湖北省部分學(xué)校2025屆高三年級(jí)上冊第一次大聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題及答案

高三數(shù)學(xué)考試

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，數(shù)列，平

面向量.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的

1.命題“血〉°，礦+1<2，，的否定為()

A.3tz>0,a2+l>2B.3a<0,tz2+l>2

C.VtZ>0,6!2+l>2D.V<7<0,672+l>2

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題進(jìn)行判斷.

【詳解】因?yàn)椤叭?gt;0,。2+1<2”的否定是“7。>0,/+122”.

故選：C

2.已知集合4=｛削工2-3<。｝,3=｛尤|0<尤+1<3｝,則()

A.卜1,6)B.卜6,2)C.卜#,6)D.(—1,2)

【答案】A

【解析】

【分析】先確定兩個(gè)集合中元素，再根據(jù)交集定義求解，

【詳解】因?yàn)?=卜4,指),3=(—1,2),所以AcB=C，括］

故選：A.

3.已知函數(shù)/(1=卜—⑴龍,則()

A-B-r⑴=-1

c.7?⑵=e2-eD./⑵=e2-e

【答案】C

【解析】

【分析】求導(dǎo)，通過賦值逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=._/'(l)x,所以/'(x)=e'—/'⑴，

則/'⑴=e—/'⑴，所以,(1)=］，

則〃x)=e，—/x,所以〃I)=1"'(2)=e2—/"(2)=e2—e.

故選：C

4.4知函數(shù)/(x)=(x—2)","eN*,則“"=1”是"/(x)是增函數(shù)”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由當(dāng)〃=2k+1,左eN時(shí)，f'(x)>0,可得%)=(x—2)”是增函數(shù)，即可得到答案.

【詳解】由/(力=(x—2)",得/'(x)=“(x—2尸，

則當(dāng)“=2左+l#eN時(shí)，f(x)>0,〃％)=(九—2)"是增函數(shù)，

當(dāng)〃=1時(shí)，可得〃尤)是增函數(shù)；

當(dāng)/(x)是增函數(shù)時(shí)，"=2左+1,左eN,

故“〃=1”是“/(%)是增函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

5.若對任意的x,yeR,函數(shù)/(%)滿足〃;>=〃x)+〃y),則〃4)=()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【解析】

【分析】用賦值法即可求解.

【詳解】令y=。，則由+/(y)，可得/(x)=-2/(0),

所以/(%)為常數(shù)函數(shù)，令x=y=0,可得/(0)=0,故"4)=0.

故選：D.

6.某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤$(單位：百萬元)與新設(shè)備運(yùn)

二2r+50598/<8

行的時(shí)間/(單位：年，feN*)滿足5=3，，當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利

[4+10/2—2/,也8

潤最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間/=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

一98

s—2,-------F50/<8

【分析】由已知可得y=—=《t,當(dāng)，<8和出8時(shí)分別求得最大值，即可求解.

1[-2+10-2128

’98

s—2t------1~50,%〈8

【詳解】由題意，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤y=—=t,

t[-/+10/2/28

98

當(dāng)，<8時(shí)，2r+—>28,當(dāng)且僅當(dāng)，=7時(shí)，等號(hào)成立，

t

98

貝！J—2”二十50?22,

t

所以當(dāng)/=7時(shí)，二取得最大值，且最大值為22,

t

當(dāng)出8時(shí)，—產(chǎn)+10/—2=—(-5)2+23,

所以函數(shù)在[8,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)/=8時(shí)，二取得最大值，且最大值為14，

t

故當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間/=7.

故選：B.

7.如圖，在AABC中，N3AC=120。,=2,AC=1,。是5c邊上靠近3點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E是BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，則Z豆.E的取值范圍為()

41047

c.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先用余弦定理求出|阮再將向量用基底而，礪表示，借助向量運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

AB|2+AC|2-\BC\2

【詳解】由cos/R4c解得國="

2AB\\AC\2

設(shè)在=X屈

2410

=|AC-AB-|AC+^=-1+^2e

35T

故選：C

8.已知函數(shù)/(%)=三+3]+1,若關(guān)于％的方程/(sinx)+/(m+coM=2有實(shí)數(shù)解，則機(jī)的取值范

圍為()

A.[-B.[-1,1]C.[0,1]D.[-

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)g(x)=/(x)—l=V+3x,利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把/■(sinx)+〃”?+cosx)=2轉(zhuǎn)化

成加二-sinx-cosx,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求加的取值范圍.

【詳解】令g(x)=y(x)—l=/+3x,則/(x)=3*+3>0恒成立，則g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(x)

是奇函數(shù).

