2023-2024學年山東省聊城市東阿縣、臨清市七年級（下）期中數(shù)學試卷（含答案）

2023-2024學年山東省聊城市東阿縣、臨清市七年級（下）期中數(shù)學

試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如果一個角的補角是60。，那么這個角的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.已知方程3x-4y=6,用含y的式子表示％為（）

A6—4y6+4y廠6—3x「6+3x

A.x=B.x=C.y=—7—D.y=——

3344

3.下列運算正確的是（）

A.a2-a5—a10B.（—cz2）3=—a6C.a3-=r2a—2a2D.x3+x3—x6

4.下列說法正確的是（）

A.直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離

B.銳角的補角一定是鈍角

C.兩直線被第三條直線所截，同位角相等

D.在同一平面內(nèi)，如果R13,b1c,則a1c

5.用加減法解方程組外久—二下列解法正確的是（）

A.①X3+②x2消去xB.①x3-②x2消去y

C.①X2+②x3消去yD.①X2+②x3消去x

6.將一副三角板（含30。、45。、60。）按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數(shù)為（）

A.75°B.60°C.105°D.95°

7.若關(guān)于無，y的二元一次方程組2方的解滿足x-y=l,則k的值是（）

A.1B.2C.3D.4

8.凸透鏡是中央較厚邊緣較薄的透鏡.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束

經(jīng)過光心。的光線交于點P,點F為焦點，若41=30。，Z2=55°,貝亞ABP的度數(shù)是（）

A.150°B.155°C.160°D.165°

9.如圖，長方形4BCD中，點E,F分別在邊AB,BC上，連接DF,E凡將NC沿

DF折疊，點C落在點G處；將NB沿EF折疊，點B恰好落在FG的延長線上點口處.

若LBFE=19。59',貝UNCFD的度數(shù)是（）

A.70°1'B.70°41'C.71°1,D.71°41,

10.圖1,點40,B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線。力繞點。沿順時針方向以每秒2。的速度旋轉(zhuǎn)；同時射線

。8繞點。沿逆時針方向以每秒4。的速度旋轉(zhuǎn).如圖2,設旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0<t<90）.下列說法正確的是（）

MAOBN

圖1圖2

A.整個運動過程中，不存在=90。的情況

B.當N40B=60。時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t一定為20秒

C.當t值為36秒時，射線OB恰好平分NM04

D.旋轉(zhuǎn)過程中，使射線OB是由射線OM,OA,ON中的其中兩條組成的角（指大于0。而不超過180。的角）的

平分線，這樣的t值有兩個

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.已知二元一次方程x+2y=7,請寫出該方程的一組正整數(shù)解.

12.如圖1,為響應國家新能源建設，公交站亭裝上了太陽能電池板.當?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行光線），如

圖2,電池板4B與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，要使需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)a度，a=

.(0<cr<90)

13.如果(5-a)(6+a)=12,那么一2層-2a+8的值為.

14.根據(jù)仙東省沿黃生態(tài)廊道保護建設規(guī)劃(2023-2030年/要求，某市將打造集生態(tài)屏障、文化弘

揚、休閑觀光、生態(tài)農(nóng)業(yè)于一體的復合型沿黃生態(tài)廊道，貫通近岸綠帶.一塊面積為180畝的荒地，計劃甲

隊先綠化，然后乙隊接替甲隊綠化，兩隊共用20天完成.已知甲工程隊每天綠化8畝，乙工程隊每天綠化12

畝，設原計劃甲工程隊需綠化萬天，乙工程隊需綠化y天，則可列方程組為：.

15.若Na與N0的兩邊分別平行，且Na=(2x+10)。，/￡=(3比—20)。，則Na的度數(shù)為.

16.如圖，在N408內(nèi)部順次有一組射線。Pi，OP2,OPn,滿足NAOPi=pP2P3P,p

"OP?="P】OB,乙P20P3=；￡P(guān)zOB,…，乙P“TO"1=\；；/

擊NPn-iOB.若乙4。8=a,貝吐6OB=.(用含n,a的代數(shù)式表示)\\1///

三、計算題：本大題共1小題，共8分。

17.(1)一個角的余角與這個角的補角的和比平角的,多1。，求這個角的度數(shù).

