利用結(jié)構(gòu)相同函數(shù)解題-高考數(shù)學復習壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題15利用結(jié)構(gòu)相同函數(shù)解題

【方法點撥】

1.一個方程中出現(xiàn)兩個變量，適當變形后，使得兩邊結(jié)構(gòu)相同；或不等式兩邊式子也可適

當變形，使其兩邊結(jié)構(gòu)相同，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性把方程或不等式化簡.

2.同構(gòu)的基本策略是：“左右形式相當，一邊一個變量，取左或取右，構(gòu)造函數(shù)妥當”.

【典型題示例】

例1(2022?江蘇蘇大考前指導卷)已知a>Z?〉0,且。<匕+山區(qū)成立，則()

b

A.a<\B.a>lC.0<Z?<lD.a>b>\

【答案】C

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)求得正確答案.

【解析】依題意，a>b>0,a<b+ln-.a-b<]na-\nb,a-]na<b-kib,

b

1y_1

構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-ln%(x>0),/(x)=1——=----,

所以/(%)在區(qū)間(0,1)J(x)<0J(x)遞減；在區(qū)間(l,+8),/'(x)>0J(x)遞增.

若則/(〃)>/(6)，a-lna>b-lnb,不符合題意.

若則/(〃)</(》)，a-]na<b-]nb,符合題意，

若〃>1>人>0,此時對任意人￡(0,1),/(力二/0)有兩個不同的實數(shù)根瓦毛,

則存在/>a>l>b>0,使“〃>人>0且〃<b+ln2”成立.

b

對任意ae(1+8),〃％)=/(。)有兩個不同的實數(shù)根。,再，

則存在。<〃<%i<l<a,使“a>/?〉0且a<b+ln@”成立.

b

綜上所述，0<匕<1

故選：C

例2(2022險國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇蘇州選拔賽?7)若關(guān)于x的不等式In(依)+axWx+e*

恒成立，則實數(shù)a的最大值為.

【答案】e

【分析】關(guān)于X的不等式ln(ax)+axWx+eX恒成立，即關(guān)于x的不等式

In(砒)+e"3)Wx+e”恒成立，則ln(ar)Wx,即ox?e'，分a=0,a<0,a>0三種情

況討論，分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，從而可得出答案.

【解析】關(guān)于x的不等式ln(ox)+axWx+eX恒成立，

即關(guān)于x的不等式ln(0c)+eW⑹Wx+e*恒成立，

因為函數(shù)丁=x+e"為增函數(shù)，

所以ln(ax)Wx,所以oxWe,，

X

當。=0時，In(?)無意義，故〃。0；當avO時，則％<0,則—，

x

令/(%)=、(％<。),則/'(x)=e(11)<0(元<0),

XX

所以函數(shù)/(力在(-8,0)上遞減，

當XT■-00時，一，所以。之0,與"0矛盾，所以"。舍去，

當?！?時，則aW巨，

X

令//(%)=J(x〉0),則〃(x)=e(：

%X

當0<%<1時，//(%)<0,當％>1時，〃(x)>0,

所以函數(shù)人⑺在(0,1)上遞減，在(L+8)上遞增，

所以MxLnnMDne，

所以0<aWe,

綜上所述，0<aWe,

所以實數(shù)。的最大值為e.

故答案為：e.

點評：利用同構(gòu)得出axWe"后，由函數(shù)圖象則易得0<aWe,故實數(shù)。的最大值為e.

JI

例3（2022?江蘇南通一模）已知a,p均為銳角，且2+力-萬>sin力一cos1,

則

A.sina>sin用B.cosa>cos/?

C.cosa>sinD.sina>cos/3

【答案】D

JIJI(兀、

【解析】a+p--->sin〃-cosa,/?-sin>----a-sin---a

12

227、

令/(x)=%-sin%,xe0,—,/,(%)=l-cos%>0,/(%)在0,—/

、27)I2,

B>---a,cosp<cos---a,二cos尸<sina,選D.

2(2)

例4（2021?江蘇新高考適應性考試?8）已知a<5且/=5e",b<4且左4=4亂c<3

且ce3=3e°,則（）

/X.c<b<aB.b<c<ac.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

a5ebe4e，e3

【解析一】往結(jié)構(gòu)相同方向變形，將已知變形為一e=一e,—,—=-

a5b4c3

設(shè)函數(shù)/（x）=《，則/'（%）=宜羋

XX

所以/（x）在（0,1）上單減，在（L+o。）上單增

所以/(3)<〃4)<_/(5),/(c)</(/2)</(?),所以a<0<c.

