高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：指數(shù)與對(duì)數(shù)

清單04指數(shù)與對(duì)數(shù)

根式n次方根的定義

---------<〔根式考點(diǎn)題型一根式的概念與化簡

指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義考點(diǎn)題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式互化

X考點(diǎn)題型三指數(shù)幕運(yùn)算的化簡求值

指數(shù)與對(duì)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)考點(diǎn)題型四指數(shù)運(yùn)算條件求值問題

對(duì)數(shù)的概念考點(diǎn)題型五指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化

對(duì)數(shù)考點(diǎn)題型六用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)考點(diǎn)題型七對(duì)數(shù)運(yùn)算的化簡求值

【清單01】根式

1、〃次方根的定義

（1）定義：一般地,如果x"=4（?>1,且〃eN"）,那么X叫做a的〃次方根.

（2）個(gè)數(shù):

①當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),

這時(shí)。的〃次方根只有一個(gè)，記為x=標(biāo)；

②當(dāng)"是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，

這時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)正，負(fù)的〃次方根用符號(hào)-標(biāo)表示,

它們可以合并寫成土標(biāo)（a〉0）

2、根式

（1）根式的定義：式子布叫做根式，其中〃叫作根指數(shù)，。叫作被開方數(shù).

（2）根式的性質(zhì)：（〃>1,且〃eN*）

〃為奇數(shù)，

（兩"=a；（布）"=<

時(shí),〃為偶數(shù).

【清單02]

1、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義

（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)累：規(guī)定：a：=痂（。>0,九

_絲1

（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：規(guī)定：a〃=—（〃>0,加,〃￡N*,〃>

an

（3）性質(zhì)：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義

2、指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

（1）a'as-ar+s（a>0,r,5eR）.

（2）（（/）'=a"（a>0/,seR）.

（3）（aby=arbr（?>0,Z?>0,reR）.

【清單03】對(duì)數(shù)

1、對(duì)數(shù)的概念

（1）對(duì)數(shù)的定義：如果d=N（。>0,且。/1），那么就稱6是以。為底N的對(duì)數(shù)，記作b=log〃N,

其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).

（2）常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)logi°N簡記為IgN；

（3）自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)log,N簡記為InN.

2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

（1）運(yùn)算性質(zhì)：a>0,且awl,M>0,N>0

M

@loga（MN）=logflM+logflN；@logfl—=logflM-logflN；=nlogaM

（2）換底公式及推論

lowN

log。N=------（a>0,且aWl；c>0,且cWl；N〉0）.

一iogca

可用換底公式證明以下結(jié)論：

①log.6=—；②logQlog//ogca=l；

logba

m

m

③log,"Z?"=log.6；@loga?b=—logflZ>；⑤10glz7=-log“b.

題型儕單

【考點(diǎn)題型一】根式的概念與化簡

方法總結(jié)：

（1）解決根式的化簡與求值問題首先要分清根式是奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡

求值；

（2）注意對(duì)方和（布）"進(jìn)行區(qū)分；

（3）對(duì)根式的運(yùn)算要注意變式，整體代換，以及平方差、立方差、完全平方及完全立方公式的運(yùn)用，做到

化繁為簡，必要時(shí)進(jìn)行討論.

【例1】（2223高一上?江蘇徐州?月考）下列式子中成立的是（）

A.ayJ-a=y1-a3B.y[—a=-

C.ay^-a--yj-a3D.y/—a=

【答案】C

【解析】由4^a可知a?0,

對(duì)于A,a4-a<0，>o>故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,時(shí)，4-a>0,而無意義，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,a4-a<0?—yj—a3<0?-&ay[—a=—yj—a-a2=—yj—a3>故C正確;

對(duì)于D,a<0時(shí)，4~a>0?而無意義，故D錯(cuò)誤；故選：C.

【變式11］（2223高一上?江蘇連云港?月考）若x，0,則國-正+4的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

I~2"

【解析】因?yàn)閄R0,所以國-必+?=卜|-卜|+；=1.故選：C

【變式12】（2324高一上?廣東中山?月考）化簡｛一篇j（其中。>0/>0）的結(jié)果是（）

2a2a161

''3bB'~lb081，/口.-8仍94

【答案】C

［解析］=f—f=（-）4=16C.

