高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：平面向量及其應(yīng)用

專題09平面向量及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?耀精向紿

「［向量：既有方向又有大小的量

《零向量：長度為1個單位長度的向量）

O知識點一平面向量的有關(guān)概念平行（共線）向量：方向相同或相反的向量|題型01平面向量的概念辨析|

《相反向量：長度相等且方向相反的向量

三角形法則：首尾相接

向量加法平行四邊形法則:共起點

運算律|題型01向量的線性運算|

。知識點二向量的線性運算

向量減法I--1幾何意義：a-6=a+（-A）

平向量數(shù)乘運算律：結(jié)合律、第一配律、第二分配律

面

向量共線定理：非零向量。與碘線o存在唯——個實數(shù)從使得6=加

向

Yo知識點三向必定理與基本定理）~c^雌定理）題型01向量共線及其應(yīng)用

量題型02基底的概念及判斷

、-------------------------------------------/L「平面向量基本定理：如臬“是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，

題型03用已知基底表示向量

及

那么對于平面內(nèi)任一向量。，有且僅有一對實數(shù)否，九，使。=4回+也62

其

應(yīng)向量的夾角同起點、0*e?180°

定義：?-d=|fl||6|cose題型01向量數(shù)量積的計算

用

Z向量的數(shù)量積題型02向量垂直的相關(guān)問題

O知識點四平面向量的數(shù)量積--------幾--何意義數(shù)量積。?播于I。巨碼方向上的投影網(wǎng)cose的乘積題型03向量模長的相關(guān)問題

題型04向量夾角的相關(guān)問題

向量數(shù)量積的性質(zhì)

題^05投影向量及其應(yīng)用

向量數(shù)量積的運算律I交換律、分配律、數(shù)乘結(jié)合律

一向量0=(xiyl),b=(X2y2))

T加法：t+b=(xi+x2M+。^)

一向量線性運算坐標(biāo)表示、卜

a-b=(xi-x2^v-y2)■'

J數(shù)乘：片“例

向量平行的坐標(biāo)表示）~~（XD,2-X說=0）

知識點五平面向量的坐標(biāo)運算題型01平面向郵坐后示及運算

O題型02線段定比分點的應(yīng)用

KL：模長的坐標(biāo)：口=衍）

匚向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

匚［模長的不等關(guān)系：路+“力￡+H）＞j

口承盤點?置；層升上

知識點1向量的有關(guān)概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、零向量：長度為0的向量，記作0.

3、單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：。與任一向量平行.

5、相等向量：長度相等且方向相同的向量.

6、相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識點2向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

交換律：〃+BB+〃；

加法求兩個向量和的運算

aa結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

三角形法則平行四邊形法則

求Z與石的相反向量

減法a-b=a+(-B)

-石的和的運算幾堤義

=設(shè)忖，

結(jié)合律：A（jua）=（Aju）a；

求實數(shù)力與向量。的當(dāng)QO時，花與Z的方向相同；

數(shù)乘第一分配律：（4+〃）Q=XZ+〃a；

積的運算當(dāng)4<0時，痛與Z的方向相反；

第二分配律：2（6Z+B）=Aa+Ab

當(dāng)2=0時，2a=0

知識點3向量共線定理與基本定理

1、向量共線定理：如果［貝，反之，如果且以0,則一定存在唯一的實數(shù)2,使3=2石.

2、三點共線定理：平面內(nèi)三點A、B、C三點共線的充要條件是：存在實數(shù)2,〃，使4=彳函+〃而，其

中；1+〃=1,。為平面內(nèi)一點。2

3、平面向量基本定理

（1）定義：如果耳最是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量Z，有且只有一對

實數(shù)44，使4=4弓+44

（2）基底：若4,《不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

（3）對平面向量基本定理的理解

①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底下的分解

式是不同的.

②基底給定時，分解形式唯一.4，不是被24,最唯一確定的數(shù)值.

③?區(qū)是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，

則當(dāng)a與q共線時，辦=。；當(dāng)a與e2共線時，4=。；當(dāng)a=6時，4=4=。.

④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量.

