45函數(shù)的應用(二)透課堂-2021-2022學年高一數(shù)學滿分計劃（人教A版2019）

20212021學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第一冊)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應用(二)【知識導學】考點一：函數(shù)的零點對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．方程、函數(shù)、圖象之間的關系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點．知識點二：函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．考點三：二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，可用二分法來求方程的近似解．考點四：用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟1．確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0.2．求區(qū)間(a，b)的中點c.3．計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.4．判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷．考點五：函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)技巧方法：應用函數(shù)模型解決問題的基本過程1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型；2．建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；3．求?！蠼鈹?shù)學模型，得出數(shù)學模型；4．還原——將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題．已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解【考題透析】透析題組一：函數(shù)零點存在定理1．（2019·北京·高一期中）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．2．（2020·全國·高一課時練習）若函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且>0，>0，<0，則y＝有唯一零點需滿足的條件是（）A．<0B．函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)C．>0D．函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)3．（2020·湖南·長郡中學高一月考）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）A． B．C． D．透析題組二：函數(shù)的零點分布問題（參數(shù)）4．（2021·江蘇·高一課時練習）設a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（）.A． B．C． D．5．（2020·江蘇·南京市第十三中學高一月考）已知，若關于x的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍是（）A．(－1，1] B．[－3，2) C．(－1，2) D．(－3，1)6．（2021·福建·廈門外國語學校高一月考）方程的兩根一個根大于2，另一個根小于2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．透析題組三：用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值7．（2021·全國·高一專題練習）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（）A． B．C． D．8．（2020·全國·高一課時練習）在用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算，則函數(shù)的一個精確度為0．1的正實數(shù)零點的近似值為（）A．0.6 B．0.75C．0.7 D．0.89．（2020·江蘇·昆山市第一中學高一月考）在使用二分法計算函數(shù)的零點的近似解時，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1，2)，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來需要計算（）次區(qū)間中點的函數(shù)值.A．2 B．3 C．4 D．5透析題組四：函數(shù)與方程的綜合問題10．（2019·北京·匯文中學高一期中）已知函數(shù)，．設為實數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2021·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，若方程恰有三個根，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．（2021·全國·高一課前預習）已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．（0，1） C． D．透析題組五：應用函數(shù)模型（對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)）13．（2021·全國·高一課時練習）聲強級（單位：）與聲強的函數(shù)關系式為：.若普通列車的聲強級是，高速列車的聲強級為，則普通列車的聲強是高速列車聲強的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍14．（2021·四川自貢·高一期末（理））銀行一年定期的存款的利率為，如果將元存入銀行一年定期，到期后將本利和再存一年定期，到期后再存一年定期……，則10年后到期本利共（）．A．元 B．元C．元 D．元15．（2021·湖南·高一月考）年月日時分，長征五號遙五運載火箭在我國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，飛行約秒后，順利將探月工程嫦娥五號探測器送入預定軌道，開啟我國首次地外天體樣返回之旅已知火箭的最大速度（單位：）與燃料質(zhì)量（單位：），火箭質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關系為，若已知火箭的質(zhì)量為，火箭的最大速度為，則火箭需要加注的燃料質(zhì)量為（）（參考數(shù)值為，，結(jié)果精確到）（）A． B． C． D．【考點同練】一、單選題16．（2021·江蘇·高一課時練習）方程0.9x－x＝0的實數(shù)解的個數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．317．（2021·全國·高一課時練習）若函數(shù)在區(qū)間中恰好有一個零點，則的值可能是（）A．2 B．0 C．1 D．318．（2021·全國·高一課時練習）關于用二分法求函數(shù)零點的近似值，下列說法中正確的是（）A．函數(shù)只要有零點，就能用二分法求出其近似值B．零點是整數(shù)的函數(shù)不能用二分法求出其近似值C．多個零點的函數(shù)，不能用二分法求零點的近似解D．一個單調(diào)函數(shù)如果有零點，就能用二分法求出其近似值19．