中考數(shù)學復習重難題型復習突破訓練：二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與圓有關問題）（原卷版+解析）

專題24二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與圓有關問題）

1.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax~+bx+c

與x軸分別相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,下表給出了這條拋物線上部分點（x,y）的

坐標值：

??????

X-10123

.?????

y03430

（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標;

（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求AQ+QP+PC

的最小值;

（3）如圖2,點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作。歹，x軸，垂足為F,AABD

的外接圓與。/相交于點E.試問：線段麻的長是否為定值？如果是，請求出這個定值;

如果不是，請說明理由.

圖1圖2

2.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，拋物線y=（%+1）（%-。）（其中。＞1）與x軸交

于A、B兩點，交y軸于點C.

（1）直接寫出N0C4的度數(shù)和線段AB的長（用a表示）；

（2）若點D為△MC的外心，且△BCD與△ACO的周長之比為麗：4,求此拋物線

的解析式；

（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y=（x+D（x-。）上是否存在一點P,使得

NC4P="54?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

3.（2021?四川中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=-/+法+<?交x軸于點A

和C（l,0）,交V軸于點3（0,3）,拋物線的對稱軸交x軸于點E,交拋物線于點八

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段OE繞著點。沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段O3,旋轉(zhuǎn)角為磯0。<0<90。)，連接

AE',BE',求BD+gAE，的最小值.

(3)M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,N為

頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由；

4.(2021?四川中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩

點，與y軸交于點C(0,6),拋物線的頂點坐標為E(2,8),連結BC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達式；

(2)判斷aBCE的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,以C為圓心，血為半徑作。C,在。C上是否存在點P,使得BP+^EP的值

最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

5.(2021?湖南中考真題)如圖，已知二次函數(shù)>=辦2+6尤+<:的圖象經(jīng)過點C(2,-3)且與x

軸交于原點及點8(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)求頂點A的坐標及直線A3的表達式;

(3)判斷AABO的形狀，試說明理由；

(4)若點尸為。。上的動點，且。。的半徑為2血，一動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單

位長度的速度沿線段轉(zhuǎn)勻速運動到點尸，再以每秒1個單位長度的速度沿線段P8勻速運動

到點8后停止運動，求點E的運動時間/的最小值.

6.(2020?德州)如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標是(0,-2),在x軸上任取一

點M,連接AM,分別以點A和點M為圓心，大于3M的長為半徑作弧，兩弧相交于G,H兩

點，作直線GH,過點M作x軸的垂線1交直線GH于點P.根據(jù)以上操作，完成下列問題.

探究：

(1)線段PA與PM的數(shù)量關系為,其理由為：.

(2)在x軸上多次改變點M的位置，按上述作圖方法得到相應點P的坐標，并完成下列表

格：

M的坐標…(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)…

P的坐標…_(0,-1)(2,-2)???

猜想：

(3)請根據(jù)上述表格中P點的坐標，把這些點用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出

的曲線L,猜想曲線L的形狀是拋物線.

驗證:

（4）設點P的坐標是（x,y）,根據(jù)圖1中線段PA與PM的關系，求出y關于x的函數(shù)解析

應用：

(5)如圖3,點B(-1,V3),C(1,V3),點D為曲線L上任意一點，且NBDC<30°,

求點D的縱坐標yD的取值范圍.

5-

4-12-R2-廠

1-3?i?C

IIII_________IIIIAIIII11tl

求-4-3-2-1,01234x-4-3-2-1,01234

\M-1--1■

-2T-2-

-4-3-2-1,34x

-3--3-

-4--4-

-3-又-5--5-

-4-認

圖1圖2圖3

7.（2020?濟寧）我們把方程（x-m）2+（y-n）,=召稱為圓心為（m,n）、半徑長為r的圓

的標準方程.例如，圓心為（1,-2）、半徑長為3的圓的標準方程是（x-1）2+（y+2）2

=9.在平面直角坐標系中，OC與軸交于點A,B,且點B的坐標為（8,0）,與y軸相切于

點D（0,4）,過點A,B,D的拋物線的頂點為E.

