2025年高考數(shù)學總復習：用樣本估計總體

第二節(jié)用樣本估計總體

考試要求：1.結合實例，合理使用統(tǒng)計圖表對總體進行估計.

2.結合實例，掌握樣本的數(shù)字特征，了解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.

3.結合實例，能夠利用樣本的集中趨勢與離散程度估計總體的集中趨勢與離散程度.

必備知識落實“四基”

自查自測

知識點一頻率分布直方圖

1.一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25,則該組樣本的頻數(shù)為（）

A.4B.8

C.12D.16

B解析：設頻數(shù)為“，則卷=0.25,所以“=32X0.25=8.

2.（教材改編題）從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400

個評分數(shù)據(jù)分為［66,70）,［70,74）,［94,98］八組，并整理得到如下的頻率分布直方圖，

則評分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品的數(shù)量是（）

C.64部D.80部

D解析：由頻率分布直方圖，可知評分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品的數(shù)量為400X0.050X4

=80（部）.

核心回扣

1.頻率分布直方圖的畫法

第一步：求極差；

第二步：決定組距與組數(shù)，組距=翌；

第三步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；

第四步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表；

第五步：畫頻率分布直方圖.

2.頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖.

橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，各小長方形的面也表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.

注意點：

各個小長方形的面積之和等于1.

自查自測

知識點二平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)

1.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分分別為87,89,90,91,92,93,94,96,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()

A.91.5和91.591.5和92

C.91和91.592和92

A解析：因為這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96,

所以中位數(shù)是W區(qū)=91.5,

平均數(shù)亍=：X(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.

O

2.(多選題)已知某班10名男生引體向上的測試成績統(tǒng)計如表所示，則下列說法正確的是

()

成績/個

人數(shù)

A.這10名男生引體向上測試成績的平均數(shù)為8.4個

B.這10名男生引體向上測試成績的第25百分位數(shù)為7.5個

C.這10名男生引體向上測試成績的中位數(shù)為8.5個

D.這10名男生引體向上測試成績的眾數(shù)為9個

ACD解析：對于A,這10名男生引體向上測試成績的平均數(shù)為I°+4X9：；8+2X7=84,所以

A正確；

對于B,將這10名男生引體向上的測試成績按從小到大的順序排序得7,7,8,8,8,9,

9,9,9,10,又10X25%=2.5,則第25百分位數(shù)是第3個數(shù)，即為8,所以B錯誤；

對于C,這10名男生引體向上測試成績的中位數(shù)為當=8.5,所以C正確；

對于D,這10名男生引體向上測試成績的眾數(shù)為9,所以D正確.

核心回扣

1.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小的順序依次排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個

數(shù)握的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

2.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

3.平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),〃個數(shù)據(jù)尤1，X2,…，%的平均

數(shù)x=-(X[+x,+...+x“).

n

4.百分位數(shù)

(1)第P百分位數(shù)的定義：

一般地，一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有3的數(shù)據(jù)小于

或等于這個值，且至少有二0%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=?Xp%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為/,則第p百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；若i是整

數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

自查自測

知識點三方差、標準差

(教材改編題)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量(單位：

依)分別為XI，X2,…，斯，下面給出的指標中，可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的

是()

A.xi，xi,?--,尤”的平均值B.xi，X2，…，尤"的標準差

C.尤1，xi,■--,尤"的最大值D.尤1，xi,???,尤”的中位數(shù)

B解析：因為可以用極差、方差或標準差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定

程度，應該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標準差.(尤元)2+(%—習2H---H(Xn—X)

核心回扣

如果有〃個數(shù)據(jù)X1,尤2,…，Xn,那么這"個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為無=2(X]+Z+…+x“)，

n

標準差為尸J：[(X1-5F+(工一元J++(%,

方差為$=孑(％1一1)2+(工2_元)2_|---卜—可].

【常用結論】

平均數(shù)、方差的公式推廣

(1)若數(shù)據(jù)xi，X2，…，％〃的平均數(shù)為焉那么mi+〃，mxi+a,mxs+a,…，如^+。的平均

數(shù)是rrix+a.