27刃33b3'3b）81?V

【變式13］（2324高一上?海南?月考）若x<3,則，9-6工+4一丹-6|的值是（）

A.3B.3C.9D.9

【答案】A

【解析】依題意％<3,所以％-6<0,%-3<0,

所以J9_6x+x2_k—6|=-^（3-x）2-|x-6|=|3-乂-卜-6|=3-%+工-6=-3.故選：A.

【變式14］（2324高一上?江蘇宿遷?月考）若x>3,則_6X+9_|2-X|=.

【答案】-1

【解析】因?yàn)閤>3,^fl>lVx2-6x+9-|2-x|=^（x-3）"+（2-x）=|x-3|+2-x=x-3+2-x=-l.

【考點(diǎn)題型二】分?jǐn)?shù)指數(shù)易與根式互化

方法總結(jié)：（1）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞互化的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握兩種形式中相關(guān)數(shù)值的對(duì)應(yīng)：①根指數(shù)一分?jǐn)?shù)指

數(shù)的分母；②被開方數(shù)（式）的指數(shù)C分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.

（2）當(dāng)根式為多重根式時(shí)，要清楚哪個(gè)是被開方數(shù)，一般由內(nèi)向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞依次寫出.

【例2】（2324高一上?新疆?月考）把根式.夜化成分?jǐn)?shù)指數(shù)塞是（）

3333

（）

A.-42B,一（一。）2C._a2D,a2

【答案】D

13

【解析】由題意可知。20,._〃/故選：D.

..ClxjCl—CI入LI—14

【變式21］（2324高一上?陜西西安?月考）代數(shù)式藤五（。>。）化簡的結(jié)果是（）

A1B113

-a-a，C-滔D.”

【答案】A

【解析】［用/石=心心./=￥&=◎,/=

故選：A

【變式22］（2324高一上.湖南株洲?月考）下列關(guān)于廣：，（見〃eN*）的形式的運(yùn)算正確的是（）

_51_51

A.83=『B.83二-

F

_3］

C./=一海D.（-8盧

而

【答案】A

--11

【解析】由于83=干=而，A正確，B,C錯(cuò)誤；

83

(-8)4=

河’=k記無意義，D錯(cuò)誤，故選：A

【變式23］（2324高一上?河南?月考）（多選）下列各式錯(cuò)誤的是（）

A.H丫2=.B.a3+a4=a1

_1-------3

C.=-yfx^x0）D.=晨

【答案】ABC

,___21

【解析】對(duì)于A,當(dāng)y＜。時(shí)，6^7=y6=_y3,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,〃=1時(shí)顯然等式不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,

313

對(duì)于D,=而％=1，故D正確.故選：ABC.

【變式24】（2324高一上?河北石家莊?月考）（多選）下列各式中一定成立的有（）

B.^7二的

D.個(gè)出—^3

【解析】對(duì)于A,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,花可=行=正，故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)x=l/=2時(shí)，軌3+23=%=卜=3“(x+yf=3^f

所以出：3+,3w(%+y/,故C錯(cuò)誤；

11

I—(「112011J

對(duì)于D,京方=93=(3v=3'*2=室=百，故D正確.故選：BD.

【考點(diǎn)題型三】指數(shù)暴運(yùn)算的化簡求值

方法總結(jié)：指數(shù)累運(yùn)算的四個(gè)原則

（1）有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算；

（2）先乘除后加減，負(fù)指數(shù)塞化成正指數(shù)塞的倒數(shù)；

（3）底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù);

（4）若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，盡可能用事的形式表示，運(yùn)用指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)來解答

（化簡過程中一定要注意等價(jià)性，特別注意開偶次方根時(shí)函數(shù)的定義域）

【例3】（2324高一上?江蘇徐州?月考）已知2"=5，8=3,則2"一助的值為（）

255

A.25B.5C.—D.一

93

【答案】D

【解析】?.?8"=3，，（23丫=23〃=3,二2"?故選：D.

