2024-2025學年北師大版九年級數(shù)學上學期復習訓練：概率投影和視圖（解析版）

清單03概率投影和視圖(8個考點梳理+題型解讀+提升訓練)

考點儕單

直接列舉法

列舉法列表法

概率計算

樹狀圖法

用頻率估計概率

率

概

影

投平行投影

圖

視

【清單01】概率

1.定義：一般地，對于一個隨機事件A,把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，

記為P(A).

(1)一個事件在多次試驗中發(fā)生的可能性，反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個事件發(fā)生的概率。

(2)概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數(shù)值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事

件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-.

n

(1)一般地，所有情況的總概率之和為1。

(2)在一次實驗中，可能出現(xiàn)的結果有限多個.

(3)在一次實驗中，各種結果發(fā)生的可能性相等.

(4)概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接

近1;反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。

(5)一個事件的概率取值：OWP(A)W1

當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1,即P(必然事件)=1

不可能事件的概率為0,即P(不可能事件)=0

隨機事件的概率：如果A為隨機事件，則0<P(A)<1

(6)可能性與概率的關系

事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0.

°事件發(fā)生的可能性越來越小?

?*一I概率的值

不可能發(fā)生-必然發(fā)生

事件發(fā)生的可能性越來越大

2.求概率方法：

(1)列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結果比較少時，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結果全部列舉出

來，并且各種結果出現(xiàn)的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以

通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。

(2)列表法：當一次實驗要涉及兩個因素(例如擲兩個骰子)，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不

重不漏地列出所有可能的結果時使用。

(3)列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素(例如從3個口袋中取球)時，列表就不方便

了，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。

【清單02】頻率與概率

1、頻數(shù)：在多次試驗中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)

2、頻率：某個事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比，叫做這個事件出現(xiàn)的頻率

3、一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率-會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近

n

,那么，這個常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P(A)=Po

【清單03】平行投影

1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有

被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影

叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結論：

⑴等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身

的長度.

2.物高與影長的關系

(1)在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小

在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西一西北一北一東北一東，

影長也是由長變短再變長.

(2)在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即甲物體的高甲物體的影長

乙物體的高■■乙物體的影長.

利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

【清單04】中心投影

若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就

是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、

投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應地，我們會得到兩個結論：

(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的

物體它的影子長.

“jJ

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，

影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點

在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.

注意：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方

向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側.

【清單05】正投影

正投影的定義：

(I)(2)(3)

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；

圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這

種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段AiBi,與線段AB的長相等;

②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2,長小于線段AB的長;

③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.

⑵平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個

平面圖形全等；

②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，

是類似圖形但不一定相似.

③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.

(3)立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過

立體圖形的最大截面全等.

【清單06】三視圖

(1)視圖的定義

從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.

(2)正面、水平面和側面

用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊

的面叫做側面.

(3)三視圖

一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；

在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，

叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

(4)畫圖方法：

畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線.

注意：

畫一個幾何體的三視圖，關鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所以，

首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛

線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學交流探討，多總結；最后，按三

視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.

用里型情單

【考點題型一】概率有關運算

【典例1-1】某校九年級計劃組織學生外出開展研學活動，在選擇研學活動地點時，隨機抽取了部分學

生進行調(diào)查，要求被調(diào)查的學生從A、B、C、D四個研學活動地點中選擇自己最喜歡的一個.根據(jù)調(diào)

查結果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)此次被調(diào)查的學生共有.人，研學活動地點A所在扇形的圓心角的度數(shù)為

(2)若該年級共有800名學生，請估計最喜歡去C地研學的學生人數(shù);

(3)九(1)班研學歸來，班主任組織學生進行研學收獲及感悟交流分享會，A小組有兩名男同學和兩名

女同學，從A小組中隨機選取2人談收獲及感悟，請用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽中兩名同學為

一男一女的概率.

【答案】(1)100；72°

(2)估計最喜歡去C地研學的學生人數(shù)大約有320人

(3)列表見解析，剛好抽中兩名同學為一男一女的概率為:

【分析】本題主題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、利用樣本估計總體、列表法求概率等知識，熟練

掌握相關知識是解題關鍵.

