專題06用正余弦定理解三角形

專題06用正余弦定理解三角形一、單選題1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2，∠B=60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P-ACD，如圖所示，當(dāng)三棱錐P-ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P-ACD的外接球體積為（A．523π B．433π【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角形面積公式分析可得當(dāng)PC⊥CD時(shí)，三棱錐P-ACD的表面積取最大值，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分析三棱錐的外接球的球心和半徑，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：△ACD,△ACP均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△PAD,△PCD為全等的等腰三角形，則三棱錐P-ACD的表面積S=2S當(dāng)且僅當(dāng)sin∠PCD=1，即PC⊥CD時(shí)，三棱錐P-ACD此時(shí)△PAD,△PCD為直角三角形，PD=P取PD的中點(diǎn)O，連接OA,OC，由直角三角形的性質(zhì)可得：OA=OC=OD=OP=2即三棱錐P-ACD的外接球的球心為O，半徑為R=2，故外接球體積為V=故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若三棱錐有兩個(gè)面為共斜邊的直角三角形，則三棱錐的外接球的球心為該斜邊的中點(diǎn).2．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母線長(zhǎng)為23m，軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為33mA．21πm3 B．18πm3 C．【答案】C【分析】根據(jù)題意求圓錐的高和底面半徑，再結(jié)合錐體、柱體體積運(yùn)算求解.【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為απ因?yàn)槠漭S截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是腰長(zhǎng)為23m，面積為所以12l2sinα=1由α=2π3得則上半部分的體積為13πr故蒙古包的體積為18+33故選：C.二、解答題3．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=θ(0<θ<π),AB=BC=CD=1,(1)試用θ表示BD的長(zhǎng);(2)求AC2【答案】(1)BD(2)25【分析】(1)根據(jù)已知條件將∠BCD用θ表示,再在△BCD(2)在△ABC中先用余弦定理將AC2用θ表示,再結(jié)合(1)的結(jié)論【詳解】（1）∵∠ABC=θ（0<θ<π∴∠BCA=在△BCD中,∵0<θ∴cosθ4>0,（2）在△ABC中,∴A∵0<θ<π,則當(dāng)cosθ2=14故AC24．（2023·遼寧盤錦·盤錦市一模）已知在△ABC中，3sin（A+B）＝1+2sin2C2（1）求角C的大??；（2）若∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)Ⅰ，△ABC的外接圓半徑為2，求△ABI周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）π3；（2）4+23【分析】（1）利用降冪公式、兩角和的正弦公式變形可得sin（C+π6）＝1（2）利用正弦定理求出AB，求出∠AIB，設(shè)出∠ABI，將AI,BI用∠【詳解】（1）∵3sin（A+B）＝1+2sin2C2，且A+B+C＝π∴3sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即3sinC+cosC＝2，∴sin（C+π6）＝1∵C∈（0，π），∴C+π6∈（π6，7π6），∴C+π6＝π2（2）∵△ABC的外接圓半徑為2，∴由正弦定理知，ABsin∠ACB＝ABsinπ3＝2×2＝4，∵∠ACB＝π3，∴∠ABC+∠BAC＝2∵∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝π3，∴∠AIB＝2設(shè)∠ABI＝θ，則∠BAI＝π3﹣θ，且0＜θ＜π在△ABI中，由正弦定理得，BIsin(π3-θ)＝AIsin∴BI＝4sin（π3﹣θ），AI＝4sinθ∴△ABI的周長(zhǎng)為23+4sin（π3﹣θ）+4sinθ＝23+4（32cosθ﹣12＝23+23cosθ+2sinθ＝4sin（θ+π3）+23∵0＜θ＜π3，∴π3＜θ+π3∴當(dāng)θ+π3＝π2，即θ=π6時(shí)，△故△ABI的周長(zhǎng)的最大值為4+23．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將AI,BI用∠ABI表示，根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)求出5．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且b=c(cos(1)求角C；(2)求a+2b【答案】(1)π(2)10【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式即可得tanC=1，結(jié)合0<C<（2）通過邊角互化將a+2bc轉(zhuǎn)換為sinA+【詳解】（1）在△ABC中，由正弦定理得，sinsin(A?sinA∵sinA≠0，∴cos即tanC（2）由正弦定理得：a+其中sinφ=1故A+∴sin(∴10sin故a+2b6．