1

【變式31]（2324高一上.湖南長沙?月考）計(jì)算(-64)5+[(-3)4f-6/2-1)°

【答案】C

[解析](-64P+[(_3)4F-訴-1)°+底=(-43)3+(34)4-l+[^)3P=-4+3-1+1=—.故選：C

【變式32】（2324高一上?江蘇南京?月考）（《J*二鏟+（23向]?]]?4=（）

A.兀B.2+兀C.4—7iD.6—71

【答案】B

_05J_3

【解析】信]+而二不+(2底滬8=/A2+$43r.故選：B

【變式33]（2425高一上?江蘇宿遷?開學(xué)考試）下列各式中，計(jì)算正確的是（）

44c4T-J425

A?m'm=2mD.m+m=m

C.（-2^7）3=-6x3y3D.（^-ab2^^ab1^=-ab2

【答案】D

【解析】對(duì)于A,m4-m4=m4+4=m8，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,m4+m2m5,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,（-2盯丫=_8%3艮，故c錯(cuò)誤;

對(duì)于D,（-〃/丫.（〃/了=一（仍2）3+（仍2）2=_融2,故D正確；故選：D.

【變式34］（2324高一上?湖北武漢?月考）求值:

(IV1

⑴(7+46)。+3231-2、\]~~\

<x43

3

81V_/+#(3-Ji)，

(2)2-3+16)

【答案】（1）3；（2）兀

_2

(_iy'

【解析】()A?X

1(7+4/3)°+32-2W\3

私x4

3LL12

533332

=l+(2p-2x(2-p+2x4=1+2-2x2+25x23

12

=1+8-8+2六=1+2=3.

33

43X371=+-+7l-3=71

(2)2、償;+《(3-兀)4=2-3+&-2^+I-!|T1-

【考點(diǎn)題型四】指數(shù)運(yùn)算條件求值問題

方法總結(jié)：條件求值問題的解題思路

1、將條件中的式子用待求式表示出來，進(jìn)而代入化簡得出結(jié)論；

2、當(dāng)直接代入不易時(shí)，可以從總體上把握已知式和所求式的特點(diǎn)，從而巧妙求解，一般先利用平方差、立

方和（差）以及完全平方公式對(duì)其進(jìn)行化簡，再用整體代入法來求值；

3、適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更加清晰，過程更簡潔。

【例4】（2223高一上?廣東惠州?月考）已知a+/=6,貝I/的值為

【答案】±2

<1_1Y11

【解析】a2-a2="2+/=6-2=4,所以.一尸=±2.

【變式41］（2223高一上?廣西南寧?月考）已知?jiǎng)t/+十的值為（）

Cl-rLI-J

A.7B.±7C.47D.51

【答案】C

【解析】因?yàn)樾?“3—3,所以a'+〃5x

LIILI-J=a+cT+2=9,

I7

2

所以a+&T=7,所以（a+/iI=/+32+2=49,所以/+1=47,故選：c.

x—X

【變式42］（2223高一上?河北張家口?月考）已知X+%T=4,（0<X<1）,則1一衛(wèi)的值等于（）

x2+%2

A.V6B.6C.-4-72D.8

【答案】C

【解析】〈x+xT=4,（0<%<1）,則

：.X2+x=ylx+2+%1=J4+2=\/~6，

x-x~x

X2-x-2

則=-4V2,故選：c.

X2+x2

【變式43］（2324高一上?河南漠河?月考）（多選）已知.一代+.心=3下列各式中正確的是（）

A./+i=7B.a^+a3^=18

V3_V3

?Q2+Q2=5/5

【答案】ABCD

【解析】A：。坊+。一2百=卜-62ag百=9-2=7,故A正確;

B：/6+a-36=（/代+°6）（0-2心_々-6+6+/6）=3x（7-1）=18,故B正確;

3君期（也西Y■

22=小+。2扶+川-”下（）

D：=a+a=V5X3-1=2A/5

\八7

故D正確；故選：ABCD.

【考點(diǎn)題型五】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化

方法總結(jié)：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a＞0,4H0時(shí)，/=N=x=log〃N.

