高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：直線與平面的位置關(guān)系 強化訓(xùn)練

第03講直線與平面的位置關(guān)系

、

學(xué)習(xí)目標

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.能認識和理解空間直線平行的傳遞性，了解等角定

理.（重點）

1.通過基本事實4和等角定理，培養(yǎng)直觀想2.掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能

象的核心素養(yǎng).利用這兩個定理解決空間中的平行關(guān)系問題.（重點）

2.借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，3.利用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明空

提升邏輯推理的核心素養(yǎng).間平行問題.（難點）

3.通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和4.了解直線與平面垂直的定義.（重點）

性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)5.理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其判斷直線

素養(yǎng).與平面垂直.（難點）

4.通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀5.理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡單的線面

想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).角問題.（易錯點）

7.能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行

證明.（重點）

知識點01：直線與平面平行

(1)判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.

(2)性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平

行.

注意：用該定理判斷直線a和平面a平行時，必須同時具備三個條件：

⑴直線a在平面a外，即a@a.

(2)直線b在平面a內(nèi)，即bca.

(3)兩直線。，6平行，即?！╞.

【即學(xué)即練1】如圖，在正方體ABC。-AiRCQi中，E,F,G分別是8C,CG，8囪的中點，求證：EF//

平面ADiG.

證明連接8G(圖略)，

在AfiCG中，

,/E,F分別為BC,CCi的中點,；.EF//BCi,

且AB—AiBi=DiCi,

：.四邊形ABCiA是平行四邊形，

：.BCi//ADx,：.EF//AD1,

又ERI平面AOiG,

AAU平面ADC,，比”平面4。16.

知識點02：直線與平面垂直

1.直線與平面垂直的定義

如果一條直線a與一個平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面a,記作a,。，直

線a叫做平面a的垂線，平面a叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足.

結(jié)論：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

2.直線與平面垂直的判定定理

如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.

4.與線面垂直有關(guān)的重要結(jié)論

(1)如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線.

(2)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

(3)如果一條直線與兩個平面都垂直，那么這兩個平面平行.

(4)過一點有且只有一條直線和已知平面垂直；過一點有且只有一個平面和已知直線垂直.

【即學(xué)即練2】如圖所示，在正方體ABC。一AiBiCQi中，/為CG的中點，AC與8D交于點。，求證:

AiO_L平面MBD.

證明方法一,-,四邊形ABCD為正方形,

：.BD±AC,

又平面ABCD,

：.AAi±BD且AAmAC=A,

.?.801,平面AAiO,

.".BDlArO,

令正方體的棱長為2,連接OM,AM（圖略）,

則4。=#,OM=y[3,AiM=3,

：.AIO2+OM2^AIM2,

：.AiO±OM,

又OMCBD=O,

；.AiO_L平面MBD.

方法二連接A/,AiD,0M(圖略).

在正方體ABC。一481C1P中，

A\B=AID9

。為的中點,

：.AiO±BD,

令正方體的棱長為2,

在RtAAiAO和RtA0CM中,

A0

tanZAAiO=

AA[.2，

tanZCOM—~C0~2

故△4AOsZ\ocM,

ZAOAi+ZCOA/=90°,

ZAiOM=90°,

：.AiO±OM,

'：BDHOM=O,

BOU平面MBD,

OMU平面MBD,

，4O_L平面MBD.

知識點03：直線與平面所成的角

有關(guān)概念對應(yīng)圖形

一條直線與一個平面相交,但不與這個平面垂直,

斜線

這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線B4

/

P

斜足斜線和平面的交點,如圖中點A/

/A,/e/

過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和

射影留足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中

斜線PA在平面a上的射影為直線40

定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中/B4。；

直線與平面

規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是鱉；一條直線和平面平行，

所成的角

或在平面內(nèi)，它們所成的角是￡

取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為仇則0Y6W90。

【即學(xué)即練3】如圖，在正方體A8C￡>—A1BGD1中.

⑴求AiB與平面AAiDiD所成的角；

⑵求AiB與平面BBiDQ所成的角.

解⑴?.22,平面A4bDQ,

.?./AAiB就是42與平面A4Q0所成的角,

在Rtz\A4iB中，/A4Al=90。，AB=AAi,

：.ZA4iB=45°,

：.AiB與平面AAiDiD所成的角是45。.

