北京市海淀區(qū)某中學2023-2024學年高一年級上冊12月月考數(shù)學試題

北京交大附中20232024學年第一學期12月練習

-=a=r-皿」.

局一數(shù)學2023.12

說明：本試卷共4頁，共120分.考試時長90分鐘.

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.)

1.已知命題?：Vx>°,5X2-4X+1>0,則命題0的否定為()

A.Vx>0,5X2-4X+1<0B.VX<0,5X2-4X+1<0

C.3%>0,5X2-4X+1<0D.王<0,5X2-4X+1<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題易求.

【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知：

命題p:Vx>0,5/—4x+l之0的否定為：3x>0,5X2-4X+1<0.

故選：C

2.設集合4=?>3},B={X|X2-3X<0},則4口3=()

A.(1,3)B.[1,3)

C.(0,3)D.[0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡集合A,B,再根據(jù)集合的運算得解.

【詳解】由3工>3,即3、>3]，因為y=3*是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以x〉l,=

又d—3%v0,解得0<x<3,

/.B=1x|0<x<31；

/.AnB=(l,3)

故選：A.

3.以下函數(shù)既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.f(x)=x4B.=

C./(x)=LD./W=logi|x|

【答案】D

【解析】

【分析】

利用奇偶性的定義和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.

【詳解】選項A中，f(x)=x4,滿足/(—%)=(-尤)4=/=/(%),/(X)是偶函數(shù)，但由塞函數(shù)性質(zhì)知

/(x)=》4在(0,+co)上單調(diào)遞增，故不符合題意；

選項B中，由哥函數(shù)性質(zhì)知，/(x)=6在定義域[0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，x<0無意義，故不具有奇偶性，

不符合題意；

選項C中，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，=在R上單調(diào)遞減，但/(—x)=g]=2￡//(x)，故不

是偶函數(shù)，不符合題意；

選項D中，〃%)=logJR定義域(YO,0)O(0,-+w),滿足/(—無)=1理工H=logJ龍|=/(尤),故f(x)

222

是偶函數(shù)，當x>0時，”的句密工。由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，"勸=1°81》在(0,+8)上單調(diào)遞減，故

22

/(%)=10gl兇符合題意.

2

故選：D.

4.已知x<y,則下列不等式一定成立的是()

3311

A.x3<yB.—>—

%y

C.2'<27D.lg(x2+l)<lg(y2+l)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，幕函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.

【詳解】對A,根據(jù)基函數(shù)y=Y在R上單調(diào)遞增得％<丁時，X3<父，故A正確；

11

對B,當x<0<y時，一<一，B錯；

Xy

對C,x<y,則—x>—y,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增得2f>27,故c錯誤;

對D,x<y時，例如，x=-2,y=l,

則必+1〉丁+1,根據(jù)對數(shù)函數(shù)y=3％在(0,+。)上單調(diào)遞增，

則坨(爐+1)>坨(/+1),因此D錯;

故選：A.

5.函數(shù)y=|lg(x-l)|的圖象是()

【答案】c

【解析】

【分析】將函數(shù)y=lgx的圖象進行變換可得出函數(shù)y=1g(x-1)|的圖象，由此可得出合適的選項.

【詳解】將函數(shù)y=lgx的圖象先向右平移1個單位長度，可得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象,

再將所得函數(shù)圖象位于無軸下方的圖象關于x軸翻折，位于x軸上方圖象不變，可得到函數(shù)丁=旭(％-1)

的圖象.

故合乎條件的圖象為選項c中的圖象.

故選：c.

【點睛】結(jié)論點睛：兩種常見的圖象翻折變換:

/(4)保留游由上方，將人軸下方的圖象沿的由對稱>I/(

/（尤）保留y軸右方圖像，將y軸右方圖象沿著y軸對稱>/（|乂）.

6.已知了(%)是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，/(%)單調(diào)遞增，且/(4)=0,則滿足不等式

1)<0的x的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(1,5)C.(-3,O)U(1,5)D.(f-3)U(L5)

【答案】c

【解析】

【分析】由奇函數(shù)的定義和單調(diào)性的性質(zhì)，即可求解不等式.