知識點4平面向量的數(shù)量積

1、向量的夾角

i1UULiULU1i1i

（1）定義：己知兩個非零向量a和b,作。4=a,OB=b,則NA03就是向量。與匕的夾角.

(2)范圍：設(shè)。是向量。與b的夾角，則0區(qū)比180。.

(3)共線與垂直：若0=0。，則;與方同向；若6=180。，則。與力反向；若6=90。，則;與方垂直.

2、平面向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個非零向量a與匕，它們的夾角為仇則數(shù)量MWcose叫做a與6的數(shù)量積(或內(nèi)積)，

IlT'T'T'r11

記作a./?,即a/=|a||Mcose,規(guī)定零向量與任一■向量的數(shù)量積為0,即().〃=().

(2)幾何意義：數(shù)量積。.力等于，的長度口與，在:的方向上的投影制cos。的乘積.

11111,r.

【注意】(1)數(shù)量積口力也等于匕的長度|b|與a在人方向上的投影|a|cos6的乘積，這兩個投影是不同的.

II

(2)口在b方向上的投影也可以寫成精，投影是一個數(shù)量，可正可負(fù)可為0,取決于。角的范圍.

\b\

3、向量數(shù)量積的性質(zhì)

1i111

設(shè)a,b是兩個非零向量，e是單位向量，a是。與e的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：

rrrr.r,,!,舟

⑴e-a=a-e=\a\\e\cosa=\a\cosa.

1i11

(2)a_Lboa-b=Q.

、11?,rr|1||1|ii_,rr

(3)a,〃同向=a/=M冰a，〃反向=a-6=—圳訃

特別地或|力=層-

II

11Z7.A

(4)若。為a,b的夾角，則cos。=Ri?

\a\\b\

4、向量數(shù)量積的運算律

1111

(1)a*b=b*a(交換律).

(2)Aa-b=Ala-b\=a-(結(jié)合律).

ziixrrrrr

(3)(a-\-b\-c=a-c-\-b-c(分配律).

【注意】對于實數(shù)mb,c有(。力)?。=。?(6?。)，但對于向量〃，b,c而言，(。心)?。=〃?(萬。)不一

定成立，即不滿足向量結(jié)合律.這是因為(D)：表示一個與c共線的向量，而二?山?"表示一個與a共線

11illill

的向量，而。與c不一定共線，所以(Q/)?c=a?(b?c)不一定成立.

知識點5平面向量的坐標(biāo)運算

1、向量線性運算坐標(biāo)表示

(1)已知：=(&%)]=(%,%)，則工成=&+/，％+%)，?-%)?

結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

（2）右〃=（%,y）,則Xtz=U%,Xy）；

結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

2、向量平行坐標(biāo)表不：已知a=（%,%）,Z?=（九2，%），則向量〃，伙》W。）共線的充要條件是石％-無2%=。

3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知非零向量。=（玉,y）,b=（%2，%），。與b的夾角為夕

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模a=7xi2+才

11

cos"一十產(chǎn)

夾角cosG-??

舊+y；?小V+

。，力的充要條件

a-b=0平2+—0

rr百％++才)(%+

a-b與c2-I）的關(guān)系x%<yl)

點突破?春分?必檢

重難點01平面向量最值或范圍問題

1、定義法：①利用向量的概念及其基本運算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；②運用基本不等式求其

最值問題；③得出結(jié)論。

2、坐標(biāo)法：①根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點的坐標(biāo)；②將平面向量的運算坐標(biāo)化；③運

用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。

3、基底法：①利用基底轉(zhuǎn)化向量；②根據(jù)向量運算化簡目標(biāo)；③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不

等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；

4、幾何意義法：①結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；②利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點的軌跡；③結(jié)

合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍。

類型1數(shù)量積的最值或范圍

【典例1】（2024?四川成都三模）在矩形A3CD中，AB=5,AD=4,點E滿足2荏=3麗，在平面A3CD

中，動點P滿足麗.麗=0，則麗.無可的最大值為（）

A.741+4B.741-6C.2713+4D.2而-6

【答案】A

【解析】以。為坐標(biāo)原點（。是BE中點），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因為在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB.PEPB=Q，

所以動點P在以。為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)P（cos，,sin。），

則A（0,4）,D（4,4）,C（4,—l）,

Z）P-AC=（cos6）-4,sin0-4）-（4,-5）=4（cos（9-4）-5（sin6>-4）=A/41cos（^+（p）+4,

其中銳角。滿足tanp=：,故而.蔗的最大值為兩'+4,故選：A.