(2)已知5m=2,5"=3,求536-2%

四、解答題：本題共7小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.(本小題8分)

按要求解答：

(1)計算：(一2a2尸+2。2?a?！猘8+a?

1

(2)先化間后求值：(2-a)(2+a)—2a(a+3)+3a2,其中a=-

19.(本小題8分)

解方程組

⑴[2x+y=3①

kJ[3x-5y=11②

(2)|32°

、2y-(2%-3)=-1(2)

20.(本小題9分)

如圖，點。是直線4B上的一點，^AOE=Z.FOD=90°,OB^^COD.

⑴試說明乙4。尸=4EOD；

(2)求NEOC+NA。尸的度數(shù).

21.(本小題8分)

黃玉騎自行車去香山，她先以8千米/時的速度走平路，而后又以4千米/時的速度上坡到達香山，共用了

1.5小時，返回時，先以12千米/時的速度下坡，而后以9千米/時的速度經(jīng)過平路，回到原出發(fā)點，共用去

55分鐘，求從出發(fā)點到香山的路程是多少千米？

22.(本小題9分)

如圖，NE=Nl,N3+AABC=180°,BE是乙4BC的角平分線.

求證：DF//AB.

23.(本小題10分)

我們把關(guān)于x、y的兩個二元一次方程％+ky=b與kx+y=b(k豐1)叫作互為共軌二元一次方程；二元一

次方程組心:二:，叫做共初二元一次方程組.

(1)若關(guān)于％、V的方程組3,為共相方程組，則。=,b=；

(2)若二元一次方程％+ky=匕中％、y的值滿足下列表格:

X10

y02

則這個方程的共輾二元一次方程是；

(3)解下列方程組(直接寫出方程組的解即可)：

；的解為______；44的解為______-

(zx+y=31—%+2y=4

(為發(fā)現(xiàn)：若共物方程組修；，；二:的解是:猜想小、ri之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

24.(本小題12分)

問題情境：

在綜合與實踐課上，數(shù)學老師讓同學們以“兩條平行線MN,PQ和一塊含45。角的直角三角尺2BC”為主題

展開數(shù)學活動.

探究發(fā)現(xiàn)：

如圖1,小明把三角尺中45。角的頂點B放在PQ上，邊力B,AC與MN分別交于點D,E.

(1)若N1=70°,求42的度數(shù)；

(2)如圖2,請你探究Na與4夕之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

延伸拓展：

(3)如圖3,當CA的延長線與MN交于點E時，Na=112。，求N0的度數(shù).

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：，.,一■個角的補角是60。，

??.這個角的度數(shù)是180。-60°=120°,

故選：D.

根據(jù)度數(shù)之和為180度的兩個角互補進行求解即可.

本題主要考查了求一個角補角的度數(shù)，關(guān)鍵是角的計算的應用.

2.【答案】B

【解析】解：方程3x—4y=6,

3x=6+4y,

所以：乂=空.

故選：B.

把y看作已知數(shù)求出無即可.

此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將一個未知數(shù)看作已知數(shù)求出另一個未知數(shù).

3.【答案】B

【解析】解：力、a2-a5=a7,原式計算錯誤，不符合題意；

B、(-a2)3=-a6,原式計算正確，符合題意；

C、a3^2a=la2,原式計算錯誤，不符合題意；

D、x3+x3=2x3,原式計算錯誤，不符合題意；

故選：B.

根據(jù)同底數(shù)幕乘法，幕的乘方、單項式的除法和合并同類項的法則進行計算，逐一判斷即可解答.

本題主要考查了同底數(shù)累乘法，幕的乘方、單項式的除法和合并同類項，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)

鍵.

4.【答案】B

【解析】解：4、直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，原說法錯誤，不符合題

忌；

8、銳角的補角一定是鈍角，原說法正確，符合題意；

C、兩平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原說法錯誤，不符合題意；

D、在同一平面內(nèi)，如果日13,b1c,貝!Ja〃c,原說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

根據(jù)點到直線的距離的定義可判斷出根據(jù)度數(shù)之和為180度兩個角互補即可判斷B；根據(jù)平行線的性質(zhì)與

判定定理即可判斷C、D.