(1)利用''選擇地點B的學生人數(shù)其十其占比15%”求解即可；禾U用“360°X選擇地點A的學生占比”求

解即可；

(2)利用“該校學生總數(shù)x選擇地點C的學生占比”，即可求得答案；

(3)根據(jù)題意列表，結合表格即可獲得答案.

【詳解】(1)解：此次被調(diào)查的學生共有15+15%=100(人)；

研學活動地點A所在扇形的圓心角的度數(shù)為蕓x360°=72°.

故答案為：100;72°；

(2)解：(40+100)X100%X800=320(人)，

答：估計最喜歡去C地研學的學生人數(shù)大約有320人.

(3)解：列表如下：

男1男2女1女2

男1男1男2男1女1男1女2

男2男2男1男2女1男2女2

女1女1男1女1男2女1女2

女2女2男1女2男2女2女1

由上表可知共有12種等可能的結果，其中剛好抽中一男一女的結果有8種,

???剛好抽中兩名同學為一男一女的概率為：P（一男一女）="=|?

答：剛好抽中兩名同學為一男一女的概率為|.

【典例1-2】一個不透明的盒子里裝有除顏色外其它都相同的四個球，其中1個白球、1個黑球、2個

紅球，攪勻后隨機從盒子中摸出兩個球，則摸出兩個紅球的概率是（）

AB

-1-；C.[D.1

【答案】C

【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所

有等可能的結果與摸出兩個紅球的情況，再利用概率公式計算即可.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

紅紅白黑

/N小小小

紅白里紅白里紅紅里紅紅白

因為共有12種等可能的結果，其中摸出兩個紅球的有2種情況，

所以摸出1個白球的概率是

126

故選：C.

【變式1-1】某科室有3名醫(yī)生，其中2名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，現(xiàn)隨機選派兩名醫(yī)生前往某地震災區(qū)

參與救援工作，則選派的兩名醫(yī)生恰好是一男一女的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3236

【答案】C

【分析】本題考查用列表或畫樹狀圖法求概率.正確的列出表格或畫出樹狀圖是解題關鍵.先列表，

表示出所有可能的情況，再找出符合題意的情況，最后根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：將兩名男醫(yī)生分別記為男1,男2,列表如下：

男1男2女

男1男1，男2男1,女

男2男2，男1男2,女

女女，男1女，男2

由表格可知，共有6種等可能的結果，其中選派的兩名醫(yī)生恰好是一男一女的結果有4種,

所以選派的兩名醫(yī)生恰好是一男一女的概率為

63

故選C

【變式1-2】同學們，你們知道“石頭、剪子、布”的游戲吧！甲、乙兩人做這種游戲，隨機出手一次,

則甲獲勝的概率是（）

AB

-I-IC.1D.|

【答案】B

【分析】此題主要考查了列表法和樹狀圖法求概率知識，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與甲獲勝的情況數(shù)，再利用概率公式

即可求得答案.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

石頭剪刀布石頭剪刀布石頭剪刀布

???共有9種等可能的結果，甲獲勝的情況數(shù)是3種，

.?.一次游戲中甲獲勝的概率是：5=：.

故選：B.

【變式1-3】某同學手中有6張撲克牌，6張撲克牌上的數(shù)字依次為1,2,3,4,5,6.若從中同時取

出兩張牌，則牌面數(shù)字均為偶數(shù)的概率是.

【答案】|

【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，列出表格，共有30種等可能的情況，其中牌面數(shù)字均為

偶數(shù)的情況有6種，利用概率公式計算即可.

【詳解】解：列表如下：

123456

11,21,31,41,51,6

22,12,32,42,52,6

33,13,23,43,53,6

44,14,24,34,54,6

55,15,25,35,45,6

66,16,26,36,46,5

由表格可知，共有30種等可能的情況，其中牌面數(shù)字均為偶數(shù)的情況有6種，

...牌面數(shù)字均為偶數(shù)的概率是卷=

故答案為：|

【變式1-4】南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口.某周六上午，甲、乙

兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動.

(1)甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為；

(2)求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率.

【答案】⑴：

⑵I

【分析】題考查了利用列表法或樹狀圖法求概率：先列表或畫樹狀圖展示所有等可能的結果數(shù)加，再

找出某事件所占有的可能數(shù)n,然后根據(jù)概率的概念即可得到這個事件的概率=

m

(1)直接利用概率公式計算可得；

(2)列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再利用概率公式可得答案.

