2025年湖南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年湖南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合N={x|0WxW2},S={x|x2-x>0},則圖中的陰影部分表示的集合為（）

C.14<2D.1<XW2

2.（5分）函數(shù)5久）=4c。：%的部分圖象大致為（）

\x\+^xz

XV

3.（5分）橢圓/+》=1（a>b>0）的兩焦點(diǎn)分別為乃、F2,以F出2為邊作正三角形，若橢圓恰好平

分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（）

1gLr-

A.-B.—C.V3-1D.4-2V3

22

4.（5分）已知/（x）=/sin（3x+（p）（A>0,o）>0,|（p|<ir）的一段圖象如圖所示，貝!I（）

A.f（x）=sin（2x+苧）

7T

B./（x）的圖象的一個(gè)對稱中心為.，0）

C.f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是C+E,.+而］,kCL

88

第1頁（共19頁）

D.函數(shù)/G）的圖象向左平移3個(gè)單位后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象

5.（5分）用一個(gè)邊長為4的正方形紙片，做一個(gè)如圖所示的幾何體，圖中兩個(gè)圓錐等底、等高，則該幾

何體體積的最大值為（）

A.---兀B.2V3TTC.4TTD.4百兀

3

11

6.（5分）若a=20255出2025'=cos2025,c=tan2025°,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

7.（5分）元旦聯(lián)歡會會場中掛著如圖所示的兩串燈籠，每次隨機(jī)選取其中一串并摘下其最下方的一個(gè)燈

箋，直至某一串燈籠被摘完為止，則右側(cè)燈籠先被摘完的概率為（）

8.（5分）如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或

向上或右下移動，而一■條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：1—2—3f5-7—8f9-10―

11就是一條移動路線.從1移動到數(shù)字〃（”=2,3,-11）的不同路線條數(shù)記為2,從1移動到11的

事件中，跳過數(shù)字〃（〃=2,3,-10）的概率記為p〃，則下列結(jié)論正確的是（）

①r9=34,（2）rn+i>rn,③。5=舒，@p9>pio-

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

第2頁（共19頁）

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

（多選）9.（6分）已知函數(shù)/■（￡）=2024s譏（2光+］），貝?。荩ǎ?/p>

A./（x）的圖象關(guān)于直線x=苓對稱

B./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（［瑞77"，0）對稱

C./（x）在區(qū)間（―0看）上單調(diào)遞減

D./（%）在區(qū)間［一卷，用的值域?yàn)椋?2024,2024］

（多選）10.（6分）已知點(diǎn)M（0,〃?）尸為拋物線C：j?=4x的焦點(diǎn)，N,。為C上不重合的兩

個(gè)動點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線（直線斜率存在且不為0）與C僅有唯一交點(diǎn)N,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-1

B.若線段板與C的交點(diǎn)恰好為MR中點(diǎn)，則爪=±2魚

C.直線MV與直線VF垂直

D.若回=3,則|OQ|=2魚

（多選）11.（6分）如圖所示的曲線「被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應(yīng)用非常廣泛，其代數(shù)形式可表

2

示為坐標(biāo)中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）動點(diǎn)尸到點(diǎn)為（-b0）,F2（1,0）的距離滿足：\PF1\\PF2\^^\F1F2\,

貝IJ（）

A.|。尸|的最大值是四

B.若（xo，yo）是曲線上一點(diǎn)，且在第一象限，則＞0＞近勾

c.r與〉=12m有1個(gè)交點(diǎn)

D.AOP為面積的最大值是：

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）過拋物線/=2px（p＞0）的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于4,B兩點(diǎn),己知|/尸|=3,伊尸|=2,則

P等于.

13.（5分）已知曲線＞=》+歷x在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線y=a/+（a+2）x+1（a=0）相切，則a的值

為.

