江蘇省南京市2025屆高三調研考試數學試卷（含答案）

江蘇省南京市2025屆高三學業(yè)水平調研考試

皿「，、憶\_rx、/▲

數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合A=｛（久,〉）忱2+y2=4｝,B=｛（x,y）|y=2cosx｝,則的真子集個數為（）

A.5個B.6個C.7個D.8個

2.在復平面內，復數z對應的點Z在第二象限，則復數總對應的點ZI所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某考生參加某高校的綜合評價招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根據考生表現給出得

分，分數由低到高依次為：76,a,b,80,80,81,84,85,若這組數據的下四分位數為77,則該名考

生的面試平均得分為（）

A.79B.80C.81D.82

4.utan2a=是"皿=11”的（）

4tana

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.若單位向量五萬滿足位，力=120。,向量才滿足（？—砂，C—3），則日亮+3亮的最小值為（）

A^3-1B.子D.竽

A-

6.設數列｛a九｝的前ri項和為%,已知臼=:，a九+i=J7］，若S2024c（k—1,k）,則正整數k的值為（）

NCt/iiJ.

A.2024B.2023C.2022D.2021

7.已知雙曲線C:/-3=i,在雙曲線C上任意一點P處作雙曲線C的切線（%,>0,%>0）,交C在第一、

四象限的漸近線分別于4、B兩點.當SA°P4=2時，該雙曲線的離心率為（）

A.Vl7B.3<2C.719D.2<5

8.在團ABC中，4<B<C且tan4tanB,tanC均為整數，D為2C中點，則黑的值為（）

DU

A.iB.年C.苧D.1

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.如圖，棱長為2的正方體4BCD-4/心。1中，E,F分別是的中點，點P為底面力BCD內（包括

邊界）的動點，則下列說法正確的是（）

DyC.

A.過B,E,F三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形

4fFA/k\----71

B.存在點P,使得GPL平面BEF

C.若點P到直線BBi與到直線4D的距離相等，則點P的軌跡為拋物線的一部分后葭以''、、II

D.若直線。止與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為年J'，

10.芯片時常制造在半導體晶元表面上.某企業(yè)使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智

能檢測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經篩選的芯片進入流水線由工人進

行抽樣檢驗.記力表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經人工抽檢后合格”.

改進生產工藝后，這款芯片的某項質量指標f服從正態(tài)分布N(5.40,0.052),現從中隨機抽取M個，這M個芯

片中恰有m個的質量指標f位于區(qū)間(5.35,5.55),則下列說法正確的是()(參考數據：

(7)?0.6826,P(〃—3cr<f<〃+3<7)x0.9974)

A.P(B|A)>P(B)

B.P(AfB)>P(X|B)

C.P(5,35<q<5.55)?0.84

D.P(m=45)取得最大值時，M的估計值為54

11.麥克斯韋妖("中他〃罪師071),是在物理學中假想的妖，能探測并控制單個分子的運動，是第二類永

動機的一個范例.而直到信息嫡的發(fā)現后才推翻了麥克斯韋妖理論.設隨機變量比所有取值為1,2,

n,且尸(久=i)=4>0(i=1,2,…，n),Yi=ipi=1>定義X信息嫡HQr)=之iPMo^Pi，則下列說法正

確的是()

A.當n=1時，H(x)=0

B.當n=2時，若Pte則”(x)與A正相關

C.若R=P2=舟,Pk+1=2Pk也>2,kEN),則H(x)=2-6

D.若n=2a,隨機變量y的所有可能取值為1,2,m,且P(y=/)=弓?+「28+1-/0=12…，6)，貝I

H(x)>H(y)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在正四棱臺4BCD-&B1C1D1中，AB=4,ArBr=2,AA1=2/2,則該棱臺的體積為.

13.已知拋物線y2=4x與拋物線比2=4y在第一象限的交點為點4,拋物線y?=4x與直線x-ey-e2=

0(e為自然常數)在第四象限的交點為點B,點。為坐標原點，貝帆。4B的面積為.

14.已知函數/(x)滿足/(一1一x)+/(x)=—7,且/[/(%)+7或+3_XT+2]=—4,則

/(2024)=.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數/'(K)=—|x3+bx2+ex+be.