TT7T

【典例2】（2024?江西鷹潭?二模）在Rt^ABC中，角A5C所對應(yīng)的邊為a,b,c,A=：,C=~,c=2,P

62

是AABC外接圓上一點，則卮?（西+廂）的最大值是（）

A.4B.2+710C.3D.1+V10

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)Rt^ABC的外心為。，則點。是的中點，

由定.（丙+網(wǎng)=2無.的=2回+可.麗=2防+2防反，

因c=2,故|用|=|玩|=1,而而?反=cos〈所,反〉，

故定?（西+而）<2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)而與反同向時取等號.故選：A.

類型2模長的最值或范圍

【典例1】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知向量％=（帆,機），meR,5=（0,2）,則卜+q的最小值為.

【答案】V2

【解析】a+B=(根，根+2),

所以k+囚=yjm2+(m+2)2=d2m2+4。+4=<^2(m+l)2+2>母.

當(dāng)機=-1時等號成立.

故答案為：母.

【典例2】（2024.江蘇泰州.模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCQ中A=45\AB=1,AD=VL若

Q=荏+x蒞（尤eR）,則網(wǎng)的最小值為（）

A.士B.也C.1D.J2

22

【答案】B

［解析］由衣=通+X適可得|Q『=（/+xAD）2=|AB|2+fIADI2+2xAB-AD

=1+2x2+2xx1xV2cos450=2x2+2x+1=2（.x+1）2+1,

因xeR,故無時，|Q|；n=；,即|通|的最小值為日.故選：B.

類型3向量夾角的最值或范圍

【典例1】(2024?廣東江門?二模)設(shè)向量)=(l,x),詼=(2,x),則cos〈S3,S5〉的最小值為.

【答案】述

33

__2+元2

【解析】cos〈函k，礪〉=/\令2+/=々22),貝IJ尤2="2,

J(k+l)(x+4)

一,一t11

cos<OA,OB>:-/=-?=,=

所以l萬千m

當(dāng)』=；,即/=4,尤2=2時，cos〈市，礪〉取得最小值，且最小值為逑.

t43

故答案為：—

3

【典例2】(2324高三上?山東荷澤?階段練習(xí))已知向量25,滿足同=1,網(wǎng)=4,若對任意模為2的向量

均有卜川+|>@42"[,則向量的夾角的取值范圍為.

【?答小案田、由兀72兀

【解析】由|初=1,|方1=4,若對任意模為2的向量3,均有|萬>|+|方?四<2亞,

由三角不等式得，忸+孫平曲4+|5回42扃，因為向量下為任意模為2的向量,

所以當(dāng)向量Z+B與向量"夾角為0時，上式也成立，設(shè)向量2,石的夾角為a.

（a+b）-c|<|a+ft|-|c|-cosO=21a+b\<2^/21,|a+b\<A/21,

平方得到隸+于+2第21,即一+42+2商?方江21,

則萬BPIx4cos6r<2,BPcos6r<-,

一2

同時im—B）C|W|a—B|?|R-cosO=2|<T—5|V2回,所以|日一6區(qū)收，

平方得到商2+谷-2萬石421,即產(chǎn)+4?-270V21,

解得展B2-2，iPlx4cos6Z>-2,cosaN-g,

11jrOjr

綜上一一<cos（7<-,又因為a4。，向，即一一,

22L」33

TT27r

:?向量的夾角的取值范圍-,y.

兀2兀

故答案為:

類型4線性系數(shù)的最值或范圍

—.1—.

【典例1】（2024.山西晉中.模擬預(yù)測）（多選）在△ABC中，。為邊AC上一點且滿足AO=]OC,若P為邊

BD上一點，且滿足Q=4通+〃/，2,4為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.，心的最小值為1B.%的最大值為上

12

C.J+上的最大值為12D.；+｝的最小值為4

Z3/143〃

【答案】BD

—.1__.