【詳解】因為〃龍)是定義在R上的奇函數(shù)，x>0時，/(%)單調(diào)遞增，且/(4)=0,

所以當T)u(0,4)時，/(^)<0,

當XW(T,0)54,+QO)時，/(x)>0,

不等式1)<0,則

當x<0時，有即Y<x-l<0或1—1>4,解得一3<x<l或％>5,又x<0,

—3v%<0；

當尤>0時，有—1)<0,即x-l<-4或0<x-1<4,又x>0,解得l<x<5；

綜上，不等式1)<0的解集為(―3,0)U(L5).

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=]2-貝『，函數(shù)有兩個零點”成立的充分不必要條件是ae

-x+a,x>l

A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/(九)單調(diào)性，結(jié)合已知條件，求得了(九)有兩個零點的充要條件，再結(jié)合選項進行選擇即

可.

2X-a,x<l

【詳解】???/(x)=<

-x+a,x>\

；J(x)在(-oo,l)上單調(diào)遞增，在(L+oo)上單調(diào)遞減.

故“函數(shù)”X)有兩個零點“o/(I)=2-a>0,-fl<0,/(1)>-1+fl>0,

解得1<aW2,

“函數(shù)有兩個零點”成立的充分不必要條件必須為(1,2]的子集，只有C符合,

故選：c.

【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，涉及由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，屬綜合基礎題.

8.在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標有6,7,8,9四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同.

甲、乙兩人玩“猜數(shù)字”游戲，甲先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為加，再由乙猜這個小球

上的數(shù)字，記為機如果加，〃滿足|加-那么就稱甲、乙兩人“心領神會”，則兩人“心領神會”的概率

是（）

15

A.-BC1D.-

4-I8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的計算公式，結(jié)合絕對值不等式進行求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，m,〃的情況如下:（6,6）,（6,7）,（6,8）,（6,9）,（7,6）,（7,7）,（7,8）,（7,9）,

（8,6）,（8,7）,（8,8）,（8,9）,（9,6）,（9,7）,（9,8）,（9,9）,共16種情況，

其中機，〃滿足|和一"W1的情況如下：

（6,6）,（6,7）,（7,6）,（7,7）,（7,8）,（8,7）,（8,8）,（8,9）,（9,8）,（9,9）,共10種情況,

所以兩人“心領神會”的概率是3=3,

168

故選：D

9.函數(shù)y=log//一砒+3）在［1,2］上恒為正數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

3

7

A.2行<a<2石B.2V2<?<-

C.3<a<JD.3<a<273

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)底數(shù)是1，V=Ax）=l°g工（尤2-依+3）在［1,2］上恒為正數(shù)，故0<尤2一依+3<1在［1,2］上恒成

33

立，進而解不等式就可以了.

【詳解】解：由于底數(shù)是工，從而y=/（x）=l°gl（r-以+3）在工2］上恒為正數(shù)，

33

故0<爐一ax+3v1在［1,2］上恒成立,

23

即X~\-----<6Z<XH------

XX

由于xe[l,2],%+322、%-3=2指當且僅當工=3即工=6時取等號；

X\XX

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)g(x)=x+2在口,a]上單調(diào)遞減，在[a,2]上單調(diào)遞增，且

g(l)=g(2)=3

所以3<a<26.

故選：D.

【點睛】本題主要考查對數(shù)型函數(shù)，一元二次函數(shù)值域問題，屬于中檔題.

10.形如2然+1(〃是非負整數(shù))的數(shù)稱為費馬數(shù)，記為丹.數(shù)學家費馬根據(jù)玲，耳心，鳥，工都是質(zhì)數(shù)提出了

猜想:費馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學家歐拉計算出招不是質(zhì)數(shù)，那工的位數(shù)是()

(參考數(shù)據(jù):四2乜).3010)

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

工=232+1,設機=232,兩邊取常用對數(shù)估算m的位數(shù)即可.

【詳解】???&=232+1，設m=232,則兩邊取常用對數(shù)得

lgm=lg232=321g2=32?0.30109.632.

陰=]09.632?109,

故工的位數(shù)是10，

故選：B.

【點睛】解決對數(shù)運算問題的常用方法：

(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)幕的形式進行化簡.

⑵將同底對數(shù)的和、差、倍合并.

(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.

(4)利用常用對數(shù)中的1g2+1g5=1簡化計算.

二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上)

11.函數(shù)y=坨（/一5%+4）的定義域為.

