2024-2025學年北京十四中八年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年北京十四中八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每小題2分，共20分）第1-10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1．（2分）在下面由冬季奧運會比賽項目圖標組成的四個圖形中，其中可以看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝7，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2分）下列各式計算正確的是（）A．x3?x3＝2x3 B．（x2）3＝x5 C．x3+x5＝x8 D．（xy）4＝x4y44．（2分）下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1 C．a(chǎn)x+bx+c＝x（a+b）+c D．a(chǎn)2b﹣ab2＝ab（a﹣b）5．（2分）已知x2+2mx+9是完全平方式，則m的值為（）A．6 B．±6 C．3 D．±36．（2分）從邊長為a的大正方形紙板挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙），可以驗證成立的公式為（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）7．（2分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，E．若△ABC的周長為22，BE＝4（）A．14 B．18 C．20 D．268．（2分）下列尺規(guī)作圖，能確定AD是△ABC的中線的是（）A． B． C． D．9．（2分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，使CD＝BC，連接AD（）A．7＜AD＜13 B．2＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜1110．（2分）設a，b是實數(shù)，定義*的一種運算如下：a*b＝（a+b）2，則下列結論有：①a*b＝0，則a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（第11-18題每題3分，共24分）11．（3分）計算：（π﹣2）0＝．12．（3分）在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為．13．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，這個三角形的周長是．14．（3分）如圖，點B、A、D、E在同一直線上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，則只需添加一個適當?shù)臈l件是．（只填一個即可）15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠ABC和∠ACB的平分線交于O點，過點O作BC的平行線交AB于M點，則△AMN的周長為．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°°．17．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，則a2+4b2的值是．18．（3分）在平面直角坐標系中，點A（2，0），B（0，3），C（0，2），點D在第二象限（1）點D的坐標為；（2）點P在坐標軸上，且△PAC是等腰三角形，則P點的個數(shù)為．三、解答題（第19、20題各9分，第21、23、24、25題各6分，第22、26題各7分，共56分）19．（9分）計算：（1）4x2?（﹣3x）2；（2）（2m﹣3）（m+5）；（3）（1﹣5n）（1+5n）﹣（n﹣1）（n+5）．20．（9分）因式分解：（1）n2﹣5n；（2）3m2﹣6m+3；（3）9m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．21．（6分）先化簡，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣y）﹣2x3y÷xy，其中x＝1，y＝2．22．（7分）根據(jù)題意，完成作圖及推理：已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，AB＝4．（1）作出∠BAC的平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）求△ABD的面積．解：過D作DE⊥AB于點E，∵∠C＝90°，∴DC⊥于點C，∵AD平分∠BAC，∴＝CD（），∵CD＝1，∴DE＝，∵AB＝4，∴S△ABD＝．23．（6分）已知：如圖，CB＝DE，∠B＝∠E求證：AC＝AD．24．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AD于點F，交AC于點E．求證：△AEF為等腰三角形．25．（6分）閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，前、后兩部分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）像這種將一個多項式適當分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；（2）已知△ABC的三邊長a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀并說明理由．26．（7分）已知：如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD＝AB，點E為BA延長線上一點且AE＝AC，連結AF．（1）求證：∠FCA＝∠AEF；（2）作A點關于BC的對稱點M，分別連接AM，F(xiàn)M．①依題意補全圖形；②用等式表示EF，CF，AM之間的數(shù)量關系并證明．四、附加題（共10分）27．（4分）在學習整式乘法一章時，小明發(fā)現(xiàn)：若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”．例如：5是“智慧數(shù)”，因為5＝22+12；再如：M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整數(shù)），所以M也是“智慧數(shù)”．（1）請你再寫一個小于10的（5除外）“智慧數(shù)”，并判斷29是否為“智慧數(shù)”（填“是”或者“否”）；（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)），k是常數(shù)，要使S為“智慧數(shù)”28．（6分）對于平面直角坐標系內的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．對于平面直角坐標系內的任意兩個圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，Q兩點間的“直角距離”有最小值，那么稱這個最小值為圖形M、N間的“直角距離”（M，N）．（1）已知A（1，0）、B（0，2），則d（A，B），D（O，AB）＝；（2）已知A（1，0）、B（0，t），若D（O，AB），則t的取值范圍是；（3）已知A（1，0），若坐標平面內的點P滿足d（P，A）＝1，該圖形的面積是．