（1）求OC的標準方程;

（2）試判斷直線AE與。C的位置關系，并說明理由.

8.(2020?遵義)如圖，拋物線y=ax2+^x+c經(jīng)過點A(-1,0)和點C(0,3)與x軸的

另一交點為點B,點M是直線BC上一動點，過點M作MP〃y軸，交拋物線于點P.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點Q,使得△QC0是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)以M為圓心，MP為半徑作。M,當。M與坐標軸相切時，求出。M的半徑.

9.(2020?山東德州？中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標是(0,-2),在

x軸上任取一點M.連接AM,分別以點A和點M為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧

2

相交于G,H兩點，作直線GH,過點M作x軸的垂線1交直線GH于點P.根據(jù)以上操作，完

成下列問題.

探究：

(1)線段PA與PM的數(shù)量關系為，其理由為：.

(2)在x軸上多次改變點M的位置，按上述作圖方法得到相應點P的坐標，并完成下列表

格：

M的坐標???(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)???

P的坐標???(0,-1)(2,-2).??

猜想：

(3)請根據(jù)上述表格中P點的坐標，把這些點用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出

的曲線L,猜想曲線L的形狀是.

驗證：

(4)設點P的坐標是(x,y),根據(jù)圖1中線段PA與PM的關系，求出y關于x的函數(shù)解析式.

應用：

(5)如圖3,點8(—1,百)，C(1，百)，點D為曲線L上任意一點，且NBDC<30°,求

點D的縱坐標yD的取值范圍.

10.(2020?江蘇蘇州？中考真題)如圖，已知NMON=90°,OT是NA/QV的平分線，A

是射線上一點，04=8cm.動點尸從點A出發(fā)，以1c機/s的速度沿AO水平向左作

勻速運動，與此同時，動點。從點。出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動.連

接PQ,交07于點B.經(jīng)過。、P、。三點作圓，交07于點C,連接PC、QC.設運

動時間為《5)，其中0<f<8.

M

(1)求OP+OQ的值；

(2)是否存在實數(shù)/,使得線段08的長度最大？若存在，求出f的值；若不存在，說明理

由.

(3)求四邊形。尸CQ的面積.

11.(2020?山東濟寧？中考真題)我們把方程(x-m)，(y-n)2=r2稱為圓心為(m,n)、半徑長

為r的圓的標準方程.例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標準方程是(x-

l)2+(y+2)2=9.在平面直角坐標系中，圓C與軸交于點A.B.且點B的坐標為(8.0),與y軸

相切于點D(0,4),過點A,B,D的拋物線的頂點為E.

(1)求圓C的標準方程；

(2)試判斷直線AE與圓C的位置關系，并說明理由.

專題24二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與圓有關問題）

1.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線,

與X軸分別相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,下表給出了這條拋物線上部分點（x,y）的

坐標值：

X???-10123???

y???03430???

（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標；

（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求AQ+QP+PC

的最小值；

（3）如圖2,點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作x軸，垂足為F,ZXABD

的外接圓與。/相交于點E.試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值;

如果不是，請說明理由.

圖1圖2

【答案】⑴y=-（x-l）2+4；M（l,4）；（2）V13+1；⑶是，1.

【分析】

（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)，設出拋物線的頂點式，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）利用平移和找對稱點的方式，將AQ+QP+PC的長轉(zhuǎn)化為0E+1+PC,再利用兩

點之間線段最短確定FE+PC的最小值等于CE的長，加1后即能確定PE+1+PC的最小

值；

（3）設出圓心和D點的坐標，接著表示出E點的坐標，利用圓心到B點的距離等于圓心到

D點的距離，求出q和e的關系，得到E點的縱坐標，進而確定EF的長為定值.

