二次根式知識(shí)歸納與題型突破-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記巧練（冀教版）（含答案）

第十五章二次根式知識(shí)歸納與題型突破(題型清單)

01思維導(dǎo)圖

二次根式的概念

二次根式二次根式有無(wú)意義

二次根式的性質(zhì)

二次根式二次根式的乘法

二次根式的除法

一次根式最簡(jiǎn)一次根式

的運(yùn)算同類二欠根式

二次根式的加減法

二次根式的混合運(yùn)算

02知識(shí)速記

一.二次根式

1.二次根式的概念:一般地，我們把形如癡(a20)的式子的式子叫做二次根式，，”稱為

稱為二次根號(hào).如6,75Z點(diǎn)都是二次根式.

2.二次根式滿足條件：(1)必須含有二次根號(hào)?”；(2)被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

二.二次根式有無(wú)意義的條件

1.二次根式有意義：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即指有意義oa20;

2.二次根式無(wú)意義：被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)，即后無(wú)意義oa<0；

三.二次根式的性質(zhì)

1.二次根式五(a>0)的非負(fù)性

夜(a>0)表示。的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，&(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即620

(〃20).

試卷第1頁(yè)，共12頁(yè)

2.二次根式的性質(zhì)：(0=a(a>0)

3.二次根式病的性質(zhì)：行=問(wèn)={:優(yōu)2)

四.二次根式的乘法法則

1.二次根式的乘法法則：4a-4b=4ab(a>0,b>0)(二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根

的指數(shù)不變)

2.二次根式的乘法法則的推廣：

(1)4a-4b-Vc=Jabc(tz>0,/>>0,c>0)

(2)a4b-c4d=ac4bd(b>0,d>0),即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù).

3.二次根式的乘法法則的逆用：瓢=&.瓜1120,1)20)(二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為

積的算數(shù)平方根的性質(zhì))

4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣：VScd=4a-4b-4c-y/dCa>0,b>0,c>0,d>0)

五.二次根式的除法法則

1.二次根式的除法法則：乎=?(。20,6>0)(二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)

不變)

2.二次根式的除法法則的推廣：=Ub-c(a>0,fe>0,c>0).

六.最簡(jiǎn)二次根式

1.最簡(jiǎn)二次根式的概念：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母，(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)

或因式

2.化簡(jiǎn)二次根式的一般方法

舉

方法

例

y/s=

將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開(kāi)方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)/I

若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)

化去根號(hào)下的

分母

(Q

>

若被開(kāi)方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)

0,b

行開(kāi)方運(yùn)算

>

0,c

>

0)

(x

被開(kāi)方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解>0,

y>0

)

3.分母有理化

分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。

方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào).

七.同類二次根式

1.同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。

2.合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)(式)相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的

依據(jù)式乘法分配律，如+=(m+〃)及20)

八.二次根式的加減

試卷第3頁(yè)，共12頁(yè)

1.二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行

合并。

2.二次根式加減運(yùn)算的步驟：

①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；

②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；

③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式一^將系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保