(2)若數(shù)據(jù)即，必…，斯的方差為,則

①數(shù)據(jù)為+〃，X2-\-a,的方差也為$2；

②數(shù)據(jù)〃即，4X2，…，〃的方差為〃22

應用設一組樣本數(shù)據(jù)％1，X2，…，為的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10X1，10X2，…，104的方差

為()

A.0.01B.0.1

C.1D.10

C解析：因為數(shù)據(jù)Q%i+/?(i=l,2,---,幾)的方差是數(shù)據(jù)Xi(i=l,2,???,〃)的方差的/倍,

所以所求數(shù)據(jù)的方差為102x0.01=1.

核心考點提升“四能”

考點一統(tǒng)計圖表及其應用

1.某商場在售的三類食品共200種的分布情況如圖所示，質(zhì)檢部門要從中抽取一個容量為

40的樣本進行質(zhì)量檢測，則抽取的植物油類食品的種數(shù)是（）

C.24種D.30種

B解析：由題意，利用分層隨機抽樣方法從中抽取容量為40的樣本，可知需要抽取的植

物油類食品的種數(shù)是40X30%=12.

2.（2024.德州模擬）空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為［0,

50）,［50,100）,［100,150）,［150,200）,［200,300）和［300,500］六檔，分另I］對應“優(yōu)”“良”“輕

度污染”“中度污染”“重度污染”和“嚴重污染”六個等級.如圖是某市2月1日至14

日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，則下面說法中正確的是（）

A.這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”

B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好

C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214

D.連續(xù)3天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的是5日到7日

B解析:對于A,這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)在［150,200）內(nèi)，則有4天為“中度污染”，

A錯誤；

對于B,從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸下降，即空氣質(zhì)量越來越好，B正確；

對于C,將14組數(shù)據(jù)從小到大排列為80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,

243,260,263,275,其中位數(shù)為gx（179+214）=196.5,C錯誤；

對于D,5日到7日的這3天，數(shù)據(jù)相差比較大，所以連續(xù)3天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的

不是5日到7日，D錯誤.

3.（多選題）某調(diào)查機構對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員年

齡分布餅狀圖、“90后”從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結論中正確的是（）

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員年齡分布圖

“90后”從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布圖

技術I139.6%

營

運117%

場

市

計

設113.2%

能

職112.3%

]9.8%

產(chǎn)品I16.5%

其他「11.6%

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)“90后”比“80前”多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)“90后”比“80后”多

ABC解析：由題圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占總?cè)藬?shù)的56%,超過一半，A

正確：

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%X39.6%=22.176%,

超過20%,所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員（包括“90后”“80后”“80前”）中從事技術崗位的人

數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,B正確；

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%X17%=9.52%,超過

“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，C正確；

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%又39.6%=22.176%,

小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，且“80后”中從事技術崗位的比例未知，。不一定

正確.

故選ABC.

??反思感悟

統(tǒng)計圖表的主要應用

扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；

折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢；

條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.

考點二頻率分布直方圖

【例1】某校為了解學生學習的效果，進行了一次摸底考試，從中選取60名學生的成績(單

位：分)，分成［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］六組后，得到

不完整的頻率分布直方圖如圖所示，觀察頻率分布直方圖，回答下列問題.

|頻率/組距

0.035^------------------------------

0.0301------------------------------

0.025L-------------------I------

0.020L-----------I--------------

0.0151------------------------------

o.oiol--I--------------------------

0.005L-------------------------1---

“405060708090100成績/分

⑴求分數(shù)在區(qū)間［70,80)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

(2)根據(jù)評獎規(guī)則，排名在前10%的學生可以獲獎，請你估計獲獎的學生至少需要多少分.

解：⑴設分數(shù)在［70,80)內(nèi)的頻率為x,

根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.010+0.015+0.020+0.025+0.005)X10+x=l,

解得x=0.25,

所以分數(shù)在［70,80)內(nèi)的頻率為0.25.

補全頻率分布直方圖，如圖所示.