【詳解】

解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，頂點坐標為（1,4）

設拋物線解析式為：y=a（x-l）2+4,

將點（0,3）代入解析式得：3=a+4,

a=—1,

.??拋物線解析式為：y=—(%—1J+4,頂點坐標M(L4).

(2)由表格可知，拋物線經(jīng)過點A(-1,0),C(0,3),

如圖3,將A點向上平移一個單位，得到4(-1,1),

貝i]AA'//PQ,AA'=PQ,

四邊形A4'PQ是平行四邊形，

APA,=QA,

作4關于MQ的對稱點E,則磯3,1),

???PA'=PE，

：.AQ+QP+PC=PE+1+PC,

當P、E、C三點共線時，PE+PC最短，

設直線CE的解析式為：y=twc+n,

zz=3

將C、E兩點坐標代入解析式可得：\,

3m+n=l

n=3

???<2，

m=—

I3

???直線CE的解析式為：y=--x+3,

3

7

令x=1,則y=1，

，當Plj'g]時，0、*、C三點共線，此時尸E+PC=EC=J(3—Op+(1—3)2=而最短，

，AQ+QP+PC的最小值為V13+1.

(3)是；

理由：設ZXp,q),

因為A、B兩點關于直線x=l對稱，

所以圓心位于該直線上，

所以可設AABD的外接圓的圓心為0(1,e),

作垂足為點N,則N(p,e),

由止_Lx軸，

E(/7,2e-q),

VO'D^O'B,且由表格數(shù)據(jù)可知5(3,0)

GT)?+(0-e)2=(p—I)?+(q—e)2,

化簡得：4+e?+(q-e)2,

???點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，且拋物線解析式為y=-(x-l)2+4,

??Q=—(^p—1^+4,

(0一1『=4-"'

??4+e2=4—q+(q—e)~,

；qw0,

2e—q=-1,

AEF=\，

即政的長不變，為1.

【點睛】

本題涉及到了動點問題，綜合考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、點的平移、勾股定理、

平行四邊形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題、圓的性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關鍵是理解并掌握

相關概念與公式，能將題干信息與圖形相結合，挖掘圖中隱含信息，本題有一定的計算量,

對學生的綜合分析與計算能力都有較高的要求，本題蘊含了數(shù)形結合的思想方法等.

2.(2021?四川自貢市?中考真題)如圖，拋物線y=(x+l)(x—a)(其中a>l)與x軸交

于A、B兩點，交y軸于點C.

(1)直接寫出NOC4的度數(shù)和線段AB的長(用a表示)；

(2)若點D為△MC的外心，且△BCD與△ACO的周長之比為“6:4,求此拋物線

的解析式;

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x-a)上是否存在一點P,使得

NC4P="BA?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)/0CA=45°,AB=a+l；(2)y=x2-x-2；(3)存在，P,(--)，

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(T,0),即可得出0A=0B=a,

0B=l,即可證明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根據(jù)線段的和差關系可表示AB

的長；

(2)如圖，作AABC的外接圓。D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=0a，利用兩點間

距離公式可用a表示出BC的長，根據(jù)圓周角定理可得ND=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可證明△DBCsaocA,根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

(3)如圖，過點D作DH_LAB于H,過點C作AC的垂線，交x軸于F,過點0作OG_LAC于

G,連接AP交CF于E,可得AOCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析

式，根據(jù)外心的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點D坐標，即可得出BH、DH的長，根

據(jù)NC4P=/BHD=NACE=90°可證明△BHDs^ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求

出CE的長，根據(jù)兩點間距離公式可得點E坐標，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，聯(lián)立

直線AE與拋物線的解析式求出點P坐標即可得答案.

【詳解】

(1)???拋物線y=(x+D(x—a)(其中a>l)與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C.