（2021·四川·射洪中學高一月考）已知函數(shù)，若方程有三個不等的實數(shù)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．20．（2020·全國·高一課時練習）用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)內(nèi)的近似解的過程中，構造函數(shù)f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，則該方程的根所在的區(qū)間是（）A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)21．（2021·全國·高一課時練習）容器中有濃度為的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進行了10次后溶液的濃度為（）A． B． C． D．22．（2019·湖南·長沙市南雅中學高一月考）若函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．23．（2021·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點為（）A． B．，0 C． D．024．（2021·全國·高一專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．25．（2021·全國·高一課時練習）已知函數(shù)若(互不相等)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題26．（2021·黑龍江·大慶實驗中學高一月考）已知函數(shù)，若關于x的方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的值可以是（）A．0 B． C． D．127．（2021·河北遷安·高一期末）給定函數(shù)（）A．的圖像關于原點對稱 B．的值域是C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．有三個零點28．（2021·浙江杭州·高一期末）已知某湖泊藍藻面積（單位：）與時間（單位：月）滿足．若第1個月的藍藻面積為，則（）A．藍藻面積每個月的增長率為100%B．藍藻每個月增加的面積都相等C．第6個月時，藍藻面積就會超過D．若藍藻面積到，，所經(jīng)過的時間分別是，，，則29．（2021·江蘇·南京市雨花臺中學高一期末）下列結(jié)論正確的是（）A．為減函數(shù)，那么的取值范圍是B．即是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．的值域為D．在上具有零點的必要不充分條件是30．（2021·廣東·揭陽第一中學高一期末）下列幾個說法，其中正確的有（）A．己知函數(shù)的定義域是，則的定義域是B．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為C．已知關于的方程的一根比1大且另一根比1小，則實數(shù)a的取值范圍是或D．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為和，則三、填空題31．（2021·江蘇·高一課時練習）若f(x)＝2x(x－a)－1在(0，＋∞)內(nèi)有零點，則a的取值范圍是________32．（2021·江蘇·高一課時練習）設m為實數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上僅有一個零點，則m的取值范圍是__________.33．（2021·黑龍江·牡丹江一中高一月考）有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定.大橋上的車距與車速和車長（）的關系滿足：（k為正的常數(shù)），假定車身長為4，當車速為時，車距為2.66個車身長.應規(guī)定車速為___________時，才能使大橋上每小時通過的車輛最多？34．（2021·四川·成都外國語學校高一月考）設表示集合S中元素的個數(shù)，定義已知，，若，則實數(shù)a的取值范圍為______．四、解答題35．（2020·廣東·東莞市東華高級中學高一月考）2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響.在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費用萬元（）滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計算）（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？36．（2020·全國·高一單元測試）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的零點；（2）若在恒成立，求的取值范圍；（3）設函數(shù)，解不等式.37．（2021·全國·高一專題練習）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．（1）當0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達式；（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x?v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．38．（2020·遼寧·盤錦市第二高級中學高一期末）已知函數(shù).（1）若對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若關于的方程有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案精講】1．C解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，則，由零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有零點.故選：C.2．A【詳解】∵>0，>0，<0，∴在(1,2)上一定有零點，且圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若要保證只有一個零點，只需上且上，如下圖示：∴在定義域內(nèi)不一定單調(diào)，但<0.故選：A3．B【詳解】顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是.故選：B4．C【詳解】令，由方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解可得，即或，解得，故選：C5．D【詳解】當時,；當時,.設，關于x的方程有三個不同的實數(shù)解，即函數(shù)f(x)和有3個不同的交點.作出函數(shù)f(x)的圖像，由圖像可知，當直線y=x+t經(jīng)過點(1,0)時,兩個函數(shù)有兩個交點,此時t=1.當x≥1時，當直線y=x+t與拋物線相切時，兩個函數(shù)有兩個交點，由得，判別式，即4+8+4t=0，所以t=3，此時直線y=x3與拋物線相切，所以要使函數(shù)f(x)和g(x)=x+t有3個不同的交點則3<t<1,即t的取值范圍是(3,1).故選:D.6．A解：令，因為方程的兩根一個根大于2，另一個根小于2，所以，即，解得，所以的取值范圍是，故選：A．7．C【詳解】選項恒成立，不存在區(qū)間使，所以不能用二分法求零點.故選：C8．C【詳解】已知則函數(shù)f(x)的零點的初始區(qū)間為[0.64,0.72]，又，且f(0.68)＜0，所以零點在區(qū)間[0.68,0.72]，且該區(qū)間的左、右端點精確到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函數(shù)的一個正實數(shù)零點的近似值．