【詳解】(1)解：???有標識為1、2、3、4的四個出入口，

，甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為:，

4

故答案為：;;

(2)解：畫樹狀圖如下:

開始

1234

八/7K八八

1234123412341234

共有16種等可能結果，其中甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動有4種結果，

??單乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率為好：

【變式1-5】我校為落實國家“雙減”政策，豐富課后服務內(nèi)容.為學生開設五類社團活動(要求每人必

須參加且只參加一類活動)音樂社團、體育社團、美術社團、文學社團、電腦編程社團.

(1)小明從中任選一類社團活動，選至『‘體育社團”的概率是二

(2)現(xiàn)從“文學社團”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取兩名參加演講比賽，請用列表或

畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學的概率.

【答案】跳

⑵3

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n,再從中選出

符合事件A或2的結果數(shù)目m,然后利用概率公式求出事件A或2的概率.

(1)直接利用概率公式計算；

(2)先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出恰好選中甲和乙兩名同學的結果數(shù)，然后根據(jù)

概率公式計算.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意：小明從中任選一類社團活動，選至I“體育社團”的概率是也

(2)解：畫樹狀圖為：

開始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12種等可能的結果，其中恰好選中甲和乙兩名同學的結果數(shù)為2種,

所以恰好選中甲和乙兩名同學的概率5=

126

【考點題型二】利用頻率估計概率

【典例2-1】某同學現(xiàn)有一裝有若干個黃球的袋子.為了估計袋子中黃球的數(shù)量，該同學向這袋黃球中

放入了30個綠球（所有球除顏色外其余均相同），搖勻后隨機抓取60個，其中綠球共計10個，則袋子

中黃球的數(shù)量約為（）

A.200個B.180個C.240個D.150個

【答案】D

【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，設黃球的數(shù)量為x,根據(jù)題意可得券=”，求出解即可.

30+x60

【詳解】設黃球的數(shù)量為無,根據(jù)題意得

30_10

30+%60

解得％=150.

經(jīng)檢驗是方程的解且符合題意，

所以袋子中黃球有150.

故選：D.

【典例2-21某數(shù)學小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一事件發(fā)生的頻率并繪制了如圖所示

的折線統(tǒng)計圖，該事件最有可能是（）

，頻率

0.34-7

0.33--------------------.........

0.32-------------

0.31----------------------------------------------------

030---1-----1---1-----1---1-----1----1-----1---1-----1------->

02004006008001000次數(shù)

A.擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)大于3

B.一個均勻的轉盤被等分成10份，分別標有1~10這:10個數(shù)字，任意轉動轉盤，轉盤停止后，指針

指向的數(shù)字是3的倍數(shù)

C.暗箱中有1張紅桃K,1張黑桃K,1張梅花K,3張牌除花色外一模一樣，從中任取1張牌是紅桃

K

D.一個路口的紅綠燈，紅燈時間為30秒，黃燈時間為5秒，綠燈時間為40秒，隨機經(jīng)過該路口

時，遇到紅燈的概率

【答案】C

【分析】本題主要考查概率公式的應用，用頻率估計概率，解答本題的關鍵是求出各事件發(fā)生的概

率.根據(jù)統(tǒng)計圖可知發(fā)生的頻率接近點得出該事件發(fā)生的概率為點然后逐項進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)圖象可知：發(fā)生的頻率接近點即該事件發(fā)生的概率為a

A.擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)大于3的概率為也故A不符合題意；

B.一個均勻的轉盤被等分成10份，分別標有1?10這10個數(shù)字，任意轉動轉盤，轉盤停止后，指針

指向的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率為總，故B不符合題意；

C.暗箱中有1張紅桃K,1張黑桃K,1張梅花K,3張牌除花色外一模一樣，從中任取1張牌是紅桃

K的概率為%故C符合題意；

D.一個路口的紅綠燈，紅燈時間為30秒，黃燈時間為5秒，綠燈時間為40秒，隨機經(jīng)過該路口

時，遇到紅燈的概率」k=工=3故D不符合題意.

30+5+40755

故選：C.