.?.當x=0時，y=-a,

當y=0時，(x+l)(x-a)=0,

解得：西=T,x2=a,

/.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

/.0B=l,OA=OC=a,

/.△OCA是等腰直角三角形，

.,.Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如圖,作AABC的外接圓。D,

:點D為AA6c的外心，

；.DB=DC,

「△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

/.ZOAC=45°,AC=V2iZ>

,/ZBDC和/BAC是BC所對的圓心角和圓周角，

，NBDC=2NBAC=90°,

ZDBC=45

.?.ZDBC=ZOAC,

.'.△DBC^AOCA,

?/ABCD與/XACO的周長之比為屈：4,

2

.BC屈mV?+l而

AC4缶4

解得：a—+2>

經(jīng)檢驗：a=±2是原方程的根，

Va>l,

a-2,

，拋物線解析式為：y=(X+l)(x-2)=f—X—2.

(3)如圖，過點D作DHLAB于H,過點C作AC的垂線，交x軸于F,過點0作0GLAC于

G,連接AP交CF于E,

?a=2,

；.C(0,-2),A(2,0),AC=2A/2-

VZ0CA=45°,

AZ0CF=45°,

...△OCF是等腰直角三角形，

；.F(-2,0),

設直線CF的解析式為y=kx+b,

-2k+b=0

b=-2

k=-l

解得：<

b=—2’

/.直線CF的解析式為y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

，0G所在直線為AC的垂直平分線，點G為AC中點,

:點D為△A6C的外心，

...點D在直線0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

AG(1,-1),

設直線0G的解析式y(tǒng)=mx,

m——1j

直線0G的解析式y(tǒng)=-x,

?.?點D為4ABC的外心，

.?.點D在AB的垂直平分線上，

-1+21

???點D的橫坐標為------=；,

22

把x=/代入y=-x得y=-；,

112

.\DH=—BH=1+—

222

:/CAP=/DBA,ZBHD=ZACE=90°,

.'.△BHD^AACE,

13

?DH整，BPJ

,~CE2

CE272

解得：CE=述，

3

;點E在直線CF上，

設點E坐標為(n,-n-2),

???CE=5+(—〃—2+2)2二平,

2

解得：n=±~,

3

24

.?.￡（_±,-2）

333

設直線AEi的解析式為y=k1x+b1,

一24

--k,+b.=--

，＜3”13,

2kl+4=0

\k1=-

解得：r2.

A=-1

直線AE.的解析式為y=^x-l,

同理：直線AE?的解析式為y=2x—4,

'1,

,y——x—1

聯(lián)立直線AE】解析式與拋物線解析式得,2

y=X2-x-2

1

%=Cc

解得：\2＜%二c2（與點A重合，舍去），

、，二[為=0

?'?Pl(-----,-------)，

24

y=2x-4

聯(lián)立直線AE?解析式與拋物線解析式得《

y=x2-x-2

—1=2

解得：＜八（與點A重合，舍去），

J=—2[%=0

E2

5

_

綜上所述：存在點P,使得/CAP=/DBA，點P坐標為P,---------),P2(L2).

24

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圓周角

定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關性質(zhì)及定理是解題關鍵.

3.（2021?四川中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=--+汝+（?交x軸于點A

和C（l,o）,交y軸于點8（0,3）,拋物線的對稱軸交了軸于點E,交拋物線于點尸.

（1）求拋物線的解析式；

（2）將線段OE繞著點。沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段O?,旋轉(zhuǎn)角為磯0。＜戊＜90。），連接

AE',BE',求的最小值.

（3）M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,N為

頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由；

【答案】（1）y=-/_2x+3；（2）妞；（3）存在，N點的橫坐標分別為：2,-1,-1+^

32

或T-石

2

【分析】

（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，設解析式為＞將C（l,0）,8（0,3）兩點代

入求得b,c的值即可；

（2）胡不歸問題，要求30+gAE，的值，將折線化為直線，構造相似三角形將;AE'轉(zhuǎn)化

為;DE：再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得最值；

（3）分2種情形討論：①AB為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質(zhì)可以求得

N點的坐標；

②AB為矩形的對角線，設R為AB的中點,RN=1AB,利用兩點距離公式求解方程可得N點的

坐標.

