中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：因式分解（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）（學(xué)生版+解析）

專題03因式分解（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）

試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘難度系數(shù)：0.55

姓名：班級：考號：

題號一二三四總分

得分

評卷人得分

選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）

1.（2分）（2023春?杭州期末）下列因式分解錯(cuò)誤的是（）

A.x-2xy=x（x-2y）B.x-25y=Cx-5y）（x+5y）

C.4：x-4^+1=（2x-1）2D.x^x-2=（x-2）（x+1）

2.（2分）（2023春?宣漢縣校級期末）若多項(xiàng)式x-ax-\可分解為（％-2）Qx+b）,則a+b的值為（）

A.2B.1C.-2D.-1

3.（2分）（2021秋?鄲城縣期末）在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>6）（如圖

甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）

A.4+2a抹片=（3）2

B.a-2ab吊=（a-Z?）2

C.a-I）=（a+b）（a-b）

D.a-ab-2Z?2=Qa-2b）（a+6）

4.（2分）（2021?花溪區(qū)模擬）如圖，4張如圖1的長為a,寬為b（石>6）長方形紙片，按圖2的方式

放置，陰影部分的面積為S,空白部分的面積為S,若S=2S,則26滿足（）

圖1

A.a=—KB.a=2bC.a=—bD.a=3b

22

5.（2分）（2020?河北模擬）現(xiàn)有一列式子：①552-452②555”4452；③5555?-4445?…則第⑧個(gè)式子

的計(jì)算結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.1.1111111X1016B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

6.（2分）（2017秋?楊浦區(qū)校級期末）已知〃，〃均為正整數(shù)且滿足血?-2加-3〃-20=0,則出〃的最大

值是（）

A.20B.30C.32D.37

評卷人得分

二.填空題（共12小題，滿分24分，每小題2分）

7.（2分）（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）寶表示一個(gè)三位正整數(shù)，其中a,b,c分別為百位、十位、個(gè)

位上的數(shù)字，且a>6>c,當(dāng)a-6=6-c時(shí)，稱忘為遞減數(shù)，如630,765,642等均為遞減數(shù)，如果

一個(gè)遞減數(shù)三個(gè)數(shù)字的和是6的倍數(shù)，這樣的遞減數(shù)有個(gè).

8.（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）分解因式：后+4r-9聲4王2=.

9.（2分）（2022春?白銀期末）分解因式：4/-12研9/=.

10.（2分）（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考）材料1：一個(gè)三位自然數(shù)以，若百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)

字之積再減去百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和所得之差，恰好等于個(gè)位上的數(shù)字，即ab-Qa+b）=c,

則稱這個(gè)三位數(shù)為“2020”數(shù).例如：自然數(shù)231,因?yàn)閿?shù)字2,3,1滿足：2X3-（2+3）=1,所以

231是“2020”數(shù)；材料2：若一個(gè)整數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)一定能被9整除.例

如三位數(shù)108的各數(shù)位上的數(shù)字和為：1+0+8=9,94-9=1,所以108一定能被9整除.根據(jù)材料1和2,

則小于600且能被9整除的“2020”數(shù)為.

11.（2分）（2022秋?惠陽區(qū)月考）分解因式：a+ax-!f+bx=.

12.（2分）（2021秋?西湖區(qū)校級月考）已知x-3x+l=0,則-2f+6x=；x-2x-2x+9=.

13.（2分）（2019秋?浦東新區(qū)校級期中）對于任意正整數(shù)〃，整式/+（加1）3+行一（加i）z的值一定是

的倍數(shù)（填最大的正整數(shù)）

14.（2分）（2023?龍巖模擬）若非零實(shí)數(shù)如〃滿足病=上加2023,/=工加2023,則石-加汁4的值等

22

于

15.（2分）（2022秋?上杭縣期末）定義：對于一個(gè)數(shù)x,我們把[打稱作x的相伴數(shù)：若x20,則[x]=

x-1；若xVO,則[x]=x+l.^!![1.5]=0.5,[-2]=-1；已知當(dāng)a>0,6Vo時(shí)有[旬=。]+2,則代

數(shù)式（6-a）之-3936的值為.

16.（2分）（2022秋?武岡市期末）已知才-a-1=0,則代數(shù)式f-2a+6=.

17.（2分）（2022?天山區(qū)校級一模）分解因式：（x+p-2盯）（x+y-2）+（盯-1）2=.