第3頁（共19頁）

14.（5分）某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進(jìn)行多輪射擊對決.每輪射擊中，甲命中目標(biāo)的概率為g,乙

命中目標(biāo)的概率為;.若每輪射擊中，命中目標(biāo)的選手得1分，未命中目標(biāo)的選手得0分，且各輪射擊

結(jié)果相互獨(dú)立.則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為.

四、解答題：本題共5小題。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（15分）在中，a,b,c分別為角N,B,C的對邊，已知a=2百，且bsinC—"喀=2.

LCLTLD

（1）求角N的大??；

（2）求△/8C面積的最大值.

16.（15分）已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為S”ai=2,an+i=2Sn+2.

（I）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若2歷=3〃即，求數(shù)列出"｝的前"項(xiàng)和北.

4s

17.（15分）在△48C中，角/,3,C的對邊分別為a,6,c,A43C的面積為S,已知---=c^cosB+abcosA.

tanB

（1）求角3

S

（2）若6=3,△NBC的周長為/,求7的最大值.

18.（15分）正四棱柱CU8C-OiN/iCi中。B=魚，點(diǎn)尸，Q,R分別在44i，BB\,CCi±,且。，P,

Q,R四點(diǎn)共面.

（1）若OP=OR,記平面OPQ?與底面的交線為/,證明：AC//1；

（2）已知N/OP=a,NCOR=B，若a+￡=多求四邊形。尸。7?面積的最大值.

19.（17分）在高中數(shù)學(xué)教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個(gè)問題：假設(shè)某種細(xì)胞分裂（每次分裂

都是一個(gè)細(xì)胞分裂成兩個(gè)）和死亡的概率相同，如果一個(gè)種群從這樣的一個(gè)細(xì)胞開始變化，那么這個(gè)種

群最終滅絕的概率是多少？在解決這個(gè)問題時(shí)，我們可以設(shè)一個(gè)種群由一個(gè)細(xì)胞開始，最終滅絕的概率

1

為）,則從一個(gè)細(xì)胞開始，它有萬的概率分裂成兩個(gè)細(xì)胞，在這兩個(gè)細(xì)胞中，每個(gè)細(xì)胞滅絕的概率都是小

第4頁（共19頁）

兩個(gè)細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是于是我們得到P=^+^p2,計(jì)算可得p=l；我們也可以設(shè)一

個(gè)種群由一個(gè)細(xì)胞開始，最終繁衍下去的概率為D那么從一個(gè)細(xì)胞開始，它有;的概率分裂成兩個(gè)細(xì)

胞，在這兩個(gè)細(xì)胞中，每個(gè)細(xì)胞繁衍下去的概率都是D兩個(gè)細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是(1-p)

2,于是我們得到p=4[1-(1-p)2],計(jì)算可得p=0.根據(jù)以上材料，思考下述問題：一個(gè)人站在平

面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)尸(77,0)(?￡N*)處，他每步走動都會有/的概率向左移動1個(gè)單位，有1-/的

概率向右移動一個(gè)單位，原點(diǎn)(0,0)處有一個(gè)陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以為代表當(dāng)這個(gè)人

由P0)開始，最終掉入陷阱的概率.

(1)若這個(gè)人開始時(shí)位于點(diǎn)尸(1,0)處，且P*=*

(I)求他在5步內(nèi)(包括5步)掉入陷阱的概率；

(II)求他最終掉入陷阱的概率？(0</?1<1)；

12

(IID已知Pn=gPn-i+gPn+iOleN*),若20=1,求加

(2)已知pi是關(guān)于p*的連續(xù)函數(shù).

(I)分別寫出當(dāng)/=0和/=1時(shí)，”的值(直接寫出即可，不必說明理由)；

(II)求01關(guān)于P*的表達(dá)式.