【詳解】

解：（1）Vy=-x2+Z?x+ciiC（l,0）,3（0,3）

.J-l+/7+c=0

**|c=3

Z?=—2,c=3

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3

(2)在OE上取一點O,使得=連接AELBD

'：OD=-OE=-OE'

33

對稱軸兀="I=-1.

2

E（-1,0）,OE=\

OE'=OE=1,OA=3

OE,

=-=ZDOE'=ZE'OA

~OAOE'3

ADOE'^AE'CM

DE'=-AE'

3

BE,+-AE'=BE'+DE'

3

當8,E',。三點在同一點直線上時，BE*DE，最小為BD.

在RtABOD中，OD=_,OB=3

3

/.BD=^OB2+OD2=

即A?最小值為反.

33

(3)情形①如圖，AB為矩形的一條邊時,

y=0

聯(lián)立

y=-x—2x+3

%=-3X=1

得

y=0y=0

；.A(—3,0),OA=3

-,-OB=3

：NABO是等腰MA,ZBAO=45°

分別過A3兩點作AB的垂線，交y=-x2-2x+3于點N”Nz，

過乂,乂作軸，軸，

NQBN\=NPAN2=45°

△BN?,△AN?尸也是等腰直角三角形

設QB=m,則N1Q=〃z,所以乂(-〃z,加+3)

代入＞=-x2-2x+3,解得叫=1,?2=。(不符題意，舍)

乂(-1,4)

同理，設OP=〃，貝iJ/W="+3,所以乂(〃,-〃-3)

代入y=-/-2x+3,解得n1=2,%=-3(不符題意，舍)

.■.N2(2,-5)

②AB為矩形的對角線，設R為AB的中點，則=

A(-3,0),B(0,3)

33______

AB=V32+32=372

:.RB=-AB=^-

22

RN=-AB

2

:.RN=^-

2

2

設N{X9—x—2x+3),則

0+62+,+2廠；(事

整理得：X(X+3)(%2+X-1)=0

解得：芯=。(不符題意，舍)，X2=-3(不符題意，舍)，

???綜上所述：N點的橫坐標分別為：2,-1,土叵或土好.

22

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數(shù)與一

次函數(shù)交點，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，平面直角坐標系中兩點距離計算等知識,

能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關鍵.

4.(2021?四川中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩

點,與y軸交于點C(0,6),拋物線的頂點坐標為E(2,8),連結BC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達式；

(2)判斷4BCE的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,以C為圓心，應為半徑作。C,在。C上是否存在點P,使得BP+^EP的值

最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

yy

E

圖1圖2

【答案】(1)y=-1x2+2x+6；(2)直角三角形，見解析；(3)存在，立史

22

【分析】

(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)分別求出三角形三邊的平方，然后運用勾股定理逆定理即可證明；

(3)在CE上截取CF=@(即CF等于半徑的一半)，連接BF交。C于點P,連接EP,則

2

BF的長即為所求.

【詳解】

解：(1):拋物線的頂點坐標為E(2,8),

...設該拋物線的表達式為y=a(x-2)2+8,

???與y軸交于點C(0,6),

把點C(0,6)代入得：a=--,

2

2

,該拋物線的表達式為y=-1x+2x+6;

(2)Z\BCE是直角三角形.理由如下:

:拋物線與x軸分別交于A、B兩點，

?,.當y=0時，(x-2)2+8=0,解得：xi=-2,x2=6,

；.A(-2,0),B(6,0),

.?.BC2=62+62=72,CE2=(8-6)2+22=8,BE=(6-2)2+82=80,

.?.BE2=BC2+CE2,

/.ZBCE=90°,

?,.△BCE是直角三角形；

(3)如圖，在CE上截取CF=1(即CF等于半徑的一半)，連接BF交。C于點P,連接

2

EP,

則BF的長即為所求.

y

■*CP-CE-21

又；NFCP=/PCE,

.'.△FCP^APCE,

???里一—旦—」frprp--llFiprj

CPPE22

.\BF=BP+yEP,

由“兩點之間，線段最短”可得：BF的長即BP+2EP為最小值.