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC=3，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE=2，且△ACD的面積為△ABC面積的(1)求AD?sin(2)當(dāng)CD=3時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)22或【分析】（1）利用三角形面積公式和面積之間的關(guān)系得到AD?sin∠（2）由正弦定理得AD?sin∠DAC=CD【詳解】（1）∵S△ACDS△ACD=2∴AD（2）由題CE=1,在△ACD中,CD∴AD又CD=3,∴sin∠在△CDE中,由余弦定理,得D當(dāng)cos∠ACD=13當(dāng)cos∠ACD=-13綜上:DE=22或7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,acos(1)若c=3a，求(2)若b=1,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，求AD長(zhǎng)度的取值范圍.【答案】(1)13(2)0,【分析】（1）由正弦定理得出c=2（2）設(shè)∠BAD=θ，把△【詳解】（1）已知acos由正弦定理可得sinA∴sin∴sin∴sin∴c=2b,c∴cos（2）由（1）知c=2b，由b=1設(shè)∠BAD=θ∴AD=4∴AD8．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3a(1)求內(nèi)角A；(2)點(diǎn)M是邊BC上的中點(diǎn)，已知AM=2，求△ABC面積的最大值.【答案】(1)π(2)4【分析】（1）利用正弦定理將邊化成角，根據(jù)輔助角公式即可求得內(nèi)角A=π3；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得AM=【詳解】（1）在△ABC中，因?yàn)?由正弦定理得3sin因?yàn)锽∈0,π，所以sin所以32sinA因?yàn)锳∈0,π所以A+即A=（2）因?yàn)辄c(diǎn)M是邊BC上的中點(diǎn)，所以AM=對(duì)上式兩邊平分得：AM2因?yàn)锳M=2，所以4=14而c2+b2≥2bc，有3因此S△即△ABC面積的最大值為49．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）在銳角三角形△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，CD為CA在CB方向上的投影向量，且滿足2csin(1)求cosC(2)若b=3，a=3ccosB，求【答案】(1)2(2)2【分析】利用正弦定理，邊化角，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方式，建立方程，可得答案.【詳解】（1）由CD為CA在CB方向上的投影向量，則CD=bcos根據(jù)正弦定理，2sinC在銳角△ABC中，B∈0,π2由C∈0,π2，則cos2（2）由a=3ccos在△ABC中，A+B+C=π由（1）可知cosC=23，由sin2B+cos2B=1根據(jù)正弦定理，可得bsinB=csin故△ABC的周長(zhǎng)C10．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=b+2bcos(1)求證：C=2B.(2)求a+cb的取值范圍【答案】(1)證明見解析(2)1,5【分析】(1)結(jié)合正弦定理及正弦和角公式得sinC(2)結(jié)合正弦定理及三角恒等變換a+cb=4cos【詳解】（1）在△ABC由a+b又∵A=∴sin即sinsinBsin∵0<sinB=sinC-∵B+C-B=（2）得：C=2B得∴0<B<π3由題意a=b+2a==1+2=4∵12<cosB<1，故a+c方法二：由正弦定理得：a∵A+B+Csin由（1）得：C=2B===cos2=2=4由（1）得：C=2B得∴0<B<π3∴1<4cosB+故a+c11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知b+c=2asin(1)求A；(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，若CD=a，且b-c=1，求△ABC的的面積．【答案】(1)A(2)3【分析】(1)由b+c=2asinC(2)在△ACD中，由余弦定理得，a2=b2+c24-bc2；在△【詳解】（1）解：由已知得，b+由正弦定理可得，sinB因?yàn)锳+所以sinB代入上式，整理得cosAsinC又因?yàn)镃∈0,π所以3sin即sinA又因?yàn)锳∈所以-π所以A-解得A=（2）在△ACD中，由余弦定理得，C而A=π3，CD=在△ABC中，由余弦定理得，a2由①②兩式消去a，得3c所以b=又b-c=1，解得b所以△ABC的面積S12．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，b2(1)證明：B=2A；(2)求cosC+cos【答案】(1)證明見解析(2)0,【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)證得B=2（2）cosC+cosA轉(zhuǎn)化為只含A【詳解】（1）依題意b2-ac-2acossinA+BsinB-A=sinA，由于由于0<B<π-π所以B-A=所以B=2（2）由于B=2A，所以A為銳角，即而0<A+BcosC+cosA=-cosA+B+cosA=sinA令t=cosA∈f'所以ft在區(qū)間12,33在區(qū)間33,1上fff3所以0<f所以cosC+cosA13．