由/(sinx)+/(m+cosx)=2,得/(sinx)-l=-[/(m+cosx)-1^|,即g(sinx)=g(-m-cosx),

從而sinx=-m-cosx,即m=-sin%-cosx=-^/2sin（x+jje[一四,

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)g（x）=/（x）—l=V+3x,可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)g（尤）

的單調(diào)性，把了心11?；）+/（根+85%）=2轉(zhuǎn)化成機(jī)=一5111^—88%,再求〃2的取值范圍.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在等比數(shù)列｛外,｝中，勾。2=2,。3=4，貝I（）

A.｛。“｝的公比為B.｛4｝的公比為2

C.%+。5=20D.數(shù)列＜log,—＞遞增數(shù)列

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列出等式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛四J的公比為4,

a、q=2,ciy—1,,

依題意得《?彳解得40所以。“=2，

儲(chǔ)4=4,[q=2,

故。3+%=22+24=20,故BC正確，A錯(cuò)誤；

,1,1

對于D,log2—=1-〃，則數(shù)列｛log,—卜為遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

4-an

故選：BC.

10.已知函數(shù)〃x）=gtan（0x—0）（0＞0,0＜夕＜兀）的部分圖象如圖所示，貝U（）

A.CD=2

71

B.(p=—

3

c./(%)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

D.函數(shù)y=|/(x)|的圖象關(guān)于直線x=」對稱

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定其最小正周期，求出＜9=2,判斷A；利用特殊值可求出0,進(jìn)而求出/(%)

3,0對稱，即可判斷D.

的圖象與V軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷BC；判斷了(九)的圖象關(guān)于點(diǎn)

【詳解】由圖可知，“X)的最小正周期丁=二='，則。=2,A正確;

co2

由圖象可知x=二時(shí)，函數(shù)無意義，故&—夕=烏+也,左eZ,

332

由0<°<兀，得夕=￡，即/(x)=gtan12x_W],則/⑼=_

~烏6~)

即/(%)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為o,-B,C錯(cuò)誤;

由于普)=5tan(T■—"=0,則/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)卜寸稱,

可得函數(shù)y=/(x)|的圖象關(guān)于直線x=—對稱.

故選：AD

11.已知產(chǎn)端，Z^=ln—,c=叵,則()

930

A.c>aB.a>b

C.c>bD.b>a

【答案】ACD

【解析】

【分析】將a,6變形作差，可得"6=j+—匕］,設(shè)/(x)=x+ln(l—x),xe(O,l),求導(dǎo)判斷

函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D；將c變形，可得b—c=lnf—聘+京，設(shè)丸(》)=1皿一?+七，

xe(l,”)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)C,D即可判斷A.

1OS41Og2

［詳解］a=2I°°=2i0=—,===,

10910I10；

a-b-----FInI1---

10

令/(x)=x+ln(l-x),XG(0,1),

則(x)=1—--=—<0,/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以/[j]</(o)=o,即a(人故D正確；

令(X)=llLV—yfxH—7=,xe(l,+co),

/z(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以

即/?<c,故C正確，

因?yàn)閍</?,b<c,所以c>。，故A正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)的大小的比較，通過構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性求解是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量玩，為滿足沅?為=3,且沆，(沆—2為)，貝|］同=.

【答案】V6

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量垂直的表示直接計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)閼c1（海一2萬）,

所以沅?（詡-2元）=0,則沅2=2玩.萬=6,

所以問=卡.

故答案為：、后.

13.若,且cos2tz=cos[a+；J,則夕=.

TT

【答案】方

【解析】

【分析】化簡三角函數(shù)式，求出sin[a+?）=g,根據(jù)即可求解.

【詳解】由cos2a=cos[o+]J,得cosNa—sin?。=^~(cosa—sina).

因?yàn)槎詂osa—sinaw0,則cosa+sina=,則sin[。+j=],

由a得則a+:=g解得0=

4144)4612

7T

故答案為：一—.

12

ah

14.已知正實(shí)數(shù)滿足2a+3〃=2,則「------的最大值為___________.

—"+2人+4

【答案】三

26

【解析】

ab_1

【分析】將2a+3〃=2代入可得—4+2b+4=3a112b，再由基本不等式求解即可.

ba

【詳解】解：因?yàn)槲?3/?=2,

ab_ab_ab_1

所以-a2+2b+4--a2+b(2a+3b)+(2a+3b)2-3a2+12b2+14ab-3aJ2J曾?又a>0力>。,

ba

42

當(dāng)且僅當(dāng)a=—力=—時(shí)，等號(hào)成立,

77

ab

則的最大值為——■

-a2+2b+426

故答案為：—7

26

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在公差不為。的等差數(shù)列｛斯｝中，%=1，且%是出與%4的等比中項(xiàng)?

（1）求｛%3的通項(xiàng)公式；

⑵若a=2樂，C"=anbn,求數(shù)列｛c,｝的前〃項(xiàng)和.