【變式2-1】為考察一種枸杞幼苗的成活率，在同一條件下進行移植試驗，結果如下表所示：

移植總數(shù)n4015030050070010001500

成活數(shù)TH351342714516318991350

成活的頻率當0.8750.8930.9030.9020.9010.8990.900

n

估計這種幼苗移植成活的概率是（結果精確到0.1）.

【答案】0.9

【分析】本題考查了根據(jù)頻率估計概率，正確理解概率是解題的關鍵，根據(jù)概率定義求解即可.

【詳解】解：由表可得成活的頻率妝在0.9的附近波動，

n

.,?這種幼樹移植成活率的概率為0.9.

故答案是：0.9

【變式2-2】一個袋子中有黑球、白球共10個，這些球除顏色外其余都相同，規(guī)定：每次只能從袋子

里摸一個球出來，看過顏色后必須放回去.小明同學按規(guī)定摸出一個球.記錄顏色，放回去，重復該

步驟2000次.最終記錄結果為黑球620次，白球1380次.由此可以估計.袋子里有個白球.

【答案】7

【分析】本題考查了可能性的大小：利用實驗的方法進行概率估算.當實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率

可作為事件發(fā)生的概率的估計值，即大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率.先計算出到白球的頻率為07,利

用頻率估計概率，則摸到白球的概率為07,然后利用概率公式計算出口袋中白球的個數(shù)即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，摸到白球的頻率為黑=蕊=0.69x0.7,

估計摸到白球的概率約為0.7,

所以口袋中白球的個數(shù)為0.7X10=7（個），

即袋子里有7個白球的可能性最大.

故答案為：7

【變式2-3】在一個不透明的暗箱中裝有紅、黃、藍三種除顏色外完全相同的小球，其中紅球5個，黃

球7個，藍球a個，隨機摸出一個小球記下顏色后，放回盒子里，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%左右，

則a的值約為一.

【答案】8

【分析】此題是利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率.在同樣條件下，大量反復試驗

時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解.

【詳解】解：由題意可得：

解得，a=8,

經(jīng)檢驗：a=8是原方程的解，且符合題意，

則a的值約為8.

故答案為8.

【變式2-3】老師將本題答案制作了一個二維碼，并打印成面積為20cm2的正方形（如圖所示），為了估

計圖中黑色部分的面積，他在紙內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入白色部分的頻率穩(wěn)定在

0.4左右，據(jù)此可以估計黑色部分的面積約是.

【答案】12cm2

【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺

動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個

固定的近似值就是這個事件的概率.總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可.

【詳解】解：估計黑色部分的面積約為20x(l-0.4)=12cm2,

故答案為：12cm2.

【考點題型三】正投影

【典例3-1】某同學身高140cm,那么這名同學的正投影的長().

A.小于140cmB.等于140cmC.大于140cmD.小于或等于140cm

【答案】D

【分析】本題考查了正投影的定義，在物體的平行投影中，投影線垂直于投影面，則該平行投影稱為

正投影，分兩種情況：當投影線垂直于地面時，當投影線平行于地面時，即可得出答案，熟練掌握正

投影的定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：當投影線垂直于地面時，此時這名同學的正投影的長為小于140cm,

當投影線平行于地面時，此時這名同學的正投影的長為等于140cm,

綜上所述，某同學身高140cm,那么這名同學的正投影的長小于或等于140cm,

故選：D.

【典例3-2】物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關.一個三角板的正投影不可能是

()

A.一條線段B.一個與原三角板全等的三角形

C.一個等腰三角形D.一個小圓點

【答案】D

【分析】由三角板所在的平面與投影光線的關系逐一分析可得答案.

【詳解】解：當三角板所在的平面與投影光線平行時，可得投影是一條線段，故A不符合題意；

當三角板所在的平面與投影光線垂直時，可得投影是一個與原三角板全等的三角板，故B不符合題

思；

當三角板所在的平面與投影光線成一定的角度時，可得投影是一個變形的三角板，可能為等腰三角

形，不可能是一個點，故C不符合題意；D符合題意；

故選D

【點睛】本題考查的是投影的含義，理解物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關是解

本題的關鍵.

【變式3-1】一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是()

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】正投影即投影線垂直于頂面產(chǎn)生的投影，據(jù)此直接選擇即可.

【詳解】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是

故選：B.

【點睛】此題考查平行投影，解題關鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同.

【變式3-2】一個矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)投影的特點進行判斷即可.

