專題07 一元二次方程根的分布問題（3大壓軸考法）原卷版-2024-2025學年人教版高一數(shù)學壓軸題攻略

專題07一元二次方程根的分布問題

注意：本節(jié)專題提前涉及到第三章的部分簡單概念

目錄

解題知識必備.....................................

壓軸題型講練........................................................4

題型一、一元二次方程根的零分布.............................................4

題型二、一元二次方程根的k分布.............................................5

題型三、一元二次方程根在區(qū)間上的分布......................................6

壓軸能力測評（9題）6

X解題知識必備2

一、二次函數(shù)相關(guān)知識

對于形如丁=辦2+次+c（aw。）的二次函數(shù)，有以下性質(zhì)：

—77+J/72—4/7「

1、判別式：A=b2-4ac；求根公式：x="；

2a

、、bc

2、韋達定理：玉+=---，XyX2=一；

aa

3、二次函數(shù)對稱軸%=—--,定點坐標（——?——-一--）.

2a2a4ac

二、一元二次方程的根的基本分布——零分布

所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系.比如一元二次方程有一正根，有一負根,

其實就是指這個一元二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè).

A=Z?2-4ac>0

b八

1、方程有兩個不等正根和％O<Xj+々二-->0

a

xx=—>0

x2a

A=Z?2-4ac>0

b八

2、方程有兩個不等負根石,看。<%+“2=-------<0

a

c

xx=—>0

{2a

3、方程有一正根和一負根，設(shè)兩根為％,兀2O%1兀2=￡<0

a

三、一元二次方程根的k分布

兩根都小于左即兩根都大于4即一根小于左，一大于女即

分布情況

xx<k,x2<kxx>k.x2>kx1<k<x2

yk1y八U/

k

\L

大致圖象（4>0）TF7^

rrx

A>0A>0

上〉

得出的結(jié)論k/W<0

2a2a

J㈤〉0J⑻〉0

hu

大致圖象（?<0）

TTrvTTr

A>0A>0

一上〉

得出的結(jié)論Lkk/W>o

2ala

f（%0/（左）<0

A>0A>0

綜合結(jié)論

-2<k-2〉左

<<a-/（左）<0

（不討論a）2ala

a"（左）>02-f（k）>0

四、一元二次方程根在區(qū)間的分布

根的分布圖像限定條件

L

1A<0

mnx

01

A=0

xx=x2<m

或％=x>m

1/.\/2

0mnx

A>0

在區(qū)間內(nèi)二b

?-----<m

2a

沒有實根4f(m)>0

A>0

b

?----->n

la

/(?)>0

mn\x

rf(m)<0

\Fmn[fW<0

7(m)>0

[fW<o

o^

在區(qū)間（m,ri）內(nèi)

有且只有一個實根y

JW>0

\y

A>0

b

在區(qū)間內(nèi)m<-----<n

la

有兩個不等實根\JA>0

??壓軸題型講練??

【題型一一元二次方程根的零分布】

一、多選題

1.（23-24高一上?山西太原?階段練習）已知關(guān)于x的方程必+?+0+3=0,貝I（）.

A.當a=2時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

B.方程無實數(shù)根的一個充分條件是-2<。<4

C.方程有兩個不相等的負根的充要條件是“>6

D.方程有一個正根和一個負根的充要條件是a<-4

二、填空題

2.（23-24高一上?北京?期中）已知方程｝2+（："-2）X+%=0有兩個不相等的正根，則實數(shù)機的取值范圍

是.

三、解答題

3.（24-25高一上?上海?課堂例題）已知方程V+4mx-4-12:r=0.

（1）若關(guān)于機的方程總有實數(shù)解，求x的取值范圍；

（2）求證：無論加取何實數(shù)，關(guān)于x的方程無2+4〃吠一4-12］，=0必有互異實數(shù)根.

4.（23-24高一上?山東濰坊?階段練習）關(guān)于龍的方程中2+x+l=0至少有一個負實根，求。的取值范圍.