持不變。

九.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括

號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）

03題型歸納

題型一判斷是否為二次根式

例題：（23-24八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期末）

1.下列式子不是二次根式的是（）

A.aB.C.后

鞏固訓(xùn)練

（23-24九年級(jí)上?四川宜賓?期末）

2.下列各式是二次根式的是（）

A.4sB.V-2C.-兀D.^3

（23-24八年級(jí)下?廣西百色?期中）

3.下列各式中一定是二次根式的是（）

A.0B.%C.*D.-y[6

（23-24八年級(jí)下?浙江麗水?期末）

4.要使后與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，x可以取的數(shù)是（）

A.-2B.0C.1D.2

（23-24八年級(jí)下?廣西河池?期中）

5.下列各式中，一定是二次根式的是（）

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

A.V=4B.技C.^27D.7m2+1

題型二求二次根式的值

例題：（23-24八年級(jí)下?浙江衢州?期中）

6.當(dāng)％=-2時(shí)，二次根式J-3%+10的值為（）

A.2B.±2C.4D.±4

鞏固訓(xùn)練

（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期中）

7.當(dāng)。=6時(shí)，二次根式Ja-2的值為（）

A.1B.2C.3D.4

（23-24九年級(jí)上?海南僧州?期末）

8.當(dāng)％=-1時(shí)，二次根式j(luò)3x+7的值為（）

A.±2B.2C.-2D.41

（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期末）

9.當(dāng)x=l時(shí)，二次根式行7的值為（）

A.4B.y/6C.6D.2

題型三根據(jù)二次根式有意義條件求范圍

例題：（23-24八年級(jí)下?遼寧營(yíng)口?期末）

10.若二次根式右不有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

A."3B.x>3C.x>-3D.x<3

鞏固訓(xùn)練

（23-24八年級(jí)下?山東聊城?期末）

11.若二次根式j(luò)3-2x有意義，則x的取值范圍是（）.

3333

A.xN-B.xW—C.x>一D.x<—

2222

（23-24八年級(jí)下?新疆和田?期中）

12.使次=I+Jx+4有意義的字母x的取值范圍（）

A.全體實(shí)數(shù)B.x<2C.x>-4D.-4<x<2

試卷第5頁(yè)，共12頁(yè)

（2024?貴州銅仁?一模）

13.若衣與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）

14.當(dāng)x取何值時(shí)，二次根式立巨有意義：

x-3

（24-25八年級(jí)下?吉林?階段練習(xí)）

15.使式子也三有意義的x的取值范圍是.

2+x

題型四根據(jù)二次根式有意義求值

例題：（23-24八年級(jí)下?吉林松原?期中）

16.若？=Jx-4+J4-X+5,則,2砂=.

鞏固訓(xùn)練

（23-24八年級(jí)下?四川綿陽(yáng)?期中）

17.已知X、了為實(shí)數(shù)，且尸&^+&-3尤+3,貝ijx+y的值為

（23-24八年級(jí)下?湖北荊州?階段練習(xí)）

18.已知實(shí)數(shù)x,y滿足＞=7^+萬(wàn)工+3,則歷的小數(shù)部分是

（23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中）

19.已知＜=Jv-5+j5-x+2,貝.

題型五二次根式的乘除混合運(yùn)算

例題：（2024八年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）

20.計(jì)算：2舊義之+3五.

4

鞏固訓(xùn)練

（23-24七年級(jí)下?上海楊浦?期中）

21.計(jì)算：-V3xV2^-V3xV2.

42

（23-24八年級(jí)下?吉林?期中）

22.計(jì)算：V3x3＞/25-J1.

（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）

23.計(jì)算：

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

(1)A/27XV50-V6;

（4）Sy/a1b+2疝（a>0,6>0）.

題型六最簡(jiǎn)二次根式的判斷

例題：（23-24九年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?期中）

24.下列二次根式，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.J/+/B.J4C.V18

鞏固訓(xùn)練

（23-24九年級(jí)上?河北邢臺(tái)?期末）

25.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.272B.C.V?D.727

（23-24八年級(jí)下?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）

26.下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）.

A.MB.J2a3bC..

D.y/x2+y,

（23-24八年級(jí)下?河北保定?期末）

27.關(guān)于下列二次根式：①42+1；②正稔；③亞；④26；⑤七；⑥&?小

紅說(shuō)：“最簡(jiǎn)二次根式只有①④.“小亮說(shuō)：‘'我認(rèn)為最簡(jiǎn)二次根式只有③⑥.”則（）

A.小紅說(shuō)的對(duì)B.小亮說(shuō)的對(duì)

C.小紅和小亮合在一起對(duì)D.小紅和小亮合在一起也不對(duì)

題型七化為最簡(jiǎn)二次根式

例題：（23-24八年級(jí)上?廣東佛山?階段練習(xí)）

28.化簡(jiǎn)：Vs=________;.=________?

鞏固訓(xùn)練

（23-24八年級(jí)上?廣東肇慶?階段練習(xí)）

試卷第7頁(yè)，共12頁(yè)

29.化簡(jiǎn)：出|=-------，--------------

（23-24八年級(jí)下?浙江?期中）

30.化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式：5Vi^=_;6^|=—

（22-23八年級(jí)上?寧夏銀川?階段練習(xí)）

31.化簡(jiǎn)：

⑵百

（23-24八年級(jí)?全國(guó)?假期作業(yè)）

32.把下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式:

⑴后;

⑶孕

⑷得;

(5)214/b2c(a,b,c均大于0).