VCF=-CE,E(2,8),

4

1

AF2~

22

1V290

；.BF=6--I+10-—

222

【點睛】

本題考查二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，圓的性

質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，題目綜合性較強，屬于中考壓軸題，熟練掌握二次函數(shù)圖

象和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等相關知識是解題關鍵.

5.(2021?湖南中考真題)如圖，已知二次函數(shù)y=以2+"+。的圖象經(jīng)過點。(2,-3)且與工

軸交于原點及點8(8,0).

y

(i)求二次函數(shù)的表達式；

(2)求頂點A的坐標及直線A3的表達式；

(3)判斷AABO的形狀，試說明理由；

(4)若點尸為。。上的動點，且。。的半徑為2垃，一動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單

位長度的速度沿線段轉(zhuǎn)勻速運動到點尸，再以每秒1個單位長度的速度沿線段尸8勻速運動

到點8后停止運動，求點E的運動時間/的最小值.

【答案】(1)y=52-2x；(2)A(4,-4),y=x-8；(3)等腰直角三角形，理由見解

析；(4)572

【分析】

(1)根據(jù)已知條件，運用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；

(2)根據(jù)(1)中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點坐標公式計算即可，再根據(jù)點A、B坐標

求出AB解析式即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知為等腰三角形，再根據(jù)0、A、B三點坐標，求出三條

線段的長，利用勾股定理驗證即可；

(4)根據(jù)題意可知動點E的運動時間為t=+在OA上取點。，使OD=0,

可證明△APO"△尸口。，根據(jù)相似三角形比例關系得「刈=；門可，即

t=^\AP\+\PB\=\PD\+\PB\,當8、尸、。三點共線時，戶口+戶用取得最小值，再根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進一步計算即可.

【詳解】

解：(1)???二次函數(shù)＞=/+法+4"0)的圖象經(jīng)過。(2,-3),且與x軸交于原點及點8(8,0)

?,.c=0,二次函數(shù)表達式可設為：y=aj3

將C(2,-3),8(8,0)代入丁=湛+法得：

f—3=4〃+2ba=—

。。入解這個方程組得4

n0=64〃+8b,。

i\b=-2

:二次函數(shù)的函數(shù)表達式為y=一2x

4

(2)?..點A為二次函數(shù)圖像的頂點，

???頂點坐標為：4(4,-4),

設直線A3的函數(shù)表達式為>=履+根，則有：

f-4=4k+m[k=1

解之得：

[n0=8QZ左+m[m=-80

，直線AB的函數(shù)表達式為y=x-8

(3)AABC是等腰直角三角形，

過點A作APL03于點尸，易知其坐標為歹(4,0)

???△ABC的三個頂點分別是0(0,0),A(4,T),8(8,0),

22

/.|OB|=|8-O|=8,網(wǎng)=Jo戶+=^(4-0)+(-4-0)=40

|陰=<AF2+BF2=,J[0-(-4)]2+(8-4)2=40

且滿足|O優(yōu)=|OA『+|AB「

ABC是等腰直角三角形

(4)如圖，以。為圓心，4A歷為半徑作圓，則點尸在圓周上，依題意知:

動點E的運動時間為/=-4尸|+|尸耳

在OA上取點。，使OD=0，

連接P￡),則在和△PAO中，

pnAn

滿足：一=—=2,ZAOP=ZPOD,

ODOP

：.AAPOsAPDO,

.AP_POAO

9,7D~~OD~~OP~'

從而得：忸q=義4尸|

/.t=AP|+\PB\=\PD\+\PB\

顯然當B、P、。三點共線時，|PD|+|P@取得最小值，

過點。作。GL03于點G,由于夜，

且AABO為等腰直角三角形，

則有￡>G=1,ZDOG=45°,

/.動點E的運動時間t的最小值為：

r=|。同=^|DG|2+|GB|2=712+(8-1)2=5&.