5.（23-24高一上?山東臨沂?期末）已知關(guān)于x的不等式,2-2人-3卜?+（4+1）尤+1>0僅eR）的解集為M.

（1）若〃=R,求上的取值范圍；

⑵若存在兩個不相等負實數(shù)a,b,使得M=或x>6},求實數(shù)上的取值范圍.

6.（23-24高一上?河南?階段練習）已知士,々是一元二次方程（4K+1）1-（4左+l）x+1=0的兩個不相等的實

數(shù)根.

（1）若兩根同號，求實數(shù)上的取值范圍；

（2）求使得*+學+4的值為整數(shù)的整數(shù)k的值.

【題型二一元二次方程根的k分布】

一、填空題

1.（23-24高一上?江蘇連云港?階段練習）已知方程元2-26+〃一4=0的一個實根小于2,另一個實根大于

2,求實數(shù)。的取值范圍___________.

2.（23-24高一上.重慶?期末）關(guān)于x的一元二次方程尤2+（4-1卜+。-2=。有一個根小于-I,另一個根大

于1,則。的取值范圍是.

3.（2023高一?全國?課后作業(yè)）關(guān)于工的方程/一〃尤+1=0的兩根均大于1,則實數(shù)。的取值集合為.

二、解答題

4.（23-24高一上?江蘇南京?階段練習）已知命題pJxeR,尤2_^+140.

（1）若P為真命題，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵命題4：關(guān)于尤的一元二次方程幺+（。-1卜+。-2=0的一根小于0,另一根大于3,若P、4至少有一個

是真命題，求實數(shù)。的取值范圍.

5.（22-23高一上?全國?單元測試）已知關(guān)于x的方彳2-2%+a=0.當。為何值時，

⑴方程的一個根大于1,另一個根小于1?

⑵方程的一個根大于一1且小于L另一個根大于2且小于3?

【題型三一元二次方程根在區(qū)間上的分布】

一、單選題

1.(22-23高一上?江蘇揚州?階段練習)已知一元二次方程/-小久+1=0的兩根都在(0,2)內(nèi)，則實數(shù)加的

取值范圍是()

A.(2,|JB.2,|JC.(-8,-2]」2,tD.(一e,-2]u(2,|J

二、填空題

2.(23-24高一上?江蘇南京?階段練習)設(shè)機為實數(shù)，若二次函數(shù)》=/-彳+m在區(qū)間(-8，1)上有兩個零點，

則機的取值范圍是.

三、解答題

3.(23-24高一上?浙江寧波?階段練習)已知函數(shù)/(XX/+ZS+ZK+H-L

(l)/(x)=0有兩根X”尤2，且無1＜。＜無2，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)/(尤)=0有兩根再,馬,且-4＜玉＜Z＜。，求實數(shù)。的取值范圍.

4.(23-24高一上?天津南開?期中)已知函數(shù)/(了)=(4+1*-ax+a-l(aeR).

⑴不等式〃x)＜0的解集為0，求。的取值范圍；

⑵若函數(shù)的兩個零點在區(qū)間(-U)內(nèi)，求。的取值范圍.

5.(2023高三?全國?專題練習)關(guān)于x的方程f+(w_3)x+〃?=0滿足下列條件，求機的取值范圍.

(1)有兩個正根；

(2)一個根大于1,一個根小于1；

(3)一個根在(-2,0)內(nèi)，另一個根在(0,4)內(nèi)；

(4)一個根小于2,一個根大于4；

(5)兩個根都在(0⑵內(nèi).

”壓軸能力測評“

一、單選題

1.(2024高三,全國?專題練習)關(guān)于元的方程+(Q+2)X+9〃=0有兩個不相等的實數(shù)根4/，且玉＜1＜xi，

那么。的取值范圍是()

c2

B.ci>一

5

22

C.ci<—D.-----<Q<0

711

二、填空題

2.（22-23高一上?北京?期中）已知關(guān)于了的方程x2+2（a+2）x+/-l=0有一個正根和一個負根，則實數(shù)。的

取值范圍為.

3.（23-