［頻率/組距

0.035卜--------------------

0.030卜--------------------

0.0251----------------------r------

0.0201-----------I-------------------

0.015------------------------------

O.OloL--|--------------------------

0.0051--------------------------1—

oLv-l~~~~—I~?

405060708090100成績/分

(2)因為分數(shù)在區(qū)間［80,90)內(nèi)的頻率為0.25,在區(qū)間［90,100］內(nèi)的頻率為0.05,

而0.05<10%<0.25+0.05,

所以排名前10%的分界點成績在［80,90)內(nèi)，設為90—%

貝40.025a+0.005X10=10%,解得a=2,

所以排名前10%的分界點成績?yōu)?8分，即獲獎的學生至少需要88分.

A反思感悟

頻率分布直方圖的相關結論

(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.

(2)頻率分布直方圖中縱軸表示第，每組樣本的頻率為組距X處，即小長方形的面積.

(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

多維訓練.

(2024?四川模擬)某市為了解全市環(huán)境治理情況，對本市的200家中小型企業(yè)的污染情況進行

了摸排，并把污染情況各類指標的得分綜合折算標準分(最高為100分)，統(tǒng)計并制成如圖所

示的頻率分布直方圖，則這次摸排中標準分不低于70分的企業(yè)數(shù)為()

A.30B.60

C.70D.130

C解析：根據(jù)頻率分布直方圖，標準分不低于70分的企業(yè)的頻率為(0.01+0.02+0.04)X5

=0.35,所以標準分不低于70分的企業(yè)數(shù)為0.35X200=70.

考點三總體集中趨勢的估計

考向1百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)

【例2】(1)為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三(1)班、

⑵班各10名同學的體溫(單位：。C)記錄(從低到高).

高三(1)班：36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0；

高三⑵班：36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,n,37.1.

若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對應相等，則〃一機等于()

A.0.6B.0.5

C.0.4D.0.3

C解析：高三⑴班的第25百分位數(shù)是相，第90百分位數(shù)是;X(36.8+37.0)=36.9;高三(2)

班的第25百分位數(shù)是36.3,第90百分位數(shù)是：(〃+37.1),所以相=36.3,|(n+37.1)=36.9,

解得“=36.7,所以〃一加=0.4.

(2)某科技攻關青年團隊共有20人，他們的年齡分布如表：

年齡/歲45403632302928

人數(shù)2335241

下列說法正確的是()

A.29.5歲是這20人年齡的一個25%分位數(shù)

B.29.5歲是這20人年齡的一個75%分位數(shù)

C.36.5歲是這20人年齡的一個中位數(shù)

D.這20人年齡的眾數(shù)是5歲

A解析：對于A,20X25%=5,25%分位數(shù)為二3=29.5,故A正確；

對于B,20X75%=15,75%分位數(shù)為卓至=38,故B錯誤；

對于C,這20人年齡的中位數(shù)是詈=32,故C錯誤；

對于D,這20人年齡的眾數(shù)是32,故D錯誤.

A反思感悟

1.求平均數(shù)時要注意數(shù)據(jù)的個數(shù)，不要重計或漏計.

2.求中位數(shù)時一定要先將數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個數(shù)據(jù)

的平均數(shù).

3.若有兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若

一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，則沒有眾數(shù).

考向2與頻率分布直方圖有關的數(shù)字特征計算

【例3】在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如圖所

示的頻率分布直方圖，貝）

頻率/組距

0.002

().001

102030405060708090年齡/歲

A.這種疾病患者的年齡小于等于30歲的概率約為0.2

B.這種疾病患者的年齡的中位數(shù)小于45歲

C.這種疾病患者的年齡的眾數(shù)約為45歲

D.這種疾病患者的平均年齡約為48歲

C解析：小于等于30歲的概率為0.001X10+0.002X10+0.012X10=0.15,故A錯誤；

中位數(shù)左、右兩側(cè)的長方形的面積和相等，結合圖形可以看出中位數(shù)大于45,故B錯誤；

而眾數(shù)為最高長方形的中點，所以眾數(shù)為45歲，故C正確；平均年齡為（5X0.001+15X0.002

+25X0.012+35X0.017+45X0.023+55X0.020+65X0.017+75X0.006+85X0.002）X10

=47.9（歲）,故D錯誤.

