小專題之抽象函數(shù)的單調(diào)性

小專題之抽象函數(shù)的單調(diào)性1.理解函數(shù)單調(diào)性的定義；(重點(diǎn))2.會(huì)正確賦值構(gòu)造證明單調(diào)性的目標(biāo)式；(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.能夠靈活任取變量，合理利用條件.(難點(diǎn))

抽象函數(shù)是指沒有具體解析式的函數(shù)，我們要對沒有解析式的函數(shù)判斷單調(diào)性.那有些同學(xué)就要說了：都沒有解析式，我怎么判斷單調(diào)性？此時(shí)，你不妨回顧一下單調(diào)性的定義，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，單調(diào)性的定義里也沒有具體的解析式.所以，抽象函數(shù)單調(diào)性的證明需要我們緊扣住單調(diào)性的定義，嚴(yán)格按照定義進(jìn)行證明.

如果

，當(dāng)

時(shí)，都有，那么就說函數(shù)

在區(qū)間D上單調(diào)遞增．

如果

，當(dāng)

時(shí)，都有，那么就說函數(shù)

在區(qū)間D上單調(diào)遞減．

一般地，設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

I，區(qū)間:

下面我們一起回顧一下單調(diào)性的定義：

雖然抽象函數(shù)沒有具體的解析式，但是我們?nèi)匀豢梢园凑疹}目給出的運(yùn)算法則對題型進(jìn)行大致分類.分類結(jié)果如下：①正比例型④指數(shù)型③對數(shù)型⑤冪函數(shù)型這里我們主要講這五種類型，當(dāng)然，抽象函數(shù)的單調(diào)性問題遠(yuǎn)不止這五類，我們希望你能通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)掌握解決此類問題的一般思路，并在以后的學(xué)習(xí)中注重積累，在這份講義上增加新的題型，形成自己的知識(shí)體系.②一次型正比例型例1.已知函數(shù)

對任意的

均有

，且當(dāng)時(shí)，有.(1)求

；(2)求證：

在R上單調(diào)遞增；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化簡得

，即

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上單調(diào)遞增.(3)因?yàn)?/p>

，所以

，由(2)知

在R上單調(diào)遞增，所以

就等價(jià)于

，所以有

，解得

，所以解集為.判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的注意事項(xiàng)(1)沒有解析式證明單調(diào)性只能考慮定義，關(guān)鍵是構(gòu)造

并判斷正負(fù)，所以需要構(gòu)造出差式，且自變量是

，.(2)任取

，

，這里兩個(gè)變量的大小可以再差式構(gòu)造完成后再進(jìn)行假設(shè)，但是寫要寫在第一步.1.已知函數(shù)

對任意的

均有

，且當(dāng)時(shí)，有.(1)求

；(2)求證：

在R上單調(diào)遞減；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化簡得

，即

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上單調(diào)遞減.(3)因?yàn)?/p>

，所以

，由(2)知

在R上單調(diào)遞減，所以

就等價(jià)于

，所以有

，解得

，所以解集為.所以

，例2.已知函數(shù)

對任意的

均有

，且當(dāng)

時(shí)，有.(1)求

；(2)求證：

在R上單調(diào)遞增；(3)若

，解不等式.一次型解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化簡得

，即

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上單調(diào)遞增.(3)因?yàn)?/p>

，所以

，由(2)知

在R上單調(diào)遞增，所以

就等價(jià)于

，所以有

，解得

，所以解集為.2.已知函數(shù)

對任意的

均有

，且當(dāng)

時(shí)，有.(1)求

；(2)求證：

在R上單調(diào)遞增；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化簡得

，即

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上單調(diào)遞增.(3)因?yàn)?/p>

，所以

，由(2)知

在R上單調(diào)遞減，所以

就等價(jià)于

，所以有

，解得

，所以解集為.所以

，對數(shù)型例3.已知函數(shù)

對任意的

均有

，且當(dāng)

時(shí)，.(1)證明：

；(2)證明：函數(shù)

在

上為增函數(shù)；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化簡得

，即

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上單調(diào)遞增.(3)因?yàn)?/p>

，即

，所以

，由(2)知

在

上單調(diào)遞增，所以

就等價(jià)于

，所以有

，解得

，所以解集為.3.已知函數(shù)

對任意的

均有

，

，且當(dāng)

時(shí)，.(1)求

的值；(2)判斷函數(shù)

在

上的單調(diào)性；(3)若

，求x的取值范圍.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上單調(diào)遞增.所以

，(3)因?yàn)?/p>

，所以

，由(2)知

在R上單調(diào)遞增，所以

就等價(jià)于

，所以有

，解得

，所以解集為.例4.已知函數(shù)

對任意的

均有

，且當(dāng)

時(shí)，有.(1)求

；(2)求證：當(dāng)

時(shí)，

；(3)求證：

在R上單調(diào)遞增.指數(shù)型解：(1)令

，得解得

或

，若

，令

，

，則

，矛盾所以.(2)任取

，則

，令

，得

，化簡得

，即

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以.(3)任取

，令

，

，得

，化簡得

，因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上單調(diào)遞增.4.已知函數(shù)

對任意的

均有

，且當(dāng)

時(shí)，有.(1)求

；(2)求證：當(dāng)

時(shí)，

；(3)求證：

在R上單調(diào)遞減.例5.已知函數(shù)

對任意

均有

，且當(dāng)時(shí)，.(1)證明：

；(2)證明：函數(shù)

在

上單調(diào)遞增.冪函數(shù)型解：(1)令

，得解得

或

，若

，令

，

，則

，則有

，矛盾.所以.(2)任取

，令