2024年高考數(shù)學一輪復(fù)習《導(dǎo)數(shù)》單元提升卷（解析版）

單元提升卷04導(dǎo)數(shù)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.如圖所示的是y=的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象，下列四個結(jié)論：

①在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)；

②x=-1是“X)的極小值點；

③“X)的零點為-1和4；

④x=l是〃x)的極大值點.

其中正確結(jié)論的序號是()

C.③④D.①③④

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象，對①②③④四個選項逐一分析可得答案.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)丁=/'(力的圖象可知,

當xe(-3,-1)時,f(x)<0,

當xe(-1,2)時,>0,

所以/(x)在區(qū)間(-3,-1)上單調(diào)遞減，

在(-1,1)上單調(diào)遞增，故①正確，②正確;

又-1和4是尸(同=0的零點(是極值點),

不是/(x)的零點，且x=l不是/(x)的極大值點，故③④均錯誤;

故選:A

2.已知/伍）=3，杷，國+2曾一〃修）的值是（）

A.3B.1C.2D.-

2

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義計算即可.

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義：lim“X。+2原）一"%）=2］而"無。+2垓）一,工了,（）=2.

-3Ax3-2Ax3

故選：C

1X1

3.已知函數(shù)/（尤）（無?R）滿足"1）=1,且“X）的導(dǎo)函數(shù)八x）g,則/⑺的解集為（）

A.（-oo,0）B.（-℃,1）C.（0,+oo）D.（1,+℃）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)歹（x）=/（x）-：x,可得函數(shù)網(wǎng)X）在R上單調(diào)遞減，再由其單調(diào)性即可求得

不等式.

1111

【詳解】設(shè)/（尤）=/（同一5無，則〃（元）=/'（尤）一5,因為/'（尤）＜2,所以9（司=/（犬）一5＜0,即函數(shù)尸（X）

在R上單調(diào)遞減，

則/（x）＜5+；，即/（元）一］＜/（1）-g,BPF（x）＜F（l）,

所以X＞1,即/'（x）＜］Y+；1的解集為（1,+s）.

故選:D

4-函數(shù)小,）、=［fx小siiw+,x冷＞0相。的導(dǎo)函數(shù)為,廣、⑼則《，一3彳?！浮ⅲǎ?/p>

兀兀

A.0B.1C.—D.1H—

22

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可得光￡（-2兀,-兀）時〃%）=（%+兀）sinx,即可求導(dǎo)代入求解.

【詳解】當%￡（一2兀,一兀）時，貝|JX+71G（-7C,0）,X+27lG（0,7T）,

f（x）于（X+TI）=/（x+2兀）=（x+2兀）sin（%+2兀）=（x+兀）sinx,

止匕時/'(X)=sinx+(x+7i)cosx

所以尸]告卜出（號+（3+1?菅=1+0=1,

故選：B

5.函數(shù)，a）=sinx在（兀,0）處的切線方程為（）

A.九+y-兀=0B.%—y—兀=0

C.%+y+兀=0D.%一丁+兀=0

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意求解即可.

【詳解】因為〃x）=sinx,所以廣（x）=COSX,且點（兀,0）在/（X）的圖像上,

所以〃%）在（兀,0）處的切線的斜率為k=/'（兀）=儂兀=-1,

所以f（x）在（兀,0）處的切線方程為。=-（%-兀）,即X+”7t=0.

故選：A.

6.已知函數(shù)/（%）=（1〃，若石<%2，且/（石）=/區(qū)），則％2-石的最小值為（）

[x+l,x<l一一

A.3-21n2B.4-2ln3

C.2D.e-1

【答案】A

【分析】由題意作出函數(shù)圖象，可得巧的范圍,得至lj赴一%=%—21nx2+1,令g(x)=x-21nx+l,xe(l,e],

再由導(dǎo)數(shù)求最小值即可.

2Inx,x>l

【詳解】已知函數(shù)/（%）=,作出函數(shù)圖象如圖:

x+l,x<l

<x2/(x1)=y(%2),.-.l<x2<e.

由石+1=21n%2，得再=21口/2-1,則九2-石=光2-21口入2+1.

