高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形中的中線高線角平分線 專項(xiàng)訓(xùn)練

三角形中的中線、高線、角平分線

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且NA4c=60。，b=3,

AD為BC邊上的中線，若AD=5則BC的長為()

A.7B.3V2C.V19D.3V3

2.ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A3邊上的高為2c,A=

則cosC=()

4

V10D3V10

AA.-----D.-----

1010

/3A/5cV5

U.—U.—

105

3.如圖所示，在四邊形ABC。中，AC=AD=CD=7,ZABC=120°,BD^jZABC

的角平分線，sinNA4C=逋，則3。=()

14

A.6B.8

C.7V2D.9

4.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,。，c,點(diǎn)。為3c的

中點(diǎn)，AD=1,B=p且△ABC的面積為*則c=()

C.2D.3

5.在△ABC中，。為的中點(diǎn)，3sinZADB=2sinC,BC=6,AB=4版則

△ABC的面積為()

A.2V3B.3V3

C.2V2D.4V2

6.如圖，在△ABC中，已知A3=2,AC=5,NB4c=60。，BC,AC邊上的兩

條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,則NAPB的余弦值為（）

B

A.V13B.2V13

1313

2回4V91

C.D.

9191

二、多項(xiàng)選擇題

7.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b=ccosNB4C,ABAC

的角平分線交3c于點(diǎn)D,AD=1,cosZBAC=^,則以下結(jié)論正確的是（）

8

3

A.AC=-

4

B.AB=8

C.—=-

BD8

D./XABD的面積為心

4

8.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,NA3C的角平分線交AC

于。，E為AC的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.若巫，則NABC=E

a+c3

B.若巫，則NABC=E

a+c6

C.若5E=空手W,則NA3C=]

D.若5E=絲宇華則NA3C=*

三、填空題

9.在△ABC中，/BAC=6。。，AB=2,BC=漁,NA4c的角平分線交3c于。，

則AD=.

10.（2021?浙江高考）在△ABC中，ZB=60°,AB=2,般是3c的中點(diǎn)，AM=

2V3,則AC=：cosZMAC=.

四、解答題

11.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且9_=晅衿朕.

b+csinyl-sinC

(1)求&

(2)若6=巡，NA3C的平分線交AC于點(diǎn)。，BD=1,求△ABC的面積.

12.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2csinB=(2a—c)tan

C.

⑴求角B；

(2)若c=3a,。為AC的中點(diǎn)，BD=y/13,求△ABC的周長.

13.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=6,bsin2A=4而sin

B.

⑴若b=l,證明：C=A+)

(2)若BC邊上的高為?，求△ABC的周長.

參考答案

［A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底］

1.C［如圖，AD=I(AB+AC),

A

BDC

：.AD2=|(AB2+ZC2+2AB?ZC),

.?.c=5(負(fù)根舍去)，

'：BC2=b2+c2-2bccosZBAC

=9+25-2X3X5Xi=19,

：.BC=V19.]

2.B[如圖，AB邊上的高為CD,

因?yàn)锳=E,所以AD=2C,2c=bsin

44

所以3D=c,b=242c,

由勾股定理可得BC=7c2+4c2=V5c,

由余弦定理的推論可得cosNAC5=5c2皆22=羽眄故選B

3.B[因?yàn)?。為NA3C的角平分線，所以NABD=60°,因?yàn)镹A3C=120。,

所以NR4c為銳角，所以cosNB4C=J1—(餐)2=*

所以sinZBAD=sm(ZBAC+ZDAC)

=sinABAC?cosZDAC+cos/BAC,sinND4c

_5V3111V3_4V3

----------X—I--------X----------------,

1421427

由正弦定理可知JD=",

smz.BADsmz.ABD

即BD=sinZBADXAD=—xW=8.故選B.]

sin^ABD7叵」

2

4.B[VB=p.,.在△ABD中，由余弦定理得

2

/+(])—2cX^cos；=1,a2+4c2~2ac=4,

又SAABC=—acsinB~^—ctc~,解得〃c=2①，

242

+4c2—lac=4=lac,即4c2—4^c+<72=0,

??.(2c—a)2=0,即a=2@,

將②代入①得2c2=2,解得c=l或c=-1（不合題意，舍去），故選B.]

5.D[在△ABD中，由正弦定理可得AB=/￡_

smz.ADBsmB

在△ABC中，黑二嗯,

sinCsinB

兩式相比可得史上儂=些

sinCAD

因?yàn)?sinZADB=2smC,

所以祭=1，設(shè)AC=2hAD=3左,

由余弦定理的推論可得

nAB2+BD2-AD2AB2+BC2-AC2

cosB=---------------=-,---又---因---為---3--C=6,A3=4A/7,。為3c的中點(diǎn),

2AB-BD2AB?BC

所以BD=3,

2

即32+9—9k232+36-4/c,解得公=1,

2X4A/2X32X4A/2X6

匕二八,八日.八

所以cos3=-3-2-+--9-9-X1=—2V2,可F得/sin3=-1,

2X4VF2X333

所以S^ABC=^AB?BC?sinB=jx4V2X6x|=4V2.

故選D.]