本題主要考查了平面向量，余角和補角，對頂角、鄰補角，垂線，點到直線的距離，同位角、內(nèi)錯角、同

旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及性質(zhì)，難度較小.

5.【答案】B

【解析】解：用加減法解方程組f久-3、=4?,

[3x+2y=-2@

①x3-②x2,消去x,

故選:B.

根據(jù)加減消元法求解方法判斷即可.

此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

6.【答案】A

???ZXBC+60°+45°=180°,

.-./.ABC=75°,

???直尺的上下兩邊平行，

zl=AABC=75°.

故選：A.

由平角等于180。結(jié)合三角板各角的度數(shù)，可求出乙4BC的度數(shù)，由直尺的上下兩邊平行，利用“兩直線平

行，同位角相等”可得出41的度數(shù).

本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解」：+2，=；1

[4%-y=5k②

②—①得：3x—3y=3k,

：.x—y=k,

---x—y=1,

k=1.

故選：A.

利用方程②減去方程①，得到久-y=k,再利用整體代入法求解即可.

本題考查的是二元一次方程組的特殊解法，掌握“利用整體未知數(shù)的方法解決問題”是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：；Z1=30°,

Z1=LPOF=30°,

???Z2>AOPF的一個外角，

???4OFP=Z2-Z.POF=25°,

???AB//OF,

：.N4BF=180°-NOFP=155°,

故選：B.

先利用對頂角相等可得Nl=NPOF=30°,再利用三角形的外角性質(zhì)可得NOFP=25°,然后利用平行線的

性質(zhì)可得乙4BF=155°,即可解答.

本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】A

【解析】解：由折疊得到：乙BFE=4HFE,乙CFD=4GFD,

又???乙BFE+乙HFE+Z.CFD+乙GFD=180°,

ABFE+/.CFD=90°,

???乙BFE=19°59',

.-./.CFD=90°-19°59,=70°1,.

故選：A.

根據(jù)折疊定義得到NBFE=/.HFE,/.CFD=4GFD,然后根據(jù)平角定義推出N8FE+乙CFD=90°,最后根

據(jù)ABFE的度數(shù)即可求出NCFD的度數(shù).

本題主要考查角的計算，深入理解折疊的意義是解決問題的關(guān)鍵.

10.【答案】C

【解析】解:由題意知NMOA=2t°,ANOA=180°-2t°；當0WtW45時，乙NOB=4t°；當45<t<90

時，^NOB=360°-4t°；

令NAOB=乙NOA-乙NOB=90°,即180°-2t°-4t°=90°,

解得t=15,

存在N40B=90。的情況；

故A錯誤，不符合題意；

令NAOB=乙NOA-乙NOB=60°,即180°-2尸-4尸=60°,

解得t=20,

令乙AOB=4NOB-ANOA=60°,EP4t°一(180°-2t°)=60°,

解得t=40,

;當乙4OB=60。時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t不一定為20秒；

故B錯誤，不符合題意；

當t=36時，^MOA=72°,4NOA=108°,乙NOB=144°,

???乙40B=4NOB-乙NOA=144°-108°=36°,

1

^AOB=*M04,

???射線。8恰好平分NMCM,

故C正確，符合題意；

當。B平分NMON時，4t=90或4t=180+90,

解得t=22.5或t=67.5,

再由t=36時射線。B恰好平分NM04故。說法錯誤，不符合題意，

故選：C.

由題意知乙MOA=2t。，/LNOA=180°-2t°；當0W1W45時，4NOB=4t°；當45<tW90時，4NOB=

360°-4t°；令乙4OB=4NOA-乙NOB=90°,計算求解可判斷選項A的正誤；令U0B=4NOA-

乙NOB=60°,/-AOB=lNOB-乙NOA=60°,計算求解可判斷選項B的正誤；將t=36代入，求出

Z.MOA,乙NOA,ZNOB的值，然后根據(jù)/4。8=NNOB—/N04求解/4。8的值，根據(jù)/20B與NMCM的關(guān)

系判斷選項C的正誤；根據(jù)。8平分MONt的值有2個，結(jié)合C選項的求解過程即可判斷D.

