2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：正態(tài)分布

第08講7.5正態(tài)分布

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①通過(guò)誤差模型初步了解服從正態(tài)分布

的隨機(jī)變量的特點(diǎn)。

②并能通過(guò)具體的實(shí)例，借助頻率直方圖的通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求在了解正態(tài)分布的含義基礎(chǔ)

幾何直觀性，了解正態(tài)分布的特征，了解正上，能解決與正態(tài)分布相關(guān)的問(wèn)題，根據(jù)正態(tài)密度曲線

態(tài)密度函數(shù)的性質(zhì)。的對(duì)稱性，增減性，求特定區(qū)間的概率，相應(yīng)的參數(shù)及

③了解正態(tài)分布的均值、方差及含義。解決簡(jiǎn)單的正態(tài)分布的應(yīng)用問(wèn)題。

④了解35原則，能通過(guò)具體的實(shí)例求會(huì)求

指定區(qū)間的概率，以及解決簡(jiǎn)單的正態(tài)分布

問(wèn)題

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)1：正態(tài)曲線

（1）連續(xù)型隨機(jī)變量

除了離散型隨機(jī)變量外，還有大量問(wèn)題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚

至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0,我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.

(2)正態(tài)的曲線的定義

函數(shù)/(")=篇二安，其中〃eR,a>。為參數(shù).

顯然對(duì)于任意XCR,/(%)>0,它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1,我們

稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.

①函數(shù)的自變量為X,定義域?yàn)镽

②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)兀和e,這兩個(gè)是無(wú)理數(shù)，其中兀為圓周率，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

③解析式中含兩個(gè)參數(shù)4和6其中4可取任意實(shí)數(shù)，。>0,不同的正態(tài)曲線4和。的取值是不同的.

④解析式的前面是一個(gè)系數(shù)會(huì),后面是一個(gè)以e為底的指數(shù)函數(shù)的形式,指數(shù)為-與警，其中

。這個(gè)參數(shù)在解析式中的兩個(gè)位置出現(xiàn)，注意保持一致.

(3)正態(tài)曲線的幾何意義

由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(6,0)的兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形(圖中陰影部分)

的面積，就是X落在區(qū)間［a,切的概率的近似值.

(4)正態(tài)曲線的特點(diǎn)

①曲線位于％軸上方，與久軸不相交;

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線久=〃對(duì)稱；

③曲線在X=〃時(shí)達(dá)到峰值島；

④當(dāng)X<〃時(shí)，曲線上升；當(dāng)久>〃時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以久軸

為漸近線，向它無(wú)限靠近.

⑤曲線與X軸之間的面積為1；

⑥4決定曲線的位置和對(duì)稱性；

當(dāng)。一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由〃確定；如下圖所示，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移。

⑦。確定曲線的形狀;

當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定。。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線越“矮胖”，

表示總體的分布越分散。

知識(shí)點(diǎn)2：正態(tài)分布

(1)正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為/(乃=1篇e-與歲，(久6R,其中。>0為參數(shù))，稱隨機(jī)變量X服從

正態(tài)分布，記為X?N(4,o2).

【即學(xué)即練1】(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X?N(4,d),若P(X>HI)=0.8,則P(X>8—爪)等

于()

A.0.2B.0.7C.0.8D.0.9

【答案】A

【詳解】由題意知，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為％=4,血與8—m關(guān)于x=4對(duì)稱，

所以P(X<8-m)=P(X>m)=0.8.

所以P(X>8—m)=1-0.8=0.2.

故選：A.

(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X?N(〃R2),則當(dāng)〃=0,c=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

解析式為f(乃=意e4,x€R,其相應(yīng)的密度曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.

【即學(xué)即練2](2024上?江西上饒?高二江西省廣豐中學(xué)校考期末)阿鑫上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.