【詳解】解：一個矩形木框在地面上形成的投影可能是一條線段、一個矩形、一個平行四邊形，而不

可能是一個梯形，故A符合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了投影與視圖，解題的關鍵是熟練掌握投影的特點.

【變式3-3】把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】根據(jù)正投影的特點及圖中正六棱柱的擺放位置即可直接得出答案.

【詳解】解：把一個正六棱柱如圖擺放，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是矩

形.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正投影的性質(zhì)，一個幾何體在一個平面上的正投影是一個平面圖形.

【變式3-4］如圖，若投影線的方向如箭頭所示，則圖中物體的正投影是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)正投影的定義，得出圓柱的正投影為長方形，正方體的正投影為正方形，即可求解.

【詳解】解：觀察圖中的兩個立體圖形，圓柱的正投影為長方形，正方體的正投影為正方形，

故選：C.

【點睛】本題考查了正投影，掌握正投影的定義是解題的關鍵.正投影是指平行投射線垂直于投影

面.

【考點題型四】平行投影

【典例4-1】下列四幅圖形中，表示兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的圖形可能是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行投影的定義判斷即可.本題考查平行投影，解題的關鍵是掌握平行投影的定義.

【詳解】解：這里屬于平行投影，兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的圖形可能是：

故選：A.

【典例4-2】小軍和小文利用陽光下的影于來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所示，在某一時刻，他

們在陽光下，分別測得該建筑物08的影長0C為20米，0A的影長。。為24米，小軍的影長FG為

2.4米，其中。、C、。、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且。4_LOD

EF±FG.

⑴①圖中陽光下的影子屬于_(填“中心投影”或“平行投影”)②線段AD、線段8c與線段EG之間的位

置關系為一.

⑵已知小軍的身高E為1.8米，求旗桿的高

【答案】⑴①平行投影；②AD||BC||EG(或答“平行”)

(2)旗桿AB的長為3米

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵掌握相似三角形的判定.

(1)根據(jù)平行投影和中心投影的定義即可做出判斷.

(2)證明A40D?AEFG,利用相似比計算出4。的長，再證明△B0C?△4。。，然后利用相似比計算

0B的長，進一步計算即可求解.

【詳解】（1）①根據(jù)題意可知是平行投影；

②2D||BC||EG（或答“平行”）；

故答案為：①平行投影；②AD||BC||EG（或答“平行”）.

（2）0A1OD,EF1FG,

，N4OD=NEFG=90。，

\'AD||EG,

Z.D=Z-G,

△AODEFG,

.OA_OD

??=9

EFFG

.OA_24

"1.8~2.4?

/.OA=18

CD=OD-OC=4,

9：AD||BC,

.ABCD

??——,

OAOD

?AB4

??—,

1824

：.AB=3（米），

所以，旗桿4B的長為3米，

【變式4-1】小紅同學在校運會的第一天下午先參加了200米的比賽，一小時后再參加了400米的比

賽，攝影老師在同一個位置拍攝了她參加這兩場比賽的照片（如圖），其中她參加400米比賽的照片是

（填“甲”或“乙”）.

甲乙

【答案】甲

【分析】本題考查平行投影的特點和規(guī)律.在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不

同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向

是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長.在不同時刻，同一物體在太陽光下形成的影子的大

小和方向不同，依此進行分析.

【詳解】解：..?太陽光線是平行光線，

下午的影子隨時間的變化，由短變長，

/.她參加400米比賽的照片是甲.

故答案為：甲.

【變式4-2】在陽光下，身高1.6米的小明在地面上的影長為0.4米，同一時刻旗桿的影長為3米，則

旗桿的高度為米.

【答案】12

【分析】本題考查平行投影，根據(jù)同一時刻，同一地點，物高與影長對應成比例，進行求解即可.

【詳解】解：設旗桿的高度為x米，由題意，得：蕓=：,

0.43

解得：%=12；

故答案為：12.

【變式4-3】古希臘數(shù)學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太

陽光測金字塔的高度.如圖，木桿EF長|米，它的影長FD是3米，同一時測得。力是274米，則金字塔

的高度BO是米.

【答案】137

【分析】本題考查平行投影，根據(jù)同一時刻，物高與影長對應成比例，列出比例式進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：黑=會，

FDOA

3

即：五=絲，

3274

/.OB=137；

故答案為：137.