18.（2分）（2021秋?無錫期末）若夕+才-2=0,貝!]￡+29-戶2020=.

評卷人得分

三.簡答題（共6小題，滿分28分）

19.（4分）（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）分解因式：

（1）m-n+6/7-9；（2）（x+2y）3+6（x+2y）x-lx-14y.

20.（8分）（2022秋?海淀區(qū)校級期末）分解因式:

(1)8a37?2+28c；(2)a-64；

(3)/+(2a+3)x+(才+3a)；(4)4x+4^7+12^+67+7+8.

21.（4分）（2022秋?商水縣期末）已知x-y=2,/+/=6,

（1）求代數(shù)式燈的值；

（2）求代數(shù)式的值.

22.（3分）（2021秋?奉賢區(qū)期末）分解因式：J-^+2a%-2a正

23.（4分）（2022秋?寶山區(qū)校級期中）a,b,c是正整數(shù)，且滿足①a+萬-2c-2=0②3a?-8^c=0,求

a6c的最小值（要有過程）.

24.（5分）（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）閱讀下列文字，解決問題.

先閱讀下列解題過程，然后完成后面的題目.

分解因式：?+4

解：x+4=x+4x+4-4/=（Y+2）2-

=（x+2,x+2）-2x+2）

以上解法中，在f+4的中間加上一項(xiàng)，使得三項(xiàng)組成一個(gè)完全平方式，為了使這個(gè)式子的值保持與父+4

的值保持不變，必須減去同樣的一項(xiàng).這樣利用添項(xiàng)的方法，將原代數(shù)式中的部分（或全部）變形為完

全平方的形式，這種方法叫做配方法.

按照這個(gè)思路，試把多項(xiàng)式步+3//+4〃分解因式.

評卷人得分

四.解答題（共6小題，滿分30分）

25.（6分）（2022秋?豐都縣期末）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇,

如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)--“博雅數(shù)”.

定義：對于三位自然數(shù)從各位數(shù)字都不為0,且它的百位數(shù)字的2倍與十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和恰好能

被7整除，則稱這個(gè)自然數(shù)"為“博雅數(shù)”.例如：415是“博雅數(shù)”，因?yàn)?,1,5都不為0,且4X

2+1+5=14,14能被7整除；412不是“博雅數(shù)”，因?yàn)?X2+1+2=11,11不能被7整除.

(1)判斷513,427是否是“博雅數(shù)”？并說明理由；

(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大6的所有“博雅數(shù)”的個(gè)數(shù)，并說明理由.

26.(6分)(2022秋?上海期末)閱讀材料：

在代數(shù)式中，將一個(gè)多項(xiàng)式添上某些項(xiàng)，使添項(xiàng)后的多項(xiàng)式中的一部分成為一個(gè)完全平方式，這種方法

叫做配方法.如果我們能將多項(xiàng)式通過配方，使其成為d-片的形式，那么繼續(xù)利用平方差公式就能把

這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.例如，分解因式：f+4.

解：原式=9+49+4-49=(9+2)2-4x—(x+2+2x)(9+2-2X)

即原式=(/+2+2^)(/+2-2x)

請按照閱讀材料提供的方法，解決下列問題.

分解因式：(1)4/+1；

(2)x+x+1.

27.(6分)(2022秋?蓮湖區(qū)期末)布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)論認(rèn)為學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動的過程，學(xué)習(xí)者不是被

動接受知識，而是主動的獲取知識.某個(gè)班級的數(shù)學(xué)探究活動課上，主持人給出了下列的探究任務(wù).

任務(wù)一：自主探究

定義：若a+b=n,則稱a與b是關(guān)于整數(shù)n的“平衡數(shù)”，比如3與-4是關(guān)于-1的“平衡數(shù)”，2

與8是關(guān)于10的“平衡數(shù)”.

(1)填空：-6與8是關(guān)于的“平衡數(shù)”.

任務(wù)二：合作交流

（2）現(xiàn)有a=6x，-44x+8與6=-2（3/-2肝A）（次為常數(shù)），且a與6始終是整數(shù)〃的"平衡數(shù)"，

與x取值無關(guān)，求〃的值.

28.（6分）（2022秋?長寧區(qū)校級期中）閱讀：分解因式寸+2x-3.

