集合（5大壓軸考法）原卷版 -2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題01集合

目錄

解題知識必備......................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、集合的子集、真子集及參數(shù)問題......................................2

題型二、集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及參數(shù)問題....................................3

題型三、韋恩圖及容斥原理的應(yīng)用.............................................4

題型四、集合中的結(jié)構(gòu)不良問題................................................5

題型五、集合中的新定義問題..................................................6

壓軸能力測評（12題）...............................................8

說明：試題或者解析中區(qū)間的概念說明：設(shè)。，6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且我們規(guī)定:

定義名稱符號

\^x\a<x<b^閉區(qū)間[a,b]

{x[a<x<b^開區(qū)間

半閉半開區(qū)間[a,b)

{X[Q<x<b^半開半閉區(qū)間(a,可

8解題知識必備??

一、集合的有關(guān)概念

1.集合元素的三個(gè)特性：確定性、無序性、互異性.

2.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

3.元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為e；不屬于，記為C.

4.五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N+表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），Z表示整數(shù)集,

Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

NQN

二、集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素，都是集合B中的元素，就稱集合A

為集合B的子集.記作AU8(或B2A).

⑵真子集：如果集合但存在元素xdg,且尤仁A,就稱集合A是集合2的真子集，記作A堂區(qū)

(3)相等：若AU8,且8UA,則A=B.

(4)空集的性質(zhì)：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合

符號表示AUBAAB

A的補(bǔ)集為CuA

S3

圖形表示

AUBJ?

集合表示{x\x^Af或1￡團(tuán){小且工￡3}[x\x^U,B-X^A]

四、集合中的新定義問題

1.集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個(gè)要素，結(jié)合集合的知識加

以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

2.集合中的新運(yùn)算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個(gè)全新的運(yùn)算規(guī)則.按照新的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合數(shù)學(xué)中原

有的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進(jìn)行計(jì)算或邏輯推理等，從而達(dá)到解答的目的.

3.集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相應(yīng)的集合

概念、關(guān)系、運(yùn)算等相關(guān)知識，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

4.集合新定義問題處理步驟

①找：要抓住新定義的本質(zhì)——新定義的要素，首先找出新定義有幾個(gè)要素，少一個(gè)都不是“新的定義”哦;

然后找出要素分別是什么

②看：看所求是什么？

③代：將己知條件代入新定義的要素

④解：結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答

常用結(jié)論

(1)若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有2'-1個(gè)，非空真子

集有2'—2個(gè).

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

⑶AcB-?AnB=A<=>AU5=B<=>CVBcCVA.

X壓軸題型講練2

【題型一集合的子集、真子集及參數(shù)問題】

一、單選題

1.(2024高一上?全國?專題練習(xí))已知集合M=*|x=幺詈±451kez1,「=卜|》=幺^±90。,丘Z

則集合M,P之間的關(guān)系為()

A.M=PB.MPC.P=MD.McP=0

二、填空題

2.(23-24高一下?湖南長沙?階段練習(xí))設(shè)集合A=h，々…“,}a{2,3,…,37},(n>2,”eN)且A中任意

兩數(shù)之和不能被5整除，則”的最大值為.

3.(23-24高一上.上海?期中)。是有理數(shù)集，集合M=卜卜=。+&瓦。,6€。,工*。},在下列集合中：

①卜卜=eA/}；@^x\x=t2,t&；

③{x|x=%+x,,eM,X2eM}；④{x[x=玉馬，玉^M,x2eA/j.

與集合M相等的集合序號是.

4.(23-24高一上?吉林四平?階段練習(xí))已知集合M={x|14尤410,尤wZ},對它的非空子集A,將A中的每

個(gè)元素上都乘以(-D*再求和，如人={2,3,6},可求得和為(-1)2X2+(-1)3X3+(-1)6X6=5,試對M的所有

非空子集，求這些和的總和=.

5.(22-23高二下?北京?期中)已知全集[;={。,訓(xùn)工€及丫€2},非空集合S=U.若在平面直角坐標(biāo)系x0y

中，對s中的任意點(diǎn)p,與p關(guān)于x軸、y軸以及直線y=無對稱的點(diǎn)也均在s中，則以下命題：

①若(l,3)eS,則(T-3)eS；

②若(0,4)eS,則S中至少有8個(gè)元素；

③若(0,0)eS,則S中元素的個(gè)數(shù)可以為奇數(shù)；

④若{(羽y)4+y=4}=S,則{(x,y)||x|+|y|=4|cS.