【變式4-4】某學校旁有一根電線桿48和一塊長方形廣告牌，有一天小明發(fā)現(xiàn)在太陽光照射下，電線桿

頂端A的影子剛好落在長方形廣告牌的上邊中點G處，而長方形廣告牌的影子剛好落在地面上七點

（如圖），已知BC=5米，長方形廣告牌的長HF=4米，高HC=3米，DE=4米，則電線桿2B的高度

是米.

A

,、

、、

、、

、、

、、

、、

、、

_____、、.

BCDE

【答案】,8；/8.25

44

【分析】此題考查的平行投影，相似三角形的應用舉例，在平行光線下，不同時刻，同一物體的影子

長度不同；同一時刻，不同物體的影子長度與它們本身的高度成比例.過點G作GQLBE于點0,

GP14B于點P,得出四邊形BQGP是矩形，由題意得AAPGsAFDE,然后根據(jù)實際高度和影長成正

比例列式，求解即可.

【詳解】如圖，過點G作GQ1BE于點Q,GP1AB于點P,

A

,、、

、、

、、

、、

、、

P7L_____,、、：G,

:、、'、、

_______1-1、、.

BCQDE

根據(jù)題意得出，四邊形BQGP是矩形，8P=GQ=3米，

根據(jù)實際高度和影長成正比例，得出△APG，△FDE,

.APPG

??=，

DFDE

.AP_5+2

…3-4

.?.4B=烏+3=軍米.

44

故答案為：

4

【變式4-5】【基礎解答】如圖，28和DE是直立在地面上的兩根立柱.48=6m,某一時刻AB在陽光

下的投影BC=2m,DE在陽光下的投影長為3m.根據(jù)題中信息，求立柱DE的長.

D

A

BCE

/////////////7/////Z

【拓展拔高】如圖，古樹4B在陽光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m,還有一部分影子

在建筑物的墻上，墻上的影高CD為1m,同一時刻，豎直于地面上的1m長的竹竿，影長為2m,求這棵

古樹4B的高.

【答案】立柱DE=9m,古樹48=3m.

【分析】本題主要考查了投影的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

基礎解答：根據(jù)太陽光投影中，光線都是平行的，即可得DFII4C,據(jù)止匕判定△ABCsADEF,問題隨

之得解；

拓展拔高：畫出圖形，根據(jù)光線都是平行的，根據(jù)“基礎解答”的方法，同理可得：AABGSAMNH,

△DCGSAMNH,問題隨之得解.

【詳解】基礎解答

如圖，

；DF||AC,

：.^ACB=乙DFE,

XV^.ABC=乙DEF=90°,

△ABC^△DEF,

.AB_DE

??=,

BCEF

AB=6m,BC=2m,EF=3m,

.6_DE

**2-3

解得：DE=9m；

拓展拔高

如圖，

y

~'、、、°M

、''、、、、、￥竿''、'、、、、

BCGNH

根據(jù)題意有：BC=4m,CD=Im,MN=lm,NH=2m,

根據(jù)【基礎解答工同理可得：4ABG”4MNH,ADCGs4MNH,

.AB_MNCD_MN

'"BG-NH'CG-NH'

□即rt有/*:-A-B--—1，1———1，

4+CG2CG2

解得：CG=2,

即有=3(m),

即古樹AB=3m.

【考點題型五】中心投影

【典例5-1】如圖，晚上小明在路燈下沿路從a處徑直走到8處，這一過程中他在地上的影子（）

A.一直都在變短B.先變短后變長C.一直都在變長D,先變長后變短

【答案】B

【分析】本題考查了中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.根據(jù)中心

投影的特征可得小亮在地上的影子先變短后變長.

【詳解】解：在小亮從4處徑直走到路燈下時，他在地上的影子逐漸變短；當他走到路燈下，再走到8

處時，他在地上的影子逐漸變長，

???小亮在地上的影子先變短后邊長，

故選：B.