【解析】因為=所以衣=3而，

又AP=AAB+jLiAC=AAB+3//AZ）,

因為夕、B、。三點共線，所以丸+3〃=1,

又X,4為正實數(shù)，所以澳=3、3//《（"+3〃

=

2IH

〃=）時取等號，故錯誤，正確;

當(dāng)且僅當(dāng)丸=34，即4AB

26

（〃）=+《怦

—1I--1=工+工%+32+￥22+2=4,

23〃43〃43〃Y%34

當(dāng)且僅當(dāng)*。即"吊時取等號，故C錯誤，D正確.故選：BD

【典例2】（2324高三下?安徽?階段練習(xí)）已知正方形A3CD的邊長為2,中心為。，四個半圓的圓心均為正

方形ABCZ）各邊的中點（如圖），若尸在BC上，S.AP=AAB+juAD,則幾+〃的最大值為

【解析】如圖，以線段8c所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)尸（cos。,sin。）,0e[n,2TT]

又A（-l,2）,3（-1,0）,C（l,0）,D（l,2）,,

則/=（cosd+l,sin6>_2）,而=（2,0）,ZE=（0,—2）,

AP=A,AD+juAE,即（cos9+1,sin。—2）=X（0,—2）+〃（2,0）

_cos^+1

fcos9+l=2〃"—?

??..A。：]，解得?？冢?/p>

sin6—2=-22c2-sin

、4=-----

[2

2-sin6^cos^+11八?八1（w（八兀）.

（=

4+4=----------1-----————（cos0—sin0+3JI7?cosl^+~l+3l?

因為［兀,2兀］,則O+

所以當(dāng)e+：=2兀時，cos/+：J取得最大值1,

則4+〃的最大值為北正.

2

故答案為：史史.

2

重難點02運用向量表示三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心

1、常見重心向量式：設(shè)。是44BC的重心，P為平面內(nèi)任意一點

+OB+OC=0

②方=|（PX+PB+PC）

③若9=4（而+而）或9=瓦？+乂屈+前），Ae[0,+oo）,則P一定經(jīng)過三角形的重心

④若方=%（島+彘）或加=市+%（虛而+彘）,％e[。,+8）則P一定經(jīng)過三角形的重心

2、常見垂心向量式：。是AABC的垂心，則有以下結(jié)論：

①初-OB=~OB-OC=OC-OA

②研2+國2=|函2+國2=|西2+畫2

③動點P滿足訶=瓦？+4不,Ae（0,+a））,則動點P的軌跡一定通過AABC的垂心

d\\AB\cosB+1\AC\cosCJ/

3、常用外心向量式：。是兒4BC的外心，

①I西=\OB\=|oc|^OA2=OB2=OC2

②畫+~OB）-AB=+OC"）-BC=（OA+OC）-AC=0

③動點尸滿足加二空生+乂力」。，4e（0,+8）,則動點P的軌跡一定通過44BC的外心.

2\\AB\c8osBD+\iAC\cosCJJ

④若（市+OB）-AB=（OB+OCyBC=（OC+OA）-CA=0,貝I]。是A4BC的夕卜心.

4、常見內(nèi)心向量式：P是AABC的內(nèi)心，

①畫玩+\BC\PA+\CA\PB=0（或a園+bPB+cPC=0）

其中a,b,c分另lj是△力BC的三邊BC、AC,AB的長，

②?=2（瑞+禽），〃0,+8）,則P一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心。

AD__R]DA

【典例l】（2024?四川南充?三模）已知點P在AABC所在平面內(nèi)，若可=麗?（二^-=）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\

則點尸是AABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【答案】D

【解析】在AABC中，由麗一心絲）=0,得麗?士?=西?總，

\AC\\AB\\AC\\AB\

=由麗一g）=o,同理得麗?^^=麗?絲，

\AC\\AB\\BC\\BA\\BC\\BA\

顯然QwC，即尸與A不重合，否則cos/4BC=l,同理而力。，

貝!!|"|以《』尸47=|衣|85/尸43,BPcosAPAC=cosZPAB,ZPAC=ZPAB,

于是AP平分/BAC,同理BP平分/ABC,

所以點P是AABC的內(nèi)心.故選：D

【典例2】（2324高三上.全國?專題練習(xí)）已知G,0,X在AABC所在平面內(nèi)，滿足55+而+宓="

\OA\=\OB\=\OC\,AHBH=BHCH=CHAH，則點G,0,//依次為AABC的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心、內(nèi)心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

【答案】C

【解析】因為M+通+枇=6,所以第+麗=-布,

設(shè)AB的中點。，則總+屈=2而，所以-宓=2亦,

所以C,G,。三點共線，即G為AABC的中線C。上的點，且GC=2GD,

所以G為AABC的重心.