題型八同類二次根式的判斷

例題：（23-24八年級(jí)下?江西上饒?期中）

33.下列根式中，與也是同類二次根式的是（）

A.V24B.V12C.g

D.V32

鞏固訓(xùn)練

（23-24八年級(jí)下?江蘇淮安?期末）

34.下列二次根式中，與后是同類二次根式的是（）

A.VO5B.V30C.725

（2023?廣西來(lái)賓?一模）

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

35.下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（）

A.而和用B.而和回iC.1和自

D.

（23-24七年級(jí)下?上海浦東新?階段練習(xí)）

36.下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（）

A.§卡和3&B.y[a^0

C.舊和心D.6和囪

題型九二次根式的加減運(yùn)算

例題：（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）

37.計(jì)算：

（1）屈+3&2收

（2）273-3712+5727.

鞏固訓(xùn)練

（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）

38.計(jì)算而厲

8

（23-24八年級(jí)下?廣西河池?期中）

39.計(jì)算：V8+2V3-(V27+V2).

（23-24八年級(jí)下?山東聊城?階段練習(xí)）

40.計(jì)算：

（1）V27-V12+^|；

⑵卜屈-6厲+4后）+6.

題型十二次根式的混合運(yùn)算

例題：（23-24八年級(jí)下?山西太原?單元測(cè)試）

41.計(jì)算：

6

試卷第9頁(yè)，共12頁(yè)

鞏固訓(xùn)練

（23-24七年級(jí)下?湖北孝感?單元測(cè)試）

42.計(jì)算：

⑴g-1+2xJ（-3）2；

⑵近（石+1），2-斯147.

（23-24八年級(jí)上?寧夏中衛(wèi)?期末）

43.化簡(jiǎn).

（1）（3+V7）（3-V7）+V2（2-V2）；

（2）3V12-3^1+V27

（3）V12-V3+A

（4）而嚴(yán)一40

（23-24八年級(jí)下?山東日照?期末）

44.計(jì)算：

⑵圾+木一11+2T

題型十一比較二次根式的大小

例題：（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?開(kāi)學(xué)考試）

45.比較大?。?/p>

（1）V15+V178；

（2）V2014-V2015V2015-V2016.

鞏固訓(xùn)練

（23-24八年級(jí)下?江蘇宿遷?階段練習(xí)）

46.比較下列實(shí)數(shù)的大?。?762y/13.

（23-24七年級(jí)下?上海?期末）

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

47.比較大?。?273-372.（填“>”，"="，或“<”）

（23-24八年級(jí)下?河北邢臺(tái)?期末）

48.比較大?。?+6/耳.（填"或"="）

題型十二已知字母的值，化簡(jiǎn)求值

例題：（23-24八年級(jí)下?云南曲靖?階段練習(xí)）

49.計(jì)算：已知，x=2->/3,了=2+6，求V+y2一中的值.

鞏固訓(xùn)練

（23-24八年級(jí)下?河北承德?期末）

50.若工=退+1,y=V5-1,求下列各式的值.

（1/+>；

⑵（工+才―—".

（23-24八年級(jí)下?廣東汕尾?期末）

51.已知〃=行+2）=J7-2,求下列代數(shù)式的值

（1）6Z;

（2）a2-2ab+b2.

（23-24八年級(jí)下?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）

52.已知°=3+g,6=3-V7,求下列各式的值：

⑴。+6和ab；

（2）6t~+ab+Z?~.

題型十三已知條件式，化簡(jiǎn)求值

例題：（23-24八年級(jí)下?甘肅武威?期中）

53.已知x+y=-5,爐=4,求的值.

鞏固訓(xùn)練

（2024?湖南懷化?一模）

54.已知實(shí)數(shù)x滿足J（2021-4+Jx-2022=x,求X-202F的值.