【例5】（2223高一上?四川瀘定?月考）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（）

,1?11

A.10°=1與lgl=OB.273=§與k）g27§=-]

C.log39=29|=3D.logs5=1與5=5

【答案】C

【解析】由1咤39=2可得32=9,C不正確故選：C

【變式51]若療°24=〃（加＞。且冽wl）,則（）

A.logran=2024B.log“加=2024

n=m

C.log2024m^nD.log2024

【答案】A

【解析】因?yàn)?°24="（機(jī)＞o且加Hl）,所以log",〃=2024.故選：A.

【變式52】下列對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式7、=9等價(jià)的是（）.

A.log7x=9B.log9x=7C.log79=xD.logA9=7

【答案】C

【解析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系,7工=9等價(jià)于1。879=乙故選：C

【變式53】（2324高一上?貴州安順?月考）（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（）

A.10°=1與lgl=0B.噬39=2與丁=3

_1111

3

C.27=--^log27j=--D.logs5=1與亍=5

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,指數(shù)式10°=1化為對(duì)數(shù)式為坨1=0,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,指數(shù)式￡=3化為對(duì)數(shù)式為1°g93=；，故B錯(cuò)誤；

A111

對(duì)于選項(xiàng)C,指數(shù)式273="化為對(duì)數(shù)式為log27§=-§,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,指數(shù)式寧=5化為對(duì)數(shù)式為logs5=1,故D正確.故選：ACD.

【考點(diǎn)題型六】用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)

方法總結(jié)：觀察已知對(duì)數(shù)與所求對(duì)數(shù)的關(guān)系，通過換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)建立兩者之間的聯(lián)系.

3

【例6】（2425高一上?四川闿中?開學(xué)考）已知1臉3=。，Iog87=b,則1限為的值為（）

-Z）2a

A.a—b2B.a—2bC.—D.—y

ab

【答案】B

3

【解析】logg/ulogsSTogg—ubg83-21og87=a-Z.故選:B

【變式61]（2324高一上?天津?月考）log23=a,log21=b,試用a,6表示Iog4z56（）

3+b3+ba+b+\a+b

A.----B.------D.----

a+ba+b+\■3+63+6

【答案】B

1嗎（2"7）3+噫73+b

【解析】Slog23=a,log2l=b,fjlljlog4256=.故選：B

Iog,（2x3x7）1+log23+log271+a+b

【變式62](2324高一上?江蘇連云港?月考)設(shè)Q=lg6,b=lg20,則1(^3=()

a+6-1a—6+1

A.B.C.D.

b+\b-\b+\b-\

【答案】D

a=lg2+Zg3lg2=b-l

【解析】則bg?3=魯="丁.故選D

b=l+lg2lg3=a-b+1lg2b-17

【變式63]（2324高一上?上海?月考）已知log53=a,5"=4,試用。、6表示bg近30=.

【答案】2a+b+2

【解析】由5"=4可得：1嗎4="即b=2k>&2,故

log近30=21og5（3x2x5）=2[log53+log52+l]=2la+|+lj=2a+/j+2.

【考點(diǎn)題型七】對(duì)數(shù)運(yùn)算的化簡求值

方法總結(jié)：對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般原則

Yl

（l）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)幕形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式log='log。/）化簡合并；

am

（2）利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)式；

（3）將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、易；

（4）如果對(duì)數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個(gè)因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個(gè)對(duì)數(shù)相加減的形式，然后

進(jìn)行化簡合并；

（5）對(duì)數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對(duì)數(shù)相減的形式。

【例7】（2324高一上嚀夏吳忠?月考）（多選）以下式子中，計(jì)算正確的是（）

log83

A.21+1°825=102=

log242

2

C.flog225+log21log58+log51j=D.

log39+log42=0

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,/臉5=>X2臉5=2x5=10,故A正確;

3

log28_log22_31og,2_3

對(duì)于B故正確;

2B

log24log22210g222

對(duì)于C,(logZ25+log21Jlog58+log5J=log2125x?xlog^8x^

=log25xlog54=log,4=2,故C正確；

對(duì)于D,log39+log42—2+—^0，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.

2

2734

【變式71］（2324高一上?浙江?月考）計(jì)算:log9

+21og32-log3--5-=

64

【答案】上7

2~~log9

3