因為|西|=|礪|=|滅所以|Q4j=|OB|=|OC|,所以。為的外心;

因為麗?兩=兩西=5?而，所以麗?（而一面）=0,即麗?近=0,

所以麗，衣，同理可得：HA±BC，HB±AB，所以H為AABC的垂心.故選：C.

重難點03奔馳定理及其應(yīng)用

1、奔馳定理：。是AA8C內(nèi)的一點，且x,瓦5+y?赤+z,反=6,

^^4BOC:^4C0/l:^A/lOB=X'.y.Z

2、證明過程：已知。是AA8C內(nèi)的一點，\BOC,ACOX,AX08的面積分別為%,SB,Sc,

求證：SA-OA+SB-OB+Sc-OC—0.

延長。4與BC邊相交于點D,

則??_SA-BD_SRBOD_S'ABD-SRBOD_江

DCSLACDSRCODSRACD-SRCODSB

OD=2￡QB+^.QC=^B_QB+,

BCBCSB+SCSB+SC

??￡￡_SBODSCODSBOD+S—OD_s.

SS+S

OASBOACOABOACOASB+SC

：.~0D=--^-OA,

SB+SC

SB+SCSB+SCSB+SC

所以S4-OA+SB-OB+Sc-OC=0.

（3）奔馳定理推論：x-OA+y-~OB+z-~OC=0,貝I

①S^BOC：S^COA：S^AOB=|x|：lyl：|z|

⑨S—BOC_IXISAAOC_IyISAAOB_IzI

SRABC1%+y+zl9SRABC1%+y+zl'SRABCIx+y+zl

由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.

（4）對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向

量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案。

【典例1】（2324高三上.江西新余.期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向

量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具

體內(nèi)容是：已知M是AABC內(nèi)一點，ABMC,AAMC,AAWB的面積分別為%,SB,Sc,且

SAMA+SBMB+SCMC=G.以下命題正確的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,則M為AABC的重心

B.若M為&4BC的內(nèi)心，則.祝+AC?礪+AB?礪=0

C.若M為&4BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,貝！ItanN8AC:tanNABC:tan/3C4=3:4:5

D.若4c=45。，NABC=60。，〃為“1SC的外心，則&:S":=百：2:1

【答案】ABC

【解析】A選項，因為%SB：SC=1：1：1,所以庇+施+旗=0,

取2C的中點。，則標(biāo)+就=2詬，所以2礪=_市，

故A,M,D三點共線，且加4=2的，

同理，取43中點E,AC中點可得昆三點共線，C,M,E三點共線，

所以M為AABC的重心，A正確；

B選項，若M為AASC的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為,，則SA=；BC/,SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

所以;BC"?涼+：AC?八痂+?入碇=0,即2C-涼+AC?癡+43-碇=0，B正確;

C選項，若M為AABC的垂心，3通5+4旃+5碇=0，則SA：SB：SC=3：4:5,

如圖，AD1BC,CELAB,BFLAC,相交于點M,

S31

又S^ABC=SA+——~r—~,即AM.:MD=3:1,

%ABC1Z4

S41

^△ABC1，3

Sc5

----=TT,即ME:MC=5:7,

^△ABC1，

設(shè)=根，MF=n,ME=5t,則AM=3根，BM=2n,MC=7t,

因為NCW=NCB尸，sinACAD=—,sinZCBF=—,所以上-=2，即機="〃，

3m2n3mIn3

同理可得即機='巫f,故〃=4至，，

7t3m32

故3。=sinZBMD=2n?--=--n

63

A/1O5—

^~?_VTO5

cosZCMD=—

7t7t21

故C￡>=MCsinZCMD=It-皿紅=拽L,tanNABC=處,tanZBCA=—,

213BDCD

4回

CD4同4同_4

故tanZABC:tanZ.BCA=

BD1底一回”