,2r-2

令g(x)=x-21n尤+1,尤€(l,e|,貝I]g'(x)=l――=------,

XX

.?.當xe(l,2)時,g'(無)<O,g(x)單調(diào)遞減；當尤e(2,e]時，g'(尤)>0,g(無)單調(diào)遞增,

g(x)血n=g(2)=3-21n2,即馬一者的最小值為3—21n2.

故選：A.

7.已知。=學，b=--ln—,c=~,則。，b,c的大小關(guān)系為()

244ee

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】觀察b,c的形式構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.

In2el+ln2,1,1l+ln42_1+Ine

【詳解】a=-----=--------,b=—In——=---------

2244e4ee

構(gòu)造函數(shù)〃以=匕詈，貝廳'（司=空，當0<x<l時，制x）>。,函數(shù)f（x）=W遞增;當x>l時,

（尤）<0,函數(shù)〃元）=平遞減;

因為4>e>2>l,所以a>c>Z?

故選：B

8.若直線>=X+匕與曲線y=e"-ax相切，則力的最大值為（）

A.0B.1C.2D.e

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，=（a+l）［l-ln（a+l）］,然后利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求最值即可.

【詳解】設(shè)切點坐標為（毛,%）,因為y=ex-ax,

所以y'=e'-a,故切線的斜率為：^-a=l,

e陽=a+l,則％=ln（a+l）.

又由于切點（毛,%）在切線〉=尤+6與曲線,=ex-辦上,

所以Xo+5=e&—ax。,所以b=(a+l)_Xo(a+l)=(a+l)[l_ln(a+l)].

令a+l=f,貝1]匕=[1一出。，設(shè)/⑺=,

-In?,令/⑺=0得：t=l,

所以當fe(O,l)時，f'(t)>0,/⑺是增函數(shù);

當fe(l,田)時，f(t)<0,當t)是減函數(shù).

所以/⑺max=川)=1.

所以人的最大值為：1.

故選:B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)/()=T.9/+6.5r+10的圖象，根據(jù)圖象判斷以下說法

A.曲線〃?)在％附近增加

B.曲線力⑺在&附近減少

C.曲線“⑺在％附近比在芍附近增加的緩慢

D.曲線2)在馬附近比在《附近增加的緩慢

【答案】AD

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一判斷即可.

【詳解】對于A、B選項，由圖象可知，〃?)在乙與芍附近均增加，故A正確，B錯誤;

對于C、D選項，由圖象及二次函數(shù)的單調(diào)性可知，

%與芍均在對稱軸『=魯左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增，

但增加的趨勢逐漸趨于平緩，且/⑺=-98+6.5,〃⑷故C錯誤，D正確.

故選：AD

3

10.可能把直線y=]X+根作為切線的曲線是()

A.y=--B.尸cosx

x

C.y=lnxD.y=e'

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐項分析判斷.

【詳解】因為直線>=*3》+機的斜率左=3，

對于選項A：因為y=-L,則y'=±,

xx

令」=：，解得x=±逅，故A正確；

對于選項B：因為y=cosx,則爐=_sinx,

又因為—sinxe[—1,1],則方程-sinx=$>1無解，故B錯誤；

對于選項C：因為y=lnx,則y'=—,

x

132

令一=9,解得了=彳，故C正確；

x23

對于選項D：因為y=e",則J=e',

令解3得x=ln；3,故D正確；

故選：ACD.

11.已知函數(shù)〃力=^/3,則以下結(jié)論正確的是()

A.〃x)在R上單調(diào)遞增

c

123

B./(log52)</e</(lnn)

\)

C.方程〃力=-1有實數(shù)解

D.存在實數(shù)左，使得方程/")=辰有4個實數(shù)解

【答案】BCD

【分析】對于A項，利用導(dǎo)函數(shù)計算即可判定，對于B項，通過求導(dǎo)判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再比較自變量即

可；對于C項，求導(dǎo)判定函數(shù)的極值再數(shù)形結(jié)合即可判定，對于D項，分類討論，分離參數(shù)求導(dǎo)函數(shù)及數(shù)

形結(jié)合即可判定.

