利用洛必達法則解決導(dǎo)數(shù)問題（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第08講利用洛必達法則解決導(dǎo)數(shù)問題

（高階拓展、競賽適用）

（2類核心考點精講精練）

12.考情探究?

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題

2能用洛必達法則解決極限等問題

【命題預(yù)測】洛必達法則只是一個求極限的工具，是在一定條件下通過對分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確

定未定式極限值的方法。詳細的洛必達法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式

說明，能備考使用即可.

知識講解

洛必達法則：

法則1若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)limf(x)=0及l(fā)img(x)=0；

(2)在點Q的去心鄰域內(nèi)，/(x)與g(x)可導(dǎo)且/(在wo；

fr(x)f(x\fr(x\o

(3)lim^-)-4=I,那么lim^4=lim^44-/o—型

法則2若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)=oo及l(fā)img(x)=8；(2)在點q的去心鄰域內(nèi)，/(%)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)WO；

x->ax-

f

f'(x\f(x)f(x\00

⑶lim^4=/,那么lim^4=lim^44=/。一型

Xf"g'(x)ig(x)-ag'(x)℃

注意:

1.將上面公式中的X—8換成Xf+oo,xfFQ+,XfQ—洛必達法則也成立。

2.洛必達法則可處理。叫產(chǎn)產(chǎn)。,o。,0c型。

000

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足-,-,0-OO,r；8°,0°,8-8型定式，否則濫用洛必達法則會

000

出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。

4,若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

limZ型=lim￡0=lim￡3,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則。

一ag(x)…g(X)…g(X)

考點一、洛必達法則的直接應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(23-24高二下?北京朝陽,期中)兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為

此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式

值的方法，如lim'二■=limex-lxInx+x-1

1-----L=HmJe=1，則lim

xf0%xf0x->l

X’1。1f+%—2

1

A.-C.1D.2

3-1

2.(2024?浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具一一洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函

數(shù)/⑴，g(“的導(dǎo)函數(shù)分別為了'⑴，g'(x),且吧/a)=IQg(%)=°,則

r/(X)f'(x)

』g(x)ig(x)

②設(shè)a>0,先是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)/(X)滿足：對任意xe[0,a],均有〃x)2成立，且

吧〃x)=0，則稱函數(shù)〃x)為區(qū)間[0,。]上的k階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：

⑴試判斷/(切=丁-3x是否為區(qū)間[0,3]上的2階無窮遞降函數(shù);

(2)計算：lim(l+x)l(3)證明：信”]<cosx,xeL,1-7i[.

即時檢測

1.Q1-22高二下?重慶萬州?階段練習(xí))我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為《型，比如：當xf0

x-i0

時，一e的極限即為《型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提

x0

出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：

lim士=lim=lim—=lime*=e°-P則=--------

x->0%x->0￡x->01x->0人1

2.(21-22高三上?湖北襄陽,期末)我們把分子，分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為，型，比如：當xfO時,

血的極限即為:型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必達在他的著作

X0

《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法(洛必達法則)，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的

大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.

lim皿=limW=Hm2=1，則嗎產(chǎn)二

如:

x-?O1x->0￡x->0]01—COSX

3.(2024?河北邢臺?二模)在函數(shù)極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式,型或差型極限的一種重要

000

方法，其含義為：若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

①I吧〃x)=0且吧g(x)=0(或吧"(x)=8,limg(x)=co).

②在點。的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)/0；

③的44f(x\/'(X)

=4(A可為實數(shù),也可為±=0),則吧.=吧麗=/

…g(%)

⑴用洛必達法則求lim上；

%-osmx

23

(2)函數(shù)/'(x)=l+x+|y+1y+…+(2力_])(M>2,

〃eN*),判斷并說明的零點個數(shù);

1-卞野，求g(x)的解析式.

⑶已知g(2x)=g(x)-cosx,g(O)=l,xe

參考公式：=,lim4f(x)=%lim/(x).

x—>a\x—>a/

考點二、利用洛必達法則解決函數(shù)綜合問題

典例引領(lǐng)

1.(全國高考)已知巫+1〉如+8恒成立，求k的取值范圍

x+1xx-1X

2.(天津高考)VxG[0,+oo),x-ln(x+1)<ax恒成立，求Q的取值范圍

3.(全國高考)VxG(0,+oo),ex-1-x-ax2^0恒成立，求a的取值范圍

即時性W

1.若不等式sinx>x-ox3對于恒成立，求。的取值范圍.

2.已知函數(shù)〃x)=x(e"-l)-ax2.

⑴若/(X)在x=-l時有極值，求函數(shù)/⑴的解析式；

(2)當xNO時，/W>0,求。的取值范圍.

3.已知函數(shù)〃x)=x2-加x-e'+l.

(1)若函數(shù)〃外在點(1,〃1))處的切線/經(jīng)過點(2,4),求實數(shù)加的值；

(2)若關(guān)于x的方程/(X)卜機龍有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)小的取值范圍.

4.已知/(x)=(x+l)lnx.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意X21,不等式-?]+。40恒成立，求。的取值范圍.

I海.好題沖關(guān).

能力提升」

1.(2023高三，全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=靖，g(x)=bx+\,若〃x)Ng(x)對于任意xeR恒成立,

求6的取值集合.

2.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'-x-1,若當龍20時，恒有"(x)區(qū)加工可成立，求實數(shù)加

的取值范圍.

3.(22-23高三?寧夏吳忠?階段練習(xí))已知函數(shù)=--(2a-l)x-alnx.

(1)當。=1時，求函數(shù)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)若a>0且/(尤)20恒成立，求。的取值范圍.

4.(23-24高二下?貴州六盤水?期中)已知函數(shù)/(x)=a尤-Inx(aeR)

(1)當4=1時，求函數(shù)/(X)的最小值；

(2)Vxe(0,+oo),/(x)>0,求。的取值范圍.

5.(21-22高三上,江蘇連云港?階段練習(xí))已知/(》)=爾-2111不，aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若對任意的x>0,2-/(x)42(a-l)x恒成立，求整數(shù)。的最小值.

6.(2021?陜西漢中?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=ax-e/eR),g(x)=(

⑴若。>0,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當xe(O,+⑹時，不等式沌(力-工恒成立,求。的取值范圍.

7.(22-23高三上?北京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx-xcosx.

⑴求曲線J=/(x)在點(兀J(兀))處的切線方程；

⑵求證：當時，/(x)<|x3；

⑶若/(X)>foe-XcosX對Xe[o,I")恒成立，求實數(shù)上的最大值.

8.(22-23高二下,北京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xe\

⑴求在點(1J。))處的切線方程；

(2)求證：當尤>0時，/(x)>x2.

(3)若x>0時，/(無)-辦2NO恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

9.(22-23高三上?江西撫州?期中)已知函數(shù)/'(，=巳-",