四川省石室中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

四川省石室中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線y＝3x﹣1與曲線y＝ax+lnx相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知變量，之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為，若，，則的值為()A． B． C． D．13．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由變成時(shí)，左邊增加了（）A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)4．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)111名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

愛(ài)好

41

21

31

不愛(ài)好

21

21

51

總計(jì)

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”5．用反證法證明命題“關(guān)于x的方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．方程至多有一個(gè)實(shí)根 B．方程至少有兩個(gè)實(shí)根C．方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程沒(méi)有實(shí)根6．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．2 B． C． D．7．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A． B． C． D．8．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（）A． B．C． D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)間隔3分鐘先后從點(diǎn)，繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜃鹘撬俣葹榛《?分鐘的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘10．已知函數(shù)，則()A． B．e C． D．111．已知，記，則M與N的大小關(guān)系是()A． B． C． D．不能確定12．已知函數(shù).若，則（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.14．已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_______．15．已知，若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的值不大于15，則a取值范圍為_(kāi)_______.16．已知曲線的方程為，集合，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號(hào)）①；②；③；④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，其前項(xiàng)和為.（1）計(jì)算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.18．（12分）請(qǐng)先閱讀：在等式的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得：，化簡(jiǎn)得等式：．利用上述的想法，結(jié)合等式（,正整數(shù)）（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)，如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.（1）如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為多少秒？（精確到1秒）（2）細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度.（精確到0.1cm）20．（12分）選修4-5：不等式選講已知.（1）求的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．（12分）在件產(chǎn)品中，有件正品，件次品，從這件產(chǎn)品中任意抽取件.（1）共有多少種不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少種？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少種？22．（10分）已知過(guò)點(diǎn)且圓心在直線上的圓與軸相交于兩點(diǎn)，曲線上的任意一點(diǎn)與兩點(diǎn)連線的斜率之積為．（1）求曲線的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)作射線，分別平行于，交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)，表示出切線方程，與已知切線相同，從而得到關(guān)于和的方程組，解出的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)椋运郧芯€斜率則切線為整理得又因?yàn)榍芯€方程為所以得，解得故選B項(xiàng).本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，未知切點(diǎn)表示切線方程，屬于中檔題.2、A【解析】

根據(jù)題意，可知，，，代入即可求這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程，即可求解出答案?！驹斀狻恳李}意知，，而直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得．故答案選A。本題主要考查了根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求回歸直線，線性回歸直線過(guò)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為樣本點(diǎn)的中心，回歸直線一定過(guò)此點(diǎn)。3、D【解析】

分別寫出、時(shí)，不等式左邊的式子，從而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，則增加了項(xiàng)，故選D.項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問(wèn)題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.4、A【解析】

由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A5、D【解析】

結(jié)論“至少有一個(gè)”的反面是“至多有0個(gè)”即“一個(gè)也沒(méi)有”．【詳解】假設(shè)是“關(guān)于x的方程沒(méi)有實(shí)根”．故選：D.本題考查反證法．掌握命題的否定是解題關(guān)鍵．在有“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，其否定要注意．不能弄錯(cuò)．6、D【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值．【詳解】，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，∴已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，.故選D．本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．解題時(shí)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減，從而確定最值，在閉區(qū)間的最值有時(shí)可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，要注意比較．7、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D．8、B【解析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時(shí)，故選B9、A【解析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計(jì)算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.10、C【解析】

先求導(dǎo)，再計(jì)算出，再求.【詳解】由題得，所以.故選：C.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】

作差并因式分解可得M-N=，由，∈（0，1）可作出判斷．【詳解】由題意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N

故選B.本題考查作差法比較式子大小，涉及因式分解，屬基礎(chǔ)題．12、D【解析】

令，則是R上的奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可以推得的值．【詳解】令，則是上的奇函數(shù)，又，所以，所以，，所以，故選D.本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