【詳解】由/⑺=ex-x3n:⑴=.爐.(*+3),

顯然當x<-3時，-(無)<0,即y=/(x)在(9,-3)上單調(diào)遞減,

當x>-3時，>0,即y=/(x)在(-3,—)上單調(diào)遞增，故A錯誤;

1]]/—

2

對于B項,易矢口In兀>lne=l二e°>e=-j=>—=log5J5>log52>-3,由y=/(x)在(-3,+s)上單調(diào)遞增可知

Ve2JJ

B正確;

對于C項，由上知y=/(x)在x=-3處取得極小值，M/(-3)=-27e-3<-l,故C正確，如圖所示;

對于D項，/(x)=Ax,gpe'-x3=,當尤=0,顯然成立，即x=0是其一根，當"0時，原方程

等價于k=ex-x2,令g(x)=ev-x2=>g'(x)=ex-x-(x+2),

令g'(x)<0,解得-2〈尤<0,即y=g(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減,

令g'(x)>0,解得了<—2或x>0時，即y=g(x)在(。,+也)和上單調(diào)遞增，故〉=8(無)在x=—2處

4

取得極大值，在x=0處取得極小值，g-2)==遙0)=0,

e-

又Xf-8時，y=g(x)fO+,可得y=g(x)的大致圖象，如圖所示，

當上時，左=^々2有三個不同的根，且均不為零，綜上所述D正確;

故選：BCD

12.設(shè)函數(shù)為R上的奇函數(shù)，/（x）為〃x）的導(dǎo)函數(shù)，/（2^+l）-/（2-2x）=4x-l,"1）=1,則下

列說法中一定正確的有（）

A-⑵=2B.戒=|。.《號）=1D.少原卜59

【答案】ACD

【分析】由"X）為R上的奇函數(shù)，f（2x+l）-f（2-2x）=4x-l,〃1）=1可得〃?的性質(zhì)，可判斷A,B；

對/（》）=—/（f），〃2x+l）—〃2-2x）=4x—1求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)尸⑺的性質(zhì)，即可判斷C,D.

【詳解】因為函數(shù)〃x）為R上的奇函數(shù)，所以〃尤）=-〃-x），因為/（2X+1）-〃2-2X）=4X-1,〃1）=1,

所以當x=0得/⑴―〃2）=-1,所以42）=2,故A正確;

又f（2x+lj-f（2—2xj=4x-l,可得f（2x+l）—（2x+l）=〃2-2x）—（2—2x）,則/（%）-尤=/（3-x）-（3-x）,

所以函數(shù)關(guān)于直線x=T對稱，故/的值無法確定，故B不正確；

因為/（力=一〃一力，則（⑺4-八-切;八一”①，所以尸（力關(guān)于y軸對稱，

又/（2x+l）-/（2-2x）=4x_l,所以2r（2x+l）+2/'（2_2x）=4,gp/,（2x+l）+/,（2-2x）=2,所以尸（x）

關(guān)于點（I，j對稱，貝|/'（x）=—廣（3-x）+2②，

由①②得/'（—1）=—/'（3—"+2,所以/'（3—耳=一/'（6—x）+2,貝ij/'（一x）=/'（6—x）,

故尸（x）的周期為6,由②可得（（|）=+2,即/（I，1,所以廣j=l,故C正確；

由②得/'（x）+r（3-x）=2,所以/'［（）+/［紇3=2，

則

故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（x）=flx-a-lnx,且的最小值為0,則。的值為

【答案】1

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出/(尤)*=/(1)，結(jié)合已知最小值可得結(jié)果.

a

【詳解】/(x)=?x—a—Inx的定義域為(0,+刈，

f\x)=a--,

X

當aWO時，/V)<0,/(x)在(0,+⑹上為減函數(shù)，此時〃無)無最小值，不合題意；

當a>0時，令/'(x)<0,得0<x<L；令/'(x)>0,得x>,，

aa

/⑴在(o,)上為減函數(shù)，在d,+?)上為增函數(shù)，

aa

所以/(尤)3=fd)=l-a+lna=O，

a

令g(a)=l-〃+lna,gf(a)=-l+—,

a

4gf(a)>0,得Ovavl,令"(a)<0,得a>l,

所以g(。)在(0,D上為增函數(shù)，在(1,y)上為減函數(shù)，

所以當。=1時，g(。)取得最大值g⑴=0,

故a=1.

故答案為：1.

