非線性微分方程課件

非線性微分方程為什么要研究微分方程的定性理論?

由于大多數(shù)微分方程,即使是低階線性方程,它的解一般也難以求得對于非線性微分方程(組),除了極少數(shù)特殊情況之外,要想用衽初等方法去求解,往往是不可能的.這就迫使人們?nèi)ふ移渌难芯客緩?本章4.3節(jié)中所介紹的冪級(jí)數(shù)解法就是途徑之一,另一種重要的途徑是利用數(shù)值計(jì)算方法通過計(jì)算機(jī)去求其近似解,這是一種很實(shí)用的方法,我們將在后續(xù)課程中專門學(xué)習(xí).本節(jié)即將介紹的重要方法,就是不通過求解而直接從微分方程的系數(shù)去研究其解的主要特征和性態(tài),這就是所謂的定性分析方法.這種方法在利于人們掌握解的最終趨勢,了解全部解的分布特征和相互關(guān)系.在理論分析和實(shí)際應(yīng)用中,定性分析法和數(shù)值計(jì)算法兩者若能相互結(jié)合、相輔相成。將會(huì)產(chǎn)生更好的效果。限于篇幅，本節(jié)我們主要介紹定性分析方法中穩(wěn)定性理念的初步知識(shí)，而且局限于對自治系統(tǒng)進(jìn)行講解。6.1自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)(6.1)(6.2)

把t理解為時(shí)間,x理解為相空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),那末(6.1)確定了一個(gè)向量場(速度場),(6.2)確定一個(gè)定常場.(6.1)稱為非自治系統(tǒng),(6.2)稱為自治系統(tǒng),6.1.1非自治系統(tǒng)與自治系統(tǒng)的主要區(qū)別自治系統(tǒng)不論是在相空間還是增廣相空間,軌線勻不相交.而非自治系統(tǒng)在增廣相空間積分曲線不相交,但在相空間軌線可能相交.定義6.1若存在使則點(diǎn)稱為系統(tǒng)(6.2)的一個(gè)平衡位置,也稱為此系統(tǒng)的一個(gè)奇點(diǎn).

軌線只可能與奇點(diǎn)無限接近,但不可能通過奇點(diǎn),否則與解的唯一性相矛盾.對于一給定的自治系統(tǒng)來說,奇點(diǎn)或平衡位置是人們關(guān)心的重要問題,在奇點(diǎn)附近軌線的分布情況是多種多樣的,這也是對自治系統(tǒng)進(jìn)行研究的重要內(nèi)容之一,本書對此不作進(jìn)一步討論,有興趣的同學(xué)可參考常微分方程教材,我們在此主要討論奇點(diǎn)的的穩(wěn)定性.6.1.2相平面、相軌線與相圖

我們把平面xoy稱為(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面上的軌跡稱為(6.3)的軌線或相軌線.軌線族在相平面上的圖像稱為(6.3)的相圖.(a)(b)6.2穩(wěn)定性的基本概念定義6.2設(shè)是系統(tǒng)(5.2)適合初值條件的解(1)若使得只要對一切恒有則稱系統(tǒng)(5.2)的零解是穩(wěn)定的;(2)若1)是穩(wěn)定的;2)使得只要就有則稱系統(tǒng)(6.2)的零解是漸近穩(wěn)定的;區(qū)域稱為吸引域;如果吸引域是全空間,則稱穩(wěn)定的.是全局漸近(3)若是不穩(wěn)定的;都但則稱與使例如,微分方程滿足初值條件的解為6.3判定穩(wěn)定性的Liapunov函數(shù)法定義6.3設(shè)若且當(dāng)時(shí),則稱函數(shù)在上是常正(常負(fù))的;若函數(shù)且當(dāng)時(shí),則稱在上是常正(常負(fù))的;常常正或常負(fù)的函數(shù)統(tǒng)稱為常號(hào)函數(shù);定正或定負(fù)的函數(shù)統(tǒng)稱為定號(hào)函數(shù).若且在的任意領(lǐng)域內(nèi)均既有使的點(diǎn),也有使的點(diǎn),

則稱函數(shù)在上是變號(hào)的.定理6.1(穩(wěn)定性的Liapunov判別法)設(shè)有定義在上的定正(定負(fù))函數(shù)表示沿系統(tǒng)(6.2)的軌線的全導(dǎo)數(shù)(1)若在上是常負(fù)(常正)的,則是穩(wěn)定的;(2)若在上是定負(fù)(定正)的,則是漸近穩(wěn)定的;(3)若在上是定正(定負(fù))的,則是不穩(wěn)定的;用來判定穩(wěn)定性的這種函數(shù)稱為Liapunov函數(shù),也稱為函數(shù).內(nèi)除附注1

若定正(定負(fù)),則常負(fù)(常正),但集合是漸近穩(wěn)定的.外不含有系統(tǒng)(6.2)的整條軌線,附注2

若在的鄰域內(nèi)是變號(hào)函數(shù),而定號(hào),則是不穩(wěn)定的.例5.2討論系統(tǒng)(6.5)的零解的穩(wěn)定性.6.4由線性近似系統(tǒng)判定穩(wěn)定性稱系統(tǒng)(6.11)的線性近似系統(tǒng)為(6.10)設(shè)為(6.10)的解,利用TayLor公式可將(6.10)化為(6.12)

定理6.2(1)若矩陣A的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部,則系統(tǒng)(6.10)的零解是漸近穩(wěn)定的;

(2)若矩陣A的全部特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部,則系統(tǒng)(6.10)的零解是不穩(wěn)定的.