若阿鑫坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)￥都服從正態(tài)分布,其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()

x的密度/八丫的密度

26303438x

A.y的數(shù)據(jù)較x更集中

IB.若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大

C.若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大

D.P(X>30)+P(y<30)=1

【答案】D

【詳解】觀察圖象知，X?N(30屆),bN(34,遐),

對(duì)于A,y的密度曲線瘦高、x的密度曲線矮胖，即隨機(jī)變量y的標(biāo)準(zhǔn)差小于x的標(biāo)準(zhǔn)差，即q〉?，

因此y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；

對(duì)于B,顯然P(XW34)>3=P(YW34),則當(dāng)有34min可用時(shí)，坐公交車不遲到的概率大，B正確；

對(duì)于C,顯然P(XW38)<P(YW38),則當(dāng)有38min可用時(shí)，騎自行車不遲到的概率大，C正確；

對(duì)于D,顯然P(X>30)=±30)<P(y<34)=5因此P(X>30)+P(yw30)<1,D錯(cuò)誤.

故選：D

知識(shí)點(diǎn)3：正態(tài)分布的3。原則：正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值

假設(shè)X?N(〃，(72),可以證明：對(duì)給定的keN*,P(〃—ko<X<n+ku)是

一個(gè)只與k有關(guān)的定值.

特別地，P(4一(JWXW〃+。)a0.6827,

-2cr<X<M+2<r)?0,9545,________一

-68.27%

95.45%

99.73%

P(M-3cr<X<M+3<r)?0,9973.

上述結(jié)果可用右圖表示.

此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-8,+8),但在一次試驗(yàn)中，X的值幾乎總是落在區(qū)間口-36〃+

3司內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量x只取+35中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中

稱為3o■原則.

【即學(xué)即練3］(2024上?遼寧遼陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末)某市高三年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)

分布N(171/6),現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三男生，則他的身高位于［171,179)內(nèi)的概率(結(jié)果保留三位有效

數(shù)字)是()參考數(shù)據(jù)：P(4-aWXW〃+=0.683,-2(7<X<M+2d)?0.954,-3<r<

X<4+30=0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

【答案】A

【詳解】由題意可知，4=171,<7=4,

所以］(1714X<179)=尸(〃MX<M+2CT)20.954+2=0477.

故選：A

題型精講

題型01正態(tài)密度函數(shù)

【典例1】(2024?全國(guó),高三專題練習(xí))"雜交水稻之父"袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，

發(fā)明了“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安

全，農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高

(單位：cm)服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為/(x)=焉e-■比，XGR,則下列說(shuō)法埼誤的是()

A.該地水稻的平均株高為100cm

B.該地水稻株高的方差為100

C.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小

D.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,11。)(單位：cm)的概率一樣大

【答案】C

【詳解】依題意〃=100,。=10,

所以平均數(shù)為100cm，方差為。2=100,所以AB選項(xiàng)正確.

依題意P(X>100+20)=P(X<100-20),P(X>120)=P(X<80),

而P(X<80)>P(X<70),即P(X>120)>P(X<70),所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

P(100-10<X<100)=P(100<X<100+10),P(90<X<100)=P(100<X<110),所以D選項(xiàng)正

確.

故選：C

【典例2】(2024?全國(guó)?高二假期作業(yè))某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分

布，其密度函數(shù)/(X)=—Zoo'XG(—8,+8),則下列命題不正確的是

A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分

B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同

C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同

D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10

【答案】B

【詳解】???密度函數(shù)/(%)小呼

二該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分

該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10,

從圖形上看，它關(guān)于直線久=80對(duì)稱，

且50與110也關(guān)于直線x=80對(duì)稱，

故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同.

故選B.

【典例3】(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，若一個(gè)隨機(jī)變量X服從某正態(tài)分布X?NO，/),且已知函數(shù)

e-M的圖象及部分重要點(diǎn)的坐標(biāo)如圖，則該組隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)=________________，方

八'O-V27T

差D(X)=.

【詳解】由圖可知，當(dāng)x=5時(shí)，*幻=3e-■■有最大值為亙，

八’。物F27r

所以〃=5?=1,

所以X?N(5,l),所以E(X)=〃=5,D(X)=°2=L

故答案為：5;1.