解：原式=x?+2x+l-1-3=（f+Zx+l）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）,

此方法是抓住二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的特點(diǎn)，然后加一項(xiàng)，使這三項(xiàng)為完全平方式，我們稱這種方法為“配方

法”，此題為用配方法分解因式.請?bào)w會配方法的特點(diǎn)，然后用配方法解決下列問題：在有理數(shù)范圍內(nèi)

分解因式：4a+4a-15.

29.（6分）（2021秋?泗陽縣期末）我們規(guī)定：對于數(shù)對（a,b）,如果滿足a+6=a6,那么就稱數(shù)對（a,

6）是“和積等數(shù)對”；如果滿足a-b=ab,那么就稱數(shù)對（a,b）是“差積等數(shù)對"，例如：1x3,

2

2-2=2x2.所以數(shù)對（3,3）為“和積等數(shù)對”，數(shù)對（2,2）為“差積等數(shù)對”.

3323

（1）下列數(shù)對中，“和積等數(shù)對”的是；“差積等數(shù)對”的是.

①（—-,-2）,②（2,-2）,③（2）.

333

(2)若數(shù)對(主工，-2)是“差積等數(shù)對"，求x的值.

2

(3)是否存在非零的有理數(shù)m,n,使數(shù)對(2如n)是“和積等數(shù)對”，同時(shí)數(shù)對(2小加也是“差

積等數(shù)對”，若存在，求出如〃的值，若不存在，說明理由.

30.(6分)(2020秋?北倍區(qū)校級期中)材料：若一個(gè)正整數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是左右對稱的，則

稱這個(gè)正整數(shù)是對稱數(shù).例如：正整數(shù)22是兩位對稱數(shù).正整數(shù)797是三位對稱數(shù)；正整數(shù)4664是四

位對稱數(shù)；正整數(shù)12321是五位對稱數(shù).

根據(jù)材料，完成下列問題：

(1)最大的兩位對稱數(shù)與最小的三位對稱數(shù)的和為.

(2)若將任意一個(gè)四位對稱數(shù)拆分為前兩位數(shù)字順次表示的兩位數(shù)和后兩位數(shù)字順次表示的兩位數(shù)，則

這兩個(gè)兩位數(shù)的差一定能被9整除嗎？請說明理由.

(3)如果一個(gè)四位對稱數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于10,并且這個(gè)四位對稱數(shù)能被7整除，請求

出滿足條件的四位對稱數(shù).

專題03因式分解(專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練)

試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘難度系數(shù)：0.55

選擇題(共6小題，滿分12分，每小題2分)

1.(2分)(2023春?杭州期末)下列因式分解錯(cuò)誤的是()

A.x-2xy=x(x-2y)B.x-25y=Qx-5y)(x+5y)

C.4x-4x+l=(2x-l)2D.x+x-2=(x-2)(x+1)

解：4-20=x(x-2y),?,?計(jì)算正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.\'x-25y=(x-5y)(x+5y),???計(jì)算正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.V4/-4jr+l=(2x-1))?,?計(jì)算正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.\ux+x-2=(x+2)(x-1),J計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

2.(2分)(2023春?宣漢縣校級期末)若多項(xiàng)式x-ax-\可分解為(x-2)(x+6),則a^b的值為()

A.2B.1C.-2D.-1

解：*.*(x-2)(x+8)=x+bx-2x-2b=x+(Z?-2)x-2b=x-ax-\,

:?b-2=-a,-26=-1,

b=0.5,a—\,5,

.,.a+6=2.

故選：A.

3.(2分)(2021秋?鄲城縣期末)在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為6的小正方形(〃>6)(如圖

甲)，把余下的部分拼成一個(gè)矩形(如圖乙)，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證()

A./+2ab^B=(a+6)2

B.a-—(乃-6)2

C.a-t}=(a+Z?)Qa-b)

D.a-ab-21)=(a-2b)?+6)

解：??,圖甲中陰影部分的面積=3-9，圖乙中陰影部分的面積=(外6)(己-6),

而兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，

???陰影部分的面積=才-6?=(a+6)(a-Z?).

故選：C.

4.（2分）（2021?花溪區(qū)模擬）如圖，4張如圖1的長為a,寬為b（a>6）長方形紙片，按圖2的方式

放置，陰影部分的面積為S,空白部分的面積為S,若W=2S,則a,6滿足（）

圖2

A.a=—b,B.a=2bC.a=—bD.a=3b

22

解：由圖形可知，

S[=（a+b）2-S2=2ab-b2，

???￡=2S,

?,?才42爐=2Q2ab-片）,

a-4aM4/72=0,

即（a-2b）2=0,

:.a=2b,

故選：B.