【答案】（4,+Q0）

【解析】

【分析】利用對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零，解不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)定義可得d—5%+4>0,解得x>4或X<1,

所以函數(shù)定義域為（4,”）D（YO,1）.

故答案為：（4,-H?）O（-OO,1）

12.某高中學校進行問卷調(diào)查，用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校三個年級中抽取36人進行問卷調(diào)

查，其中高一年級抽取了15人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學生900人，則該高中的學生總

數(shù)為人.

【答案】3600

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.

【詳解】由題意可知：高三年級抽取了36-15-12=9人，

由于高三共有900人，所以抽樣比為」一，

100

所以高中學生總數(shù)為36x100=3600,

故答案為：3600

13.令。=6°7,b=016,c=log076,則三個數(shù)。，b,c的大小順序是.（用連接）

【答案】c<b<a

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合臨界值0J即可確定大小關系.

0706

［詳解】???6->6°=1=0.7°>O.7->0=log071>log076,:.c<b<a.

故答案為：c<b<a.

14.為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費

額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標

準差分別為邑，$2，$3,則它們的大小關系為.（用連接）

頻率

''礪

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

O

(丙)

【答案】“＜邑＜M

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)公式及方差公式分別計算s；、S；、即可判斷;

【詳解】由圖甲：平均值為

=500(1250x0.0006+1750x0.0004+2250x0.0002+2750x0.0002+3250x0.0006)=2200,

s；=(1250-2200)2x0.3+(1750-2200)2x0.2+(2250-2200)2x0.1

+(2750-2200)2x0.1+(3250-2200)2x0.3

=672500,

%=1250x0.1+1750x0.2+2250x0.4+2750x0.2+3250x0.1=2250，

s；=(1250-2250)2x0.1+(1750-2250)2x0.2+(2250-2250)2x0.4

+(2750-2250)2x0.2+(3250-2250)2x0.1

=300000,

x,=1250x0.2+1750x0.2+2250x0.3+2750x0.2+3250x0.1=2150,

s；=(1250-2150)2x0.2+(1750-2150)2x0.2+(2250-2150)2x0.3

+(2750—2150)2x0.2+(3250-2150)2xO.l

=390000,

則標準差52Vs3<S],

故答案為：S2<S3<S「

15.如圖，在等邊三角形ABC中，A8=6.動點P從點A出發(fā)，沿著此三角形三邊逆時針運動回到A點,

記P運動的路程為方點尸到此三角形中心。距離的平方為大x),給出下列三個結(jié)論：

①函數(shù)40的最大值為12；

②函數(shù)1x)的圖象的對稱軸方程為尸9；

③關于x的方程/(尤)=立+3最多有5個實數(shù)根.

其中，所有正確結(jié)論的序號是

【答案】①②

【解析】

【分析】

寫出P分別在A&BCC4上運動時的函數(shù)解析式/(x)=|(9P|2,利用分段函數(shù)圖象可解.

詳解】

P分別在A3上運動時的函數(shù)解析式/(x)=|OP「=3+(%-3)2,(0<%<6),

P分別在上運動時的函數(shù)解析式/(尤)=|=3+(尤—9)2,(6<x<12),

P分別在C4上運動時的函數(shù)解析式/⑴=|。葉=3+(尤—15)2,(12<18),

3+(X-3)2,(0<X<6)

/(x)=|OP|2=p+(x-9)2,(6<x<12)

3+(X-15)2,(12<X<18)

由圖象可得，方程/（￡）=區(qū)+3最多有6個實數(shù)根

故正確的是①②.

故答案為：①②

【點睛】利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關的問題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的零

點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據(jù)題意畫出相應函數(shù)的圖象，利用數(shù)形

結(jié)合思想求解.

三、解答題（本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

f21?）

16.己知集合4=,尤>1>,B=yfx\m-2<x<2m+1,meR|.

（1）當〃z=6時，求集合Au8；

（2）若4口5=3,求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】（1）AUB={x|3<%<13}

（2）（TO,-3）

【解析】

【分析】（1）直接代入計算，再根據(jù)并集含義計算即可;

（2）分集合B是否為空集討論即可.

【小問1詳解】

222x—3

由——>1---------1>0———>0=>(x—5)(x—3)<0

%—3x~3x—3x—3

解得A={x|3<x<5}.