第5頁(共19頁)

2025年湖南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合么={鄧）?苫<2},S={x|x2-x>0},則圖中的陰影部分表示的集合為（）

A.xWl或x>2B.x<0或l<x<2

C.lWx<2D.1?2

【解答】解：集合/={x|0WxW2},3={品/-;<:>0}=&歸<0或》>1},

由韋恩圖可知，圖中的陰影部分表示的集合為CuCAHB）n（NUB）,

,.^nJ8={x|l<x^2},AUB=R,

.,.Cu(AHB)A(AUB)={x|xWl或x>2}AR={x|xWl或x>2}.

故選：A.

2.（5分）函數(shù)f（x）=J；：；；的部分圖象大致為（

X

D.

【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xW0},排除選項(xiàng)/,

4cos(r)_4cosx_"、

f(_x)=|-x|+|(-x)2|x|+|x2X

則函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)D,

又x6(當(dāng),弓b時(shí)，cosx<0,\x\+>0,則f(x)<0,排除選項(xiàng)B.

故選：C.

/V2

3.（5分）橢圓葭+會=1（。>6>0）的兩焦點(diǎn)分別為乃、Fi,以尸1尸2為邊作正三角形，若橢圓恰好平

分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（）

第6頁（共19頁）

1V3l

A.-B.—C.V3-1D.4-2V3

22

【解答】解：依題意，以為尸2為底的正三角形的兩腰中點(diǎn)在橢圓上，

V|FIF2|=2C,以為尸2為底的正三角形的兩腰上的高為Kc,

，橢圓離心率e=先=~i=——=V3—1.

乙aV3c+c

故選：C.

4.(5分)已知/(%)=4sin(o)x+cp)(4>0,a)>0,|(p|<n)的一段圖象如圖所示，貝!J(

A.f(x)=sin(2x+苧)

7T

B.f(x)的圖象的一個(gè)對稱中心為(子0)

,7T57r

C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[7；+E,—+An],kEZ

88

57T

D.函數(shù)/(%)的圖象向左平移6個(gè)單位后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象

【解答】解：如圖，根據(jù)/(x)=Zsin(a)x+(p)(4>0,co>0,|(p|<n)的一段圖象,

/口12717r37r

可侍/=i,=i+T.*.0)=2.

再結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得2、a+叩=—會求得”二—第

f(x)=sin(2x—故/錯誤.

令求得/(%)=-1,為最小值，故/(X)的圖象的一個(gè)對稱軸為％=去故5錯誤;

令2x—孚日―?+2An,-+2^ii],任Z,求得xE[—+而，—+An],

4，288

.*./(x)增區(qū)間是仁+Mr,—+kx(\,在Z,故C正確；

88

把函數(shù)/(X)的圖象向左平移半個(gè)單位后，得到y(tǒng)=sin(2x+苧—等)=cos2x的圖象,

顯然，所得函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，故。錯誤,

故選：C.

第7頁(共19頁)

5.（5分）用一個(gè)邊長為4的正方形紙片，做一個(gè)如圖所示的幾何體，圖中兩個(gè)圓錐等底、等高，則該幾

何體體積的最大值為（）

A.-----reB.2療兀C.4TTD.4V3TT

3

【解答】解：根據(jù)題意有兩種方式可以得到這樣的幾何體，

方式一：如圖①，可以得到圓錐的側(cè)面展開圖最大為半徑為2的半圓，

因此一個(gè)圓錐的底面半徑為1,母線長為2,高為百，

所以兩個(gè)圓錐體積的最大值為匕=2x*兀x1x百=竽兀;

方式二：如圖②，可以得到圓錐的側(cè)面展開圖最大為半徑為2夜的四分之一圓,

V2LV30

因此一個(gè)圓錐的底面半徑為三，母線長為2冠，高為三一,

所以兩個(gè)圓錐體積的最大值為匕=2x彳兀x（#）2x孚=噌兀，

因?yàn)樨?3-72=.6m

所以該幾何體體積的最大值為手兀.