其中正確命題的序號為.

【題型二集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及參數(shù)問題】

一、單選題

1.（23-24高一上?上海嘉定?期中）已知集合P,。中都至少有兩個(gè)元素，并且滿足下列條件：①集合P,Q

中的元素都為正數(shù)；②對于任意都有feP；③對于任意eP（awb）,都有MeQ；則

b

下列說法正確的是（）

A.若尸有2個(gè)元素，則。有3個(gè)元素

B.若尸有2個(gè)元素，則PUQ有4個(gè)元素

C.若尸有2個(gè)元素，則2n。有1個(gè)元素

D.存在滿足條件且有3個(gè)元素的集合P

2.（23-24高一下.安徽安慶?開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)集A滿足條件:若awA,則手eA,則集合A中所有元素

1一〃

的乘積為（）

A.1B.-1C.±1D.與。的取值有關(guān)

二、填空題

3.（23-24高一上?上海?期中）設(shè)集合A={1,2,3,4},B={1,2},若CqA且BnCw0,則所有滿足條件的集

合C的個(gè)數(shù)為.

4.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）若4={1,3,4，2={/』},則實(shí)數(shù)x的值所組成的集合

C為______

三、解答題

5.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）設(shè)集合尸={討-2（尤<3},Q^{x\3a<x<a+1］；

（1）若?？谑髮?shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若PcQ=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

12

6.（24-25IWJ-'上,上海,課后作業(yè)）設(shè)集合SuN,且滿足xwS,貝！J1H-------ES.

x-1

（1）求出只含2個(gè)元素的集合S；

⑵滿足題設(shè)條件的集合S共有幾個(gè)？列舉出來.

【題型三韋恩圖及容斥原理的應(yīng)用】

一、單選題

1.（23-24高一上.河南鄭州?階段練習(xí)）某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂講座，其中有75人聽了數(shù)學(xué)講

座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，記

A=｛x|x是聽了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生｝,8=｛刈尤是聽了歷史講座的學(xué)生｝,C=｛x|x是聽了音樂講座的學(xué)生｝.

用card（M）來表示有限集合M中元素的個(gè)數(shù)，若card（AcB）=17,card（AcC）=12,card（BcC）=9,

Ac3cC=0,貝U（）

A.card（Au3）=143B.card（AuBuC）=166

C.card（BuC）=129D.card（AnBnC）=38

2.（23-24高一上?陜西?階段練習(xí)）下列表示集合〃=[xeN19eN]和N=卜|（尤2=36）關(guān)系的Venn

3.（23-24高一上?遼寧?階段練習(xí)）杭州第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日舉行，經(jīng)調(diào)查，亞

運(yùn)會中球類、田徑類、游泳類比賽深受學(xué)生喜愛.小明統(tǒng)計(jì)了其所在班級50名同學(xué)觀看球類、田徑類、游

泳類比賽情況，每人至少觀看過其中一類比賽，有15人觀看過這3類比賽，18人沒觀看過球類比賽，20

人沒觀看過田徑類比賽,16人沒觀看過游泳類比賽，因不慎將觀看過其中兩類比賽的人的數(shù)據(jù)丟失，記為俄，

則由上述可推斷出加=（）

A.16B.17C.18D.19

4.（23-24高一上?湖南長沙?期末）已知全集為U,集合N滿足MNU,則下列運(yùn)算結(jié)果為U的是

（）.