14.已知曲線y=與曲線y=_3-：(x<0)有公切線/,貝心的方程為.

【答案】x-y-1^0

【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線相切的切點，然后表示出直線的方程，再根據(jù)切線是同一條直線建立方程

求解.

【詳解】設(shè)直線與曲線y=hx相切于點(41叫)，

因為y=lnx,則)/=!，

所以該直線的方程為yTn%=J(X-尤J,即y=Jx-l+lnX|,

設(shè)直線與曲線>=-3一％<0)相切于點。2，-3」］(々<0),

X(x2)

因為y=-3-，(x<o),則y=4，

XX

、c11/、12。

所以該直線的方程為y+3+—=-(x-x2),即y==x-----3,

*^2*^2

X]

所以2c,消去4得ln(-%)+—+1=0,

-1+1呻=-2-3%

、X2

令￡=-々，因為x,<。，所以r>o,所以lnf-1+l=0,

t

4/z(0=ln?--+l,所以，0)=工+]>0,則〃⑺=lnf_1+l為增函數(shù),

tttt

所以h(t)=InfFl最多一個零點，容易知道h(l)=0—-+1=0,

t1

所以lnf-；+l=0只有一個解r=l,所以％=-1,所以X]=x；=l,

所以該直線的方程為1=無-1,即x-y-l=0.

故答案為：x-yT=0.

15.設(shè)函數(shù)〃尤)=耘+3(左一1)尤2d?+1在區(qū)間(0,4)上是減函數(shù)，則上的取值范圍是.

【答案】吟

［分析］y(x)=13+3("1)爐一產(chǎn)+1在區(qū)間(0,4)上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為f'(x)=3kx2+6(k一X0在(0,4)上恒

成立，進而可得.

【詳解】S/(x)=kx3+3(k-l)x2-k2+1,

f'(x)=3kx2+6(k-l)x,

若左=0,f(x)=-6x,當Iw(0,4)時，f(x)=-6x<0,符合題意,

當左。0時，/'(%)=3丘2+6(左一1)九40得

左(3—+6x)<6x,因x￡(0,4),

,,,6x2

i^k<--=-

3x+6xx+2

9

由題意上<三在(。，4)上恒成立，

設(shè)g(%)=*,XG(0,4)則g(%)在(0,4)上單調(diào)遞減,

'7x+24+23

故kwO,

綜上

故答案為：左v；

16.設(shè)函數(shù)〃x)=Mlnx-ot)(aeR)在區(qū)間(0,2)上有兩個極值點，則a的取值范圍是.

【-答案】(fl二n2+l方

【分析】求得/'(尤)=lnx+l-2依，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為2a=R4在(0,2)上有兩個不等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為

g(x)=W±l和>=2〃的圖象有兩個交點，求得g，("=普，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

［詳解］/,(x)=lnx-ar+x|--cz|=lnx+l-2ar,

由題意知lnx+1-2辦=0在(0,2)上有兩個不相等的實根,

將其變形為24=虹口，設(shè)g(x)="W,則gQJTnlInx

XXX

當0<x<l時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當1Vx<2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

g⑺的極大值為g⑴=1，又g(3=0,8⑵=空把>0,

e2

畫出函數(shù)g(X)的大致圖象如圖,

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.曲線/(力=尤2上哪一點處的切線滿足下列條件?

(1)平行于直線y=4尤-5；

(2)垂直于直線2x-6y+5=0；

(3)傾斜角為135°.

【答案】(1)尸(2,4)是滿足條件的點.

(2)P(-U3)Q是滿足條件的點.

24

(3)尸(-旨)是滿足條件的點.

【分析】(1)設(shè)尸(%,%)時滿足條件的點，求得/'(%)=2%，由切線與直線＞=4尤-5平行，列出方程，即

可求解；

(2)由切線與直線2x-6y+5=0垂直，歹岫方程2%x；=T,即可求解；

(3)由切線的傾斜角為135。，得到2%=-1,即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)外毛,為)時滿足條件的點，

由函數(shù)/(x)=f,可得尸(x)=2x,可得/'(%)=2/，即切線的斜率為左=2%

因為切線與直線＞=4尤-5平行，所以2%=4,解得巧=2,可得%=/(2)=4,

所以點P(2,4)是滿足條件的點.