(1)若函數/(x)在x=1處有極值-，求b,c的值；

(2)若函數g(x)=/(x)-c(x+b)~2在％G[4,+oo)內單調遞減,求b的取值范圍.

16.(本小題12分)

4月19日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯合國將這天定為“聯合國中文日”，以紀念“中華文

字始祖"倉頡區(qū)6]造字的貢獻，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進聯合國六種官方語言平等使

用.某大學面向在校留學生舉辦中文知識競賽，每位留學生隨機抽取問題并依次作答，其中每個問題的回

答相互獨立.若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學生答對每個問題的概率為答錯的概率為

3

4'

(1)甲留學生隨機抽取3題，記總得分為X,求X的分布列與數學期望；

(2)(回)若甲留學生隨機抽取m道題，記總得分恰為2zn分的概率為%,求數列｛治｝的前m項和；

(ii)記甲留學生已答過的題累計得分恰為打分的概率為Qn,求數列｛Q"的通項公式.

17.(本小題12分)

如圖，已知四邊形4BCD是矩形，P21平面力BCD,且24=2,M、N是線段PB、DC上的點，滿足瞿=

(1)若4=1,求證：直線MN〃平面PD4；

(2)是否存在實數人使直線MN同時垂直于直線PB,直線DC?如果有請求出2的值，否則請說明理由;

(3)若4=1,求直線MN與直線PD所成最大角的余弦值.

18.(本小題12分)

已知雙曲線G：*2—1=1與曲線C2：2Q—zn)2+(y—幾)2=6有4個交點a,B,C,按逆時針排列).

(1)當m=n=O時，判斷四邊形4BCD的形狀；

(2)設。為坐標原點，證明:|04|2++|0c『+|。02為定值；

(3)求四邊形2BCD面積的最大值.

附：若方程式4+口7+6/+?%+4=0有4個實根無】，x2,x3,x4,則/+叼+久3+比4=一a,xrx2+

xrx3+xrx4+x2x3+x2x4+x3x4=b.

19.(本小題12分)

稱/az是z的一個向往集合，當且僅當其滿足如下兩條性質：(1)任意a,be/,a+bel；(2)任意ae/和

cEZ,有caG/.任取a2,…，anGZ,稱包含的_,a?,…，廝的最小向往集合稱為a1,a2,…，an的生成向往集

合，記為(%.,a2,…，an).

(1)求滿足(6,8)=(X)的正整數比的值；

a

(2)對兩個向往集合A，/?，定義集合S(/i/2)=[a+b\ael^bG.I2),P(Jr,I2)={的瓦+a2b2+…+nbnI

a1(a2,???,??e4,瓦也，…4e=12…}

(i)證明：P((4,6),(3))仍然是向往集合，并求正整數x,滿足P((4,6),(3))=(乃；

(ii)證明：如果SC//)=Z,則An/2=PQij).

參考答案

l.c

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.4

8.D

9.AC

1Q.ABC

11.ABD

28<6

13.(6-4/2)e2+(4/2-4)e

14.一黑!或202L

15.解：(1)

1

%3

函數/'(%)=3-+bx2+ex+be,求導得了'(x)=—x2+2bx+c,

4，14

即卜§+6+c+A=—解得尸1或

(r(l)=0I-l+26+c=09=-1(C=3

當6=1,c=—1時，f'(x)=—%2+2x—1=—(%—<0恒成立，

/(X)在R上單調遞減，無極值；

當6=-1)=3時，f(x)=-(x+3)(x-l),當一3<久<1時，f(x)>0,

當x>1時，f'(x)<0,

函數〃久)在X=1處取極大值，滿足題意，

所以6=-l,c=3.

(2)

依題意，g(x)=-|x3+bx2-2在［4,+8)上單調遞減，

則g'(x)=—%2+2bx<0在［4,+8)上恒成立，因此6<］在［4,+8)上恒成立,

而當久24時，^>2,則6W2,

所以6的取值范圍是6<2.

16.解：(1)依題意可得X的可能取值為3、4、5、6,

則P(X=3)=?3=|Z,p(x=4)=廢x(i)1x(}2=|Z,

P(X=5)=廢X(yx(|)i=》P(X=6)=廢義(護x弓)。=專,

所以X的分布列為

X3456

272791

P

64646464

;匚|、|「，V、n27,.27,9,124015

所以E(X)=3XQ+4X口+5rx瓦+6rX^=R=7?