本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，關(guān)鍵是掌握角的和差計算.

11.【答案】［:卜答案不唯一)

【解析】解：x+2y=7,

當x=1,y=3,

???方程x+2y=7的解為：

1;二卜答案不唯一）；

故答案為：｛;二：（答案不唯一）.

根據(jù)二元一次方程的解的定義即可寫出一組正整數(shù)解.

本題考查二元一次方程的解，掌握代入法是關(guān)鍵.

12.【答案】20

【解析】解：???48與太陽光線互相垂直，如圖2,

???LFEB=90°-62°=28°,

當2B〃CD時，4GFD=乙FEB=28°,

???需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)48。-28。=20°,

故答案為：20.

水平線

（圖2）

先根據(jù)4B與太陽光線互相垂直，得出NFE8=28°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得當AB〃C。時，/.GFD=

LFEB,即可得出結(jié)論.

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

13.【答案】—28

【解析】解：???（5—a）（6+a）=12,

30—6a+5cz-a2=12,

**?-a?—a=-18,

—2a2—2a+8=2（—a2—a）+8=-18X24-8=-28,

故答案為：-28.

先根據(jù)多項式乘多項式的計算法則求出一a?-a=-18,再根據(jù)一2a2-2a+8=2（-a2-a）+8進行求解

即可.

本題主要考查了多項式乘多項式，代數(shù)式求值，關(guān)鍵是能通過變形進行整體代入計算.

14.【答案】180

【解析】解：設原計劃甲工程隊需綠化X天，乙工程隊需綠化y天，

由題意得：葭北7180，

故答案為：露浸180.

設原計劃甲工程隊需綠化x天，乙工程隊需綠化y天，根據(jù)一塊面積為180畝的荒地，兩隊共用20天完

成.列出二元一次方程組即可.

本題主要考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的

關(guān)鍵.

15.【答案】70?；?6。

【解析】解：因為4a與N0的兩邊分別平行，

有如下兩種情況：

①Na=N0,

即2久+10=3%—20,

解得x=30,

Na=(2x30+10)°=70°,

②Na+“=180°,

即2%+10+3萬-20=180,

解得工=38,

"=(2X38+10)°=86°,

綜上所述，Na的度數(shù)為70?；?6。.

故答案為：70。或86。.

根據(jù)兩邊互相平行的兩個角相等或互補分兩種情況列出方程求出》,然后求解即可.

本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩邊互相平行的兩個角相等或互補，易錯點在于要分兩種情況考慮.

16.【答案】

【解析】解：Z-AOB=a,

1

-a

???^AOP1=^AOB2

11

???乙P]OB=a--a=-a,

111

???Z-P1OP2=-Z-PrOB=-x-a,

1111

----

???Z,P2OB=2323

111

---

???乙P20P3=443

1111

----

???Z-P3OB=3434

1ii

???乙P30P4=-Z-P3OB=-x-cr?

ncn1111

Z-PAOB=~TC>C——X—OC=(

44545—Xi

…，

J”=備

故答案為：士

n+1

ii11i11

根據(jù)“OB=a,得出乙40尸1=為，求出乙PiOB二仇一%=匆，A.P2OB=^a-^x^a=

Jct,乙P3OB=：a—=Ja,乙P4OB=：a—=：a,得出一'般規(guī)律即可.

30343444545

本題主要考查了圖形規(guī)律探索，角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，找出規(guī)律.

17.【答案】解：(1)設這個角為乃

根據(jù)題意得：90°-%+180°-%=180°x+1°，

4

解得：x=67°,

則這個角的度數(shù)為67。；

(2)5m=2,5』3,

.?.原式=(5m)3+(5n)2=1.

【解析】(1)設這個角為x,根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

(2)原式利用幕的乘方及同底數(shù)募的除法法則變形，將已知等式代入計算即可求出值.