6.，則a,b,c的大小關(guān)系為（

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【解答】解：根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知當(dāng)xE（0,］）時(shí)，sinxVxVtanx.

第8頁（共19頁）

17111111~1

結(jié)合---(0,―),可得sin-----------V------<tan-----且sin----------->------>tan-----都是正數(shù)，

20252202520252025202520252025

111

1sin2025s譏tan-

因?yàn)閍=2025sin--=—管<1a,---------產(chǎn)紅=—含空>1,所以l>a>b.

2025—bcos————

202520252025

又因?yàn)閏=tan2025°=tan(11X180°+45°)=tan45°=1,所以C>Q>6,。項(xiàng)的結(jié)論正確.

故選：D.

7.（5分）元旦聯(lián)歡會會場中掛著如圖所示的兩串燈籠，每次隨機(jī)選取其中一串并摘下其最下方的一個(gè)燈

箋，直至某一串燈籠被摘完為止，則右側(cè)燈籠先被摘完的概率為（）

711

C.—D.

1616

【解答】解：根據(jù)題意，直至某一串燈籠被摘完為止，可得摘取的次數(shù)為2,3,4次,

結(jié)合獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式，可得:

當(dāng)兩次摘完時(shí)，可得概率為4）2=

當(dāng)三次摘完時(shí)，可得概率為G?）3=%

當(dāng)四次摘完時(shí)，可得概率為乙弓）4=/，則P="+"+磊

故選：D.

8.（5分）如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或

向上或右下移動，而一■條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：l-2f3-5—7—8—9-10f

11就是一條移動路線.從1移動到數(shù)字〃（”=2,3,-11）的不同路線條數(shù)記為%,從1移動到11的

事件中，跳過數(shù)字〃品=2,3,-10）的概率記為外，則下列結(jié)論正確的是（）

①r9=34,（2）r?+i>rn,③。5=舒，@P9>pio-

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【解答】解：由題意可知r2=1，r3=2,%+1=為+（〃23）,

第9頁（共19頁）

則「4=3,方=5,，6=8,ri—13,廠8=21,%=34,no=55,ni=89,故①正確;

由題意得2+1>冏，故②正確;

11

1-5的所有路線5-11的所彳j路線

,?>11=89,經(jīng)過數(shù)字5的路線共有5X13=65條.

理由：如樹狀圖，分別計(jì)算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條,

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得過數(shù)字5的路線共有5X13=65條,

二尸5=與?'=翁故③正確；

日工田4日n89-34x221

問理得P9=-gg—=gg-

尸10=89謂XI=翁：.P9<PI0,故④錯誤.

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

（多選）9.（6分）已知函數(shù)/■（￡）=2024s譏（2光+］），貝?。荩ǎ?/p>

A./（x）的圖象關(guān)于直線x=例稱

［77"

B./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（瑞，0）對稱

C.f（x）在區(qū)間（―0看）上單調(diào)遞減

D./（%）在區(qū)間［一條用的值域?yàn)椋?2024,2024］

【解答】解：對于/,由題意/6=2024sin（2義3+看）=2024=/（x）max>可得/（x）的圖象關(guān)于

直線寸稱，故/正確；

x=O

對于3,由題意/（1|）=2024sin（2、駕+看）=0,可得/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（招，0）對稱，故2正

確;

第10頁（共19頁）

對于C,令2Anr—1V2x+石V2Am+彳，左EZ,解得kxi一可VvV衍i+不，左WZ,

*77"7（

令k=0,可得函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一!

J6

由于（一。著）u（T，*，可得/（X）在區(qū)間（―『看）上單調(diào)遞增，故C錯誤；

77r

對于D,由xC[—可，R，可得2x+石6[—2，下■],可得sin（2x+-g-）e[-1,1],

故人%）=2024s譏（2久+第€[-2024,2024],故。正確.

故選：ABD.