(2)(回)若甲留學生隨機抽取根道題，總得分恰為2m分，即小道題均答對了,

所以%=G)，

設數歹!)｛分｝的前恒項和為貝USm=

3133131333351

+X-Q-廢XX+XX-

4-4-4-4-1-6-34-4-4-4-4-6-4-

□1

當^^時飆=孔…+也修，

^Qn+lQn-l=Qn-^+lQn-2^

所以期+[Qn.J為常數數列，又Q2+也=得+亨X|=1,

所以Qn+；Qn-l=L

則Qn—(=—"(Qn-1—,所以｛QTI—3｝是以—4為首項,為公比的等比數列,

所以Qn―：=_/X(—；)(n>3),

經檢驗當n=l、2上式也成立，所以冊=gx(-

3ZU\4/

17.解：(1)

取力P的中點Q,連接QMQD,

因為4=1,所以M是線段PB上的中點,

因此有QM〃71B,MQ=^AB,

因為4BCD是矩形，N是線段DC上的中點，

所以DN〃AB,DN=^AB,

因此有DN〃MQ,DN=QM,

所以四邊形DNMQ是平行四邊形，所以有NM〃QD,

而NM仁平面PD4,QDu平面PDA,所以直線MN〃平面PDA；

(2)

假設存在實數九使直線"N同時垂直于直線PB,直線DC,

因為四邊形4BCD是矩形，所以CD〃4B,

即MN1PB,MNLAB,KffPBClAB=B,PB,ABu平面ABP,

所以MN1平面力BP,

因為4BCD是矩形，所以481AD,

因為尸41平面4BCD,4Du平面2BCD,

所以P414D,而PACiAB=4P4ABu平面2BP,

所以4。1平面力BP,因此MN〃4D,而MN//DQ,所以4D〃DQ,顯然不可能，所以假設不成立,

因此不存在實數;I,使直線MN同時垂直于直線PB,直線DC；

(3)

當4=1時，由(1)可知：MN//DQ,

所以NPDQ是直線MN與直線PD所成角，設4。=a(a>0),

由(2)可知PA1AD,所以PD=y/a2+4,DQ=Vcz2+1,

在I2PDQ中，由余弦定理可知：

P02+DQ2PQ2_次+4+/2+1-1

cosZ.PDQ=

2PD-DQ27a2+4x7a2+lVa2+4xVa2+l

11

令M+2=t(t>2),所以0<—<

于是有cosNPDQ=ExB

當寸，COSNPDQ有最小值，最小值為券，此時NPDQ有最大值.

則直線MN與直線PD所成最大角的余弦值為學.

p

18.解：(1)雙曲線Ci：/—[=1，即2/_y2=2,

當771=71=0時，曲線。2：2(%—771)2+(y—n)2=6,即2/+y2=6,

聯立消去y得4/=8=%=±<2,

由久2=2=y=±VT,

.?.AB=BC=CD=DA^AB1BC,

???四邊形ZBCD為正方形；

(2)2(%—m)2+y2+n2-6=2yn

=[2(%—m)2+y24-n2—6]2=4y2n2,

將y2=2%2—2代入，由題意知，

儼1+%2+%3+%4=2m

XX2

\xrx2+%1%3+%1%4+23+%2%4+%3%4=2m—4'

|。川2+\0B\2+\0C\2+\0D\2

=好+螃+滔+媛+資+呼+川+H

=3(%2+好+霜+解)—8

=3[(%1+%2+%3+x4)2-2(%142+xlx3+xlx4+X2X3+X2X4+X3X4)]—8

=3[4m2-2(2m2-4)]-8=16,

故|。川2+|。切2+|。?！?|。02為定值；

(3)記。A=a,OB=b,OC=c,OD=d,

①當。在內部時，

1

S=7T（a/?sin0+bcsinO+cdsinB+adsindJ

21234

<^ab+bc+cd+ad）（當且僅當%=%=%=%=90°時，取等號）

W*字+亨+華！+學）（當且僅當a=b=c=d時，取等號）

=|（a2+fa2+c2+d2）=8,

當且僅當四邊形4BCD為正方形（爪=n=0）取等號；

②當。在外部時，

1

S=2[absina+bcsin/3+cdsiny—adsin(a+/?+/