------n

3

同理可得tanZBAC:tanZABC=

4

tanABAC:tanZABC:tanZBCA=3:4:5,C正確；

D選項，若NB4C=45。，ZABC=60°,M為疑。的外心，貝!JNACB=75°,

設(shè)AABC的外接圓半徑為R,

故NBMC=2ZBAC=90°,ZAMC=2ZABC=120°,ZAMB=2ZACB=150°，

111/?11

222222

^SA=-Rsin90°=-R,SB=-Rsin1200=^-/?,Sc=-Rsml500=-R,

2282424

所以J:SB：SC=2:括:1,D錯誤.

故選：ABC

【典例2】（2324高三上?河北保定?階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為

這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC

內(nèi)一點，ABOC,AAOC,劍陽的面積分別為%,SB,Sc,貝?礪+S??礪+Sc?元=0.設(shè)。是AABC

內(nèi)一點，AABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,ABOC,AAOC,AAOB的面積分別為梟，SB,,若

30A+40S+50C=0，則以下命題正確的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是AABC的重心

C.若。為AABC的外心，貝!|sinA:sin3:sinC=3:4:5

D.若。為AABC的內(nèi)心，則“LBC為直角三角形

【答案】AD

【解析】對于A,由奔馳定理可得，3OA+4OB+5OC=SAOA+SBOB+SCOC=0,

因為西，OB,反不共線，所以SA：S/SC=3:4:5,故A正確；

對于B,若。是AABC的重心，OA+OB+OC=0,

因為3次+4赤+5反=0,所以詼=2詼，即0,8,C共線，故B錯誤.

對于C,當(dāng)0為"1BC的外心時，|西|=|詞=］明，

所以SR：:S。=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=3:4:5,

即sin2A:sin26:sin2c=3:4:5,故C錯誤.

對于D,當(dāng)。為的內(nèi)心時，SA:SB:Sc=夕*=〃："：c=3:4:5（不為內(nèi)切圓半徑）,

7T

所以片+〃=。2,所以C=二，故D正確.故選：AD.

2

重難點04極化恒等式及其應(yīng)用

1、極化恒等式：2%=；［3+可_0-B）2］

2、平行四邊形模式：平行四邊形48CD,。是對角線交點.則協(xié)?T>=3|AC|2—

3、三角形模式：在AABC中，設(shè)。為8c的中點，則鼐?祀=|AO|2一|8。匕

【典例1】（2324高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形

的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，“2=；（刖『-|明］,我們稱為極化恒等式.

已知在AABC中，M是中點，AM=3,BC=10,貝U4月.AC4=（）

A.-16B.16C.-8D.8

【答案】A

【解析】由題設(shè)，融?？梢匝a形為平行四邊形形。C,

由已知得|痂|=3,|肥|=10,麗.衣=；（4|前T-|而||=；x（36-100）=-16.故選：A.

【典例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）四邊形ABCD中，〃是A3上的點，MA=MB=MC=MD=1,

NCMD=90。,若N是線段CO上的動點，麗.麗的取值范圍是.

【答案】一；，。

【解析】M是A3上的點且M4="B=MC=A/D=1=>C、。兩點在以A3為直徑的圓上，

且圓心為M,NCMD=90。是等腰直角三角形，

所以福.麗=（兩+漏）?（W+麗）=兩?+兩?通+協(xié)?兩+麗?兩

~NM2+~NM-(MB+MA\+MB-MA

5LMB+MA=6,MBMA=-\,

所以麗麗==12VM

在等腰直角MMD中，點M到線段MN上的一點N的距離最大值為1,

取最小值時,N為的中點，此時NM=cos45°.CM=—,

2

51――.

—<|W|<1,所以-「VMbNBVO.

2112

故答案為：一展。

法技巧?逆賽學(xué)霸

一、解決向量概念問題的關(guān)鍵點

1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

2、共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān).

3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量.

4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的