(2)如圖,連接4G交BQi于點O,連接80.

VAiO±BiDi,BBiLAiO,BBiQBiDi=Bi,BBi,BidU平面BBQ。,

平面BBiDiD,

：./AiB。就是AB與平面所成的角.

設(shè)正方體的棱長為1,則4出=也，4。=坐.

又：ZAi<9B=90°,

.,.sinZAiB0=4i^=1,又0°《/48。/90°,

AinZ

ZA,BO=30°,

：.AiB與平面BBiDiD所成的角是30。.

知識點04：三垂線定理

平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直：

【即學(xué)即練4】（2023秋?長寧區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD的長口=2,寬AD=x，若上4_L平面ABCD,

矩形的邊CD上至少有一個點。，使得產(chǎn)。，3。，則x的范圍是.

【分析】依據(jù)三垂線定理，要使尸。，2。，必須有僅2,即以至為直徑的圓應(yīng)與CD有公共點即可,

從而可求尤的范圍.

【解答】解：?.,B4_L平面ABCD,BQu平面ABCD,

.-.PALBQ-,

要使尸QL3Q,依三垂線定理得，必須有4。，2。，而。為矩形的邊CD上的一個點，

二.以M為直徑的圓應(yīng)與CD有公共點，

1.,AB=2,寬AD=x,

/.0<x?,1?

故答案為：0<%,1.

【點評】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查等價轉(zhuǎn)化思想，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

題型精講

題型01證明線面平行

【解題策略】

應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟

找>------在平面內(nèi)找到或作出一條與已知直線平

YI行的直線_________________

—T證明已知直線平行于找到（作出）的直線

逛—u由判定定理得出結(jié)論|

“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：

（1）空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；

（2）三角形中位線法；

（3）平行四邊形法；

（4）成比例線段法.

【例1】（2223高二上?上海浦東新?期末）如圖，在正方體ABCD-ABCP中，E為的中點.

⑴求異面直線BDX與CG所成的角；

⑵判斷BR與平面板的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴arctan&

（2）8R〃平面板，理由見解析

【分析】（1）通過平移找到異面直線所成的角，在三角形中求解即可.

（2）通過線面平行判定定理判斷.

【詳解】（1）因為88//CG，所以/42口就是異面直線8A與CC,所成的角.

設(shè)則億，BD|=75a,所以tan/43n=0.

所以異面直線BD｝與CC所成的角為arctan插（結(jié)果也可寫成arcsing或arccos鳥.

（2）8，//平面AEC

連接交AC于。，連接OE,

在中，0,E分別為班）、中點，0E為的中位線，所以O(shè)E//BR.

因為OEu平面AEC上，而BAZ平面AEC上，

由直線與平面平行的判定定理得，BA〃平面AEU.

【變式11].（2324高二上?上海寶山?階段練習(xí)）如圖，已知點尸是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E,

廠分別是R4,AC的中點，求證：EF//平面PBC.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，即可證得￡F//平面PBC.

【詳解】在AZ4c中，因為E,尸分別是「4、AC的中點，可得EP//PC,

又因為EFO平面P3C,且PCu平面PBC,

所以EF〃平面P8C.

【變式12].（2122高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）（1）請用符號語言敘述直線與平面平行的判定定理；

（2）把（1）中的定理用反證法證明；

（3）如圖，在正方體ABCD-ABC.中，點N在3。上，點M在,且CAf=DN,求證：M2V〃平面AA.B.B

（用（1）中所寫定理證明）

【答案】【小問11答案見詳解

［小問2］證明見詳解

［小問3］證明見詳解

【分析】(1)利用數(shù)學(xué)語言寫出己知，求證；

(2)作出圖形，假設(shè)。與a不平行，則它們相交，即acc=A,作出輔助線，推出?！╟,與acc=A矛盾,

證明出結(jié)論；

(3)作出輔助線，得到四邊形ME/W是平行四邊形，得到線線平行，得到線面平行.

【詳解】(1)已知：abua,a!lb,求證：alia.

(2)如圖所示，證明:

假設(shè)。與a不平行，則它們相交，

設(shè)交點為A,那么Aea,

?allb,

0A不在b上，

在a內(nèi)過4作。〃6,則acc=A,

X0a!lb,dlb,

0alic,與acc=A矛盾，

團假設(shè)不成立，alia.