2024-2025學年北京十四中八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題2分，共20分）第1-10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1．（2分）在下面由冬季奧運會比賽項目圖標組成的四個圖形中，其中可以看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形；B、不是軸對稱圖形；C、不是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形．故選：D．2．（2分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝7，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝8，故選：A．3．（2分）下列各式計算正確的是（）A．x3?x3＝2x3 B．（x2）3＝x5 C．x3+x5＝x8 D．（xy）4＝x4y4【解答】解：x3?x3＝x6，故本選項錯誤；B、（x2）3＝x8，故本選項錯誤；C、x3+x5不能合并，故本選項錯誤；D、（xy）3＝x4y4，故本選項正確．故選：D．4．（2分）下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1 C．a(chǎn)x+bx+c＝x（a+b）+c D．a(chǎn)2b﹣ab2＝ab（a﹣b）【解答】解：A、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，從左到右的變形是整式的乘法運算，故此選項不符合題意；B、x2+x﹣6＝（x﹣1）（x+2）+7，從左到右的變形，故此選項不符合題意；C、ax+bx+c＝x（a+b）+c，故此選項不符合題意；D、a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），從左到右的變形，故此選項符合題意．故選：D．5．（2分）已知x2+2mx+9是完全平方式，則m的值為（）A．6 B．±6 C．3 D．±3【解答】解：已知x2+2mx+7是完全平方式，∴m＝3或m＝﹣3，故選：D．6．（2分）從邊長為a的大正方形紙板挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙），可以驗證成立的公式為（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：圖甲中陰影部分的面積為：a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積為：（a+b）（a﹣b），∵甲乙兩圖中陰影部分的面積相等，∴a4﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴可以驗證成立的公式為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b4．故選：D．7．（2分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，E．若△ABC的周長為22，BE＝4（）A．14 B．18 C．20 D．26【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周長為22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周長＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故選：A．8．（2分）下列尺規(guī)作圖，能確定AD是△ABC的中線的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)作圖方法可得A選項中D為BC中點，則AD為△ABC的中線，故選：A．9．（2分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，使CD＝BC，連接AD（）A．7＜AD＜13 B．2＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜11【解答】解：如圖，延長AC到E使CE＝AC．∵BC＝CD，AC＝CE，∴△ACB≌△ECD（SAS），∴DE＝AB＝3．在△AED中，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊．∴AE＝2AC＝10，AE+DE＝13．∴8＜AD＜13．故選：A．10．（2分）設a，b是實數(shù)，定義*的一種運算如下：a*b＝（a+b）2，則下列結論有：①a*b＝0，則a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，∴a、b互為相反數(shù)，a*b＝（a+b）8，b*a＝（b+a）2，因此②符合題意，a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）4+（a+c）2，故③不符合題意，∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）7，∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）故④符合題意，因此正確的個數(shù)有5個，故選：B．二、填空題（第11-18題每題3分，共24分）11．（3分）計算：（π﹣2）0＝1．【解答】解：（π﹣2）0＝4，故答案為：1．12．（3分）在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（3，﹣2）．【解答】解：點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（2．故答案為：（3，﹣2）．13．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，這個三角形的周長是17．【解答】解：（1）若3為腰長，7為底邊長，由于5+3＜7，則三角形不存在；（2）若2為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為7+7+5＝17．故答案為：17．14．（3分）如圖，點B、A、D、E在同一直線上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，則只需添加一個適當?shù)臈l件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF或∠C＝∠F．（只填一個即可）【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），若添加∠C＝∠F，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案為：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF或∠C＝∠F．15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠ABC和∠ACB的平分線交于O點，過點O作BC的平行線交AB于M點，則△AMN的周長為10．【解答】解：∵BO為∠ABC的平分線，CO為∠ACB的平分線，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝MB+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周長為AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案為：1016．