【點睛】

本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點坐標，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，將運動時間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長度的最小值是解題的

關鍵.

6.(2020?德州)如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標是(0,-2),在x軸上任取一

點M,連接AM,分別以點A和點M為圓心，大于女M的長為半徑作弧，兩弧相交于G,H兩

點，作直線GH,過點M作x軸的垂線1交直線GH于點P.根據(jù)以上操作，完成下列問題.

探究：

(1)線段PA與PM的數(shù)量關系為—，其理由為：—.

(2)在x軸上多次改變點M的位置，按上述作圖方法得到相應點P的坐標，并完成下列表

格：

M的坐標…(-2,0)(0,0)I(2,0)(4,0)…

P的坐標…_(0,-1n(2,-2)|???

猜想：

(3)請根據(jù)上述表格中P點的坐標，把這些點用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出

的曲線L,猜想曲線L的形狀是拋物線.

驗證：

(4)設點P的坐標是(x,y),根據(jù)圖1中線段PA與PM的關系，求出y關于x的函數(shù)解析

式.

應用：

(5)如圖3,點B(-1,V3),C(1,V3),點D為曲線L上任意一點，且NBDC<30°,

求點D的縱坐標y°的取值范圍.

圖2圖3

【分析】(1)由題意可得GH是AM的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求解;

(2)由(1)可知：PA=PM,利用兩點距離公式可求點P坐標；

(3)依照題意，畫出圖象；

(4)由兩點距離公式可得-y=J(x—0)2+(y+2)2,可求y關于x的函數(shù)解析式；

(5)由兩點距離公式可求BC=0B=0C,可證ABOC是等邊三角形，可得NB0C=60°,

以。為圓心，0B為半徑作圓0,交拋物線L與點E,連接BE,CE,可得NBEC=30°,則

當點D在點E下方時，ZBDC<30°,求出點E的縱坐標即可求解.

【解析】(1)???分別以點A和點M為圓心，大于3M的長為半徑作弧，兩弧相交于G,H

兩點，

；.GH是AM的垂直平分線，

:點P是GH上一點，

；.PA=PM(線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等)，

故答案為：PA=PM,線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；

(2)當點M(-2,0)時，設點P(-2,a),(a<0)

VPA=PM,

-a=V(-2-0)2+(a+2)2,

.??a=-2,

???點P(-2,-2),

當點M(4,0)時，設點P(4,b),(b<0)

VPA=PM,

-b=7(4-0)2+(b+2)2,

，b=-5,

?,?點P(4,-5),

故答案為：(-2,-2),(4,-5)；

(3)依照題意，畫出圖象，

猜想曲線L的形狀為拋物線，

故答案為：拋物線；

(4)VPA=PM,點P的坐標是(x,y),(y<0),

?*--7=J(X-0)~2+(y+2)~G,

?_12i

??y=-；x-i；

(5)?.?點B(-1,V3),C(1,V3),

；.BC=2,0B=J(-l-0)2+(V3-0)2=2,0C=J(1-0)2+(V3-0)2=2,

；.BC=OB=OC,

.,.△BOC是等邊三角形，

.?.ZB0C=60°,

如圖3,以。為圓心，0B為半徑作圓0,交拋物線L與點E,連接BE,CE,

圖3

.?./BEC=30°,

設點E(m,n),

???點E在拋物線上，

?

??1n=2—m-1,

4

V0E=0B=2,

???J(m-0)2+(n-0)2=2,

「?ni=2-2A/3,R2—2+2A/3(舍去)，

如圖3,可知當點D在點E下方時，ZBDC<30°,

/.點D的縱坐標y°的取值范圍為yo<2-2V3.