6.D[因?yàn)锳3=2,AC=5,NB4c=60。，由余弦定理可得

BC=AB2+AC2-2AB?AC?cosABAC=V4+25-2x2x5cos60°=V19,

因?yàn)椴?：（同+就），所以

22V39

J^(AB+AC+2\AB\\AC\cos^BAC4+25+2x2x5x—=

2

由余弦定理的推論可得

AB2+BC2-AC24+19-25

cosXABC=1,~BN=^(BA+BC\可得

2AB?BC2X2V192-719

\BN\=/廊2+前2+2函MCOSZABC

J(4+19+2x2xV19x(-熹)=早

由重心的性質(zhì)可得AP=14M=F

吁抑T

39,21.,_

4P2+BP2TB2_+__4

在△AP3中，由余弦定理的推論可得cosNAP3=

2AP?BP2x逵x叵一_^T'

33

故選D.]

7.ACD［因?yàn)閆?=ccosN3AC,

由正弦定理可得sinB=sinCeosZBAC

=sin(ZBAC+Q,

所以sinZBACcosC=0,因?yàn)閟inZBAC^Q,

所以cosC=0,即C=]

因?yàn)楣?cosZBAC=—,

由角平分線定理可得

ADDUO

設(shè)AC=x,則AB=8x,

則BC=3y/7x,CD=yX

2

在Rt^ACD中，由勾股定理可得f+=1,

解得x==即AC==AB=6.

44

因?yàn)镾AABC=-AC?BC=-x-X3V7x-=^,

224432

所以SAABD=*AABC=￥.故選ACD.］

8.AD［對(duì)于A,B項(xiàng)，由S"3C=S“5D+SMCZ)可得,

11

-acsinXABC=-a?BDsin/.ABC+,1-c?BnDcsm?-/--A-B--C

22222

le.Z.ABCZ.ABCDC?/-ABC.g?乙ABC

貝1nUlacsm-----cos-----=a?BDsin-----+c?BDsin------

2222

因?yàn)閟in*W0,

2

所以2〃ccos^^-=(a+c)BD,cos^l￡=^a+c^BD

222ac

因?yàn)锽D=—,

a+c

則cos等=q,即/ABC、,故A正確，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,D項(xiàng)，由題可知雇=3瓦5+前），所以前2=1（瓦就）2=：（瓦+

JC2+2BA-BC）=i（a2+c2+2tzccosZABC）.

因?yàn)?E=三三

2

所以a+；-a，=*2+c2+2accosZABC）,

整理可得cosZABC=-p

所以NA3C=*,

故C錯(cuò)誤，D正確.

故選AD.]

9.2［由余弦定理的推論得cos60°=絲，整理得AC?—2AC—2=0,得AC

2X2^4C

=1+V3.

o

因?yàn)?AABC=SAABD+SAACD,所以|X2ACsin60°=|x2ADsin30+|AC?ADsin

30°,所以AD=逆竺=28x（1；遮）=2.］

AC+23+V3」

10.2V13誓［在△ABM中，

AM2=BA2+BM2-2BA?BMcos60°,

.,.（2V3）2=22+BM2-2X2XBMXj,

：.BM2-2BM~8=0,解得BM=4或一2（舍去）.

,點(diǎn)M是BC中點(diǎn),.,.MC=4,BC=8,在△ABC中，AC2=22+82-2X2X8cos

60°=52,/.AC=2V13.

（2可+（2g）242

在△中，

AMCcosZMAC=2X2V3X2V13

13」

11.解：（D因?yàn)槠?也匕電＜，由正弦定理得旦=上￡,整理得"一絲=尻—C2,

b+csirii4-sinCb+ca-c

即a2+c2—b2=ac,

又由余弦定理的推論得cosB=a-b=

因?yàn)??（o,。所以

(2)如圖所示，因?yàn)镾AABC=S/\ABD+S/\BCD,

B

所以SAABC=-BD?csin-+-BD?asin-=-(tz+c).

26264

又因?yàn)镾/^ABC=~CICsin-=,所以1(o+c)=f

由余弦定理得b2=a2+c2—2accos]=(Q+C)2—3QC=6,

f—l(Za+.cX)=_—V3etc,cc

聯(lián)立方程組4、4可得3(QC)2—3QC=6,即(QC)2—QC—2=0,

(a+c)2—3ac=6,

解得ac=2或ac=-1(舍去)，

所以SAABC=—acsinB=--uc=~.

242

12.角窣：(1)\,2csinB=(2a—c)tanC,

/.2sinCsinB=(2sinA-sinC)?sinCWO,

則2sinBcosC=2sinA—sinC=2sin(B+C)—sinC=2(sinBcosC+cosBsinC)

—sinC,整理得2sinCcos5=sinC,

又sinCWO,.*.cosB=|,而3@(0,兀)，

(2)c=3Q,

由余弦定理得

b2=a2+c1-2accosB=a1+9a2—2aX3aXcos；=74，

因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)，則AD=CD=^-a,

Z￡l+13-9a2

在△A3。中,由余弦定理的推論得cosZADB=^T-----,

2X3X尺

型+13-。2

在ACBD中，由余弦定理的推論得cos/CDB=F----,

2x^axV13

XCDB+XADB=TI,COSXCDB+COSAADB=Q,

2,

年7-a+13^-9。孚+13-。2

+\——=0