(3)如圖，忤MEHBC,交BBI于點、E,焊NF11AD,交AB于點尸，連接

蘆二妣叱=變

BCB?ADBD

因為在正方體人5?！?一4旦。1。1中，CM=DN,BXC=BD,

.MENFBN

所以B「M=NB,則正,BD

因為AD=3C,所以=

又MEHBC,NF!/AD,貝!JME7/NF,

所以四邊形MEFN是平行四邊形，

所以MN//EF,又MNu平面"與2,EFu平面懼耳B,

所以〃平面.

【變式13］如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，尸是平面ABC。外一點，M,N分別是AB,PC的中點.求

證：MN〃平面E4D

證明如圖，取P。的中點G,連接GA,GN.

VG,N分別是&PDC的邊PD,PC的中點，

C.GN//DC,GN=/c.

■為平行四邊形ABC。的邊AB的中點，

：.AM=^DC,AM//DC,

：.AM//GN,AM=GN,

：.四邊形AMNG為平行四邊形,

J.MN//AG.

又跖W平面BW,AGU平面必。，

；.MN〃平雨P(guān)AD.

題型02證明線面垂直

【解題策略】

證明線面垂直的方法

（1）由線線垂直證明線面垂直：

①定義法（不常用）；②判定定理（最常用），要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時需要作輔助線），使它們

與所給直線垂直.

（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）:

@a//b,a_La=b_La;?a//J3,o_LanaJ_￡.

【例2】.（2324高二上?上海?課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是矩形，A￡>=2,DC=1,平面3CE,

BEVEC,EC=1.點/為線段BE的中點.

⑴求證：CE_L平面ABE；

（2）求證：?！?/平面ACF；

【答案】⑴證明見詳解

（2）證明見詳解

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理分析論證即可得證.

（2）利用線面平行的判定定理分析論證即可得證.

【詳解】（1）證明：因為平面BCE,ECu平面BCE,

所以AB_LEC,又由BE_LEC,

而48「3石=3,ABu平面ABE,BEu平面ABE,

EICEJ"平面ABE.

（2）證明：

如上圖，連接8。交AC于連接FN,

回點P為線段BE的中點，點M為線段3。的中點，

^FMHDE.

又EINWu平面ACR,DEO平面ACF,

EIDE〃平面ACT.

【變式21].（2223高二下?上海普陀?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐A-BCD中，CA=CB=CD=BD=2,

AB=AD=-Ji，。是的中點.

⑴求證：AO_L平面BCD；

⑵求異面直線AB與CD所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

arccos----

4

【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理即可證明；

（2）分別取BC,AC的中點及尸，連接所,EG,找出異面直線所成角，然后結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.

證明：在三角形A3C中，因為AB=AO=后，且。是8。的中點，所以

且40=J（何一1=1,連接CO,在等邊三角形BCD中易得。。=百，

所以AC?=2。=儼+（若『=AO2+CO2,所以AO_LCO.

因為COcj5D=O,且CO,2。u平面BCD,所以AO_L平面BCD

分別取BC,AC的中點瓦尸，連接班,EO,R9,

因為EF〃AB,§LEF=-AB,EO11CD,且EO=1Cr>,

22

所以ZFEO或其補角就是異面直線AB,CD所成角，

連接尸0,因為AO,平面BCD,所以AOLCO,

所以在RQACO中，斜邊AC上的中線FO=；AC=1,

又因為EO=1co=i,EF=-AB=—,

222

（5Y

士+12-12L

所以在三角形石尸。中，+2J________=也.

2EFEOJ24

2x----x1

2

因為cosNFEO>0,所以異面直線AB與。所成角為arccosYZ.

4

【變式22].（2324高三上?上海寶山?開學(xué)考試）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M,N分

別為棱ED,PC的中點，PA^AD,平面B4D_L平面ABCD求證：

（1）〃N〃平面BLB；

⑵AM上平面PCD.

【答案】⑴證明詳見解析

⑵證明詳見解析

【分析】（1）通過線面平行的判定定理證得〃平面F4B.

（2）根據(jù)通過證明CDLAW來證得24M上平面PCD.