設(shè)函數(shù)/(x)=x-lnx,貝！|/'(x)=l

x

所以/(x)在(0,1)上單減，在(1,+0。)上單增

所以/(3)</(4)</(5),/(c)</(&)</(?),所以a<〃<c.

例5已知實數(shù)。，。滿足3"+。=7,陶W+1+6=2,貝|a+36=.

【答案】16

【解析】令logs班訂T=c,則6=g(3%-l),代入log3M36+1+b=2可化為

e+|(33c-l)=2,即33。+3c=7

設(shè)f(x)=3，+x-7,則/(x)=ln3-3"+l>0,/(元)在R上單增

故/(x)=3'+x-7=0只有一個零點

所以a=3c,即3log3W36+1=a,3"=36+1

所以a+3“=a+3"-l=7-l=6.

例6已知函數(shù)F(x)=3-3T,/(I-2log3t)+f(3log3r-1)>log,/,則f的取值范

3

圍是.

【答案】工也)

【分析】這里可以發(fā)現(xiàn)log「=—log；=(21og；—1)—(31og；—1),將

3

/(I-2log31)+/(31og3t-l)>loglt移項變形為

3

f

/(31og3?-l)+(31og3-l)>(21og；+l)-/(l-21og31),易知f(x)=3'—3-x是奇函數(shù)，

,

-/(l-21og3Z)=/(21og3+l)，故進步變形為

/(31og3r-l)+(31og3r-l)>/(2log3r-l)+(21og3?-l),此時，得到一個“左右形式相當,

一邊一個變量”的不等式，令/(%)=/(%)+無，問題轉(zhuǎn)化為尸(3logs'—1)2尸(2log；—1),

只需研究b(x)=/⑴+%的單調(diào)性，逆用該函數(shù)的單調(diào)性即可.

【解析】：log；=—log；=—(1—2log；)-(3log；—1)

3

/(l-21og3f)+/(3logs/-1)2log】t可變形為：

3

f,

/(31og3/-l)+(31og3-l)>(21og3-l)-/(l-21og3l)

：/(x)=3￡—3-x是奇函數(shù)

r

.?.-/(l-21og3r)=/(21og3-l)

A/(31og3?-l)+(31og3Z-l)>/(21og3?-l)+(21og3r-l)

令F(x)=f{x)+x=3x-3-x+x,貝UF'(x)=ln3-3，+ln3-3T+l>0

F(x)單增

?,

.,.31og3-l>21og3-l,即logs'NO,解之得

所以t的取值范圍是［1,+8).

5

例7已知實數(shù)X1,%滿足再泊=/,^(lnx2-2)=e,則%/=.

【答案】e5

【分析】由已知條件考慮將兩個等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令111々-2=/,%=d+2,得到

td=S，研究函數(shù)/(x)=xex的單調(diào)性，求出國1關(guān)系，即可求解.

5

［解析一1實數(shù)須，/滿足中為=/,x2(lnx2-2)=e,

2,+23

xl>0,x2>e,Inx2-2=/>0,x2=e,則m=e，

f(x)=xd(x>0),/'(x)=(x+l)ex>0(x>0),

所以在(0,+8)單調(diào)遞增，而/(芭)=/?)=e3,

5

x1=t=lnx2-2,:.xxx2=x2(ln%2-2)=e.

【解析二】對x?"=e3兩邊取自然對數(shù)得：In%+芯=3,

對42(lnX2-2)=/兩邊取自然對數(shù)得：ln^+ln(lnx2-2)=5(:※)

為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將(※)進一步變形為：(In%—2)+In(In%—2)=3

設(shè)/(x)=lnx+x,則/>'0)=工+1〉0

x

所以〃龍)在(0,+8)單調(diào)遞增，/(?=3的解只有一個.

5

％=ln%2—2,=(lnx2-2)x2=e

點評:兩種解法實質(zhì)相同，其關(guān)鍵是對已知等式進行變形，使其“結(jié)構(gòu)相同”，然后構(gòu)造函數(shù),

利用函數(shù)的單調(diào)性，利用是同一方程求解.

【鞏固訓練】

1.若2"+log2a=4"+210g46,貝U()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

2.若2%-2,v3T-3一L則()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(^-x+l)<0C.In|x-y|>0D.In|x-y|<0.