（多選）10.（6分）已知點(diǎn)M（0,m）（加片0）,尸為拋物線C：，=4x的焦點(diǎn)，N,0為C上不重合的兩

個(gè)動點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線九W（直線九W斜率存在且不為0）與C僅有唯一交點(diǎn)N,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-1

B.若線段九田與C的交點(diǎn)恰好為MF中點(diǎn)，則爪=±2奩

C.直線與直線板垂直

D.若|?？趞=3,貝U|OQ|=2/

【解答】解：對于/,由拋物線拋物線C：f=4x,得C的準(zhǔn)線方程為x=-1,故N正確；

-17722

對于5,F（1,0）,則線段板的中點(diǎn)坐標(biāo)為（分y7n）,則7=2,解得TH=±2也故8正確；

對于C,設(shè)直線A/7V的方程為^="+加（加W0）,

聯(lián)立[A—+租，消去X得5y之一y+m=°,

貝!]A=1-癡=0,所以加=1,則左MF?標(biāo)W=-加?左=-1,

所以直線與直線板垂直，故C正確；

對于。，設(shè)。（X0,泗），則10月=刈+1=3,

所以％o=2,所以就=8,

所以|OQI=J』+羽=2百,故。錯誤?

故選：ABC.

（多選）11.（6分）如圖所示的曲線「被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應(yīng)用非常廣泛，其代數(shù)形式可表

示為坐標(biāo)中（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）動點(diǎn)尸到點(diǎn)尸1（-1,0）,F2（1,0）的距離滿足：|P%||PF21="但1%|2,

貝IJ（）

第11頁（共19頁）

X

A.Q尸|的最大值是魚

B.若(xo,yo)是曲線上一點(diǎn)，且在第一象限，則>0>近勾

C.「與y=tanx有1個(gè)交點(diǎn)

1

D.AOPFi面積的最大值是：

4

【解答】解：由雙紐線的對稱性可知：當(dāng)尸運(yùn)動到X軸上時(shí)，此時(shí)QP|最大，

不妨設(shè)此時(shí)尸在x軸的正半軸上，設(shè)此時(shí)|OP|=f,

由=:尸/2|2=1,得(1+力(?-1)=1,解得t=&,故10Pl的最大值是&，/正確；

設(shè)尸(X,7),則J(%—1)2+y2J(%+1)2+y2=1,

令x=l,則|y|,4+y2=1,解得、2=遮一2,而此時(shí)2，=2,不滿足y〉V^%,故5錯誤，

聯(lián)立J(%―1)2+y2d(%+1)2+y2=1與y=x,則J(%—1尸+人(%+1尸+#=1,解得X=0,

故直線y=x與曲線「只有一個(gè)交點(diǎn)，而第6(0,tanx>x,

由4易知雙紐線中iE[―&，V2],

根據(jù)對稱性，只需研究%€[0,四]上與〉=taiu的交點(diǎn)情況，顯然只有原點(diǎn)這1個(gè)交點(diǎn)，C正確；

對于。，由—1尸+y2+1)2+丫2=1,可得1/+(2廿_2)/+2爐+、4=0,

令/=、則『+(2y2-2)什2f+y4=o,該方程有實(shí)數(shù)根，

故△=(2爐-2)2-4(2/+/)三0,解得步<1,故|y|W

11111

=,

s40PF]=5乙1。尸乙11似尸I二5x乙i|y?l1'n\yp\—z所以△OPF[面積的q最大值是了，故D正確?

故選：ACD.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.(5分)過拋物線，=2px(p>0)的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于4,B兩點(diǎn),己知|/尸|=3,醫(yī)F|=2,則

12

P等于一《一.

【解答】解：設(shè)/(xi,yi),B(孫y2),貝!!

*：\AF\=3,\BF\=2

???根據(jù)拋物線的定義可得知=3-多m=2-多

第12頁(共T9頁)

..yi2_￡

2

?y2X24'

4（3一芻）=9（2—專）

.12

??PF

故答案為：y.