此題考查了同底數(shù)累的除法，以及累的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(1)(—2a2)3+2a2-a4—a84-a2

66

=-8a+2a6—a

=_7q6；

(2)(2—a)(2+CL)—2a(a+3)+3a2

=4-a2—2a2—6a+3a2

—4—6a,

當a=—,時，原式=4—6x(―=4+2=6.

【解析】(1)先計算積的乘方，同底數(shù)哥乘除法，再合并同類項即可；

(2)先根據(jù)平方差公式，單項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即

可.

本題主要考查了整式的混合運算一化簡求值，關(guān)鍵是熟練掌握整式的運算法則.

19?【答案】解：理二丁鄧②，

①X5+②，得13久=26,

解得x=2,

把久=2代入①，得y=-1,

故原方程組的解為c二

(2)32」,

(2y-(2x-3)=-1@

由CD得，2%—3y——2(3),

由②，得一2%+2y=-4④，

③+④，得-y=-6,

解得y=6,

把y=6代入④，得—2%=-16,

解得％=8,

故原方程組的解為忙=

【解析】(1)用①x5+②，可消去未知數(shù)y,求出未知數(shù)x,再把X的值代入①求出y即可；

(2)方程組整理后，利用加減消元法求解即可.

本題考查了解二元一次方程組，掌握加減消元法和代入消元法是解答本題的關(guān)鍵.

20.【答案】⑴證明：???N40E=NF。。，

Z.AOF+乙EOF=Z.EOD+乙EOF,

/-AOF=/.EOD；

(2)解：???OB平分NCOD,

/-BOC=/-DOB,

???AAOE=90°,

???(BOE=90°,

???乙BOD+乙DOE=乙EOF+乙DOE=90°,

???乙BOD=乙EOF,

Z-BOC=乙EOF,

Z.EOC=Z-EOB+Z-BOC,

???Z.EOC=Z.EOB+乙EOF,

???Z-EOC+Z.AOF=乙EOB+乙EOF+Z-AOF,

=Z.EOB+AAOE=90°+90°=180°.

【解析】(1)由乙4OE=NF。。，得至！J乙40F+2E。9=4EOD+NEOF,即可證明；

(2)由角平分線定義，余角的性質(zhì)，即可求解.

本題考查角平分線定義，余角的性質(zhì)，關(guān)鍵是應用角平分線定義，余角的性質(zhì)得出有關(guān)的等式.

21.【答案】解：設平路為久千米，坡路為y千米，根據(jù)題意得：

牌…

營+八生’

(91260

解得：1;二以

則％+y=6+3=9(千米).

答：從出發(fā)點到香山的路程是9千米.

【解析】設平路為無千米，坡路為y千米，根據(jù)往返的用時不同可得到兩個關(guān)于％、y的方程，求方程組的解

即可，然后求小y的和即得從出發(fā)點到香山的路程.

本題考查了二元一次方程的應用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方

程求解.

22.【答案】證明：???BE是乙48c的角平分線，

???zl=Z2,

???Z-E=zl,

Z-E=Z.2,

AE//BC,

???/.ABC+=180°,

???Z3+/.ABC=180°,

???Z3=Z-A,

??.DF//AB.

【解析】求出NE=N2,推出得出乙4BC+乙4=180。，推出乙3=乙4,根據(jù)平行線的判定推出

即可.

本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力.

23.【答案…生+尸邛二比二

【解析】解：(1)由定義可得：1一。=2,b+2=3,

???a=-1,b=1,

故答案為：-1,1.

(2)將％=1,y=0和汽=0,y=2分別代入％+ky=b,得：

解得：

12k=b[K=-

二二元一次方程為：%+1y=1,

1

X+y1

.??共胡二元一次方程為:2--

1

%+y1

故答案為:2--

⑶解方程組管;二;

①x2-②得:3y=3,

???y=1，

將y=1代入①得，x+2=3,

?,?%=1,

???方程組的解為：I;二；

解方程組戶7=4?

[-X+2y=4②

⑤X2+⑥得：3%=12,

%=4,

將％=4代入⑤得：8-y=4,

???y=4，

???方程組的解為：