(X-/Z;)2

【變式1](2024?全國(guó)?高二假期作業(yè))已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)“無(wú))=，)二廠067?"=1,2,3)的

圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.41=42>“3，0=>。3

B.41<42=〃3，=0〈方

C.41<42=43，q=。2>?3

D.Ml=林2>林3，<。3

【答案】B

【詳解】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)出。的意義，

結(jié)合圖象可知上(%),人(X)對(duì)稱軸位置相同，所以可得“2=”3；

且都在式(久)的右側(cè),即列<fi2=出，

比較/!(")和心0)圖像可得，其形狀相同，即01=。2，

又啟0)的離散程度比內(nèi)0)和左0)大，所以可得名=外<的；

故選：B

【變式2】(多選)(2024?全國(guó),高三專題練習(xí))18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服

從二項(xiàng)分布8(九,p)，那么當(dāng)〃比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布N(〃,。2)，其密度函數(shù)0“(%)=盍屋與警，

xER.任意正態(tài)分布X?B(〃,02),可通過(guò)變換Z=轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(〃=0且。=1).當(dāng)Z?N(0,l)

時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)》,記t(x)=P(Z<%),則()

A.t(—%)=1—t(x)

B.當(dāng)x>0時(shí)，P(Z<x)=1—2t(x)

C.隨機(jī)變量X?NQ,/),當(dāng)〃減小，。增大時(shí)，概率p(|x—〃|<。)保持不變

D.隨機(jī)變量X?N(4,M),當(dāng)〃，。都增大時(shí)，概率P(|X—屈<。)單調(diào)增大

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：t(-x)=P(Z<-x)=P(Z2x)=1-P(Z<x)=1-t(x),

故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，t(x)=P(Z<%),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,D,根據(jù)正態(tài)分布的3c準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中。代表標(biāo)準(zhǔn)差，4代表均值，

%=〃即為圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)3。原則可知X數(shù)值分布在(〃-6〃+。)中的概率為0.6826,是常數(shù),

故由P(|X—〃|<。)=—。<X<〃+o)可知，C正確，D錯(cuò)誤，

故選：AC

【變式3](多選)(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知某批零件的長(zhǎng)度誤差X服從正態(tài)分布N(〃《2),其密度

(附：若隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(〃,02),則尸=0.6826,P(〃—2oVfV〃+20)=

0.9544,P(〃-3°Vf<〃+3(7)=0.9974.)

A.CT=3

B.長(zhǎng)度誤差落在(-3,3)內(nèi)的概率為0.6826

C.長(zhǎng)度誤差落在(3,6)內(nèi)的概率為0.1359

D.長(zhǎng)度誤差落在(3,9)內(nèi)的概率為0.1599

【答案】ABC

【詳解】由圖中密度函數(shù)解析式，可得。=3,A選項(xiàng)正確；

又由圖像可知〃=0,

則長(zhǎng)度誤差落在(-3,3)內(nèi)的概率為

P(-3<X<3)=P(〃-(r<X<〃+(i)=0.6826,B選項(xiàng)正確；

長(zhǎng)度誤差落在(3,6)內(nèi)的概率為

11

P(3<X<6)=￡[P(—6<X<6)—P(—3<X<3)]=—2cr<X<〃+2cr)—尸(〃—cr<X<〃+cr)]

=|(0.9544-0.6826)=0.1359,C選項(xiàng)正確；

長(zhǎng)度誤差落在(3,9)內(nèi)的概率為

P(3<X<9)=[[P(—9<X<9)—P(—3<X<3)]=|[P(〃-3cr<X<〃+3(r)—P(〃一0<X<〃+

a)]=I-1(0.9974-0.6826)=0.1574,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：ABC.

題型02概率分布曲線的認(rèn)識(shí)

【典例1】(2024?全國(guó)?高二假期作業(yè))設(shè)隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布，f的分布密度曲線如圖所示，若P(f<0)=

p,則P(0<§<1)與。C)分別為()

_111

c-L7D.p，z

【詳解】根據(jù)題意，且P（f<O）=p,貝UP（O<f<1）=空=3-p,

由正態(tài)曲線得f?N（1，C）2）,所以￡）&）=?）2=%

故選：C.