5.（2分）（2020?河北模擬）現(xiàn)有一列式子:①55?-45?；②5552-445?；③55552-4445,…則第⑧個(gè)式子

的計(jì)算結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.1.1111111X1016B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

解：根據(jù)題意得：第⑧個(gè)式子為5555555552-4444444452=（555555555+444444445）X（555555555-

444444445）=1.1111111X1017.

故選：D.

6.（2分）（2017秋?楊浦區(qū)校級期末）已知加〃均為正整數(shù)且滿足而?-2刃-3〃-20=0,則冰刀的最大

值是（）

A.20B.30C.32D.37

解：力刀-2%-3〃-20=0,

(jn-3)(n-2)=26,

■：m,A均為正整數(shù),

或［m-3=2或1m-3=13或［m-3=26

ln-2=26In-2=13ln-2=2ln-2=l

解得［m=4或(m=5或［m=16或［m=29,

ln=28ln=15In=4In=3

研〃=32或研〃=20或加〃=20或研〃=32,

故nft-n的最大值是32.

故選：C.

二.填空題（共12小題，滿分24分，每小題2分）

7.（2分）（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）寶表示一個(gè)三位正整數(shù)，其中a,b,c分別為百位、十位、個(gè)

位上的數(shù)字，且a>6>c,當(dāng)a-6=6-c時(shí)，稱而為遞減數(shù)，如630,765,642等均為遞減數(shù)，如果

一個(gè)遞減數(shù)三個(gè)數(shù)字的和是6的倍數(shù)，這樣的遞減數(shù)有10個(gè).

解：設(shè)此三位數(shù)為正，

由題意可得：92a>6>c>0,a-b=b-c,a+b^c=&n,其中a,b,c,A為正整數(shù)，

由a-6=Z7-c可得，a+c=26,

則a+Z/+c=36=6〃，即b=2n,

則6的取值為2,4,6,8,

當(dāng)6=2時(shí)，。的取值為0,1,

當(dāng)c=0時(shí)，可得a=4,三位數(shù)為420,符合題意;

當(dāng)c=l時(shí)，可得a=3,三位數(shù)為321,符合題意;

當(dāng)6=4時(shí)，c的取值為0,1,2,3,

當(dāng)c=0時(shí),可得a=8,三位數(shù)為840,符合題意;

當(dāng)c=l時(shí)，可得a=7,三位數(shù)為741,符合題意;

當(dāng)c=2時(shí),可得a=6,三位數(shù)為642,符合題意;

當(dāng)c=3時(shí)，可得a=5,三位數(shù)為543,符合題意;

當(dāng)6=6時(shí)，c的取值為0,1,2,3,4,5,

當(dāng)c=0時(shí)，可得a=12,不符合題意；

當(dāng)c=l時(shí)，可得a=ll,不符合題意；

當(dāng)c=2時(shí)，可得a=10,不符合題意；

當(dāng)c=3時(shí)，可得a=9,三位數(shù)為963,符合題意；

當(dāng)c=4時(shí)，可得a=8,三位數(shù)為864,符合題意；

當(dāng)c=5時(shí)，可得a=7,三位數(shù)為765,符合題意；

當(dāng)6=8時(shí)，a=9,則c=7,三位數(shù)為987,符合題意；

綜上，這樣的遞減數(shù)有10個(gè)，

故答案為：10.

8.(2分)(2022秋?徐匯區(qū)期末)分解因式：＞+4Z2-9式+4xz=(x+2z+3y)(x+2z-3y).

解：/+4z2-9〃+4xz

=/+4z+4xz-9y

=(;t+2z)2-9y

=(x+2z+3y)(x+2z-3y).

故答案為：(e2K3y)(A+2Z-3y).

9.(2分)(2022春咱銀期末)分解因式：4f-12x片9聲=(2x-3y)'.

解：原式=(2x-3y)2.

故答案為：(2x-3y)z.

10.(2分)(2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考)材料1：一個(gè)三位自然數(shù)區(qū)，若百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)

字之積再減去百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和所得之差，恰好等于個(gè)位上的數(shù)字，即ab-(a+6)=c,

則稱這個(gè)三位數(shù)為“2020”數(shù).例如：自然數(shù)231,因?yàn)閿?shù)字2,3,1滿足：2X3-(2+3)=1,所以

231是“2020”數(shù)；材料2：若一個(gè)整數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)一定能被9整除.例

如三位數(shù)108的各數(shù)位上的數(shù)字和為：1+0+8=9,94-9=1,所以108一定能被9整除.根據(jù)材料1和2,

則小于600且能被9整除的“2020”數(shù)為297,333,369.