13.（5分）已知曲線＞=》+歷x在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線y=a/+（a+2）x+1（a#0）相切，則a的值

為8.

1

【解答】解：因夕=工+歷X,所以＞'=1+?故左=1+1=2,

所以切線方程為y-l=2（x-1）,即y=2x-l①，

因?yàn)榍芯€與曲線y二辦〃（a+2）x+1（aWO）相切，

將①式代入上式得ax2+ax+2=0,

則/-8a=O,所以a=O（舍），或8,

故答案為：8.

2

14.（5分）某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進(jìn)行多輪射擊對決.每輪射擊中，甲命中目標(biāo)的概率為3乙

命中目標(biāo)的概率為點(diǎn)若每輪射擊中，命中目標(biāo)的選手得1分，未命中目標(biāo)的選手得0分，且各輪射擊

64

結(jié)果相互獨(dú)立.則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為―不」.

81

2

【解答】解：甲、乙兩名選手進(jìn)行多輪射擊對決，每輪射擊中，甲命中目標(biāo)的概率為3乙命中目標(biāo)的

概率為9

每輪射擊中，命中目標(biāo)的選手得1分，未命中目標(biāo)的選手得0分，且各輪射擊結(jié)果相互獨(dú)立，

則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為：

P=ClX（|）3（12+C貫|）40）+琮（|）5=磊.

_,64

故答案為：—.

81

四、解答題：本題共5小題。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（15分）在中，a,b,c分別為角N,B,C的對邊，已知a=2百，且bsinC—”呼=2.

ICLTLD

（1）求角N的大?。?/p>

（2）求△/8C面積的最大值.

第13頁（共19頁）

【解答】解：（1）Va=2V3,且bs譏C-監(jiān)喀=2,

LCulD

bcosBcosC

:.WfJysinCsinB)=2V3=a,

Z.y/S(sinBsinC—cosBcosC)=sinA,

—gcos(B+C)=WcosA=sinA,

tanA=W,

VO<^<K,

???A---3-，

(2)?.?由余弦定理可得：6Z2=/?2+C2-IbccosA,

即b2+c2-6。=12,

b2+c2=12+bcN2bc,

?,.bcW12,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號成立.

；.S=^bcsinA<|x12x^=3百，

AABC面積的最大值為3?

16.(15分)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為8，m=2,an+i=2Sn+2.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2瓦=3〃即，求數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和

【解答】解：(1)因?yàn)镾什1-S〃=2S〃+2,所以&+1+1=3(S?+l),即，=3,

3九+1

所以｛S/1｝為首項(xiàng)是3,公比為3的等比數(shù)列，所以％=3幾-1,

n

當(dāng)時(shí)，％=Sn—S「i=3—1—(351-1)=2?351,

當(dāng)〃=1時(shí)，ai—Si—2,符合上式，

所以數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為冊=2-351(71eN+)；

n

(2)m^2bn=3nan=2n-3,所以bn=n-3%

則7n=必+無+仇+…+%=1?3+2?32+3?33+…+ri?3%①

?l+1

3Tn=1?32+2?33+3?34+…+n-3,@

nn+1n+1

①-②得：—2Tn=3+32+33+…+3-n-3=-n-3,

所以

4s

17.(15分)在△48C中，角/,3,C的對邊分別為a,6,c,ZU8C的面積為S,已知----=a2cosB+abcosA.

tanB

第14頁（共T9頁）

(1)求角8;

s

(2)若6=3,△45C的周長為/,求7的最大值.