故選:C.9．C【詳解】因為區(qū)間的長度為，每次二等分都使長度變?yōu)樵瓉淼?，次取中間值后，區(qū)間的長度變?yōu)?，不滿足題意，次取中間值后，區(qū)間的長度變?yōu)?，滿足題意.故選：C10．A【詳解】當時，，當時，，所以，∵存在實數(shù)，使得，∴只要即可，即，解得．故選：A．11．A【詳解】解：由題意可得，直線與函數(shù)至多有一個交點，而直線與函數(shù)至多兩個交點，函數(shù)與函數(shù)有三個不同的交點，則只需要滿足直線與函數(shù)有一個交點直線與函數(shù)有兩個交點即可，如圖所示，與函數(shù)的圖象交點為，，故有.而當時，直線和射線無交點，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A.12．B【詳解】解：由題意，當時，，可得，即，最多只有兩個根，分別為1和，此時且．那么當時，則必有兩個根，即，可得，則有兩個根分別為和，那么，解得，綜上，可知實數(shù)的取值范圍是（0，1）．故選：B．13．B【詳解】設普通列車的聲強為，高速列車的聲強為，因為普通列車的聲強級是，高速列車的聲強級為，所以，，，解得，所以，，解得，所以，兩式相除得，則普通列車的聲強是高速列車聲強的倍.故選：B.14．D【詳解】第一年底本利和為，第二年底本利和為，第三年底本利和為，依此類推，10年后到期本利和為．故選：D．15．B【詳解】將，代入，得，解得.故選：B.16．B【詳解】方法一：設f(x)＝0.9x－x，易知f(2)＝0.81－>0，f(3)＝0.729－1<0，由函數(shù)的零點存在定理可知，f(x)在區(qū)間(2，3)上有零點．容易證明，函數(shù)f(x)＝0.9x－x在R上是減函數(shù)，所以它只有一個零點，即方程0.9x－x＝0只有一個實數(shù)解．故選：B方法二：求方程0.9x－x＝0的實數(shù)解的個數(shù)即求函數(shù)y＝0.9x的圖象和直線y＝x的交點的個數(shù)，作出y＝0.9x與y＝x的函數(shù)圖象(如圖)，由圖可知函數(shù)y＝0.9x的圖象和直線y＝x的交點的個數(shù)為1.故選：B17．A解：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上恰有一個零點，滿足題意，故A正確；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上沒有零點，故B不正確；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上沒有零點，故C不正確；當時，函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上沒有零點，不滿足題意，故D正確；故選：A.18．D解：根據(jù)二分法求函數(shù)零點的原理，當零點左右兩側(cè)的函數(shù)值必須異號才可以求解，故A選項錯誤；對于B選項，二分法求函數(shù)零點與函數(shù)零點的特征沒有關系，故B選項錯誤；對于C選項，二分法求函數(shù)零點與函數(shù)零點個數(shù)沒有關系，故C選項錯誤；對于D選項，一個單調(diào)函數(shù)如果有零點，則滿足零點的存在性定理，可以用二分法求解，故D選項正確.故選：D19．D【詳解】∵函數(shù)，方程有三個不等的實數(shù)根∴作出函數(shù)和圖象，如圖所示：設，根據(jù)函數(shù)對稱性可得.令，得，所以，則的取值范圍為.故選：D.20．B【詳解】由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)f(x)的一個零點x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的區(qū)間是(1.25，1.5)，故選：B21．B【詳解】1次后濃度為，2次后濃度為，……………，故10次后濃度為.故選：B22．B【詳解】與有公共點，即與有公共點，圖象如圖：可知故選：B23．D【詳解】函數(shù)當時，令，解得當時，令，解得（舍去）綜上函數(shù)的零點為0.故選：D.24．D【詳解】因為和在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以只需即可，即，解得.故選：D．25．D【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示:設，則.因為，所以，所以，所以，即.當時，解得或，所以.設，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：D.26．ACD【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程的實根個數(shù)可能為0，1，2，3，4，當時，方程無實根，當時，方程有唯一實根，當時，方程有2個實根，當或時，方程有3個實根，當時，方程有4個實根，∵最多有2個實根，此時，∴方程有6個不同的實數(shù)根等價于的實根至少有3個，當時，的三個根均大于2，符合題意；當時，的四個根均大于，有8個不同的實數(shù)根，不合題意；當時，此時有7個不同的實數(shù)根，不合題意；當時，只有三個均大于的不同實根，符合題意.故的取值范圍是故選：ACD27．AB【詳解】解：對于A：因為函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖像關于原點對稱，故A正確；對于B：當時，，當時，，又或，所以或，綜上得的值域為，故B正確；對于C：因為在單調(diào)遞增，所以由B選項解析得，在區(qū)間上是減函數(shù)，故C不正確；對于D：令，即，解得，故D不正確，故選：AB.28．ACD解：由題意可知，函數(shù)圖象經(jīng)過，即，，，，藍藻每個月的面積是上個月的2倍，每個月的增長率為，故選項正確，，即每個月增長量為，非常數(shù)，故選項錯誤，當時，，故選項正確，若藍藻面積到，，所經(jīng)過的時間分別是，，，，，，，，故選項正確．故選：ACD．29．AB【詳解】A，由題意可得，解得，的取值范圍是，故A正確；B，的定義域為，關于原點對稱，，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由為增函數(shù)，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以即是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故B正確；C，，所以的值域為，故C錯誤；D，在上連續(xù)不斷，在上具有零點，推不出，反之成立，故D錯誤.故選：AB30．AD解：對于A，因為函數(shù)的定義域是，所以由，得，所以的定義域是，所以A正確；對于B，當時，由，得恒成立，因為，所以，所以，所以B錯誤，對于C，令，因為關于的方程的一根比1大且另一根比1小，所以，即，得，所以C錯誤，對于D，，其定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以的最大值與最小值的和為0，所以最大值與最小值的和為8，所以D正確，故選：AD31．(－1，＋∞).解由題意，a＝x－x(x>0)．令g(x)＝x－x，該函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且g(x)的值域為(－1，＋∞)，故當a>－1時，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有零點．故答案為：．32．解：因為二次函數(shù)的對稱軸為，且圖像開口向上，因為函數(shù)在區(qū)間上僅有一個零點，所以當時，，解得.故答案為：.33．50由題設，，解得，∴，要使大橋上每小時通過的車輛