【詳解】（1）由于M,N分別為棱P0PC的中點，

所以MNHCD,由于四邊形A8CD是矩形，所以CD//AB,

所以MN//AB,由于MNu平面R4B,/IBu平面R4B,

所以MN〃平面上4B；

（2）由于E4=AD,M是PZ）的中點，所以4W_Lr>E>.

由于平面上M>_L平面ABCD且交線為AD,

CDu平面ABCD,CD1AD,所以CD_L平面PAD,

由于AMu平面PAD,所以CD_LAAf,

由于尸。cCE>=D,PD,CDu平面PCD,

所以AM上平面PCD.

【變式23].（2324高二下?上海?期中）如圖，長方體A8CO-4耳￡"中，AB=BCf，人<與底面ABC。

所成的角為45。.

⑴求證：平面ACA；

（2）求異面直線\B與B、D、所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

(2)arccos^-

6

【分析】（1）連接3D,AC,依題意可得AC4BD,再由線面垂直的性質(zhì)得到相，8。，即可得證；

（2）因為4C與底面A3CD所成的角求得AA的值，再由用，，可得48與所成的角等于異面直線

與4A所成的角，在AAB。中，由余弦定理可得的余弦值，即求出所求的角的大小.

【詳解】（1）連接3D,AC,因為長方體ABCD-Aq6R中A3=3C=&，所以AC13O,

因為A4,，底面ABC。，3￡>u底面ABCD,

所以

又因為AA，ACu平面AG4,

（2）因為4c與底面ABCD所成的角為45。，底面A3CE）,

所以4,G4為AC與底面A8CD所成的角，所以幺。1=45。，

所以A4,=AC=夜『+（忘丫=2,

連接A。，所以AZ）=48=不2。=>/6>

又m=/可+（可=2，

因為BBJ/DR且BByDR,所以四邊形BBQQ為平行四邊形，

所以BD//BB，

所以\B與3。所成的角等于異面直線\B與8Q所成的角,

/-4Dr\?人pm—r/F?4r?TAA+BU^~A.6+4-6

在△A3。中，由余弦理可得coszZAjBOn------=cFc="T，

lA^BBD246x26

所以ZA^BD=arccos,

所以異面直線A8與B0所成的角為arccos^S.

6

題型03直線與平面所成的角

【解題策略】

求直線與平面所成的角的步驟

（1）作（找）——作（找）出直線和平面所成的角.

（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角并指出線面的平面角.

（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形）.

（4）答.

【例3】.（2324高二下?上海?期末）如圖，在長方體ABC。-A4G2中，已知AB=BC=4,DD1=8,點、M

為棱G2的中點.求直線BM與平面BCCIB,所成角的正切值.

【答案】叵.

10

MC

【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)可證得直線5M與平面3CG4所成角就是NM5G，根據(jù)tan/M3G=■即可求

nC1

得.

【詳解】因為長方體ABCD-A耳GA，且MeC|A，

因為C|M回GC,G/回耳G，B1C1nC1C=C1,用G，C|Cu平面BCC14,

所以MC,回平面BCC國,故直線BM與平面BCQB,所成角就是ZMBC,,

在RtAM8￡中，由已知可得MC；=；CR=2,Bq=JBB；+BG=4有,

因止匕，tan/MBG=器=崇=言，

OC14731U

即直線BM與平面BCCe所成角的正切值為更.

10

【變式31】（2324高二下?上海虹口?期末）如圖所示，圓柱。Q的母線長為2,矩形懼48是經(jīng)過。。的截

面，點C為母線8月的中點，點G為弧44的中點.

G

⑴求異面直線AB與AG所成角的大?。?/p>

（2）若圓柱。。1的側(cè)面積為4兀，求直線CG與平面4月￡所成角的無落值的大小.

【答案】⑴45。

喈

【分析】（1）根據(jù)題意，N44G是異面直線A3與4G所成角（或其補角），求解即可；

（2）連接4G,因為c耳，平面A瓦G,NCC4是直線CG與平面AB?所成的角，求解即可.

【詳解】（1）連接4片，貝U4耳//鉆,

所以N44G是異面直線A3與4G所成角（或其補角）,

因為點C為弧4片的中點，所以/B|AG=45。,

所以異面直線AB與AG所成角為45。；

（2）設(shè)圓柱底面半徑為r,由己知2兀r?2=4兀，貝。=1,

連接4C，因為平面ABC，

所以B?是直線CC,在平面A瓦G上的射影,

所以NCC4是直線CC,與平面所成的角,

B1CI=A/2F=V2,CC1=A/3,

所以sin/CG旦=七=9，

即直線CG與平面44c所成角的正弦值為?

a

【變式32].(2024?上海松江?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8CD為菱形，平面A3C。,

E為PD的中點.