3.(多選題)已知對任意x,yG(0,2),(%-1)3-3y2(l-y)3+3x-6恒成立,貝！J

149

A.%+y》2B.—d——2—

xy2

C.f+3盯W4D.，2x+l+J2y+1W2A/^

4.如果cos5e-sin50<7(cos38-sin3。)，，e[0,2])，則。的取值范圍是.

Qin

5.不等式^^工+，-一X3一5x〉o的解集是____________.

(x+l)3X+1

6.已知de[0,2%),若關(guān)于k的不等式Jsin》-JcosG上去,!?O-cos^6)在(-oo,-2]上恒成立,

則6的取值范圍為.

004

7.已知實數(shù)〃，〃￡(0,2),且滿足4=?-2"-4b,則〃+b的值為.

8.設(shè)方程兄+2"=4的根為優(yōu)，方程x+log2*=4的根為〃，貝iJm+〃=.

9.已知3。2+5〃=1,。3—3/+55=5,那么的值是.

10.不等式f—(x+2尸+X2<X，—(%+2)2+X+2的解集是.

11.若當滿足2%+2*=5,%滿足2x+21og2(x—1)=5,xi+x2=()

57

A.—B.3C.—D.4

22

12.已知實數(shù)a,/?G(\/2,+8),且滿足一^^->In—,則a,b,的大小關(guān)系

aba

是.

13.已知關(guān)于X的方程2，"-2m=-丁+如_1在區(qū)間[g,3]上有兩個不相等的實數(shù)根，則

實數(shù)。的取值范圍為.

14.已知a,b,ce(0,1),且/一2Ina+1=e，Z?2-2In/?+2=e2,

/—21nc+3=/其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bX）.c>b>a

15.已知xlnx=2021,xe，=2021的根分別為須，/，則下列關(guān)于石、々的式子中等于

2021的是（）

西

X1+%22

A.B.X]一%c.X[X2D.—

16.若方程3工+9x=36，X+log3*=2的根分別為王，％2，則再+%2=.

eaeb+1+1

17.（2022?南京零模復習卷?8）已知a〉l,b>l,且J=------,則下列結(jié)論一定正

ab+1

確的是（）

A.ln（a+Z?）>2B.ln（?-Z?）>0C.2fl+1<2bD.2fl+2fo<23

18.（2022?江蘇金陵中學?網(wǎng)課質(zhì)檢卷?7）已知a+2"=2,6+3）=2,則句ga與alg。的大

小關(guān)系是

A.blga<algbB.blga=algbC.blga>algbD.不確定

19.（2022?江蘇南京零模?8）已知a,Z?,ce（0,1）,且

a2-2In?+1=e,b2-2In/?+2=e2,c2-2Inc+3=e3,其中e是自然

對數(shù)的底數(shù)，則

A.a>b>cBa>c>bQc>a>bc>b>a

【答案與提示】

1.【答案】B

2b2Z，

【解析】：4"+2log4b=2+log4b-=于。+log2^=2+log22Z7-1

bb

/.2a+log2a=2~+log22b-l,故2"+log2a<2~+log22b

設(shè)/(元)=2*+地2%,則f(x)為增函數(shù),

所以/(a)</(2b),所以。<26

fl22

/(?)-/(/)=2+log2a”+log2b)=22〃+log2。―(2戶+log2b)=

2fcfc2

2-2-log2Z?，

當辦=1時，/(a)-/(Z72)=2>0,此時/(。)>/(。2),有口>/?

當b=2時，/(a)—/(")=—1<0,此時/伍)</(/),有4<匕2,所以c、D錯誤.

故選B.

2.【答案】A

【分析】將已知2:2〉<3-*-37按照“左右形式形式相當，一邊一個變量”的目的變形，

然后逆用函數(shù)的單調(diào)性.

【解析】由2-v-2〉<3-x—37移項變形為2X-3T<2y-37

設(shè)，(x)=2-3一，

易知/(x)是定義在R上的增函一數(shù)，故由3-'<2'—3一>,可得x<y,所以

y-x>O=>y-x+l>l,從而ln(y-x+l)>0,故選A.

3.【答案】BD

(X-1)3-3y2(1-4+3]-6可變形為(％-以-3(%-1)^(1-y)3-3(1-y)

設(shè)/(%)=)3-3x(X€(-1,1)),則fr(x)=3x2-3<0,f(x)是奇函數(shù)且在%￡(-1,1)單減

所以x-lWl-y,故0<x+y<2,排除A.

22

對于'由權(quán)方和不等式有▲1+4匕I+土2=9=，故B正確.

xyx+y2

319

對于C,當％=—,y=—時，x2+3xy=—>4,不成立.