解：設(shè)三位自然數(shù)示是“2020”數(shù)，且能被9整除，

則ab-(a+6)=c,

/.ab—a+tAc—9n為整數(shù))，

小于600且能被9整除的“2020”數(shù)為：297,333,369.

11.(2分)(2022秋?惠陽區(qū)月考)分解因式：a?+ax-(a+b)(a-步x).

解：原式=(a2-Z72)+(ax+bx)

=(a+Z))(a-Z2)+x(a+6)

(a+6)(a->x).

故答案為：（/6）（a->x）.

12.（2分）（2021秋?西湖區(qū)校級月考）已知f-3x+l=0,則-2/+6x=2；x-2x-2x+9=8.

解：：V-3x+l=0,

殳-3x=-1,

-2/+6x

=-2（x-3x）

=-2X（-1）

=2,

x-2x-2A+9

=x-Zx^x-3x+戶9

—x（x-3x）+（x-3x）+x+9

=-x+（-1）+x+9

=8,

故答案為：2,8.

13.（2分）（2019秋?浦東新區(qū)校級期中）對于任意正整數(shù)力，整式//+（加1）3+4-（加i）?的值一定是

匕的倍數(shù)（填最大的正整數(shù)）

解：n+（加1）3+T?2-（/T+1）2

=n（y?+l）+（TT+1）3-（加1）2

=（刀+1）（772+/72+2/rHl-27-1）

=（ZT+1）（2/72+/7）

—n（加1）（2加1）,

??,〃是任意正整數(shù)，

???〃（加1）（2加1）的因式中必有一個(gè)2的倍數(shù)，一個(gè)3的倍數(shù)，

工整式〃4（77+1）3+/?2-（77+1）2的值一定是6的倍數(shù).

故答案為：6.

14.（2分）（2023?龍巖模擬）若非零實(shí)數(shù)勿，〃滿足以2=工7?+2023,/?2=—zz^2023,則涓-曲升的值等

22

于_2023

一2一

解：:非零實(shí)數(shù)加〃滿足q2=加2023,4=_1/2023,

22

'.m-77~=—77+2023--m-2023,

22

(m-ri)(研—(a7-n)，

2

??n:—~--i

2

'.in-mn^-n

=m(―//+-2023)-mn+n(工研2023)

22

=2■曲升20230-必升」加升2023〃

22

=2023(研a)

=2023X(-A)

2

__2023

2

故答案為：-空軍.

2

15.(2分)(2022秋?上杭縣期末)定義：對于一個(gè)數(shù)x,我們把[x]稱作x的相伴數(shù)：若xNO,則[x]=

x-1；若x<0,則例[1.5]=0.5,[-2]=-1；已知當(dāng)a>0,6<0時(shí)有[a]=[6]+2,則代

數(shù)式(6-a)2-3a+36的值為4.

解：根據(jù)題意得，a-l=Z^l+2,則6-a=-4,

(b_a)2_3a+3b=(6-a)2+3(6-a)=16-12=4,

故答案為：4.

16.(2分)(2022秋?武岡市期末)已知--a-1=0,則代數(shù)式W-2刮-6=7.

解：Va2-a-1=0,

'.a-a=l,

a-2界6

=a-a-^a-2K6

—a{a-a)+a-25+6

=a+a-25+6

=a-5+6,

將a-a=l代入原式=1+6=7.

故答案為：7.

17.（2分）（2022?天山區(qū)校級一模）分解因式：（x+y-2盯）（x+y-2）+（xy-1）?=Qx-1）.（y

解：原式=(x+y)2-2(x+y)-2xy(x+y)+4xy+(盯)2-

=(x+p)2-2(x+y)-2xy(x+y)+(盯)2+2^ry+l

=(x+p)2-2(x+y)(xy+1)+(xp+1)2

=[(x+y)-(xj+1)]2

=(x+y-xy-1)2

=(x-1)2(y-1)2.

故答案為(x-1)2(y-1)2.

