JT

所以直線。4與直線3。所成角為

19.【答案】（1）證明見解析；（2）30°；（3）存在，SE-EC=2-A.

【分析】（1）由題設(shè)知，連BD,設(shè)NC交于8。于O,由題意知SO_L平面48c。似O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

礪，反，礪分別為x軸、歹軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量反與麗，結(jié)合數(shù)量積即

可證明/CLS。；

（2）分別求出平面尸/C與平面48的一個(gè)法向量，求法向量的夾角余弦值，即可求出結(jié)果；

（3）要使3E〃平面尸/C,只需礪與平面的法向量垂直即可，結(jié)合（2）中求出的平面尸/C的一個(gè)法

向量，即可求解.

【詳解】（1）證明：連接助，設(shè)AC交BD于O,由題意知S