廣西桂林市某中學2024屆高三年級下冊模擬考試數學試題（含答案解析）

廣西桂林市國龍外國語學校2024屆高三下學期模擬考試數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.^M={y\y=x2,3x^R},N={x\4i^>0],則下列選項正確的是（）

A.M<JN=RB.MuN=N

C.McN=ND.McN=0

2.從0,1,2,3,4中選出3個數組成各位數字不重復的三位偶數，這樣的數有（）個.

A.24B.30C.36D.60

3.若古典概型的樣本空間。={123,4},事件4={1,2},事件A,B相互獨立，則事件B可

以是（）

A.{1,3}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

4.已知實數a,b,c滿足°=QJ=1,則

)

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

5.若饃$[]+2戊]一45詁2々=一2,則tan2a=()

1

A.—2B.—C.2D.

22

22

6.已知片、鳥是雙曲線=1的左、右焦點，過用作雙曲線一條漸近線的垂線，垂

足為P,且|尸片「+|尸￡『=862,則雙曲線C的離心率為（）

A25「2A/3

B.-Vz.-----D.—

,3433

7.已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和4vL其頂點都在同一球面上,

則該球的表面積為（）

A.100KB.12871C.144兀D.192兀

8.已知函數〃x)的定義域為R,且〃0)=/?卜1,若/(尤+y)+/(x-y)=2/(x)-cosy,

則函數[（X）（）

試卷第1頁，共4頁

A.以兀為最小正周期

B.最大值是1

C.在區(qū)間管上單調遞減

D.在x=T處的切線方程是了=-尤+3+1

，2.

二、多選題

9.已知a,6eR,z是純虛數，7為z的共輒復數，且。-3z=（-3-z）i（i為虛數單位），則

A.a=l,z2=lB.b+z^b-z

0忖=［三"D'z是方程x2-（6+i）x+6i=（）的一個根

10.某次數學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成

績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得

到這100名學生中，成績位于［80,90）內的學生成績方差為12,成績位于［90,100）內的同學

成績方差為10.則（）

頻率

A.a=0.004

B.估計該年級學生成績的中位數約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為32

11.已知直線6和平面見￡,a與0所成銳二面角為6.則下列結論正確的是（）

A.若。_La,b_L￡,貝!Ia與6所成角為6

B.若a//c,6//￡,則。與6所成角為0

試卷第2頁，共4頁

TT

C.若aua,則。與6所成角最大值為

7T

D.若皿,則6與a所成角為

三、填空題

12.已知單位向量￡,?的夾角為c=fl-3/7.若比+5與工垂直，貝>U=.

13.設點尸(%,%)在拋物線牧f=8y上,已知/(0,2),3(0,-2).若|“尸|=5,則

%=;若%>0,則直線8尸斜率的最小值為.

14.已知VN8C中，內角NC=60。，為內角/N的平分線(。在邊8C上)，設△/￡>(?和

△ADB的面積分別為E，星，則1k的最大值為.

四、解答題

15.小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為/類題和3類題，小張需要通過“抽

小球”的方式決定要答的題目難度類型：一個箱子里裝有質地，大小一樣的5個球，3個標

有字母/,另外2個標有字母2,小張從中任取3個小球，若取出的A球比B球多，則答A

類題，否則答8類題.

⑴設小張抽到A球的個數為X,求X的分布列及￡(X).

(2)已知A類題里有4道論述題和1道計算題，B類題里有3道論述題和2道計算題，小張

確定題目的難度類型后需要從相應題目中任選一道題回答.求小張回答論述題的概率；

16.如圖，幾何體H3CD中，△尸8。和△C3。均為等邊三角形，平面J.平面可。，

AB=AD=亞,BD=2,PC=6,M為BD中點、.

(1)證明：PC與不是異面直線；

(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

17.設數列｛%｝的前“項和為S’,，已知2S“=a用一2"M+l(〃eN*),且％=5.

試卷第3頁，共4頁

⑴證明：]全+1]為等比數列，并求數列｛冊｝的通項公式；

⑵定義函數/(X)=[x],其中因表示不超過X的最大整數，如[2.3]=2,-1.9]=-2,設

a+2〃]

%=’一，數列｛4｝的前”項和為1,求q24除以16的余數.

18.函數/(%)=---a圖象與x軸的兩交點為⑼仁>玉)

⑴令〃(x)=/(x)-ln尤+x,若M>)有兩個零點，求實數。的取值范圍；

(2)證明：再%2<1；

(3)證明：當a25時，以NB為直徑的圓與直線y=^(x+l)恒有公共點.