18.(2分)(2021秋?無錫期末)若V+x-2=0,則＞+2。-戶2020=2022

解：x+x-2=0,

.*./=2-x,x+x=2,

???原式=V(x+2)-x+2020

=(2-x)(2+x)-A+2020

=4-x-x+2020

=2024-(V+x)

=2024-2

=2022,

故答案為：2022.

三.簡答題(共6小題，滿分28分)

19.(4分)(2022秋?浦東新區(qū)校級期末)分解因式：

(1)宮-772+6/7-9；

(2)(x+2y)/+6(x+2y)x-lx-14y.

解：(1)原式=方-(刀2-6加9)

—m-(77-3)2

=(ZZ7-71+-3)(加〃-3);

(2)原式=(x+2y)x+G(x+2p)x-7(x+2p)

=(x+2p)(x+6x-7)

(x+2y)(x-1)(x+7).

20.(8分)(2022秋?海淀區(qū)校級期末)分解因式：

(1)8*28aBe:

(2)a-64；

(3)x+(2a+3)x+(才+3a)；

(4)49+4盯+12x+6y+_/+8.

解：(1)原式=4HZ/(2a+7be)；

(2)原式=(才+8)(--8)

=(3+8)(云2&)?-2&)；

(3)原式=(x+〃)(x+a+3)；

(4)原式=(49+4盯+/)+(12x+6y)+8

=(2x+y)2+6(2x+y)+8

=(2x+y+2)(2x+j+4).

21.(4分)(2022秋?商水縣期末)已知x-y=2,/+y=6,

(1)求代數(shù)式燈的值；

(2)求代數(shù)式39聲"的值.

解：(1)Vx+y=(x-p)?+2燈，

又??，x-p=2,『+丁=6,

，6=4+2盯，

??xy=1；

(2)xy-3xy+xy

=xy(/-3Aj+y),

Vx+y=6,xy=l,

?\原式=1X(6-3)=3.

22.(3分)(2021秋?奉賢區(qū)期末)分解因式：才一4+2才

解：原式=(a2-Z?2)+(2/6-Zab?)

=(a+6)(a-Z?)+2abQa-b)(3分)

=Qa-b)Qa+b^2ab)(3分).

23.(4分)(2022秋?寶山區(qū)校級期中)ab,。是正整數(shù)，且滿足①石+62-2c-2=0②3才-89c=0,求

仍c的最小值（要有過程）.

解：：②3a2-8>c=0,

/.c=8b-3a,

-2c-2=0,

即a+Z?2-2(86-3a?)-2=0,

整理得(6-8)2=66-6a-a,

；.66-6a?-a是完全平方數(shù)，

；.66-6@2-@的值可能為1,4,9,16,25,36,49,64,

：a為正整數(shù)，

a=3,

可得6=5或H,c=13或61,

abc的最小值為3X5X13=195.

24.(5分)(2022秋?嘉定區(qū)校級期中)閱讀下列文字，解決問題.

先閱讀下列解題過程，然后完成后面的題目.

分解因式：?+4

解：y+4=/+4/+4-4/=(/+2)2-4/

=(x+2x+2)(/-2x+2)

以上解法中，在f+4的中間加上一項(xiàng)，使得三項(xiàng)組成一個(gè)完全平方式，為了使這個(gè)式子的值保持與V+4

的值保持不變，必須減去同樣的一項(xiàng).這樣利用添項(xiàng)的方法，將原代數(shù)式中的部分(或全部)變形為完

全平方的形式，這種方法叫做配方法.

按照這個(gè)思路，試把多項(xiàng)式f+3x：y+4y1分解因式.

解：/+3/y+4y

=/+4xy+4y-xy

=(9+2/)2-//

=(x+2y+xy)(Y+2/-xy).

四.解答題(共6小題，滿分30分)

25.(6分)(2022秋?豐都縣期末)在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，

如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)--“博雅數(shù)”.

定義：對于三位自然數(shù)從各位數(shù)字都不為0,且它的百位數(shù)字的2倍與十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和恰好能

被7整除，則稱這個(gè)自然數(shù)”為“博雅數(shù)”.例如：415是“博雅數(shù)”，因?yàn)?,1,5都不為0,且4X

2+1+5=14,14能被7整除；412不是“博雅數(shù)”，因?yàn)?義2+1+2=11,11不能被7整除.

(1)判斷513,427是否是“博雅數(shù)”？并說明理由；

(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大6的所有“博雅數(shù)”的個(gè)數(shù)，并說明理由.