7.(2020?濟寧)我們把方程(x-m)2+(y-n)2=d稱為圓心為(m,n)、半徑長為r的圓

的標準方程.例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標準方程是(x-1)2+(y+2)2

=9.在平面直角坐標系中，OC與軸交于點A,B,且點B的坐標為(8,0),與y軸相切于

點D(0,4),過點A,B,D的拋物線的頂點為E.

(1)求。C的標準方程；

(2)試判斷直線AE與。C的位置關系，并說明理由.

【分析】(1)如圖，連接CD,CB,過點C作CMLAB于M.設。C的半徑為r.在Rt^BCM

中，利用勾股定理求出半徑以及等C的坐標即可解決問題.

(2)結論：AE是。C的切線.連接AC,CE.求出拋物線的解析式，推出點E的坐標，求

出AC,AE,CE,利用勾股定理的逆定理證明/CAE=90°即可解決問題.

【解析】(1)如圖，連接CD,CB,過點C作OUAB于M.設。C的半徑為r.

:與y軸相切于點D(0,4),

.\CD±OD,

VZCD0=ZCM0=ZD0M=90°,

四邊形ODCM是矩形，

；.CM=0D=4,CD=0M=r,

VB(8,0),

.*.0B=8,

ABM=8-r,

在RtZiCMB中,?/BC2=CM2+BM2,

.,.r2=42+(8-r)2,

解得r=5,

AC(5,4),

的標準方程為(x-5)2+(y-4)2=25.

(2)結論：AE是0c的切線.

理由：連接AC,CE.

VCMXAB,

；.AM=BM=3,

AA(2,0),B(8,0)

設拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-8),

把D(0,4)代入y=a(x-2)(x-8),可得a=工，

4

，拋物線的解析式為y=；(x-2)(x-8)=IX2-1X+4=\(x-5)2-p

44244

拋物線的頂點E(5,

4

；AE=」32+G)2=*CE=4+|=^,AC=5,

.*.EC2=AC2+AE2,

.*.ZCAE=90°,

ACAIAE,

??.AE是。C的切線.

8.(2020?遵義)如圖，拋物線y=ax2+-x+c經(jīng)過點A(-1,0)和點C(0,3)與x軸的

4

另一交點為點B,點M是直線BC上一動點，過點M作MP〃y軸，交拋物線于點P.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點Q,使得△QC0是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)以M為圓心，MP為半徑作。M,當。M與坐標軸相切時，求出。M的半徑.

【分析】(1)把點A(-1,0)和點C(0,3)代入y=ax'+2x+c求出a與c的值即可

4

得出拋物線的解析式；

(2)①當點Q在y軸右邊時，假設AQC。為等邊三角形，過點Q作QH±0C于H,OC=3,

則0H=tan60°=生，求出Q(越，三)，把x=%代入y=--x2+2x+3,得y=-

2OH222448162

則假設不成立；

②當點Q在y軸的左邊時，假設△、0)為等邊三角形，過點Q作QTLOC于T,0C=3,則

0T=-,tan60°=",求出Q(—延，把x=-逋代入丫=--x2+-x+3,得y=---

20T222448

則假設不成立;

162

(3)求出B(4,0),待定系數(shù)法得出BC直線的解析式y(tǒng)=-&+3,當M在線段BC上，

4

0M與x軸相切時，延長PM交AB于點D,則點D為。M與x軸的切點，即PM=MD,設P

(x,--X2+-X+3),M(x,--x+3),貝l|PD=——2+&+3,MD=--x+3,由PD-MD=MD,

444444

求出x=l,即可得出結果；當M在線段BC上，OM與y軸相切時，延長PM交AB于點D,

過點M作MELy軸于E,則點E為。M與y軸的切點，即PM=ME,PD-MD=EM=x,設P

(x,--x~+-x+3),M