(%一脫)

【典例2】（2024?全國(guó)?高二假期作業(yè)）已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)化（乃~^—e2ai(%e/?,i=1,2,3)的

N271(71

圖像如圖所示，則（）

A.=〃3>42，>。3B.V〃2=〃3，V。2<

C.=〃3>〃2，=。2<。3D.V〃2=〃3，=。2V。3

【答案】C

【詳解】由題圖中y=夕式%）的對(duì)稱軸知:〃1=〃3>〃2,

y=%（%）與y=92（%）（一樣）瘦高，而y=03（%）胖矮，

所以可=tr2<a3.

故選：C

【典例3］（2023下?高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位:kg）分別服從正態(tài)分布N（〃LM）,N（〃2,蘇），

其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為/（X）=嵩e-喑，XER）

A.甲類水果的平均質(zhì)量4=0.4kg

B.乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大

D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)?=1.99

【答案】A

【詳解】由題圖可知甲圖象關(guān)于直線x=0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線x=0.8對(duì)稱，

所以%=0.4,[12-0.8,故A正確，C錯(cuò)誤；

因?yàn)榧讏D象比乙圖象更"高瘦"(曲線越"高瘦"，。越小，表示總體的分布越集中)，

所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于均值左右，故B錯(cuò)誤；

1

因?yàn)橐覉D象的最高點(diǎn)為(0.8,1.99),即南瓦=199,所以。2#199,故D錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式1](2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車

和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)丫都服從正態(tài)分布，

x?N(%,62),y?N(〃2,22).X和y的分布密度曲線如圖所示.則下列結(jié)果正確的是()

A.D(X)=6B.M

C.P(X<38)<P(Y<38)D.P(X<34)<P(Y<34)

【答案】C

【詳解】對(duì)于A中，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X?N(〃I，62),

可得隨機(jī)變量X的方差為M=62,即D(X)=36,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機(jī)變量%=30,%=34,

所以生<〃2，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得X<38時(shí)，隨機(jī)變量X對(duì)應(yīng)的曲線與x圍成的面積小于y<38時(shí)

隨機(jī)變量y對(duì)應(yīng)的曲線與％圍成的面積，

所以P(X<38)<P(Y<38),所以C正確；

對(duì)于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得P(XW34)>點(diǎn)P(Y<34)=

即P(X<34)>P(Y<34),所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式2](2024?全國(guó)?高二假期作業(yè))設(shè)X?N(%4/),丫?N(〃2,域)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，

下列結(jié)論中正確的是()

A.〃i>〃2B.>a2

C-P（Y>/z2）>P（Y>Mi）D.P（XW的）2P（XW的）

【答案】D

【詳解】因?yàn)閄~N（〃1，瓏），丫?N（〃2,冠）,兩曲線分別關(guān)于X=〃1，X=〃2對(duì)稱，

所以由圖可知，41<的，所以A錯(cuò)誤，

因?yàn)閄的分布曲線"高瘦”，Y的分布曲線"矮胖"，

所以/，所以B錯(cuò)誤，

所以p（y>M2）<P（Y>MJ-P（X<%）>P（X<MI）>

所以C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D

【變式3］（多選）（2023上?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某市有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車零件，零件

的尺寸分別記為X,Y,已知X,丫均服從正態(tài)分布，X~N（MQY?N（林2晟），其正態(tài)曲線如圖所示，

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

【答案】AC

【詳解】x,y均服從正態(tài)分布,x?N（的,猶）,丫?N（〃2,贊），

結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，可得的=出，/<?，

故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯(cuò)誤;

甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC

題型03標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用

【典例1】（2023下?江蘇淮安?高二?？茧A段練習(xí)）我省高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考科目和思

想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃

分為A,B+,B,C+,C,D+,D,E共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,

7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%,選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，

依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]

八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)，如果某次高考模擬考試物理科目的原始成績(jī)X?N(50,256),那么。

等級(jí)的原始分最高大約為()

附：①若X?N(林《2),丫=一，則丫?N(0,l)；

②當(dāng)y?N(0,l)時(shí)，P(Y<1.5)X0.9.