(參考數據：e0-25?1.3,e2-5引2.2)

22

19.已知橢圓C：￡+竟]=1過定點尸(血,1),過點尸的兩條動直線交橢圓于

力(亞/1),8。2，%)，直線尸4網的傾斜角互補，P為橢圓C的右焦點.

⑴設M是橢圓C的動點，過點M作直線x=2a的垂線"MN為垂足，求號.

(2)在4/8尸中，記NFBA=a/FAB=0,若直線的斜率為，，求sina-sin￡的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ABAACDADACDBC

題號11

答案AD

1.A

【分析】求出y=的值域和工工20中x的范圍，得出”,N的具體范圍，再根據

集合的交集、并集運算即可求解.

【詳解】j=x2,xeR,

則。w[0,+oo),

所以M=W|y?O},

Jl-x>0，

貝八一xNO,解得尤VI,

所以N={x|x41},

所以MuN=R,WnN={x|OVxVl}.

故選：A.

2.B

【分析】考慮選出的3個數中有沒有0的情況，有0時再考慮0的排法，根據分類加法原理,

即可求得答案.

【詳解】若從0,1,2,3,4中選出3個數中沒有0,

則組成各位數字不重復的三位偶數有A；A；=12個；

若從0,1,2,3,4中選出3個數中有0,且0排在個位，

則組成各位數字不重復的三位偶數有A：=12個；

若從0,1,2,3,4中選出3個數中有0,且0不在個位，

則組成各位數字不重復的三位偶數有A；A；=6個；

故從0,1,2,3,4中選出3個數組成各位數字不重復的三位偶數，

這樣的數有12+12+6=30個，

故選：B

3.A

答案第1頁，共14頁

【分析】根據尸(/c3)與尸(/)尸(3)是否相等判斷事件是否獨立，得到答案.

71

【詳解】由題意得尸(/)=彳=于

711

A選項，尸(3)=(=",/cB={i},故尸(/ng)=w，

所以P(/c2)=尸(/)P(2),故事件48相互獨立，A正確；

3?1

B選項，尸(8)=1/口5={1,2},故p(/n2)=[=3，

所以尸(8),故事件42不相互獨立，B錯誤；

21

C選項，尸(8)=]=5，A^B=0,故p(/ns)=o,

所以P(/n2)wP(/)尸(3),故事件48不相互獨立，C錯誤；

Q1

D選項，尸(3)=4，力門8={2},故尸(力「5)=4，

所以尸(Z「5)w尸(4)尸(5),故事件45不相互獨立，D錯誤;

故選：A

4.A

i11

【分析】根據條件，得到6=(上尸，利用函數>=(5)、的單調性，即可得到〃<6<1,而。>1,

22

即可求出結果.

【詳解】因為"=3，得到6=(》；又a=f，函數>=(]'是減函數，

所以a*；<b=(y<l，又出得至l]c=log』=log23>l,

所以Q<b<c,

故選：A.

5.C

【分析】先利用誘導公式結合二倍角的正弦公式及商數關系和平方關系化弦為切，再根據二

倍角的正切公式即可得解.

【詳解】由cos(5+2“-4sin2a=-2,得一sin2a_4sin2a=-2,

2sin6zcosof+4sin2a"目口2tana+4tan2a-

BRnP-------------2-----=2,BP----------------二2,

sina+cosatana+1

答案第2頁，共14頁

所以2tana+4tan2a=2tan2a+2,所以tana=l-tan2a，

ec2tana八

貝！Jtan2a=--------=2.

1-tana

故選：C.

6.D

【分析】先根據點到直線得距離公式求出|尸耳|=b,在△尸O居和△PO片中，求出

cos/POF?cos/POF「利用余弦相反構造見仇。的齊次式，即可得解.

/、\bc\..

【詳解】g(c,。)，點6到漸近線川-砂=0的距離為二=6,即戶用=6,

7b+a

因為|尸片「+|尸用2=8〃，所以歸團=嶼尺|尸O|=a,

+

在△尸O制中，由余弦定理得：3s/P0F,="d

2ac

在△尸。片中，由余弦定理得：cosNPOK.

2ac

因為ZPOF2+ZPOF1=兀，所以cosZPOF2=-cosAPOFX,

^a2+c2-b2=-(a2+c2-^b2),又NU所以3c2=5",

所以e=1H=嫗.