（23-24八年級(jí)下?福建廈門?階段練習(xí)）

試卷第11頁(yè)，共12頁(yè)

55.若x,y為實(shí)數(shù)，且y=4j2x-l+3jl-2x+l,求正衛(wèi)的值.

2xy

（22-23八年級(jí)上?山西運(yùn)城?期末）

56.若x,>為實(shí)數(shù)，且.二Jl-4x+j4x—l+；.求J二+2+）+J±+2-上的值.

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

1.B

【分析】此題主要考查了二次根式的概念，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

直接利用二次根式的定義分析得出答案.

【詳解】解：A、次是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；

B、當(dāng)3-兀<0時(shí)，k?不是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

C、代是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；

D、《是二次根式,故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

2.A

【分析】本題考查二次根式的定義，掌握形如血(。>0)的式子是二次根式解題即可.

【詳解】解：A.6是二次根式；

B.口無(wú)意義，不是二次根式；

C.萬(wàn)谷無(wú)意義，不是二次根式；

D.冷，根指數(shù)為3,不是二次根式；

故選A.

3.D

【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義逐一判斷即可求解，熟練掌握式

子夜(a20)叫做二次根式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、-2<0,則后不是二次根式，故不符合題意；

B、乃是三次根式，故不符合題意；

C、-52<0,則廳不是二次根式，故不符合題意；

D、-祈是二次根式，故不符合題意；

故選D.

4.D

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)

數(shù)即可得出答案.

答案第1頁(yè)，共20頁(yè)

【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,

x—220,

x>2,

故選：D.

5.D

【分析】本題考查二次根式的定義，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵.

形如20)的代數(shù)式叫做二次根式，其中。叫做被開(kāi)方數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、聲中的被開(kāi)方數(shù)-4<0,故不是二次根式，不符合題意；

B、信中的。不一定大于等于0,故不是二次根式，不符合題意；

C、場(chǎng)是三次根式，故不是二次根式，不符合題意；

D、J機(jī)2+1是二次根式,符合題意，

故選：D.

6.C

【分析】本題考查求二次根式的值，先將》=-2代入，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即

可.

【詳解】當(dāng)x=-2時(shí)，

故選：C.

7.B

【分析】本題主要考查二次根式求值，將。=6代入二次根式，直接求解即可.

【詳解】解：當(dāng)。=6時(shí)，y/a—2=J6-2=y/4=2

故選：B.

8.B

【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質(zhì)及化簡(jiǎn)，二次根式的定義，把尤=-1代入原式

化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：當(dāng)x=T時(shí)，原式=j3x(_l)+7=〃=2,

故選：B.

答案第2頁(yè)，共20頁(yè)

9.D

【分析】本題考查二次根式的定義，把x=l代入求值即可.

【詳解】解：當(dāng)x=l時(shí)，二次根式j(luò)5-x=J5-1="=2，

故選：D.

10.B

【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)

方數(shù)是非負(fù)數(shù).

根據(jù)二次根式有意義的條件，可得：x-3>0,據(jù)此求出實(shí)數(shù)x的取值范圍即可.

【詳解】解：?.?二次根式有意義，

二.x—320,

解得：x>3.

故選：B.

11.B

【分析】本題考查的是二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子20）叫二次根式.性質(zhì)：

二次根式被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義.掌握二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式性質(zhì)，被開(kāi)方數(shù)大于等于①列不等式求解.

【詳解】解：由題意得，3-2x20,

3

解得：龍W].

故選：B.

12.C

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：由題意，得：%+4>0,解得：x>-4；

故選C.

13.x>3

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二

次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

答案第3頁(yè)，共20頁(yè)

由二次根式有意義的條件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【詳解】解：由二次根式有意義的條件可得：X-3N0,

解得：x>3,

故答案為：x>3.

14.xNl且xw3.

【分析】此題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，根據(jù)條件列出不等式是

解決此題的關(guān)鍵.

二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)20,分式有意義的條件分母片0,列出不等式即可.

【詳解】解：由題意可得：

x-l>0,x-3^0

二x21且xw3.

故答案為：x21且x*3.

15.xVl且xW-2

【分析】本題考查了分式和二次根式有意義的條件.根據(jù)分式的分母不能為0、二次根式的

被開(kāi)方數(shù)大于或等于0列出式子求解即可得.