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°50°．【解答】解：在△BDF和△CED中∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDE+∠FDC＝∠B+∠BFD，∴∠B＝∠FDE＝65°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故答案為：50．17．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，則a2+4b2的值是120．【解答】解：∵a﹣2b＝10，ab＝5，∴（a﹣5b）2＝100，4ab＝20，∴a8+4b2＝（a﹣5b）2+4ab＝100+20＝120，故答案為：120．18．（3分）在平面直角坐標系中，點A（2，0），B（0，3），C（0，2），點D在第二象限（1）點D的坐標為（﹣3，2）；；（2）點P在坐標軸上，且△PAC是等腰三角形，則P點的個數(shù)為5個．【解答】解：（1）∵點A（2，0），2），2），∴OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，∵△AOB≌△OCD，∴∠AOB＝∠OCD＝90°，OA＝OC＝2，AB＝OD∵點D在第二象限，∴點D的坐標為（﹣3，2），故答案為：（﹣3，2）；（2）在Rt△OAC中，OA＝OC＝7，由勾股定理得：AC＝＝，∵點P在坐標軸上，且△PAC是等腰三角形，∴有以下三種情況：①∵OA＝OC＝2，當點P于點O重合時，則PA＝PC，∴點O為符合題意的點，如圖2所示：此時點P的坐標為（0，0）；②以點A為圓心，以AC為BA半徑畫弧交x軸于點P，則PA＝AC，P'A＝AC，∴點P，P'為符合題意的點此時點P（4+，7），2）；③以點C為圓心，以CA為半徑畫弧交y軸于P，則PC＝AC，P'C＝AC，∴點P，P'為符合題意的點此時點P（0，2+），2﹣），綜上所述：符合題意的點P共有5個．故答案為：7個．三、解答題（第19、20題各9分，第21、23、24、25題各6分，第22、26題各7分，共56分）19．（9分）計算：（1）4x2?（﹣3x）2；（2）（2m﹣3）（m+5）；（3）（1﹣5n）（1+5n）﹣（n﹣1）（n+5）．【解答】解：（1）4x2?（﹣2x）2＝4x3?9x2＝36x4；（2）（2m﹣3）（m+3）＝2m2+10m﹣5m﹣15＝2m2+4m﹣15；（3）（1﹣5n）（7+5n）﹣（n﹣1）（n+3）＝1﹣25n2﹣（n3+5n﹣n﹣5）＝4﹣25n2﹣n2﹣3n+n+5＝﹣26n2﹣5n+6．20．（9分）因式分解：（1）n2﹣5n；（2）3m2﹣6m+3；（3）9m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．【解答】解：（1）原式＝n（n﹣5）；（2）原式＝3（m6﹣2m+1）＝2（m﹣1）2；（3）原式＝（x﹣y）（7m2﹣n2）＝（x﹣y）（8m+n）（3m﹣n）．21．（6分）先化簡，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣y）﹣2x3y÷xy，其中x＝1，y＝2．【解答】解：原式＝x2+2xy+y6+x2﹣xy+2xy﹣8y2﹣2x7＝3xy﹣y2，當x＝3，y＝2時2＝8．22．（7分）根據(jù)題意，完成作圖及推理：已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，AB＝4．（1）作出∠BAC的平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）求△ABD的面積．解：過D作DE⊥AB于點E，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC于點C，∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），∵CD＝1，∴DE＝1，∵AB＝4，∴S△ABD＝2．【解答】解：（1）如圖，AD即為所求．（2）過D作DE⊥AB于點E，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC于點C．∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．∵CD＝1，∴DE＝1．∵AB＝3，∴S△ABD＝2．故答案為：AC；DE；1；2．23．（6分）已知：如圖，CB＝DE，∠B＝∠E求證：AC＝AD．【解答】證明：∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC與△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴AC＝AD．24．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AD于點F，交AC于點E．求證：△AEF為等腰三角形．【解答】證明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，即△AEF為等腰三角形．25．（6分）閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，前、后兩部分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）像這種將一個多項式適當分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；（2）已知△ABC的三邊長a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀并說明理由．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y7﹣4＝（x﹣y）2﹣5＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）（2）∵a3﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝2，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0或a﹣b＝6且a﹣c＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC是等腰三角形或等邊三角形．26．（7分）已知：如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD＝AB，點E為BA延長線上一點且AE＝AC，連結AF．（1）求證：∠FCA＝∠AEF；（2）作A點關于BC的對稱點M，分別連接AM，F(xiàn)M．①依題意補全圖形；②用等式表示EF，CF，AM之間的數(shù)量關系并證明．【解答】（1）證明：∵∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠EAD＝90°，∵AD＝AB，AE＝AC，∴△CAB≌△EAD（SAS），∴∠BCA＝∠AED，即∠FCA＝∠AEF；（2）解：①依題意補全圖形即可；②EF＝CF+AM，理由如下：∵∠BCA＝∠AED，∠CDE＝∠EDA，∴∠CED＝∠ADE＝90°，即EF⊥BC，∵點A、點M關于BC對稱，∴AM⊥BC，∠AFB＝∠MFB，∴AM∥EF，在EF上截取點N，使NE＝CF，∵∠C＝∠E，AE＝AC，∴△CAF≌△EAN（SAS），∴AF＝AN，∠AFC＝∠ANE，∴∠AFN＝∠ANF＝∠AFB，∠FAN＝∠DAE＝90°，∴∠AFN＝∠ANF＝∠AFB＝∠MFB，∴∠MFA