222

對于。，(缶+1+J2y+1j=(2%+1)+⑵+1)+2狀2%+1)⑵+1)

工(2%+1)+(2y+1)+[(2x+1)+(2y+1)]K12,所以J'2%+1+J2y+1W2^/^,故D正確.

4.【答案】(J,苧)

44

［提示】變形為cos56?-7cos3e<sin5。一7sin，0

5.【解析】原不等式可化為：［:一］+5.二—>9+5%

\x+lJx+1

構(gòu)造函數(shù)/（九）=3+5無,貝?。o）=3/+5>0,/（幻在R上單增

2a

所以---->x,解之得x<-2或-1<無<1

X+1

所以原不等式解集是{%上<—2或-1<%<1}.

6.【答案】L-

_4_

【分析】本題的實質(zhì)是含參數(shù)e（這里當然是sme、cose）的不等式恒成立問題，應抓住

已知條件Jsin。-Jcos。W^（sin3"cos*）的對稱結(jié)構(gòu),構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性

布列不等式.

【解析】看至！J倔?萬—cos3s想“對稱結(jié)構(gòu)”，將它變形為：

左sin，0—Jsin，>A:cos30—Jcos9,

3i

設(shè)/（x）=kx-4xff\x）=3kx——

易知當上e（-8,-2］時，f'（x）=3kx2一一1=<0,故/（尤）在［0,+oo）單減，

2^1x

sin0<cos。

所以Isinezo,解之得：oweW工

4

cos^>0

所以e的取值范圍Jo,工.

_4_

7.【答案】2

［分析］將/2_/_4=卷_2。_44化為：/+2。=（2—。）2+22e設(shè)/⑺="+2"

則〃龍）在（0,2）上遞增，由〃a）=〃2-b）,得a+b的值.

【解析】由。2—4=^—2"—4。，化簡為：/+2。=22->+S—2）2,即

tz2+20=(2-&)2+22-\

設(shè)/(X)=Y+2，，則在(0,2)上遞增,因為a,be(0,2),所以設(shè)6e(0,2),

且/(a)=/(2—b)，所以a=2—b,即a+〃=2.

8.【答案】4

9【答案】2

【解析】由題意知爐—3CZ2+5CI—3=-2,b3―3fe2+5￡>—3=2,

設(shè)則/(。)=-2,f(b)=2.

因為/(尤)圖象的對稱中心為(1,0),所以a+b=2.

點評：本題的難點在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性，對于三次函數(shù)/(無亞=加+加+cx+d其對稱中

心為(尤o,/(xo)).其中r'(xo)=O.

10.【答案】[—1,2]

【分析】直接解顯然是不對路的.觀察不等式的特征，發(fā)現(xiàn)其含有(x+2)、x兩個因式，將

不等式轉(zhuǎn)化為“一邊一個變量”的形式為：

X6-X4+X2<(x+2)3-(X+2)2+(X+2),構(gòu)造函數(shù)/(X)=尤3-爐+X,題目

轉(zhuǎn)化為求解/(x2)</(尤+2)的問題.因為/'(尤)=3/_2x+1,易知

/'(無)=-2尤+1>0恒成立，故/(%)為火上的單調(diào)增函數(shù)，所以由

/(x2)<于(x+2)立得：x2<x+2,解之得—1<x<2.

11.【答案】C

12.【答案】a>\[ab>b

…一.11,b11,,,11,,

【提不】——一7>ln—=>——一->lnb-lna=^—+lna>—+lnb

a'b'aa"b"a~b'

構(gòu)造函數(shù)/(x)=±+lnx,單增.

13.【答案】(2,1

【解析】因為方程2，％一2口=-爐+1,所以變形為2'%+，+1)=2"+"，

令/(0=2'+r,則有f(x2+1)=f{ax),

因為/⑺=2,+f在R上單調(diào)遞增，所以/(爐+1)=/(詞即為/+1=辦，

故當xed,3］時，三+1=辦有兩個不相等的實數(shù)根，

2

3'啜女6

2-2x1

?2-4>0

△>011，解得2$，

在了2+1一依二。中，則有＜即

----6/+1..02

.042

9-3ci+1..0

［八々..U'

所以實數(shù)。的取值范圍為(2,3.

14.【答案】A

【解析】設(shè)/(x)=X2—21nx,g(x)=e、—x,則〃a)=g(l),/?=g⑵,〃c)=g(3),

又g<%)=e*—l