A反思感悟

1.最高的小長方形的中點橫坐標即為眾數(shù).

2.中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

3.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小

長方形底邊中點的橫坐標之和.

多維訓練.

1.(2024?日照模擬)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值

為()

C.64.5D.66

B解析：因為0.030X10=0.3V0.5,(0.030+0.040)X10=0.7>0.5,所以中位數(shù)位于［60,

70)內(nèi).設中位數(shù)為x,則0.030X10+(x—60)X0.040=0.5,解得x=65,即中位數(shù)的估計值

為65.

2.對以下兩組數(shù)據(jù)進行分析，下列說法不正確的是()

甲：8121327243722202526

乙：9141311181920212123

A.甲組的極差是29B.甲組的中位數(shù)是25

C.乙組的眾數(shù)是21D.甲組的平均數(shù)比乙組大

B解析：對于A,甲組數(shù)據(jù)的最大值為37,最小值為8,則極差為37-8=29,故A正確；

對于B,甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為8,12,13,20,22,24,25,26,27,37,

所以甲組的中位數(shù)是"了=23,故B錯誤；

對于C,乙組的眾數(shù)是21,故C正確；

對于D,甲組的平均數(shù)為"(8+12+13+27+24+37+22+20+25+26)=21.4,乙組的平

均數(shù)為十義(9+14+13+11+18+19+20+21+21+23)=16.9,

所以甲組的平均數(shù)比乙組大，故D正確.

考點四總體離散程度的估計

考向1方差、標準差的計算

【例4】⑴一組樣本數(shù)據(jù)無1，X2,…，X”的平均數(shù)為式右領)，標準差為S.另一組樣本數(shù)據(jù)X"

+1，X.+2,…，X2”的平均數(shù)為五，標準差為S.兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)xi，X2,…，X；X.+

1，…，X2”，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為％標準差為丁，貝女)

A.sf>sB.s'=s

C.sr<sD.s，與s的大小與〃有關

X2,…，Xn,可得：￡（%一元）2=:（ix—戒"）=s2,

A解析：對于數(shù)據(jù)xi

Z=1/=1'z=l'

所以WX=疝，￡片=〃($2+于).

z=lJ=1

,'曰12"_

對于數(shù)據(jù)加+1,Xn+2,X2n,可得-X=3x,

i=n+\

;E(七一3習2=5[￡犬一〃(3,)1=$2,

i=w+li=n+\

InIn

所以Zx=3nxf￡x；=〃(s2+9無2).

j=n+lz=n+l

對于數(shù)據(jù)％1,X2,…，Xn,Xn+lf…，X2n,

可得平均數(shù)p=5ix=**,+￡蘢)=.〃元+3啕=2元，

i=li=lz=n+l

所以標準差s'=W￡(尤,一?)2=5(%L252)='(又一2〃(2元)2)

=U[n(s2+x2)+n(s2+9x2)~2n(2x)2]^y/s2+x2.

因為天*0,所以s'=yls2+r>s.

(2)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用

一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設備9.810.310.010.29.9

新設備10.110.410.110.010.1

舊設備9.810.010.110.29.7

新設備10.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為元和%樣本方差分別記為s；和隧

①求。y,s\,sh

②判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果》一了22珞^,則

認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).

解：①由表中的數(shù)據(jù)，可得

亍=《X(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=^X(10.H-10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

s；=]X[(9.8—10)2+(10.3—10)2+(10.0—10)2+(10.2—10)2+(99—10)2+(9.8—10)2+(10.0

-10)2+(10.1—10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036,

22222

52=_^X[(10.1-10.3)+(10.4-10.3)+(10.1-10.3)+(10.0-10.3)+(10.1-10.3)+(10.3-

10.3)2+(10.6—10.3)2+(10.5—10.3)2+(10.4—10.3)2+(10.5—10.3)2]=0.04.