⑴設(shè)平面4科與直線PC相交于點尸，求證：EF//CD；

(2)若AB=2,ZDAB=60°,PD=4A/2>求直線BE與平面PAD所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

⑵2

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理，證出AB〃平面PCD,然后根據(jù)平面ABEc平面尸CD=EF,利

用線面平行的性質(zhì)定理證出EF//CD;

(2)連接8。，取AD中點連接3"、EH,根據(jù)線面垂直的判定定理，證出平面PAD,可得

是直線BE與平面的所成角，然后在中利用銳角三角函數(shù)的定義算出答案.

【詳解】(1)證明：?.?平面ABE與直線PC相交于點歹，；?平面ABEC平面尸CD=￡F，

,四邊形ABCD是菱形，.?.AB〃CD,

?.?ABO平面PCD,CDu平面尸C￡>,〃平面PCD,

?.?ABu平面ABE,平面ABEc平面尸CD=EF,

:.EF//CD；

(2)連接BD,取A。中點打，連接班/、EH,

菱形ABCD中，AB=AD,IB=60。，；△ABD是等邊三角形,

是AZ)中點，:.BH±AD,

?.?PZ）_L平面ABC。，囪/u平面ABC。，:.BH1PD,

PD>A￡）u平面PAD,PD[\AD=D,二皿，平面PAD.

ZBEH是直線BE與平面PAD的所成角，

是中點，PD=4啦，：DE=；PD=2及.

???PZ)_L平面ABCD,ADu平面ABCD,.?.P￡)，AD,

?.?H為A￡＞中點，?,.?DH=：AD=1,□△?！?/中，EH=《DE?+DH。=3,

,等邊△ABD中，高BH=

2

.?.RtJ5EH中，tanZBEH=—,

EH3

TTIT

可得NBEH=w，即直線8E與平面尸AD的所成角等于七.

O6

【變式33].（2324高二下?上海?期中）如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，M=3,此三棱柱的體積為,

尸為側(cè)棱AA上點，且AP=1,G、H分別為A3、4G的中點.

⑴求異面直線GH與PC,所成角的大小；

⑵求PG與平面所成角的大小.

【答案】（Darccos，犯

33

(2)45°

【分析】（1）取AP的中點尸，得到族〃PG，把異面直線GH與PG所成角轉(zhuǎn)化為直線GH與HF所成角,

在AaFG中，利用余弦定理，即可求解；

（2）取4用的中點E,證得平面A四＜得到NGPE為直線尸加與平面A網(wǎng)4所成的角，在直角

△PC/中，即可求解.

【詳解】（1）取4P的中點尸，連接印".FG,可得HF//PG，

所以異面直線G”與PG所成角，即為直線GH與叱所成角，

因為AP=1,正三棱柱的體積為66=5丫慚x3=fxA82x3,所以A2=2夜

在直角小7中，可得HF=小4/+產(chǎn)=J（可+F=73,

在直角AAFG中，可得尸G=JAG?+=4⑹2+*=巫,

取AC的中點M,連接在直角△GHM中，可得GHHGM?+HM。=舊,

在△加G中，由余弦定理得cosNGEm=與匕2=勺匡，

2V3xVll33

所以異面直線GH與PG所成角的大小為arccos勺空.

33

（2）取的中點E,可得GELATI，

在正三棱柱ABC-中，可得平面4用。1平面AB與4,

且平面A耳GC平面ABBA=A耳，可得C|E1平面ABB,A,,

所以NC/E為直線PG與平面ABB,所成的角，

在直角！4PE中，PE=1P2+4片=后，且C[E=",

在直角△C/E中，可得tanNC/E=^=l,所以NC/E=45。.

所以直線PG與平面ABBH所成的角為45。.

題型04證明線線平行的常用方法

【解題策略】

證明線線平行的常用方法

(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點.

(2)利用基本事實4:證兩線同時平行于第三條直線.

(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.

(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.

(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.