A.23B.29C.26D.43

【答案】C

【詳解】由題意知：從低到高，即E到。等級(jí)人數(shù)所占比例為10%,

若。等級(jí)的原始分最高為x,貝i|p(yw鬻)=o.i,x?(r<1.5)~0.9,

所以p(y<詈)=I-P(Y<1,5),而y?N(O,I),

所以P(yW厘)=P(yW-1.5),即厘=一1.5,可得X=50-1.5X16=26分.

1616

故選：C

【典例2】(多選)(2023下?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,l),

定義函數(shù)/(比)為X取值不超過(guò)x的概率，即/(X)=P(XWx).若x>0,則()

A./(—%)=1—/(%)B./(2x)=2/(%)

C./(x)在(0,+8)上是減函數(shù)D.P(|X|<x)=2/0)-1

【答案】AD

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,l),

所以/'(-%)=P(X<-x)=P(X>x)=1-P(X<x)=1-f(x),A正確；

f(2久)=P(X<2%),2/(x)=2P(X<x),因?yàn)閤>0,所以/(x)=P(X<x)>|,

所以J(2x)=2f(x)不可能，B不正確;

因?yàn)閤>0,所以當(dāng)x增大時(shí)，f(x)=P(XWx)也增大，C不正確；

P(|X|<x)=P(-x<X<%)=1-2P(X>x)

=1-2[1-/(%)]=2/(%)-1,D正確.

故選：AD.

【典例3](2024?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))2020年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬(wàn)多人.2019

年7月份以來(lái)，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過(guò)150萬(wàn)小時(shí).為

了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)(單位：小

時(shí))，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)元和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

間值代表)；

(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)

a近似為樣本方差52.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若X?N(〃,o2),

令y=_,則丫?N(0,l),且P(XWa)=P(Y<于).

(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求P(X<10)；

(ii)從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10小時(shí)的人數(shù)，求

P(Z>1)(結(jié)果精確到0.001)以及Z的數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：VL64x1.28,O.773420?0.0059.若丫?N(0,l),則P(Y<0.78)=0.7734.

【答案】(1)9,1,64；(2)(I)0,7734,(ii)0.994,4.532.

【詳解】解：(1)元=6X0.02+7X0.1+8X0.2+9X0.38+10X0.18+11X0.08+12X0.04=9.

s2=(6-9)2x0.02+(7-9尸x0.1+(8-9)2x0.2+(9-9)2x0.38+(10-9)2x0.18+(11-9)2x

0.08+(12-9)2x0.04=1.64.

(2)(i)由題知〃=9,(T2=1.64,所以X?N(9,1.64),a=VL64?1.28.

所以P(X<10)=P(y<糕)=P(Y<0,78)=0.7734.

(ii)由(i)知P(X>10)=1-P(X<10)=0.2266,可得Z~B(20,0.2266).

P(Z>1)=1-P(Z=0)=1-O.773420?1-0.0059=0.9941?0.994.

故Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)=20x0.2266=4.532.

【變式1](2024?全國(guó)?高二假期作業(yè))《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：2020年高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)

學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目

的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A、B+,B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定

各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%、16%、7%、3%,選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，

將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100],[81,90],[71,80]、[61,70]、

［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)，如果山東省某次高考模擬考試

物理科目的原始成績(jī)X?N(50,256),那么。等級(jí)的原始分最高大約為()

附：①若x?N(〃,b2),丫=一，則丫?N(O,I)；②當(dāng)丫?N(O,I)時(shí)，p(yw1.3)=0.9.

A.23B.29C.36D.43

【答案】B

【詳解】由題意知：X?N(50,256)則有〃=50,。=16

設(shè)。等級(jí)的原始分最高大約為X,對(duì)應(yīng)的等級(jí)分為40,而P(等級(jí)分240)=1-(7%+3%)=0.9

.??有P(原始分2富)=0.9

而P(Y<1,3)?0.9,由對(duì)稱性知P(Y>-1.3)?0.9

=-1.3,即x=29.2夕29

16

故選：B

【變式2】(多選)(2023下?高二課時(shí)練習(xí))若隨機(jī)變量§?N(0,l),。(久)=P(fW久)，其中久>0,下列

等式成立的有()