當〃，=6時，B—1x|4<x<13},

則AU3={X|3<X<13}

【小問2詳解】

由4口8=6,得3。4.

當5=0時，有m—2>2m+L解得m<—3.

m>—3

當5/0時，有<機一2〉3,無解.

2m+1<5

綜上，me(-00,-3).

17.已知函數(shù)/(x)=1+2.

(1)求函數(shù)7(%)的定義域和值域；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間上/+l］(/eR)上的最小值.

【答案】17.定義域為R,值域為［2,+8)

18.答案見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；

(2)討論對稱軸與區(qū)間的關系，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.

【小問1詳解】

由題意定義域為R,因為好20,所以/+2N2,即值域為［2,史》).

【小問2詳解】

/W圖象的對稱軸為X=0,

當f+”0時，即區(qū)―1時，“X)在區(qū)間上/+1］上單調(diào)遞減，

則/(力在區(qū)間上/+1］上的最小值為f(t+1)=(/++2；

當f<O<f+l時，即-!<f<0時，〃尤)在上,0)上單調(diào)遞減，在(0/+1］上單調(diào)遞增,

則/⑴在區(qū)間上/+1］上的最小值為/(0)=2；

當.“時，”X）在區(qū)間上,7+1］上單調(diào)遞增，

/（X）在區(qū)間［t,t+1］上的最小值為f（t）=1+2；

綜上可得/<—1時，最小值為Q+1）2+2；

-1</<0時，最小值為2；

/之0時,最小值為產(chǎn)+2.

18.在新高考背景下，北京高中學生需從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6個科目中選擇3個科目

學習并參加相應的等級性考試.為提前了解學生的選科意愿，某校在期中考試之后，組織該校高一學生進行

了模擬選科.為了解物理和其他科目組合的人數(shù)分布情況，某教師整理了該校高一（1）班和高一（2）班的

相關數(shù)據(jù)，如下表：

物理+化學物理+生物物理+思想政治物理+歷史物理+地理

高一（1）班106217

高一（2）班.159316

其中高一（1）班共有40名學生，高一（2）班共有38名學生.假設所有學生的選擇互不影響.

（1）從該校高一（1）班和高一（2）班所有學生中隨機選取1人，求此人在模擬選科中選擇了“物理+化

學”的概率;

（2）從表中選擇“物理+思想政治”的學生中隨機選取2人參加座談會，求這2人均來自高一（2）班的概

率；

（3）該校在本學期期末考試之后組織高一學生進行了第二次選科，現(xiàn)從高一（1）班和高一（2）班各隨

機選取1人進行訪談，發(fā)現(xiàn)他們在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.根據(jù)這一結(jié)果，能否認為在第二次

選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)發(fā)生了變化？說明理由.

【答案】（1）—

78

10

（3）答案見解析

【解析】

【分析】（1）（2）根據(jù)古典概型的概率公式即可求解,

（3）根據(jù)小概率事件即可求解.

【小問1詳解】

依題意得高一（1）班和高一（2）班學生共有40+38=78人，即該隨機試驗的樣本空間有78個樣本點.

設事件A="此人在模擬選科中選擇了“物理+化學”，

則事件A包含10+15=25個樣本點,

75

所以「（A）=而

【小問2詳解】

依題意得高一（1）班選擇“物理+思想政治”的學生有2人，分別記為A，4；

高一（2）班選擇“物理+思想政治”的學生有3人，分別記為4，昆,4.

該隨機試驗的樣本空間可以表示為：

Q={A^2,AB],AB2,AB3,^2旦,^2^2,42,3'B、B2,4B3,B2B3}

即“（Q）=10.

設事件3=“這2人均來自高一（2）班”，則5={452,453,52用}，

/、/、"⑶3

所以用）=3,故.）=詞=6

【小問3詳解】

設事件"從高一（1）隨機選取1人，此人第二次選科中選擇了“物理+歷史”,

事件。="從高一（2）班隨機選取1人，此人在第二次選科中選擇了“物理+歷史”,

事件E="這兩人在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.

假設第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)沒有發(fā)生變化，

則由模擬選科數(shù)據(jù)可知，P（C）=—,P（D）=—.

v740v738

所以P（E）=P（8）=尸（C）P（D）$/=焉.