12+xw0

【詳解】解：由題意得：,、c，

解得xVI且xw-2,

故答案為：xVl且XW-2.

16.2廂

【分析】本題主要考查了二次根式的非負(fù)性、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次根式的非負(fù)性

求得x、y的值成為解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)二次根式的非負(fù)性求得工,進(jìn)而求得丹然后代入計(jì)算即可.

【詳解】解：y=Vx-4+A/4-X+5,

fx-4>0,

，解得：x=4,

[4-x>0

?,?歹=5,

12xy=J2x4x5=2A/10.

故答案為：2K.

答案第4頁(yè)，共20頁(yè)

17.5

【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，直接利用二次根式有意義的條件得出工的

值，進(jìn)而得出》的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：?.?y=VT:I+j6-3x+3,

Jx-2>0

**|6-3x>0，

..x=2,

「?歹=3,

:.x+y=5,

故答案為：5.

18.V6-2##-2+V6

【分析】本題考查二次根式有意義的條件及無(wú)理數(shù)的估算，結(jié)合已知條件求得的值是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件求得X/的值，然后求出向，利用無(wú)理數(shù)的估算求得小數(shù)部

分.

【詳解】解：由題意可得：x-2>0,2-x>0,

則x=2,y=0+0+3=3,

則4^~,2x3=V6,

4<6<9,

2<逐<3,

則歷的小整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是指-2,

故答案為：V6-2.

19.25

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件，求出x的值是解

題關(guān)鍵；利用二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可；

[x-5>0

【詳解】解：由題意知：L、八，

答案第5頁(yè)，共20頁(yè)

解得：x=5,

「?歹=2,

.X=25,

故答案為：25；

20.—y[6

2

【分析】本題考查了二次根式的乘除法的應(yīng)用，根據(jù)二次根式的乘除法法則，系數(shù)相乘除,

被開(kāi)方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變，計(jì)算后求出即可.

【詳解】解：2712x4+372

4

=;加

21.1

【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可作答.

【詳解】解：

42

=-V64--V3XV2

42

4

=1.

22.15出

【分析】本題主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】解：原式=3/3X25+1

=155/2.

23.(1)15

⑵20幾

答案第6頁(yè)，共20頁(yè)

(4)色G

b

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算

(1)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(4)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：原式=班義蜒+遍=1/+遍=15

(2)原式=3x?x」45」x色

3V53

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，滿足以下兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方

數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，像這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式，由此判斷即

可.

【詳解】解：A、八彳廬是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

B、被開(kāi)方數(shù)含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)4,所以不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、被開(kāi)方數(shù)含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)9,所以不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、被開(kāi)方數(shù)含有分母，所以不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

25.A

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的性質(zhì)判斷即可.當(dāng)二次根式滿足一下條件即為最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)

方數(shù)不含開(kāi)的盡方的數(shù)或式；②根號(hào)內(nèi)沒(méi)有分母.

【詳解】A.2行，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；

答案第7頁(yè)，共20頁(yè)

B.、口=變，不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

V22

C."=2,不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.后=3百，不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選A.

26.D

【分析】此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根

式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式進(jìn)行分析

即可.

【詳解】解：A、&=2應(yīng)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、7^^=問(wèn)"石，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

c、、口=迫，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

V33

D、舊+y4是最簡(jiǎn)二次根式,故此選項(xiàng)正確;

故選D.

27.C

【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，正確把握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

直接利用最簡(jiǎn)二次根式的定義分析判斷即可解答.

【詳解】解：①正石，③逝，④2百，⑥而是最最簡(jiǎn)二次根式；②而乙⑤I

不是最簡(jiǎn)二次根式.

故小紅和小亮合在一起對(duì).

故選：C.

28.272

【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式乘法和除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：V8=V4^2=74x72=2^/2,

V2"2><2.2，

故答案為：2亞，逅

2

答案第8頁(yè)，共20頁(yè)

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】解：、陛，;

V255

44

故答案為：—,—.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

30.1073半##'&

【詳解】直接根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)

得盡方的因數(shù)或因式.進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：5vly=5xV?^=5x26=10&;■

Vo42

故答案為：IO。;3瓜.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

(2)3百

【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】（1）解：居二肉二哈

（2）V27=73^9=3^/3；

0、/T6回

⑶依=忑=石.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).