②由①中的數(shù)據(jù)可得少一亍=10.3—10=0.3,

2J。％。—=2.0.0076=40.0304.

因為0.3=VU^＞，0.0304,所以少一元＞21^.

所以可以認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

A反思感悟

1.方差的簡化計算公式：s?=-[(xj+x：+...+E)—〃;?]=-(xj+焉+...+K)—X2.

nn

2.方差的運算性質(zhì)：如果數(shù)據(jù)xi,xi,…，X"的方差為S2,則①新數(shù)據(jù)xi+6,X2~\-b,…，

xn+6的方差為S2;②新數(shù)據(jù)以1,axi,-,?,ax”的方差為a2s2；③新數(shù)據(jù)辦i+6,0x2+6,…，

1

axn-\-b的方差為cPs.

3.標準差(或方差)用來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，標準差(或方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，

也就是越不穩(wěn)定；標準差(或方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就是越穩(wěn)定.

考向2分層隨機抽樣的方差......................................................

【例5】某學校共有學生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人.學校對學生在

暑假期間每天的讀書時間做了調(diào)查統(tǒng)計，全體學生每天讀書時間的平均數(shù)為5=3,方差為S2

=1.966,其中三個年級學生每天讀書時間的平均數(shù)分別為無1=2.7,功=3.1,亍3=3.3,且高

一學生、高二學生每天讀書時間的方差分別為整=1,s：=2,則高三學生每天讀書時間的方

差隆=.

3解析：由題意，可得1.966=X[1+(2.7-3)2]+X[2+(3.1-3)2]+

黑、上+(3.3—3)],解得母=3.

〉反思感悟

設樣本中不同層的平均數(shù)分別為%2,Xn,方差分別為S工S,S,相應的權重分別

2n

n

為Wl,W2,Wn,則這個樣本的方差為$2=E如回+(元一盼2],其中元為樣本平均數(shù).

?=1

多維訓練_

1.某人5次上班途中所花的時間(單位：min)分別為x,y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)為10,方差為2,貝妝一y|的值為()

A.1B.2

C.3D.4

r1

-(x+y+10+ll+9)=10,

D解析：由題意，可知?

j[(x-10)2+(y-10)2+l+l]=2,

x+y=20,

化簡整理得

22

、x+y—208.

又(x+y)2=f+V+2盯，即400=208+2孫，所以孫=96,

所以(x—>)2=記+9一2沖=16,所以|x一y|=4.

2.在對某中學高一學生體重的調(diào)查中，采取按比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本

數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生30人，其平均數(shù)和方差分別為55和15,抽取了女生20人，其平

均數(shù)和方差分別為45和20,則樣本的平均數(shù)為,方差為.

5141解析：樣本的平均數(shù)為短：：。X55+3o：oX45=51,

樣本的方差為仁義口5+(55—51月+尋*[20+(45—51)2]=4L

課時質(zhì)量評價(五十八)

?？键c鞏固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

1.(多選題X2023?新高考全國I卷)有一組樣本數(shù)據(jù)XI，X2，…，％6，其中即是最小值，X6是

最大值，貝lj()

A.X2,%3，%4，%5的平均數(shù)等于X1，%2，…，％6的平均數(shù)

B.%2，X3，%4，%5的中位數(shù)等于處，X2，…，％6的中位數(shù)

C.%2，%3，%4，%5的標準差不小于陽，X2,…，為6的標準差

D.X2,%3，%4，%5的極差不大于為，X2,???,北的極差

BD解析：A選項，X2,X3,X4,X5的平均數(shù)不一定等于%2,…，的平均數(shù)，A錯誤；

B選項，X2,%3,X4,X5的中位數(shù)等于巖，Xl,X2,…，配的中位數(shù)等于空，B正確；

C選項，設樣本數(shù)據(jù)沏，X2,，，,,%6為。，1,2,8,9,10,可知X2,???,X6的平均數(shù)

是5,X2,X3,X4,%5的平均數(shù)是5,XI,X2,…，％6的方差為扉='X[(0—5產(chǎn)+(1—5產(chǎn)+(2—

2222

5)+(8-5)+(9-5)+(10-5)]=y,X2,尤3,尤4,鄧的方差為期=；X[(1—5尸+(2—5戶+(8

22

-5)+(9-5)]=1,S；>S；,所以S>S2,C錯誤；

D選項，X6>X5,X2>Xl,所以尤61X1>X5—尤2,D正確.