(2)解：由(1)知，切線的斜率為左=2%,

因為切線與直線2x-6y+5=0垂直，所以2x°x：1=-l,解得/=-]3,可得%=：9,

所以點尸(一3釜9)是滿足條件的點.

(3)解：由(1)知，切線的斜率為k=2%,

因為切線的傾斜角為135。，所以其斜率為-1,可得2尤。=-1,解得與=一;，可得%=；,

所以點尸是滿足條件的點.

24

18.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴y=xcosx-2；

X

小、(l+x2)ex

(2)y-'---1—；

X

(3)y=+2x—l^e2'.

【答案】(l)y'=cosx-xsin無一1

(2)y=^±^_L￡zle-

閉)/="+3戶2-x

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算可得答案.

【詳解】(1)/=cosx-xsinx--—

(2)y=1-+xle%,y=1---+-+X+1lex

2

//+2片彳-/y=Qe'無+2e?-e/—Ze'x+e+*+^_x

(3)

19.已知函數(shù)=-2（zr+lnx（a為常數(shù)）.

⑴當a=l時，求曲線y=〃x）在點（L〃l））處的切線方程;

⑵設(shè)函數(shù)〃x）的兩個極值點分別為毛，巧（西<龍2）,求）的范圍.

【答案】（i）y=43

⑵H

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，

（2）根據(jù)函數(shù)有兩個不相等的極值點得到a>1,再+%=2。,%>1，故〃々）=-gx；-l+ln%，變形得到函

數(shù)g⑺=-卜-1+小四,（/=后>1），求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到g⑺的值域，得到答案.

【詳解】（1）當a=l時，無）=,工2-2x+lnx,f'（x）=x-2+—,

2x

所以/⑴=-5,尸⑴=o,

故曲線y=/（力在點（1,7（1））處的切線方程為y=-1.

（2）若f（x）在定義域內(nèi)有兩個極值點，貝I玉,2是方程/（司=彳-2。+工=0即/一2分+1=0的兩個不相等

X

的正根，

A=4a2-4>0

從而得至『西+3=2。>。，即。>1,

xxx2=1>0

又0<再<%，故々>1，且2ax?=xf+1

/(%2)=；考-2ax2+lnx2

1

+1

2

=一;*-1+^lnxf

令/=%；〉1,貝!J/(%)=g⑺=一萬%—l+]lnf,

，/、11-t+1

g(力=一+—=<0,

V；2It2t

所以g(。在(1，y)上單調(diào)遞減，

所以g⑺<g⑴=-!，即g⑺的值域為1-鞏-1

所以/(%)的范圍是［鞏一1:

20.已知函數(shù)/'(x)=x—alnx.

(1)若/(x)在［1,+s)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】⑴(…用

(2)答案見詳解

【分析】(1)求導(dǎo)，分和。>0討論可得；

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論可得單調(diào)區(qū)間.

【詳解】⑴〃x)的定義域為(。,+8)，尸(幻=1'=2

XX

當時，((勸>0,人力在(0,+A)單調(diào)遞增，滿足題意；

當。>0時，令r(x)=?20,解得x<0(舍去)^x>a,要使/(X)在［1,+⑹上單調(diào)遞增，貝股41,所

以0<aVL

綜上，。的取值范圍為(YO』］.

(2)由(1)可知，當a40時，”X)在(0,+8)單調(diào)遞增,

當。>0時，/(x)在(。,+?>)單調(diào)遞增，

Y—/7

令/，(X)=——<0,解得0<x<〃，/(%)在(0,。)單調(diào)遞減.

x

綜上，當aWO時，的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+s)；

當。＞0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(。,田)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,。).

21.已知函數(shù)/(耳=加+加，在點處的切線方程是＞=-3.

⑴求a,力的值；

(2)設(shè)函數(shù)g=eR),討論函數(shù)g⑺的零點個數(shù).

【答案］⑴6=3,a=_2

(2)見解析

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)g(x)=f(x)-m=0,求函數(shù)g(x)的零點個數(shù)即y=/(x)與y=加圖象的交點個數(shù)，對f(x)求導(dǎo),求

出y=/(x)的單調(diào)性和極值，畫出y=/(x)的圖象，結(jié)合圖像即可