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAP記為α，∠ABP記為β，且α，β在△ABP中的對(duì)邊分別記為m，n，2m+nsinβ=3ncos(1)求∠APB；(2)若AB=23，BP=2，PC=3，記∠APC=θ，求線段AP的長(zhǎng)和△ABC【答案】(1)2π3(2)答案見解析.【分析】（1）由已知可推出sinα=32cosβ-12sin（2）由已知可得AP=2，進(jìn)而根據(jù)S△ABC=S△【詳解】（1）已知2m2sinα+sinβ所以2sinα+所以sinα因?yàn)棣?，β?,π所以α=π3-β（2）在△APBAB即12=AP2+4+2AP因?yàn)椤螦PB+∠BPCS==1=3+3sinθ+=3+3sin因?yàn)椋?π所以，當(dāng)θ-π6=π2，即14．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A,B,C(1)求C；(2)若c=1，求△【答案】(1)C=(2)(0,3【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出三角形面積范圍作答.【詳解】（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得：sin即有sinA+B=2sinCcosC，即sinC所以C=（2）在△ABC中，由余弦定理c2=因此1≥2ab-ab，即0<又S△所以△ABC面積的取值范圍是(0,15．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，三棱錐P-ABC,PA=PB=3,AB=AC=4,∠BAC=θ0<θ<π，平面PAB⊥平面ABC，點(diǎn)M為PC(1)若θ=π3，求直線BM與平面(2)若AM⊥AB，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)165(2)4【分析】由面面垂直證PD⊥平面ABC，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D（1）由向量法求線面角得正弦值；（2）由向量法表示垂直，解得θ，由余弦定理求BC.【詳解】（1）取AB得中點(diǎn)D，由于PA=PB，因此又∵平面PAB⊥平面ABC，PD?平面PAB，∴PD以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-∵PA=PB當(dāng)θ=π3取平面ABC的一個(gè)法向量為n=0,0,1，設(shè)直線BM與平面ABC所成的角為φ，則sinφ∴直線BM與平面ABC所成角的正弦值為16533（2）由題意知C(-2+4cos又AB=(4,0,0),∵AM⊥AB在△ABC中，AB=AC16．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tanB(1)求B；(2)若a=3，b=37，求△ABC的面積【答案】(1)π(2)27【分析】（1）利用三角恒等變換及正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，即可得到答案；（2）利用余弦定理求出c=9【詳解】（1）由tanBtanA=2所以sinA由正弦定理得sinC因?yàn)?<C<π因?yàn)?<B<π（2）在△ABC中，因?yàn)锽=π3，a=3即c2-3c-54=0，解得c所以S△即△ABC的面積為2717．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在①tanAtanC-3tanA=1+3tan問題：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且__________.(1)求角B的大??；(2)已知c=b+1，且角A有兩解，求b的范圍.【答案】(1)答案見解析(2)b【分析】（1）若選①，由兩角和的正切公式化簡(jiǎn)即可求出求角B的大??；若選②，利用正弦定理統(tǒng)一為角的三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式即可求解；若選③，由余弦定理代入化簡(jiǎn)即可得出答案.（2）將c=b+1代入正弦定理可得sinC=b【詳解】（1）若選①：整理得1-tanAtan所以tanB=-tanA+若選②：因?yàn)?c由正弦定理得2sin所以2sinCcosB=3sin若選③：由正弦定理整理得a2+c即cosB=32，因?yàn)椋?）將c=b+1代入正弦定理bsinB因?yàn)锽=π6，角A的解有兩個(gè)，所以角C即12<b+12b<118．（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C所對(duì)的邊，asinA+C2(1)求角B；(2)若AC=BC，在△ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使△ADE沿線段DE折疊到平面BCE后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC（設(shè)為點(diǎn)P）上，求AD的最小值.【答案】(1)π(2)2【分析】（1）由正弦定理邊角互化得sinAsinA+C（2）由題意可知△ABC為等邊三角形，設(shè)AD=m，則BD=1-m,PD=【詳解】（1）因?yàn)閍sinA+因?yàn)锳∈(0,π),sinA≠0,A+因?yàn)锽∈(0,π)，所以B所以B2=π（2）因?yàn)锳C=BC,B=設(shè)AD=m，則所以在△BPD中，由余弦定理得cosB=設(shè)BP=x,0≤由于0≤x≤1，故所以m=2-x+32-所以AD的最小值為2319．（2023·福建·統(tǒng)考一模）記