A.<i>(—%)=1—<?>(%)B.<i>(2x)=20(%)

C.P(|§|Wx)=2O(x)-1D.P(|f|>x)=2-2<X>(x)

【答案】ACD

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知P(f<-%)=>%)=1-P鉉<x),

所以，0(-x)=1-0(x),A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，0(2x)=<2%)<1<2Pq<x)=20(%),B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，P(|f|<x)=P(-x<^<x]-P(f<%)-P(f<-x)--0(x)-0(-x)

=0(%)-[1-0(x)]=20(x)-1,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，P(|f|>%)=1-P(曰<x)=1-[20(x)-1]=2-2<X>(x),D對(duì).

故選：ACD.

【變式3】(多選)(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),f(x)=P(X<x),其中x>0,則下

列等式成立的有()

A./W=V(x)B./(2x)=2/0)

C.小)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)D.P(|X|<x)=2f(%)-1

【答案】ACD

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,l),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱.

對(duì)于4因?yàn)?(x)=P(XWx),所以/(—x)=P(XW—x)=P(X2x)=1—/(x),故4正確；

對(duì)于B,當(dāng)％=1時(shí)，/(I)=P(X<1)>0.5,2/(1)>1,而/(2)<1,故8錯(cuò)誤：

對(duì)于C,結(jié)合正態(tài)曲線，易得/O)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，故C正確；

對(duì)于DP(\X\<x)=P(-x<X<x)=1-2[1-/(x)]=2f(*)-1,故。正確.

故選：ACD

題型04特殊區(qū)間的概率

【典例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)后，每天小籠包的銷售量X?N(1000,2500)(單

位：個(gè))，估計(jì)300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個(gè)的天數(shù)大約是()

(若隨機(jī)變量X?NQ,/),貝(〃一。wx=0.6827,PQ-2b斐XW>+2。)、0.9545,

P(〃一3。WXW〃+3。)=0.9973)

A.236B.246C.270D.275

【答案】B

【詳解】由題可知，〃=1000,a=50,P(950<X<1100)=P(〃一cWXW〃+2。)=P(4-WXW〃)+

<^<M+2ff)~竺詈+竺羅=0.8186所以300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個(gè)的天數(shù)大約

是300X0.8186=245.58?246天.

故選：B.

【典例2】(2024上?黑龍江?高二校聯(lián)考期末)已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(25,0.16),其中

X￡[24.6,26.2]的產(chǎn)品為"可用產(chǎn)品"，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到"可用產(chǎn)品”的概率約為.

參考數(shù)據(jù)：若X?N(JI?2),貝曲(〃一。WXW〃+(T)-0.6827,P(g-2a<X<(i+2CT)?0.9545,P(〃一

21

3cr<X</I+3(r)?0.9973.【答案】0.84/—

【詳解】由題意知,該產(chǎn)品服從X?N(25,0.16),則〃=25,(r=0.4,

所以P(24,6<X<26.2)=P(25-0.4<X<25+3X0.4)=P(〃一0WXW〃+3。)

即抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84,

故答案為：0.84

【典例3】(202牛全國(guó)?高三專題練習(xí))某公司定期對(duì)流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，以此來(lái)判定產(chǎn)品是否

合格可用.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(15,9),其中XC[6,18]的產(chǎn)品為"可用產(chǎn)品"，則在這

批產(chǎn)品中任取1件，抽到"可用產(chǎn)品"的概率約為.

參考數(shù)據(jù)：若X?N(〃R2),則P(〃-<TWXW〃+(T)=0.6827,PQ-2。WXW〃+2o)=0.9545,

P(〃—3a<X<n+3a)?0.9973.