A.MuNB.（蹲N）u（⑼

c.D,N5dM

二、填空題

5.(23-24高一上?陜西?階段練習(xí))某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開課，開設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂.已知秋季班

課程共有90人報(bào)名，其中有45人報(bào)名舞蹈，有26人報(bào)名太極，有33人報(bào)名聲樂，同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名

聲樂的有8人，同時(shí)報(bào)名聲樂和報(bào)名太極的有5人，沒有人同時(shí)報(bào)名三門課程，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

①同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有3人；

②只報(bào)名舞蹈的有36人；

③只報(bào)名聲樂的有20人；

④報(bào)名兩門課程的有14人.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【題型四集合中的結(jié)構(gòu)不良問題】

一、解答題

1.(23-24高一上.湖北孝感.階段練習(xí))在①人=卜--3%+2=0｝,②二｛尤|2丁-3x-2=0｝這二個(gè)條件中

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線中，求解下列問題.設(shè)集合,集合8=卜k2+26+1.+"-5=。｝.

(1)若集合8的子集有2個(gè)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若AnB=B，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.

2.(23-24高一上?廣東汕頭?階段練習(xí))已知A=｛x|2a-l<xWa+l｝,3=｛；d-l〈尤43｝.

(1)若a=-g，求AU3,An(43);

(2)在①“xeA”是“xeB”的充分不必要條件；②Au3=B；③Ac3=0；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面問題中，并進(jìn)行解答.

問題：若，求實(shí)數(shù)。的取值范圍構(gòu)成的集合尸.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)條件的解答計(jì)分.

3.(22-23高一上.重慶沙坪壩.期中)已知A=｛尤k2-6》+5=0｝,3=｛可"-1=。｝.

(1)若4=1,求Ac(23)；

⑵從①AU(\3)=R；②=③3c(\A)=0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并進(jìn)行

解答.

問題：若，求實(shí)數(shù)。的所有取值構(gòu)成的集合C.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【題型五集合中的新定義問題】

一、單選題

1.（24-25高一上?上海?單元測試）若X是一個(gè)非空集合，M是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足:

（1）X&M,0GM；（2）對于X的任意子集A,B,當(dāng)AeM且時(shí)，有AuBcM；（3）對于X

的任意子集A,B,當(dāng)Ac"且Be"時(shí)，有AcBeM,則稱又是集合X的一個(gè)——集合類”，例如：

/={0,抄},{0},{瓦0},{0,。,0}}是集合*={4,瓦0}的一個(gè)“M-----集合類”.已知X={a,b,c},則所有含{b,

c}的——集合類”的個(gè)數(shù)為（）.

A.9B.10C.11D.12

2.（23-24高一上?上海?期末）已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若aeS,則當(dāng)且僅當(dāng)。=相+”

（其中正整數(shù)機(jī)、〃eS且〃件〃）或。=。+4（其中正整數(shù)P、qeS且pwg）.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①5eS；

②集合{Hx=3"?eN*}uS.則下列判斷正確的是（）

A.①對②對B.①對②錯(cuò)C.①錯(cuò)②對D.①錯(cuò)②錯(cuò)

二、填空題

3.（23-24高一上.北京?期中）定義集合「={尤|a<x4加的“長度”是其中°,bwR.已如集合

13

M={x\m<x<m+-},N=[x\n--<x<n],且M,N都是集合{x|1VxV2}的子集，則集合McN的“長度”

的最小值是—；若根=[,集合MuN的“長度”大于g,則〃的取值范圍是.

三、解答題

4.（23-24高一上?北京?階段練習(xí)）設(shè)整數(shù)集合&={01M…,%oo}，其中1V%…V205,且對于

任意力,J（l±WjW100）,若i+/eA,則6+%”.

⑴請寫出一個(gè)滿足條件的集合4

（2）證明：任意尤w{101,102,…,200},xiA.

5.（23-24高一上?上海楊浦?開學(xué)考試）已知數(shù)集4={q,生…凡}。46<生<一<見,“22）具有性質(zhì)產(chǎn)：對任

意的ij（1<?<；）,咐與%兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.

%

⑴分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6）是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

（2）證明：4=1且對任意都是巴的因數(shù)；

（3）當(dāng)〃=5時(shí)，若。2=2,求集合A.

6.（23-24高一上.北京順義.期中）已知S”={1,2,…,〃}（"N3）,A={4%L,歿}（人2）是S“的子集,定義

集合＜="-為%嗎€4且4，%},若A*U{〃}=S“，則稱集合A是S,,的恰當(dāng)子集.用因表示有限集合X

的元素個(gè)數(shù).