【答案】⑴an=2n-l

6n-5?110

⑵S"=22+1

99

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式把火、的、%4都用4與d表示，結(jié)合已知解出d，即可得出｛%｝

的通項(xiàng)公式;

（2）先表示出優(yōu)=221,再表示出g=（2〃—1）-22"T,用錯(cuò)位相減法即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)｛%｝的公差為2（2/0）,因?yàn)?是4與%4的等比中項(xiàng)，

所以a：=a2a14,即(q+4dJ=(q+d)(q+13d),

整理得=2°/.

又q=1,dwO,所以d=2,

則%=%=2/1-1.

【小問2詳解】

212n1

由(1)可得a=2%=2-,c〃=anbn^(2n-l)-2-,

則S“=lx21+3x23+5x25+…+(2〃-l).22"T①，

4S?=lx23+3x25+5x27+---+(2H-l)-22n+1(2),

X35TH2,,+1

①-②得-3Sn=2+2(2+2+---+22”)-(2-1)-2

=2+2X23~2'；+'-(2n-l)-22n+1=---^^-22"+1

1-4v733

則S,=%022m+9

99

j2_2

16.在銳角VA3C中，內(nèi)角AB,C的對邊分別為名仇。，且q=2;二wl.

cb~-ac

(1)證明：B=2C.

(2)若點(diǎn)。在邊AC上，且8=3。=4,求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(4后,4網(wǎng).

【解析】

【分析】(1)化簡已知等式結(jié)合余弦定理可得a=c(l+2cos6),再利用兩角和的正弦公式即可證明結(jié)論;

(2)由已知條件結(jié)合正弦定理可得BC=8cosC,根據(jù)銳角VA3C確定角C的范圍，即可求得答案.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)锧=與二二，所以%—a2c=/c—g3,

cb-ac

整理得"(a-c)=c(a+c)(a-c)

又所以a—cwO,從而從=〃c+，="+，—2〃ccos5，

c

整理得a=c(l+2cos5),則sinA=sinC(1+2cosB).

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC-cosBsinC=sinC,

即sin(B—C)=sinC,結(jié)合銳角VABC中，B-Ce(-p|),

則6—C=C,即B=2C.

【小問2詳解】

如圖，由00=5。，可得NACfi=NDfiC,則/5DC=7I—2NTLCB.

CB

BCBD

在△BCD中，由正弦定理得

sin^BDCsin/BCZ)

整理得BC=BDsm/BDC=4sin2C=8cosc

sin^BCDsinC

o<Y，

因?yàn)?=2C,且VABC是銳角三角形，所以。<2C?解得『C號(hào),

71

0<TI-3C<-,

2

則<cosC<，

22

從而4A/2<8cosC<473.即0的取值范圍為(40,473).

17.已知函數(shù)/(X)=爐-aln(x+l).

(1)若a=4,求“X)的極值點(diǎn)；

(2)討論“尤)的單調(diào)性.

【答案】(1)極小值點(diǎn)為1,無極大值點(diǎn).

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)，可得當(dāng)xe(—1,1)時(shí)，/(%)單調(diào)遞減；當(dāng)％e(l,+8)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，則得

答案；

(2)由/(力=2/+j;—a,則討論2f+2%一a=。的解的情況，進(jìn)而討論出“村的單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

因?yàn)閍=4,所以/(x)=*-41n(x+l),x>—l,

e,/、42(x+2)(x-l)

則/'(x)=2x-----=------------

V'x+1x+1

令(尤)=2(X+2)(X_ll=o,解得％=1或%=—2(舍),

X+1

當(dāng)xe(—1,1)時(shí)，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增,

故/(%)的極小值點(diǎn)為1,無極大值點(diǎn).

【小問2詳解】

由/(%)=X?—aln(x+1),x>—1,則/'(x)=2x———+2；一”

令212+2x-Q=0，

若A=4+8a<0,即o<—,

2

則方程2f+2x-Q=0無解或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,

此時(shí)2f+2x—恒成立，則/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(—1,+a),無單調(diào)遞減區(qū)間.