4sf

【解答】解：(1)因?yàn)?---=a2cosB+abcosA,

tanB

1

4x-acsinBcosB

所以-------------=a2cosB+abcosA,

sinB

即2ccos5=acos5+6cos4,

由正弦定理，得2sinCcos5=siiL4cos5+sin5cosZ=sin(4+5),

因?yàn)?+5=TI-C,

所以2sinCcos5=sinC,

因?yàn)镃E(0,n),所以sinCWO,所以cosB=4,

又BE(0,n),所以B=不

(2)由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,即9=a2+c2-ac,

所以9=(Q+C)2-3QC,即QC=@[(0+c)2—9],

1-/3

因?yàn)镾=77acsinB=-rac,

L4/=Q+C+3,

5_Wac_a(a+c)2-9]

I4Q+c+3)12(a+c+3)

“，sV3

所以7=—(a+c-3),

又加工件工(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號)，

所以9=(a+c)2—3ac2坦/(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等號)，

所以Q+CW6(當(dāng)且僅當(dāng)Q=C=3時(shí)取等號)，

SV3V3V3

所以；=—(a+c-3)<—x(6-3)=—(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等號)，

I12124

即;的最大值為

I4

18.(15分)正四棱柱CM5C-O1/151C1中。8=VL點(diǎn)尸，。，R分別在44，BBi，CCi±,且0,P,

Q,R四點(diǎn)共面.

(1)若OP=OR,記平面。尸。尺與底面的交線為/,證明：AC//1；

(2)已知NZOP=a,NCOR=0,若a+/?=$求四邊形。尸QR面積的最大值.

第15頁（共T9頁）

【解答】解：連接/c,PR,由正四棱柱O/BC-。1/13cI，可得441〃。。1〃。。1，AO=OC,ZPAO

=/RCO=90°,

又因?yàn)椤Ｊ?。尺，所以由勾股定理可得/尸=CR,

又44i〃CCi,

所以RC〃/P,所以四邊形/PAC是平行四邊形，

所以網(wǎng)〃/C,又/Cu平面。48C,PRC平面。42C,

所以尸底〃平面OABC,又平面OPOA〃平面OABC,

平面OPORC平面048。=/,

所以PR//1,

所以NC〃/;

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,OC,OOi為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?B=a,又底面CM2C是正方形，

所以CU=OC=1,又N4OP=ci,ZCOR=^,

所以/P=tana,C7?=tanB，

所以尸(Is0,tana),R(0,1,tan|3),O(0,0,0),

—>—>

所以。P=(L0/tana),,OR=(0/1,tanp),

—>—>

所以。P,OR=(1,0,tana)(0,1,tan0)=1X0+0X1+tanatanP=tanatanP,

第16頁(共T9頁)

\0P\—Vl2+02+tan2a=V1+tan2a,|OR|=^/O2+l2+tan2/3=+tan2/3,

由正四棱柱。42C-01/181Ci，可得平在面0CCi0i〃4BBiAi,

又。，P,Q,R四點(diǎn)共面，。，P,Q,R有唯一平面。尸0?,

又平面OPQRA平面OCCiOi^OR,平面OPQRn平面ABBiAi=PQ,

所以O(shè)尺〃P。，同理可得。尸〃0尺，所以四邊形OPQ?是平行四邊形，

又a+0=今,

所以tcma=tan(J-0)=；；；需,

所以tana+tanp=1-tanatanp,又tana20,tan0三0,

所以2個(gè)tanatanB<1—tanatanp,

解得OWtanatan/?<V2—1,

—>—>—>—>

所以SOPRQ=\OP\\OR\sinZPOR=\OP\\OR\V1-cos2^POR

I—>—>—>—>

=J(|0P||0R|)2-(\OP\\OR\)2cos2^POR

I—>—>—>—>

=J(|0P||0R|)2-(OP-ORcos^POR)2

—式1+tan2a)(1+tan2/3)—tori*1atari*=Jl+tan2a+tan2p

=71+(.tana+tanP)2—2tanatanp=^2+(tanatanp}2—4tanatan^=^tanatanp—2)2—2<

V2,

所以四邊形OPQR面積的最大值為加.

19.(17分)在高中數(shù)學(xué)教材蘇教版選擇性必修2