【答案】0.84/||

【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X?N(15,9),則〃=15,士=3,

所以P(6<X<18)=P(15-3<X<15+3x3)=P(/z-<X</z+3cr)

=P(H—cr<X<jU+cr)+PQt+a<X</z+3a),

又P(〃+a<X</z+2(T)=|[P(〃-2d<X</z+2(f)—P(〃—cr<X</i+(j)]=0.1359,

產(chǎn)(〃+2。WXW〃+3(7)=|[P(〃-3(y<X<p,+3a)—P(ji—2(T<X<pi+2。)]=0.0214,

所以+a<X<IJ.+3a)=P(4+a<X</J.+2a)+P(〃+2a<X<+3a)=0.1573,

所以P(〃-a<X<fi+a)+P^+a<X<ii+3(j)=0.1573+0,6827=0.84,

即P(6<X<18)=0.84.

所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84.

故答案為：0.84.

【變式。(多選)(2024上?湖南長(zhǎng)沙?高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí))已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,102),

則下列選項(xiàng)正確的是(參考數(shù)值：隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布則()

—cr<^</z+cr)~0.6827,P(ji—2cr<f</z+2<r)?0.9545,P(〃—3cr<f</z+3。)~0.9973)

A.E(X)=100B.D(X)=10

C.P(X>90)-0.84135D.P(X<120)=P(X>90)

【答案】AC

【詳解】???隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,102),

正態(tài)曲線關(guān)于直線X=100對(duì)稱，且E(X)=100,0(X)=102=100,從而A正確，B錯(cuò)誤，

根據(jù)題意可得，P(90<X<110)x0.6827,P(80<X<120)?0.9545,

；.P(X>90)?0.5+|x0.6827=0.84135,故C正確；

XW120與X290不關(guān)于直線X=100對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【變式2](2024?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車

進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃,d),用樣本平均

數(shù)元和標(biāo)準(zhǔn)差S分別作為〃、。的近似值，其中樣本標(biāo)準(zhǔn)差S的近似值為50,現(xiàn)任取一輛汽車，則它的單次最

大續(xù)航里程X￡[250,400]的概率為.

(參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X?NO，/),則P(4-。WXW〃+o)?0.6827,PQ-2。WXW4+2。)?0.9545,

P(〃一3。WXW〃+3。)=0.9973)

【答案】0.8186

【詳解】斤=205x0.002x50+255x0.004x50+305x0.009x50+355x0.004x50

+405X0.001X50=300,

故X?N(300,502),p(250<X<400)

=1-|[1-P(/z-2(r<X</I+2(T)]一-P(〃-cWXW〃+O]=0.8186.

故答案為：0.8186

【變式3](2024上?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考期末)某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指

標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格.現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值項(xiàng)(i=

1,2,3,-,100),經(jīng)計(jì)算￡氏々=7200,鵡*=100x(722+36).若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從

正態(tài)分布則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為.(用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%)

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4，。2),貝UP(〃一c<X<〃+O=0.6827,P0-+

2cr)?0.9545,P(〃-3cWXW〃+3(r)=0.9973.

【答案】97.7%

【詳解】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)%2>x3>%100的平均值元=擊羽雪々=72,

方差52=擊￡搗方-云)2=京陰瑞媛一100元2)=擊x[100X(722+36)-100X722]=36,

所以〃的估計(jì)值為〃=72,。的估計(jì)值為。=6.

設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X,

由P(〃-2<r<X</z+2<r)?0,9545,得P(72-12<X<72+12)=P(60<X<84)?0.9545,

1-PQ-2。<X<〃+2。)1-0.9545

P(X>84)=P(X>〃+2<T)=P(X<〃-2CT)=----------------------------------2---------------

-1

所以P(X>60)=P(60<X<84)+P(X>84)x0.9545+；x(1-0,9545)=0.97725?97.7%.

故答案為：97.7%.

題型05指定區(qū)間的概率

【典例1】(2024?重慶?統(tǒng)考一模)已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X(單位：小時(shí)),且X?

N(55c2),尸(x>6)=0.2.現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6

小時(shí)的概率為()

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

【答案】B

【詳解】由題意得P(x>5.5)=0.5,貝i]P(5.5<%<6)=0.5-0.2=0.3,

則P(5<x<6)=0.3X2=0.6,

則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為廢0.62x0.4+Cf0.63=0.648,

故選：B.