⑴若〃=5,A={1,2,3,5},求A*并判斷集合A是否為》的恰當(dāng)子集；

⑵己知A={l,a,d7}（°＜。）是S?的恰當(dāng)子集，求a,6的值并說明理由；

⑶若存在A是S,的恰當(dāng)子集，并且悶=5,求〃的最大值.

7.（23-24高一下?北京順義?階段練習(xí)）對于正整數(shù)集合4=口生,…0}（〃eN*,”23）,如果任意去掉其

中一個(gè)元素%（，=1,2廣.,〃）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集

合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集合”；

⑴判斷集合{2,4,6,8,10}和{3,5,7,9,11,13,15}是否是“可分集合”（不必寫過程）；

（2）求證：四個(gè)元素的集合A={a1M2，%%}一定不是"可分集合”；

⑶若集合人={%,%,…q}（〃eN*,〃23）是“可分集合”，證明：〃為奇數(shù).

8.（23-24高一上.北京延慶.期末）已知集合A為非空數(shù)集.定義：

S={Rx=a+6,a力eA},T={x\x^a-b\,a,b&A}

⑴若集合A={1,3},直接寫出集合S,T；

⑵若集合A={%,無2，W，4},芯＜Xj＜龍4，且7=4.求證：芯4=39；

（3）若集合A屋{ROWxW2024,xeN},ScT=0,記何為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求閨的最大值.

??壓軸能力測評??

一、單選題

1.（24-25高一上?上海?單元測試）若集合A={x|2a+lW尤W3a-5},3={x|3WxW22},則能使AaAflB

成立的所有。的集合是（）.

A.{a|lWaW9}B.{a|6WaW9}

C.{a|aW9}D.0

2.（2024?浙江杭州?三模）設(shè)集合M={x|x=2笈+l#eZ},N={尤|x=34-1,左eZ},則McN=（）

A.{尤|x=24+1,左eZ）B.{x|x=34一l,AeZ}

C.{x[x=6左+1,左eZ}D.{x|x=6左一1,左eZ}

3.（23-24高一上.江蘇鹽城.階段練習(xí)）設(shè)集合A={1,2,3},B={0,l,2,4},定義集合

S^{（a,b）\aeA,beB,a+b>ab},則集合S中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.6C.8D.9

4.（22-23高一上?上海浦東新?開學(xué)考試）定義集合運(yùn)算A-3={x|xeA且工任身稱為集合A與集合B的差

集；定義集合運(yùn)算位=（A-8）^（3-A）稱為集合A與集合8的對稱差，有以下4個(gè)等式：①的=必4；

?（/lAB）AC=AA（BAC）；③AI（BAC）=（AIB）A（AIC）；@AU（BAC）=（AUB）A（AUC）,則4個(gè)等式

中恒成立的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、多選題

5.（23-24高一上?安徽蚌埠?期末）對于集合"={4。=/-/"€2。€2},給出以下結(jié)論，其中正確的結(jié)

論是（）

A.如果3={,6=2"+l,weN},那么8aM

B.如果C={dc=2〃,"eN},那么C=M

C.如果qw/RwAf,那么01a2

D.eM,a2,那么6+的eM

三、填空題

6.（2024?遼寧丹東?一模）若V-80為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為.

7.（2023高一?全國?專題練習(xí)）設(shè)A是非空數(shù)集，若對任意％yeA,都有無+yeA、xyeA,則稱A具有

性質(zhì)尸，給出以下命題：

①若A具有性質(zhì)P,則A可以是有限集；

②若A具有性質(zhì)P,且AwR,則4A具有性質(zhì)P；

③若A、4具有性質(zhì)p,且AC&W0,則AC4具有性質(zhì)p；

④若A、4具有性質(zhì)P,則AU4具有性質(zhì)P.

其中所有真命題的序號是.

四、解答題

8.(24-25高一上?上海?單元測試)已知U=R為一個(gè)數(shù)集，集合4=4+3/|s,reU}.

⑴設(shè)U={1,3,5},求集合A的元素個(gè)數(shù)；

(2)設(shè)。=2,證明：若xeA,則7xeA.

9.設(shè)全集為R,A={x[x<-1或x>3},3={x|l-a<x<2a+3}.

(1)若。=1,求Ac3,(