可將點(diǎn)P和點(diǎn)Q先化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，從而利用距離公式求解.【詳解】根據(jù)，可將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，從而.本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)和直角坐標(biāo)點(diǎn)的互化，距離公式，難度不大.14、【解析】試題分析：設(shè)根據(jù)題意可得函數(shù)在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)可得，最后根據(jù)單調(diào)性可求出x的取值范圍．設(shè)，，即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，，而函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，，即，故答案為考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；其它不等式的解法15、【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)得：，又，所以，又時(shí)，展開(kāi)式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，即a取值范圍為，得解．【詳解】由二項(xiàng)式定理可得：展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，又展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的值不大于15，則，又，所以，又時(shí)，展開(kāi)式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，即a取值范圍為，故答案為：．本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)，屬中檔題．16、①③【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，在曲線上存在著點(diǎn)使得，據(jù)此逐項(xiàng)判斷曲線是否為曲線.【詳解】①的圖象既關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱，且圖象是封閉圖形，所以對(duì)于任意的點(diǎn)，存在著點(diǎn)使得，所以①滿足；②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個(gè)夾角為的區(qū)域，當(dāng)在雙曲線同一支上，此時(shí)，當(dāng)不在雙曲線同一支上，此時(shí)，所以，不滿足，故②不滿足；③的圖象是焦點(diǎn)在軸上的拋物線，且關(guān)于軸對(duì)稱，連接，再過(guò)點(diǎn)作的垂線，則垂線一定與拋物線交于點(diǎn)，所以，所以，所以③滿足；④取，若，則有，顯然不成立，所以此時(shí)不成立，所以④不滿足.故答案為：①③.本題考查曲線與方程的新定義問(wèn)題，難度較難.(1)對(duì)于新定義的問(wèn)題，首先要找到問(wèn)題的本質(zhì)：也就是本題所考查的主要知識(shí)點(diǎn)，然后再解決問(wèn)題；(2)對(duì)于常見(jiàn)的，一定要能將其與向量的數(shù)量積為零即垂直關(guān)系聯(lián)系在一起.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2），證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）由題可得前4項(xiàng)，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四項(xiàng)和的規(guī)律可猜想，由數(shù)學(xué)歸納法，即可做出證明，得到結(jié)論?！驹斀狻浚?）計(jì)算，.（2）猜想.證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜想成立.②假設(shè)猜想成立，即成立，那么當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由①②可知，對(duì)于，猜想都成立.本題主要考查了歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納證明方法：（1）驗(yàn)證時(shí)成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論．其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)．著重考查了推理與論證能力．18、(1)；(2).【解析】

（1）根據(jù)題意對(duì)兩邊求導(dǎo)，再令得到結(jié)果；（2）對(duì)已知式子兩邊同時(shí)乘以得：再令，求得答案.【詳解】（1）依題意得對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：令得：（2）由（1）得：兩邊同時(shí)乘以得：對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得即令，本題以新定義為背景的創(chuàng)新題，考查二項(xiàng)式定和導(dǎo)數(shù)知識(shí)的交會(huì)，要求讀懂題意并會(huì)把知識(shí)遷移到新情境中進(jìn)行問(wèn)題解決，對(duì)綜合能力要求較高.19、(1)一沙時(shí)為1986秒;(2)沙堆高度約為2.4cm.【解析】

（1）開(kāi)始時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為，底面半徑為39.71（秒）所以，沙全部漏入下部約需1986秒（2）細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑4，設(shè)高為錐形沙堆的高度約為2.4cm.20、(1)(2)【解析】

（1）先由題意得，進(jìn)而可得，求解，即可求出結(jié)果；（2）先由恒成立，得到恒成立，討論與，分別求出的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）由得，所以，解得，所以，的解集為（2）恒成立，即恒成立.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），所以，即的最大值是.本題主要考查含絕對(duì)值不等式，熟記含絕對(duì)值不等式的解法即可，屬于常考題型.21、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）從這件產(chǎn)品中任意抽出件，是組合問(wèn)題，利用組合數(shù)的定義可得出結(jié)果；（2）抽出的件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用組合計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果；（3）在件產(chǎn)品中任意抽出件的抽法種數(shù)減去件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù)，用間接法求解．【詳解】（1）從這件產(chǎn)品中任意抽出件，共有種不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有種不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法種數(shù)，可以在件產(chǎn)品中任意抽出件的抽法種數(shù)減去件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù)，因此，共有種不同的抽法.本題考查組合知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．22、（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出圓C的方程，再利用直接法求曲線