32.⑴平

⑵等

（3）73

答案第9頁(yè)，共20頁(yè)

噂

(5)4aby[ac

【分析】（1）直接計(jì)算得到答案;

（2）直接計(jì)算得到答案;

（3）直接計(jì)算得到答案;

（4）直接計(jì)算得到答案;

（5）直接計(jì)算得到答案.

【詳解】（1）

故后的最簡(jiǎn)二次根式為：孚

(2)^40V4xlO2710

故J|的最簡(jiǎn)二次根式為:2麗

5

故苧的最簡(jiǎn)二次根式為:6

正

3740-3j4x5x26后血30

故半的最簡(jiǎn)二次根式為：蟲(chóng)_；

314030

（5）,.,a,b,c均大于0

2A/4a%2c=4abs[ac-

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的相關(guān)知識(shí).

33.D

【分析】本題考查了同類二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)二次根式.先進(jìn)行化簡(jiǎn),

然后根據(jù)同類二次根式的定義，即可得到答案.

【詳解】解：A、后=2幾與0不是同類二次根式，故不符合題意；

B、疵=2。與逝不是同類二次根式，故不符合題意；

答案第10頁(yè)，共20頁(yè)

c、J)=g與血不是同類二次根式，故不符合題意；

D、反=4&與也是同類二次根式，故符合題意；

故選：D.

34.D

【分析】本題考查同類二次根式的識(shí)別，掌握定義是解題的關(guān)鍵，即：二次根式化成最簡(jiǎn)二

次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.首先化簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類

二次根式的定義即可判定.

【詳解】解：屈=也，與右不是同類二次根式，故A選項(xiàng)不合題意；

2

病不能化簡(jiǎn)，與質(zhì)不是同類二次根式，故B選項(xiàng)不合題意；

后=5,與右不是同類二次根式，故C選項(xiàng)不合題意;

,與后是同類二次根式，故D選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

35.D

【分析】本題考查了同類二次根式的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題需要掌握二次根式的化簡(jiǎn)

法則及同類二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同.將各選項(xiàng)中的二次根式化為最簡(jiǎn)，然后根據(jù)同類二次

根式的被開(kāi)方數(shù)相同即可判斷出答案.

【詳解】解：A.745=375，即匹和尼不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.廝=3品,即屈和7^7不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意;

c.小鼻,即A和不是同類二次根式’故本選項(xiàng)不符合題意；

D.《=字，-V18=-3V2,即上和是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

36.C

【分析】本題主要考查了同類二次根式.將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同,

這樣的二次根式叫做同類二次根式.根據(jù)同類二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：A、g痛與3垃的被開(kāi)方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、山與而的被開(kāi)方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

答案第11頁(yè)，共20頁(yè)

c、疝"與1邛的被開(kāi)方數(shù)相同，所以它們是同類二次根式；故本選項(xiàng)正確;

D、G與?=3的被開(kāi)方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：C.

37.(1)50

⑵116

【分析】本題考查二次根式的加減運(yùn)算：

（1）先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可;

（2）先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可.

【詳解】（1）解：V32+3^1

=4后一"

22

=5后；

(2)解：273-3V12+5727

=273-673+1573

=11^3.

38.5-*/2H—V3

3

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，先化簡(jiǎn)各二次根式，再合并即可.

【詳解】解：V32-5/27

/o

=472--+V2+3V3

3

=572--+373

3

=5>/2+-V3.

3

39.V2-V3

【分析】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，先化簡(jiǎn)，去括號(hào)，再合并同類二次根式即可.

【詳解】解：原式=28+26-3省-亞

=V2--s/3

答案第12頁(yè)，共20頁(yè)

40.⑴于

(2)3A/3+4V15

【分析】本題考查了二次根式的加減.

(1)先將各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)先將各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：亞-屈+J

=373-273+—

3

473

一?