\a23

7.A

【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小弓，再根據球心距，圓面半徑,

以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑自4，所以2〃=應一,2%=小二，即

q=3,2=4,設球心到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R,所以4=42_9,

答案第3頁，共14頁

2

d2=YR-16，故|4-4|=1或4+〃2=1，即|，火，一9一1火2—16|=1或,火2_9+,火2_16=1，

解得R2=25符合題意，所以球的表面積為S=4kR2=1()0%.

故選：A.

【分析】先通過賦值法求得〃x)=?n[x+：],然后利用正弦函數的性質判斷ABC,求

出導函數，利用導數的幾何意義求得切線方程判斷D.

【詳角軍】令x=O,y=乙得/?)+/(V)=2cos乙

令x==得小+，)+〃>0，

令%=]/=曰+/,得/'(兀+f)+/(T)=_2sin?,

由以上3式，得/⑺=sin/+cos/,即f(x)=siwc+cosx=亞sin(x+；j,

則/'(x)的周期為T=2兀，且/(X)的最大值為故A,B錯誤；

令則x+：e(0,J,又函數y=sinx在(0,|^上單調遞增，

在gj上單調遞減，故/(X)的在區(qū)間上不單調遞減，故C錯誤;

因為/'(x)=cosx-sinx,則左=/[鼻==1；

則在x=g處的切線方程是受T+J+1,故D正確.

故選：D

答案第4頁，共14頁

9.ACD

【分析】先由求出純虛數z,然后利用復數的四則運算及模的運算判斷AC,利用共軌的概

念判斷B,利用復數相等驗證方程的根判斷D.

【詳解】由題意設z=Zi,因為3z=(-3-z)i,所以3行=(一3-勺=/一篁，所以°=仁1,

所以z=i,zN=ix(-i)=l,故A正確；

對于B,'b+i=b-i,b-z=b+i,所以肅看6—彳，故B錯誤；

對于c,忖=|i|=i,］會］卜［三)卜|(刃=7=1,所以目=［三］［故C正確;

對于D,因為i?-(6+i)xi+6i=-l-bi-(-l)+bi=0,

所以z是方程f-(6+i)x+歷=0的一個根，故D正確.

故選：ACD

10.BC

【分析】利用小長方形面積和為1得A項錯誤；面積等于0.5的值即為中位數，可知B正確;

利用直方圖中平均數和方差公式可得C正確，D錯誤.

【詳解】A項，(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=1,a=0.005,A項錯誤；

B項,［50,70］內頻率為：5x0.005x10=0.25<0,5,

［50,80］內頻率為：12x0.005x10=0,6>0,5,

則中位數在［70,80］內，設中位數為X,則0.25+(x-70)x7x0.005=0.5,

則x=77.14,B正確;

成績在80分及以上的同學的成績的平均數為3;x85+$195=87.5分，

31

方差為戶口2+(87.5-85)1+了、［10+(87.5-95力=30.25,C正確,D錯誤.

44

故選：BC.

11.AD

【分析】根據線面角的定義判斷即可.

【詳解】對于A,如圖.

答案第5頁，共14頁

b

因為6,⑸c與尸所成銳二面角為6,所以a與b所成角為6,故A正確；

對于B,若alla,bll/3,此時不能確定。與6所成角，如直線a//6時，此時。與6所成角為0,

故B錯誤；

對于C,設平面見尸的交線為直線/,

當?！?時，。與〃所成角為0,

當。與/不平行時,

設ac/=C,在直線。上取點4過點N作￡于點8,

作。4，/于點。，連接08,因為OA工人0B,lu。,所以。4，。氏0/，/，

又OA_U,OAcOB=O,所以/，平面048,

又08u平面048,所以。8，/,則N/O8即為a與。所成銳二面角的平面角,

則44。5=0,因為4B_L/?,aea,所以//C2即為。與尸所成角的平面角，

AR4R

則tan/4C5=——<——=tan。，當且僅當時取等號，

BCOB

所以。與夕所成角最大值為6,故C不正確；

對于D,如圖.

TT

因為6，萬,a與夕所成銳二面角為6,所以6與a所成角為：-夕，故D正確.

故選：AD.

12.-5

答案第6頁，共14頁

【分析】根據題意，結合（痛+辦（135）=0,列出方程，即可求解.