【例4】.(2425高二?上海?假期作業(yè))圖1是由正方形廠組成的一個等腰梯形，其中

AB=2,將AABE、ACD尸分別沿",CD折起使得E與尸重合，如圖2.設(shè)平面ABEc平面CDE=/,證

明：///CD；

【答案】證明見解析

【分析】首先利用線面平行的判定定理證明CD〃平面樨，進一步即可得證.

【詳解】因為CD//AB,ABu平面ABE,平面ABE,所以CD//平面ABE,

又CDu平面ECD,平面ABEc平面ECD=/,所以"/CD.

【變式41】(2324高二下?上海青浦?期末)如左下圖1,ABCP是水平放置的矩形，AC=2AB,將矩形ABCP

沿對角線AC折起，使得平面上4CL平面ABC,如右下圖2.設(shè)。是AC的中點，。是A尸的中點.

⑴求直線3。與平面APC所成角的大小；

(2)連接P3,設(shè)平面D3O與平面P3C的交線為直線/,求證：1//PC.

【答案】(嗚

⑵證明見解析

【分析】(1)過B作3"_LAC于H,連接￡羽，可得平面PAC,則NBDH為直線8。與平面PAC所

成角，解三角形即可求得直線80與平面B4C所成角的大??；

（2）由。是AC的中點，。是AP的中點，可得OCM/PC,則得00〃平面P3C,得DO//I,貝U//PC.

【詳解】（1）過8作于//,連接。H,

回平面R4C_L平面ABC,且平面PACPl平面ABC=AC,BH±AC,BHu平面ABC,

國即/_L平面PAC,EINWW為直線BD與平面PAC所成角，

B

SAC=2AB,不妨設(shè)AB=a,AC=2a,

將矩形ABCP沿對角線AC折起后，仍有AB，BC,AP，PC,

又。是AP的中點，

可得尸。=4,42=島,4。=也。,47/=4,

22

DH=yjAD*23+AH2-2AD-AH-cosZPAC=-,

2

n]BH

回在RtZXBZ汨中，BH=—a,DH=-a,tanZBDH=——=6,

22DH

71

/./BDH=—,

3

TT

團直線8。與平面PAC所成角的大小為§.

（2）是AC的中點，。是AP的中點，:.DO//PC,

又「PCu平面PBC,。00平面尸3。，，￡>0//平面尸2。，

又回平面DBOpI平面尸3C=/,。。匚平面加。，，。。/〃，

:.l//PC.

【變式42].（2023高二上?上海?專題練習(xí)）如圖，平面cc平面尸=/,PALa,PBL/3,垂足分別為A,

B,直線au平面a,aJ_AB.求證：a\\l.

【答案】證明見解析

【分析】利用"垂直于同一個平面的兩條直線平行"來證明.

【詳解】如圖：

^\PALa,lea,0PA±Z.

同理

^PAoPB^P,PA,尸3u平面上43,EI/_L平面％B.

又EIB4J_a,aua,^PA±a.

團a上AB,PA<^AB=A,PA,ABu平面P42,

Ela_L平面PAB.

【變式43］如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面ABC。是矩形，AB_L平面EW,AD=AP,E是尸。的中點,

M,N分別在AB,PC上，MMNLAB,MN_LPC.證明：AE//MN.

證明平面E4D,AEu平面BW,

：.AE±AB,

入AB//CD,：.AE±CD.

"：AD=AP,E是P￡>的中點，：.AE±PD.

XCDDPD=D,CD,POu平面PC。，

；.AE_L平面PCD.

'：MN±AB,AB//CD,J.MNLCD.

又,：MNLPC,PCPiCD^C,PC,CDu平面尸C￡),

MN1.平面PCD,/.AE//MN.

05強化訓(xùn)練

選擇題

1.（2023秋?嘉定區(qū)校級期中）已知直線機，〃和平面口，〃ua,則“機//〃"是"機//a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理可得：直線機，〃和平面c,nua,貝I“加//〃”與“帆//?！?/p>

相互推不出.即可判斷出關(guān)系.

【解答】解：直線w和平面a,〃ua,則"右〃""與相互推不出.

“m"n"是“m"a”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點評】本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

2.（2023秋?普陀區(qū)校級期中）在正方體A38-A4C2的底面A4C2內(nèi)有一點〃，且BM//平面AD。，

則tanZDtDM的最小值是（）

A④R④r1門口

A.o.C.1D.V2

42

【分析】由已知可得MeAG，由此可得最值.