若A=4+8〃>0，即6Z〉---，

2

―1+J1+2〃-1-J1+2a

則方程2%2+2%—〃=0的解為玉=

22

若0<l+2〃vl,即—gva<0,則%>%2>一1，

-l-，l+2a、-1+Jl+2a―1-Jl+2a-1+J1+2、

當(dāng)九w-1,,+8時(shí)，/，(%)>0,

2][2

時(shí)，/'(%)<0,

則/(%)單調(diào)遞增區(qū)間為3和-l+y/l+2a+oo,單調(diào)遞減區(qū)間為

―1-Jl+2a-1+Jl+2cl

2'2「

若1+2。21,即〃20,則九2<—1〈玉，

'-l+Jl+2a

,+。時(shí)，((%)>0,

當(dāng)工￡-1,-----------時(shí)，f"(x)<0,當(dāng)％￡~2~

)

則/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-1+中2“

,+8,單調(diào)遞減區(qū)間為-L

7

綜上，

當(dāng)aW—；時(shí)，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(―1,+“)，無單調(diào)遞減區(qū)間;

、

當(dāng)」<a<(_i_Ji_i_2a―1++2〃

。時(shí)，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為T——t-----和,+”，單調(diào)遞減區(qū)間為

2

I2kT~7

"-1-71+2^-1+Jl+2〃)

I2-52-J；

當(dāng)心0時(shí)，/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為-1,-1+^+2-1單調(diào)遞增區(qū)間為T+++2a”

I2JI2)

18.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=：,5“=(2"—1)4.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：s2s4…S2”>g.

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)前〃項(xiàng)和為S”與4的關(guān)系，利用相減法得數(shù)列遞推關(guān)系式，從而根據(jù)等比數(shù)列可得｛&J

的通項(xiàng)公式;

⑵由⑴得S〃=l-3,根據(jù)不等式[+，][1一5]=1+?——7>1，

n>2,即可證得結(jié)

論.

【小問1詳解】

當(dāng)心2時(shí)，由S〃=(2"-l)a"，得加=(22-1)磯，

則=3—S“T=(2?-1)??-(2--1整理得4

因?yàn)楣?；,所以｛%J是以;為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，

則a,=a@T=出.

【小問2詳解】

證明：由⑴可得S〃=(2〃—=l—貝1JS2"=1-5=[1+，]。一：1

當(dāng)〃之2時(shí)，對于11+JTj1111

----1-------------=1+F-22?-才〉1，

2〃2〃-1^2n—1

19.當(dāng)一個(gè)函數(shù)值域內(nèi)任意一個(gè)函數(shù)值y都有且只有一個(gè)自變量》與之對應(yīng)時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值

y作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而這個(gè)函數(shù)的自變量了作為新的函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反

函數(shù).例如，由y=3x,%eR,得x=],yeR,通常用x表示自變量，則寫成y=1,xeR,我們稱

y=3x,xeR與y=1,xeR互為反函數(shù).己知函數(shù)/(尤)與g(x)互為反函數(shù)，若A3兩點(diǎn)在曲線y=

/(x)上，兩點(diǎn)在曲線y=g(x)上，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一

條邊與直線V=x垂直，則我們稱這個(gè)矩形為“X)與g(x)的“關(guān)聯(lián)矩形”.

(1)若函數(shù)/(x)=6，且點(diǎn)在曲線y=/(久)上.

(i)求曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線方程；

(ii)求以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.

(2)若函數(shù)f(x)=]n久，且〃尤)與g(x)的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S證

明：S>2.(參考數(shù)據(jù):Ve-1-ln2<0)

【答案】(1)(i)y=x+-；(ii)2行+1；

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(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)(i)先由點(diǎn)在曲線y=/0)上求出點(diǎn)A,再利用導(dǎo)數(shù)工具求出即可由直線的點(diǎn)斜式方

程得解；(ii)先由反函數(shù)性質(zhì)依次得出y=/(久)的反函數(shù)g(x)和A關(guān)于直線丁=%對稱的點(diǎn)為。，從而得

kAD^\AD\,再由題意以及/(x)=五圖象特征得AC，AD和心c，進(jìn)而得直線AC的方程，接著聯(lián)立

求出點(diǎn)c即可得|AC|,從而計(jì)算S=|AD||AC即可得解.

(2)先由題意設(shè)關(guān)于直線y=兀對稱，關(guān)于直線y=x對稱得ABLAD,進(jìn)而設(shè)

4

A(x，1叫),B(x2,lnx2),C(玉,9),D(x4,e')得0<%<々,4<七，再由已知信息結(jié)合|的=忸。|得

至ije"-2%+1%=0,接著建立函數(shù)/z(x)=ex—2x+lnx并利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性從而由人(%)=0

和唱卜0得七>|,從而借助5=|明2=2(d—x)的單調(diào)性得證S=2@

【小問1詳解】

(i)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線/(x)=?上，所以以L即A

2(3

由/(%)=A/X,得/(X)=2?，則/'

所以曲線y=/(%)在點(diǎn)4處的切線方程為y—g=x—；即y=x+(.

(ii)由(1)由=4得其反函數(shù)為g(x)=x2(xN。)，

則函數(shù)/(尤)和g(X)圖象關(guān)于直線y=X對稱，設(shè)A關(guān)于直線y=X對稱的點(diǎn)為D,

11

則。在曲線g(x)上，且。［，］，鼬=十號(hào)=—1，

2~4

上

則M=