2.一組數(shù)據(jù)為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,則這組數(shù)據(jù)的一個四分位數(shù)

是()

A.15B.25

C.50D.75

A解析：這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,共

11項，由11X25%=2.75,11X5O%=5.5,11X75%=8.25,故第25百分位數(shù)是15,第50

百分位數(shù)是40,第75百分位數(shù)是43.

3.（2024.烏魯木齊模擬）如圖為2012-2022年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額

增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結論正確的是（）

2012年2013年0214年0215年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年

T-電子信息制造業(yè)—工業(yè)

A.2012-2022年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

B.2017—2022年工業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

C.2012-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長，且其增速均快于當年

工業(yè)企業(yè)利潤總額增速

D.2019—2022年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均

值

C解析：對于A,由題圖可知，2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負值，利潤總

額較上一年下降，A錯誤；

對于B,由題圖可知，2015年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負值，利潤總額較上一年下降，B

錯誤；

對于C,2012年—2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均為正，利潤總額均較上一年

實現(xiàn)增長，且其增速均快于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速，C正確；

對于D,2019年—2022年中，工業(yè)企業(yè)利潤總額增速都小于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額

增速，則這幾年中工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值小于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均

值，D錯誤.

4.甲在某次射擊訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7,5,9,7,4,8,9,9,7,5,

則下列關于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（）

A.眾數(shù)為7和9

B.方差為3

C.平均數(shù)為7

D.第70百分位數(shù)為8

D解析：結合數(shù)據(jù)得眾數(shù)為7和9,故A正確;

7x3+9x3+5x2+4+8

平均數(shù)為=7,故C正確;

10

方差為《X[(—3)2+(—2>+(—2)2+12+22+22+22]=3,故B正確;

10次射擊成績從小到大排列為4,5,5,7,7,7,8,9,9,9,因為10X70%=7,

所以第70百分位數(shù)為詈=8.5,故D錯誤.

5.（多選題）在某次高中學科競賽中，4000名考生的競賽成績（單位：分）統(tǒng)計如圖所示，60

分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表，則下列說法中正確的有（）

頻率/組距

0.020

0.015

0.010

O405060708090100成績/分

A.成績在［70,80）內(nèi)的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000

C.考生競賽成績的平均分約為70.5分

D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

ABC解析：根據(jù)頻率分布直方圖得成績在［70,80）的頻率最大，故A正確；不及格的考生

人數(shù)為10X（0.010+0.015）X4000=1000,故B正確；根據(jù)頻率分布直方圖，估計考生競賽

成績的平均分為45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+95X0.1=70.5（分9故C

正確；0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.5,所以考生競賽成績的中

位數(shù)為70+、^竺心71.67（分），故D錯誤.

6.已知30個數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是8.2,這30個數(shù)據(jù)從小到大排列后第18個數(shù)據(jù)是7.8,則

第19個數(shù)據(jù)是.

8.6解析：設這30個數(shù)據(jù)從小到大排列后第19個數(shù)據(jù)為無，由30X60%=18,得等=

8.2,解得x=8.6,即第19個數(shù)據(jù)是&6.

*高考培優(yōu)

7.（2024?南昌模擬）如圖，一組數(shù)據(jù)xi,尤2,無3，…，尤9,尤io的平均數(shù)為5,方差為相，去除

X9,尤10這兩個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為方差為G則（）

A.x>5,曉>餐B.x<5,5?<51

C.x=5,sjV華D.5=5,s]>sl

1~

D解析：由題意可得而?；=5,無9=1,xio=9,則〉,=50,

故亍=((￡苫_%_*)=、X(50—1—9)=5.

因為尤9,