答案示例1：可以認為第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)發(fā)生變化.理由如下：

P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認為第二次選科中選擇“物理+歷

史”的人數(shù)發(fā)生了變化.

答案示例2：無法確定第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)是否發(fā)生變化.理由如下：

事件E是隨機事件，P（E）雖然比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生，所以無法確定第二次選科

中選擇“物理+歷史”的人數(shù)是否有變化.

Y—2

19.已知函數(shù)/（X）=log.------（〃>0且〃￡1）.

x+2

（1）求了（%）的定義域；

（2）若當a=2時，函數(shù)8（可=/（X）—/?在（2,+00）有且只有一個零點，求實數(shù)b的范圍；

（3）是否存在實數(shù)。，使得當〃%）的定義域為[陰㈤時，值域為[l+logdJ+logoW],若存在，求出

實數(shù)。的范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴2）。（2,+。）

（2）（-oo,0）

十+r3-2^

（3）存在；。€[0,-----2-----J

【解析】

x—2/\

【分析】⑴由—〉0可得/（X）的定義域；

人I乙

丫一24

⑵注意到《力=^—=1--—在（2,+8）上單調(diào)遞增，則/（可在（2,+“），即b的范圍是就是/（%）

在（2,+8）上的值域；

X-2

（3）由題可得則問題轉(zhuǎn)化為——=ax在（2,+“）上有兩個互異實根，即可得答案.

x-I-2

【小問1詳解】

X—2

由---->0,得1<—2或%>2.

x+2

”力的定義域為（-8,-2）D（2,+8）；

【小問2詳解】

%-2]_4

令(x)=

x+2x+2

=；在（2,+8）上單調(diào)遞減，則t（x）在（2,+8）上為增函數(shù),

因函數(shù)y

Ji十乙

故《%）值域為（0/）.

又4=2,，/⑺在（2,+“）上為增函數(shù);函數(shù)g（尤）=/（%）-/?在（2,+8）有且只有一個零點,

即/（X）=5在（2,+8）有且只有一個解，：函數(shù)/（九）在（2,+8）的值域為（—8,0）,

...b的范圍是(—8,0).

【小問3詳解】

假設存在這樣的實數(shù)。，使得當“力的定義域為[加同時，值域為[l+log“7U+log“〃z],

由加<〃且1+R)ga〃<l+logj,可得Ovavl.

又由(2)《%)=1——三在(2,+8)上為增函數(shù)，y=log”x在(2,+8)上為減函數(shù).

Ji十乙

—2

/（加）=log“------=1+log。m=loga（am）

則“X)在(2,+8)上為減函數(shù)，得<

n—2

/（?）=log°--=1+log”n=log.（即）

〃+2

Y_2x_2

即-----=QX在（2,+"）上有兩個互異實根，因-----=依=>ax2+（2白一1）九+2=0

x+2x+2

即g(x)=ax2+(2a-l)x+2,有兩個大于2的相異零點.

3-11—8a〉0

A>0

一漢二1〉4.解得0＜。＜3一2.

設g(x)零點為占,馬，貝1|<玉+々〉4=>

a2

(X]-2)(%-2)〉0

22（2a—l）

-+-^------^+4＞0

、aa

(3-272^

又故存在這樣的實數(shù)ae0,---符合題意.

2

\7

20.對于函數(shù)〃%),若在定義域內(nèi)存在實數(shù)%,且％o,O,滿足/(—%)=/(%)，則稱"％)為"弱偶函

數(shù)”.若在定義域內(nèi)存在實數(shù)為,滿足/(—%)=一/(%)，則稱/(%)為“弱奇函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)/(x)="是否為“弱奇函數(shù)”或“弱偶函數(shù)”；(直接寫出結(jié)論)

x3,x<0

(2)已知函數(shù)g(x)=(x-2)忖+1],試判斷g(x)為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，若是，求出所有滿足

g(—Xo)=—g(%o)的X。的值,若不是,請說明理由；

(3)若丸(X)=—"凡X'4為其定義域上的“弱奇函數(shù)，，.求實數(shù)m取值范圍.

x+3,x<4

【答案】(1)弱奇函數(shù)

(2)g(x)不是其定義域上的“弱奇函數(shù)”.

「15J

(3)—,4

_4_

【解析】

【分析】(1)根據(jù)所給定義判斷即可