【詳解】因為單位向量.的夾角為方，可得問=B|=i,z%=g,

又因為與+7與工垂直,可得（加+》0-3石）=0,

即X。2+a?書一32a-b-^b=A+(l-3/i)x--3=0,解得4=—5.

故答案為：-5.

13.31

【分析】第一空：由兩點間距離公式以及點P坐標滿足拋物線方程聯(lián)立列式即可求解；第二

空：將直線3P斜率表達式求出來，結合基本不等式即可得解.

【詳解】第一空：若|凹=5,貝1］焉+（尢-2）2=25,

2

又x；=8%,所以包+2『=25,注意至U%=至20,

8

所以解得為=320滿足題意；

第二空：直線BP斜率為左乂,+21+2

右/>

kBP=---=---_?2,0,

%%8%

則由基本不等式得凝「=^+—>2,等號成立當且僅當廝=4.

8沁

故答案為：3；1.

14.拽/26

33

【分析】根據三角形面積公式，結合余弦定理、二次函數的性質進行求解即可.

2222

【詳解】由余弦定理得，=a+b_2abcosC=a+b-ab

1.ABAC

—ACADsm-----,

cc_22=g

ZBACc

星S.ADB-AB-ACsin

22

XYr；廿i二i

￡=7=c^+^-ab[in[g_12+3

4

當/=!即6=2.時,最大，最大值為3.

b2

答案第7頁，共14頁

故卷的最大值為友.

星3

故答案為：巫

3

9

15.(1)分布列見解析，-

37

(2)—

-50

【分析】(1)利用超幾何分布可求分布列，利用公式可求期望.

(2)利用全概率可求小張回答論述題的概率.

o「2rla

【詳解】(1)X的所有可能取值為1,2,3,則尸(X=l)=酒=6,尸(x=2)=,=?

cJ.UcJ

所以X的分布列為

(2)記事件A為“小張回答A類題”，5為“小張回答B(yǎng)類題”，C為“小張回答論述題”.

Q173

由⑴知尸(/)=《+1r5,P⑻=6

由題意知P(C|N)=?尸(C忸)=|,

所以尸(C)=P(C⑶尸(/)+尸(C同尸⑻=1x歷+丁口=否.

16.(1)證明見解析；

⑵嚕.

【分析】(1)想證明不是異面直線，就是要證明尸,這四點共面，根據線面垂直的判

定定理、線面垂直的性質、等腰三角形的性質，結合平面內垂直的性質進行證明即可；

(2)根據(1)的結論，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

答案第8頁，共14頁

【詳解】（1）連接CM,由4B=4DAPBD、ACBD為等邊三角形,W為BD中點，

得AM1BD,PM1BD,CM1BD,

又AMAPM=M,AM,PMu平面APM，

則2。1平面平面叫于是AD_LR1；

而CNClW=M,CM,PMu平面CPM,

則2。1平面cm,又尸Cu平面CPM,于是8D_LPC

又尸/口「。=尸,24尸。＜=平面尸/（?,因此8。1平面P/C,

設平面尸/C與直線2。交于點ML則即，W,顯然ZATu平面

在平面內，過直線AD外一點/有且僅有一條直線與AD垂直，

所以M與AT重合，即有R4M,C四點共面.

故PC與不是異面直線；

（2）由（1）知，平面P/MC_L平面5cD,在平面尸4WC內過點M作〃z_LMC,

而平面P/MCPl平面8CD=MC,則Afe_L平面BCD,直線兩兩垂直，

以M為原點，直線心分別為X//軸建立空間直角坐標系，

由平面ABD_L平面PBD,平面ABDc平面PBD=BD,AMu平面ABD,AM±平面PBD,

而平面尸8。，則由△尸3。和△C3D均為等邊三角形，

得PM=MC=PC=6/PMC=60。,由/5=/。=石，得4M=2,

于是尸0,^-,-＜（0,百,0）,現1,0,0）,/（0,-百,1）,

二一V33

,YYI,BP=-X-----VH—Z=0I—，一//~\

則2'2,令A夕=百，得行=（3,6,1）,

m-BC——x+y/3y—0

答案第9頁，共14頁

AB-m

設直線48與平面PBC夾角為6,貝Ijsin8=kos/3，H=5而

AB||m|V5-Vf313

所以直線AB與平面尸5C所成角的正弦值為返.