3

(2)解：(5/一6厲+4而)+6

=204-18G+4而+道

=3他+4屈.

41.(1)2V3-6A/6

(2)-jx3y2

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次根式的

性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式成為解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用二次根式的四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用二次根式的四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解:

41

=-------X

2

上

2x(4V3-72-3748)

亞

2x℃-12碼

=712-676

=2A/3-6A/6.

答案第13頁(yè)，共20頁(yè)

2歷]x1

=xyy[x+-

3y2

3y1

=xyy[xxX—X

2日J(rèn)2

1

=xyy/xX3yx—

2日J(rèn)2

--x3/.

4

42.(1)5

(2)10

【分析】本題考查二次根式混合運(yùn)算，最簡(jiǎn)二次根式，同類二次根式，掌握二次根式混合運(yùn)

算法則，最簡(jiǎn)二次根式，同類二次根式及合并法則是解題關(guān)鍵.

（1）先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，先計(jì)算括號(hào)里的，再計(jì)算二次根式乘法即可,

（2）先計(jì)算二次根式的乘法、化簡(jiǎn)絕對(duì)值和立方根，然后再算加減法即可.

二立+2x

【詳解】（1）解:

42

；4+2x3

=-1+6

=5；

（2）

=5+V5-(V5-2)-(-3)

=5+石-石+2+3

=10.

43.(1)2。;

(2)873；

⑶孚；

(4)672.

答案第14頁(yè)，共20頁(yè)

【分析】(1)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(2)先化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式即可；

(3)先化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式即可；

(4)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：原式=3?—(J7『+2拒一(也『

=9-7+20-2

=2-\/2;

(2)解：原式=66一百+3百

=8百；

(3)解：原式=

3

=6+@,

3

_46.

一?

3

(4)解：原式=追金反—4g

2V2

=1072-4g，

=65/2.

44.(1)1

⑵-6

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算.

(1)先利用累的乘方及積的乘方逆用法則計(jì)算，零指數(shù)累，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算加減即可;

(2)先計(jì)算立方根，分母有理化，負(fù)整數(shù)塞，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再加減即可.

【詳解】(1)解：原式=(2—道廣，x(2+若廣\(2+g)—2xg-l

=12023X（2+V3）-V3-1

=2+V3-V3-l

答案第15頁(yè)，共20頁(yè)

=1;

⑵解：原式=2+3+2)心一2)-9+3

=2+75-2-9+3-75

=-6.

45.<<

【分析】本題考查了二次根式的大小比較.

(1)利用平方法比較大小即可；

(2)利用分子有理化，即可比較大小.

【詳解】解：(1)(V15+V17)2=32+27255=32+71020,

31<V1020<32,

???63<32+V1020<64=82,V15+V17<8,故答案為：<;

_______________________________]

⑵V2014-V2015=

J2014+J2015-V2014+V2015

(J2015-j2016)(j2015+J2016)

1

72015-72016=

J2015+J2016V2015+V2016

[1

V2014+V2015J2015+J2016'

-------------1---------<--------------1---------

J2014+J2015V2015+V2016

???V2014-V2015<72015-72016,

故答案為：<.

46.>

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較和二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).把根號(hào)外的因式平方后移

入根號(hào)內(nèi)，比較結(jié)果的大小，即可求出答案.

【詳解】解：3網(wǎng)=J3。x6=，2>/13=V22x13=sj52<

?-?V54>V52>

3>/6>2V13,

故答案為：>.

答案第16頁(yè)，共20頁(yè)

47.>

【分析】本題考查了比較實(shí)數(shù)的大小，以及二次根式的性質(zhì)，先把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，

再根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較方法(絕對(duì)值大的反而小)比較大小即可.

【詳解】解：-273=-V12,-372=-V18,

|—>/f2|<卜,

.-.-V12>-V18,

-273>-3A/2,

故答案為：>.

48.=

【分析】本題考查分母有理化，二次根式的大小比較，掌握相應(yīng)的法則是解題的關(guān)鍵.

把S萬(wàn)分母有理化即可得到答案.

【詳解】解：~一忑

2+V3

-(2+V3)(2-V3)

2+V3

4-3

=2+,

故