解：(1)513是博雅數(shù)，427不是博雅數(shù)，

丫5X2+1+3=14,14能被7整除.

??.513是博雅數(shù).

,.?4X2+2+7=17,17不能被7整除.

；.427不是博雅數(shù).

(2)由題意可設(shè)這樣的“博雅數(shù)”為：(a+6)ab，貝I1WW3.

-2(a+6)+a+b_]_(_3a+b+5

-~7-,

???“博雅數(shù)”能被7整除，

...3a+b+5為整數(shù).

7

又\TWaW3,1W6W9且a,6為整數(shù).

.,.(a=1或｛=2或(a=3

lb=6lb=31b=7

綜上，這樣的博雅數(shù)共有3個(gè)，它們分別是716,823,937.

26.(6分)(2022秋?上海期末)閱讀材料：

在代數(shù)式中，將一個(gè)多項(xiàng)式添上某些項(xiàng)，使添項(xiàng)后的多項(xiàng)式中的一部分成為一個(gè)完全平方式，這種方法

叫做配方法.如果我們能將多項(xiàng)式通過配方，使其成為1-夕的形式，那么繼續(xù)利用平方差公式就能把

這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.例如，分解因式：?+4,

解：原式=f+4昌4-4x=(x+2)2-4x=(S+2+2x)(V+2-2x)

即原式=(9+2+2x)(T+2-2x)

請按照閱讀材料提供的方法，解決下列問題.

分解因式：(1)4/+1；

(2)f+f+L

解：(1)4/+1

=4x+4x+l-4x

=(2/+1)2-4/

=(2/+l+2x)(2/+l-2x)；

(2)x+x+1

=x+2x+l-x

=(/+1)2-?

=(x2+l+x)(/+1-x).

27.(6分)(2022秋?蓮湖區(qū)期末)布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)論認(rèn)為學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動的過程，學(xué)習(xí)者不是被

動接受知識，而是主動的獲取知識.某個(gè)班級的數(shù)學(xué)探究活動課上，主持人給出了下列的探究任務(wù).

任務(wù)一：自主探究

定義：若a+b=n,貝I稱a與b是關(guān)于整數(shù)n的“平衡數(shù)”，比如3與-4是關(guān)于-1的“平衡數(shù)”，2

與8是關(guān)于10的“平衡數(shù)”.

(1)填空：-6與8是關(guān)于2的“平衡數(shù)”.

任務(wù)二：合作交流

(2)現(xiàn)有a=6xJ44x+8與b=-2(39-2廣為(4為常數(shù))，且a與6始終是整數(shù)〃的“平衡數(shù)”，

與x取值無關(guān)，求〃的值.

解：(1)-6+8=2,

故答案為：2；

(2)a+6

=6/-44戶8-2(3/-2x+A)

=6x-4Ax+8-+4x-2k

—-4Ax+4A+8-2k,

BPn=-4Ax+4x+8-2次=4(1-A)x+8-2k,

：a與6始終是整數(shù)〃的“平衡數(shù)”，與x取值無關(guān)，

k=1,

.*.z?=8-2X1=6.

28.(6分)(2022秋?長寧區(qū)校級期中)閱讀：分解因式六+2x-3.

解：原式=x~+2x+l-1-3—(f+Zx+l)-4—(A+1)-4—(x+1+2)(x+1-2)=(e3)(x-1),

此方法是抓住二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的特點(diǎn)，然后加一項(xiàng)，使這三項(xiàng)為完全平方式，我們稱這種方法為“配方

法”，此題為用配方法分解因式.請?bào)w會配方法的特點(diǎn)，然后用配方法解決下列問題：在有理數(shù)范圍內(nèi)

分解因式：4a+4a-15.

解：4a2+4a-15

=4#+4z+l-1-15

=(2a+l)2-16

=(2K1)2-42

=(2K1+4)(25+1-4)

=(2界5)(2a-3).

29.（6分）（2021秋?泗陽縣期末）我們規(guī)定：對于數(shù)對（a,b）,如果滿足界6=泌，那么就稱數(shù)對

6）是“和積等數(shù)對”；如果滿足a-b=ab,那么就稱數(shù)對（a,b）是“差積等數(shù)對"，例如：旦X3,

2

2-2=2x2.所以數(shù)對（旦，3）為“和積等數(shù)對”，數(shù)對（2,Z）為“差積等數(shù)對”.

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