【解答】解：設(shè)正方體棱長為1,因為BM//平面A，C,可得點〃在過3點，

且與平面AjC平行的平面上，即點M在平面AGB上，

又因為點M是底面4耳￡2內(nèi)一點，

也

所以A/wAG，所以

1

DDX12

則tan河的最小值是1.

故選：B.

【點評】本題考查線面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022秋?長寧區(qū)校級期中）下列四個正方體圖形中，A、B、M、N、P分別為正方體的頂點或其所

在棱的中點，能得出AB//平面肱VP的圖形是（）

AM

【分析】由直線與平面的位置關(guān)系對選項逐一判斷.

【解答】解：對于A,由題意得ACV//AC,NP//BC,而叫［NP=尸，ACp|BC=C,

"Pu平面NPu平面MAP,ACu平面BC,BCu平面ABC,

故平面的VP//平面ABC,而Afiu平面ABC,故AB//平面MVP,故A正確；

對于3,取的中點。，底面中心O,則NO/A43,故至與N。相交，故3錯誤；

對于C,MB//NP,故平面M?VP,則ABC平面肱VP=3,故C錯誤;

對于￡),作平行四邊形MNP。，則鉆與M。相交，故D錯誤.

p

【點評】本題考查了空間中線面位置關(guān)系，考查了推理能力，屬于中檔題.

二.填空題

4.（2023秋?松江區(qū)校級月考）已知a,b為兩條不同的直線，a為一個平面，且?！╝,bua,則直線a與

b的位置關(guān)系是平行或異面.

【分析】根據(jù)線面，線線關(guān)系判斷即可.

【解答】解：：a〃a,bca,

和b沒有公共點，

--a,6平行或異面.

故答案為：平行或異面.

【點評】本題考查了線線，線面關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

5.（2023秋?普陀區(qū)校級月考）設(shè)常數(shù)a>0.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,AD=a,尸￡>_L平面ABCD.若

線段AB上存在點。，使得尸QJLCQ,貝州的取值范圍是

【分析】根據(jù)PD，平面ABCD，得POJLCQ,若線段AB上存在點。，使得PQLCQ,則有CQ1平面PDQ,

從而得C。，。。，再根據(jù)勾股定理，即可求得符合條件的。的范圍.

【解答】解：設(shè)AB邊上存在點Q,使得尸Q_LQC,連結(jié)。Q,

由2。_1面458,%PD1QC,又尸?！竱尸。=尸，

所以。C,面PZJQ,則QC，。。，

設(shè)AQ=尤，則BQ=l-x,￡>Q=5/1+12@=J/+（]-x）2,

在RtAQDC中，WDQ2+CQ2=CD2,§Pa2+x2+a2+（l-x）2=1,

整理得2f-2x+2a2=0,△=4-16",

當(dāng)△=4-16/<0,即。>工時，無解，此時。點不存在；

2一

當(dāng)△=4—16/=0,即時，解得x=g,此時。點為AB中點；

11+J1-4〃2

當(dāng)△=4—16/>0,即0<〃<：時，解得xJ-Y；M,此時。點有兩個；

綜上，當(dāng)PQ_LCQ時，a的取值范圍是（0,g].

故答案為：（0,f.

p

【點評】本題考查線面垂直的定義、性質(zhì)及判定的綜合運用，屬基礎(chǔ)題.

6.（2023秋?浦東新區(qū)期末）已知正方體488-4耳￡2，點尸為線段耳D上的點，則滿足弓尸，平面

用的點P的個數(shù)為1.

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及在一個平面內(nèi)過一點作已知直線的垂線的唯一性可得結(jié)果.

【解答】解：如圖，

在正方體ABCD-44Gq中，BB[_L面aqGR,

所以平面BDDE±面ABCR,且平面BDD}B}C面A4GR=BR,

連接AG交耳R于尸，則有即

由面面垂直的性質(zhì)定理有。|尸_1_平面BDDR,

又在平面aqGR內(nèi)過點G作直線4R的垂線有且僅有一條，

故垂足點尸有且僅有一個.

故答案為：1.