13

17.(1)證明見解析;%=3"-2"

(2)8

【分析】⑴根據%=心"：得出%=3%+2",構造出繆+1=：修+1],即可

區(qū)-222<2)

證明，再根據等比數列的通項公式求解即可；

(2)c?=—,結合3"=(4-1)”及二項式定理得出當"為奇數時，了當〃為

分組求和得出724=-1)T012，利用二項式定理得出4。24除

偶數時,M

了-7

以16的余數為3C；：；；-1012除以16的余數，即可求解.

2

【詳解】(1)當〃=1時，2S1=a2-2+l,又出=5,所以q=E=1,

當〃22時，2S“=a用一2"“+1(〃eN*)①，

故2S--2"+1,②

+l

①一②得，2an=an+l-an-2-+2",即。m=3。“+2”,

又。2=3%+2,故當〃?N*時，a〃+i=3a〃+2〃，

故餐=3.%+」，即■+1=314+]

口乂2"+122"22"+12(2")

因為[黑+1]為首項為胃=：,公比為:的等比數歹

[2〃J222

3〃-2〃+2"￡

(2)由(1)知,

4~4

因為3〃=(4—1)〃=C:4〃+C；4〃T(―1)+…+C；i4x+C：(―1)〃

答案第10頁，共14頁

=4x[c°4'i+C[4?-2(-1)+.?.+C：-1(-ir1]+C：(-lf,

當〃為奇數時，-=丁+:，故二=下—了，

4|_4J4|_4J44

3〃3〃1rr__]_

當”為偶數時，丁一+—故

44~4~4~4

所以^2024-C\+°3。2023+Q+04+。2024

=3+33+…+32。2333234+...320

-1012x-4++-1012」

4444

-1012,

1012

9*1(8+1)-1_00olOll「1J^IOIO/^lOlOo,「1011

88-8

考慮當先22時，8斤能被16整除，另外C：瞿x8=506xl011x8也能被16整除,

故矗24除以16的余數為3c第-1012除以16的余數,

3C；^-1012=3x1012-1012=2024=16x126+8,

故&24除以16的余數為8.

18.⑴(e+l,+oo)

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)由導數求出可力的最小值，結合有兩個零點可得答案;

⑵轉化為"(氣，取對數可得Uki，要證…1即證明

In三=令”代"即證-j構造函數利用導數可得答案;

X]

(3)即證N3中點到該直線距離小于半徑，也就是證明：4[4(X1+X2)-11](X1+X2+2)>0,

證明玉+%>?成立即可，構造函數令夕(。=力學二利用導數可得答案.

答案第11頁，共14頁

【詳解】(1)A(x)=-——lnx+x-a(x>0),h'(x}=——+“),

xv7x2

當0<x<l時，〃(無)<0,x>l時，〃(x)>0,

所以函數〃(X)在(0,1)上單調遞減,(1,+8)上單調遞增，

所以〃(x)的最小值為"l)=e+l-a,

當x趨向于0且x>0時，/z(x)無限趨向于正無窮大，

當x無限趨向于正無窮大時，〃(x)無限趨向于正無窮大，

所以有兩個零點，只需要Ml)=e+l-a<0,即a>e+l,

所以實數。的取值范圍為(e+L+s)；

/、eXleX1

(2)由題知，令/(x)=0,則。=一=——,

取對數可得：Xj-ln%1=x2-lnx7,."%:=1,

lnx2-mx]

要證網％<1,即證：4^2<,%2>

1nx2-InX]

即證明：代’令"

—〉1,即證：21皿<,

匹t

/、1一產

令g(0=21nf-7+-,貝lJg(l)=0,g，(/)=---------<0,

tt

所以g⑺在(1,+8)上單調遞減，g?)<g⑴=0恒成立,

因此西工2<1得證；

(3)要證：以NB為直徑的圓與直線y=^(x+l)恒有公共點,

即證NB中點到該直線距離小于半徑，

4

2

也就是證明：16(%+x2)-12(X[+X2)-12-76X1X2>0,

由(2)可知再％<1,所以

答案第12頁，共14頁

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16（$+x2）一12（巧+X2）-12-76XJX2>16（x1+x2）-12（^+X2）-88>0,

即414（再+%2）-11]（再+x2+2）>0,

下面證明：芭+x2>Y成立即可，

因為/，（%）='（；",5w（—e,O）u（O,+8），

因此/（X）的單調遞增區(qū)間為（1,+8）,單調遞減區(qū)間為（-。,0）,（0,1）,

所以0<玉<1<%2,

令％=超，由^=二，貝I/=^-,々=>1，，再+12=（7+1）1皿

項xxx2t—1t—1t-1