【典例5-2】如圖，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源。的

照射下形成的投影是若。B:BBi=2:3,則△&B1G的面積是（）

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

【答案】D

【詳解】解：???一塊面積為60cm2的三角形硬紙板（記為AABC）平行于投影面時，在點光源。的照射

下形成的投影是A4B1C1，OB-.BB.y=2:3,

.OB_2

?"OBi-5，

二位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5,

?三角形硬紙板的面積為60cm2,

...=⑶之=

V5/25'

；.△4/1Cl的面積為375cm2.

故選：D.

【變式5-1］如圖，在直角坐標系中，點P（2,2）是一個光源.木桿4B兩端的坐標分別為（0,1）、

（3,1）.則木桿4B在x軸上的投影長為（）

p

a/，__\B

A.3B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中心投影；利用中心投影，延長P4PB分別交x軸于

4,夕，作PElx軸于E,交于D,如圖，證明AP48“△P4B，，然后利用相似比可求出4次的長.

【詳解】解：延長24、PB分別交x軸于4,B',作PE_Lx軸于E,交4B于D,如圖

；P(2,2),4(0,1),B(3,l).

：.PD=1,PE=2,AB=3,

：.4PABsxPA'B',

.ABADpr-t31.

，、

**A'B'~AEAIBI-2

：.A'B'=6,

故選：C.

【變式5-2】手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時候常玩的

游戲.在一次游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如圖2所示.若在

光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則光源與小明的距離應()

圖1圖2

A.增加0.5米B.增加1米C.增力口2米D.減少1米

【答案】C

【分析】本題考查了中心投影、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題是關鍵是找出相似的三角形，然后根

據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解答問題，根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角

形的性質(zhì)構建方程求解即可.

【詳解】解：如圖：點。為光源，AB為小明的手，CD表示小狗手影，貝以8||CD,作。ELAB,延長

OE交CD于F,貝UOF1CD,

△OABOCD,

.ABOE

??—,

CDOF

'：0E=2米，OF=6米，

.AB_OE_2_1

??CD-OF-6-3'

令AB=k,貝！JCD=3k,

??,在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话耄鐖D,

即4B=k,CD'=|/c,40ABsAOC'D',

?旦一咀j,則空

：.0E'=4米，

...光源與小明的距離應增加4-2=2米，

故選：C.

【變式5-3】下列各種現(xiàn)象屬于中心投影現(xiàn)象的是()

A.中午烈日下用來乘涼的樹影B.上午陽光下人走在路上的影子

C.晚上人走在路燈下的影子D.早上太陽下升旗時地面上旗桿的影子

【答案】C

【分析】本題考查了中心投影的性質(zhì)，根據(jù)中心投影的性質(zhì)，找到是燈光的光源即可，解題的關鍵是

理解中心投影的形成光源為燈光.

【詳解】解：中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光，在各選項中只有C選項得到的

投影為中心投影，

故選：C.

【變式5-4］綜合與實踐.

現(xiàn)實生活中，人們可以借助光源來測量物體的高度.首先根據(jù)光源確定人在地面上的影子；再測量出

相關數(shù)據(jù)，如高度，影長等；最后利用相似三角形的相關知識，可求出所需要的數(shù)據(jù).已知燈柱

在燈柱4B上有一盞路燈P,在路燈下，人站在點。和點G的位置都有影子，B、D、G三點在同一水

平線上.根據(jù)上述內(nèi)容，解答下列問題：

A

F

_______________________q」

BDEG

(1)已知人站在點D時路燈下的影子為DE,請畫出路燈P及人站在點G時路燈下的影子GH；

(2)如圖，若身高為1.7米的小明站在點。影長0E為3m,沿8D方向走5m到點G,DG=5m,此時

影長GH為4m,求路燈P到地面的高度PB；

【答案】（1）見解析

⑵路燈尸離地面的高度為10.2m

【分析】本題主要考查了相似三角形的應用以及中心投影的性質(zhì):

（1）利用中心投影的性質(zhì)進而得出產(chǎn)點和H點位置;

（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出AEPB”AEC。，同理可得△HFGsAHPB,進而得出答案.

【詳解】（1）解：如圖所示，點尸、線段GH即為所求,

A

十"仃

BDEGH

延長EC于點尸，找到路燈P的位置，連接PF并延長，交射線BD于點X,即為人FG在路燈下的影子.

(2)解：VCDWAB,

△EPB~△ECD,

CDDEZTN

而=益，即art而1.7=漏3①

9：FG\\AB,

：?2HFGjH