【點評】本題考查空間位置關(guān)系的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.（2023秋?松江區(qū)校級月考）已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，AABC滿足AB=1,BC=g,

AC=2,若S4_L平面ABC,則S4=_2百

【分析】易得AB_L8C，以A5,BC,SA為長寬高作長方體，則長方體的體對角線SC即為三棱錐S-ABC

外接球的直徑，再利用勾股定理即可得解.

【解答】解：由AB=1,BC=43,AC=2,

AB2+BC2=AC2,

所以AB_L3C,

又S4_L平面ABC,

如圖，以BC,SA為長寬高作長方體，

則長方體的體對角線SC即為三棱錐S-ABC外接球的直徑,

即SC=4,

所以SA=y/sC2-AC2=716-4=2-J3.

故答案為：2』.

【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，棱錐的體積，屬于中檔題.

三.解答題

8.（2023秋?普陀區(qū)校級期中）如圖，在直三棱柱ABC-A媯G中，已知AB=3C=2,BB、=3,ABLBC,

。為AB的中點.

（1）求異面直線BG與DC所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；

（2）求證：3￡//平面4<7￡）.

B

【分析】（1）利用余弦定理即可得；（2）結(jié)AG，交AC于點O,連結(jié)OD,先證明線線平行,即可得線面

平行.

【解答】（1）解：如圖，取4片的中點連結(jié)0。，DXB,DG，

由ORGC是平行四邊形知OG//OC,

則（或其補角）就是異面直線CD與8C1所成的角.

在△G8R中，BDI=JB耳+垃療=

2

BQ=《B母+B[C：=J32+22=屈,m=1cl+4〃=，2?+心=百,

BC；+D?-BD；13+5—104^65

則cosZD|C；B=

2xBC]xDC2x^5xy/1365

4A/65

所以異面直線BC,與8所成角的大小為arccos-------.

65

（2）證明：如圖，連結(jié)AG，交AC于點O,連結(jié)OD.

因為四邊形A4CG為矩形，所以。為AC中點，

又因為。為鉆的中點，所以00//8C],又因為ODu平面ACD,

8cl仁平面ACD,所以BG//平面ACD.

【點評】本題考查異面直線所成的角，考查線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2023秋?黃浦區(qū)校級月考）（1）請用符號語言敘述直線與平面平行的判定定理；

（2）把（1）中的定理用反證法證明；

（3）如圖，在正方體AB8-A4CQ]中，點N在比）上，點M在B|C,S.CM=DN,求證：MN//平面

4A耳3（用（1）中所寫定理證明）

【分析】（1）利用數(shù)學(xué)語言寫出已知，求證;

(2)作出圖形，假設(shè)“與a不平行，則它們相交，推出?！竱c=4矛盾，證明出結(jié)論;

(3)作出輔助線，得到四邊形MERV是平行四邊形，得到線線平行，可得線面平行.

【解答】解：(1)aUa,bua,allb,則a//<2.

(2)如圖所示，證明：

設(shè)交點為A,那么Aea,不在6上，

在a內(nèi)過A作c//6,貝！=

又,：allb,cllb,:.a//c,與a0|c=A矛盾，二假設(shè)不成立，alia.

(3)證明：如圖，作■MEIIBC,交叫于點E,作NFV/A。，交AB于點/，連接EF,

因為在正方體A5CD-A4G2中，CM=DN,B°=BD,

BN

所以印0=M?,則蟠="

BCADBD

因為所以ME=NF,

又MEIIBC,NF//AD,貝(JME7/NF,

所以四邊形MEFN是平行四邊形，

所以MN//EF,又MNC平面用月臺，EFu平面的48,

所以MN//平面A4,用8.

【點評】本題考查線面平行的判定和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2024春?嘉定區(qū)校級期末)如圖，在正方體A8C￡)-4BiCiDi中,

(1)求證：AB〃平面4OC21；

（2）求直線AiB與BiC所成的角的大小;

（3）求證：2。_1平面4。。81.

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可證；

（2）根據(jù)異面直線所成角定義求解；

（3）根據(jù)線面垂直的判定定理可證.

【解答】（1）證明：因為在正方體A8CQ-4B1C1D1中，可知AB〃Ai8i,

而ABC平面A1DC81,481U平面4DC21,

所以A2〃平面4OC81；

在正方體ABC。-A121GD