【典例2】(2024上?遼寧?高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)己知隨機(jī)變量X?N(3?2),p(xwi)=0.2,

則P(1<X<5)=()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】C

【詳解】由X~N(3R2),P(X<1)=0.2,則P(X25)=0.2,

故P(1<X<5)=1-P(X<1)-P(X>5)=1-2X0.2=0.6.

故選：C.

【典例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,M)①>0),若尸(X>0)=0.9,貝|

P(1<X<2)=.

【答案】0.4/|

【詳解】由尸(X>0)=。9可得P(X<0)=1-0.9=0.1,

則P(X>2)=P(X<0)=0,1,故P(0<X<2)=1-0.1-0.1=0.8,

所以P(1<X<2)=Tx0.8=0.4.

故答案為：0.4.

【變式1](2024上?河南焦作?高二統(tǒng)考期末)已知隨機(jī)變量X?N(10,—),且P(X<11)=0.7,貝”(10W

X<11)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】B

【詳解】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，

可得P(10<X<11)=P(X<11)-P(X<10)=0.7-0.5=0.2.

故選：B.

【變式2】(多選)(2024上?廣西桂林?高二統(tǒng)考期末)某市對(duì)歷年來(lái)新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生

兒體重X?N(3.5,0.25),則下列結(jié)論正確的是()

___1

A.該正態(tài)分布的均值為3.5B.P(X>3.5)=-

C.P(4<X<4.5)>|D.P(X>4.5)=P(X<3)

【答案】AB

【詳解】因?yàn)閄?N(3.5,0.25),

對(duì)于A選項(xiàng)，該正態(tài)分布的均值為〃=3.5,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，P(X>3.5)=}B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，P(4<XW4.5)<P(X>3.5)=；-1,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，P(X<3)=P(X>4)>P(X>4.5),D錯(cuò).

故選：AB.

【變式3](2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè))已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(8,M),且P(X<5)=0.3,則

P(8<X<11)=.

【答案】0.2

【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(8,M),可得到對(duì)稱軸為x=8,

又由P(X<5)=0.3,則P(X>11)=0.3,

所以P(8<X<11)=|[1-2P(X<5)]=0.2.

故答案為：0.2

題型06正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】(2024上?江西九江?高二統(tǒng)考期末)某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X?N(10,4),現(xiàn)在抽取10000

件進(jìn)行檢查，則直徑在(12,14)之間的零件大約有件.

(注：P(“—CT<X</z+cr)~0.6826,PQi—2a<X<[i+2cr)~0.9544,PQi—3a<X<+3<r)~

0.9974)

【答案】1359

【詳解】vX滿足正態(tài)分布X?N(.10,4),11=10,<T=2,.-.P(8<X<12)?0.6826,

P(6<X<14)x0.9544,P(12<X<14)七。,954410.6826=0.1359,

二直徑在(12,14)之間的零件大約有1359件.

故答案為：1359

【典例2】(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))2023年國(guó)家公務(wù)員考試筆試于1月8日結(jié)束，公共科目包括行政職

業(yè)能力測(cè)驗(yàn)和申論兩科，滿分均為100分，行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)中，考生成績(jī)X服從正態(tài)分N(80,d).若

P(75<%<85)=|,則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成績(jī)高于85的概率

為.

【答案】4/0288

【詳解】由正態(tài)分布可得：考生的成績(jī)高于85的概率P(X>85)=/1-P(75WxW85)]=|,

所以恰有2名考生的成績(jī)高于85的概率P=*X(I?X(1-|)=聾.

故答案為：瑞.

【典例3】(2024上?全國(guó)?高三期末)據(jù)相關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查表明我國(guó)中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項(xiàng)身體

指標(biāo)(如肺活量、柔韌度、力量、速度、耐力等)自2000年起呈下降趨勢(shì)，并且下降趨勢(shì)明顯，在國(guó)家的積極

干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量、柔初度、力量、速度、而力等

多項(xiàng)指標(biāo)出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖、近視等問(wèn)題依然嚴(yán)重，體育事業(yè)任重道遠(yuǎn).某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日

常組織學(xué)生參加中短跑鍛煉，學(xué)校在一次百米短跑測(cè)試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計(jì)她們的成績(jī)(單

位：秒)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不