蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題：圖形的位似（原卷版+解析）

專題12圖形的位似壓軸題六種模型全攻略

聚焦考點

考點一位似圖形相關(guān)概念辨析考點二判斷位似中心及求解位似中心

考點三求位似圖形的對應(yīng)坐標(biāo)考點四求兩個位似圖形的相似比

考點五在坐標(biāo)系中畫位似圖形考點六在坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比、周長

比或面積比

典型例題：

............

考點一位似圖形相關(guān)概念辨析

例題：（2023?河北?九年級專題練習(xí)）△ABC和VAFG是位似圖形，位似中心是點O,下列說法不正確的是

()

4.AB//ABB.AA//BB'

C.直線CC'經(jīng)過點。D.直線A4，、88'和CC'相交于一點

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，位似比為2：3,點A,

5的對應(yīng)點分別為點4,B'.若A5=6,則4s的長為（

B'

D.15

2.（2022?山東濱州,九年級期末）如圖，以點。為位似中心，把44BC放大2倍得到VAFC.下列說法錯誤

的是（）

4.△ABC^AA,B,C,B.AO:AAr=l:2

C.AB//ABD.直線CC'經(jīng)過點O

考點二判斷位似中心及求解位似中心

例題：（2021?北京師大附中九年級階段練習(xí)）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（

A.點P8?點。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?四川德陽?二模）如圖，將的三邊分別擴(kuò)大一倍得到0Alsc1（頂點均在格點上），它們是以尸

點為位似中心的位似圖形，則尸點的坐標(biāo)是.

2.（2021?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，AABC與VAB9是關(guān)于點。為

位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上.

（1）畫出位似中心點O；

（2）求出AABC與VA8C”的位似比；

（3）以點。為位似中心，在圖中畫一個使它與AABC的位似比等于3團(tuán)2.

考點三求位似圖形的對應(yīng)坐標(biāo)

例題：（2021?湖南?李達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知和小。4是以點。為位似中心的位似圖形,SSAOB

和AAQBI的周長之比為1：2,點8的坐標(biāo)為（-1,2）,則點片的坐標(biāo)為（）

A.（-2,4）B.（—1,4）或（2,-4）C.（2,-4）D.（2,-4）或（—2,4）

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?吉林吉林?九年級期末）如圖，AABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,

以原點。為位似中心，將AABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)為

O123456r

2.（2022?河北?泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（-4,2）,B

（-2,-2）.以坐標(biāo)原點。為位似中心把她08縮小得到她OS,她1。囪與0A08的位似比為則點A的

對應(yīng)點Ai的坐標(biāo)為.

考點四求兩個位似圖形的相似比

例題：（2022?河北保定師范附屬學(xué)校九年級期末）如圖，四邊形ABC。和A'B'C'D'是以點。為位似中心的

位似圖形，若0404=2：3,則四邊形48。與四邊形A'B'C'D的面積比為（）

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?重慶南開中學(xué)三模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,SABC與SDEC位似，點C為位似中心,CD=3AC,

若AABC的面積是1,貝必。EC的面積是（）

A.3B.4C.9D.16

2.（2022?重慶?中考真題）如圖，AABC與ADEF位似，點。為位似中心，相似比為2:3.若AABC的周長為

4,則ADEF的周長是（）

E

O

A.4B.6C.9D.16

3.（2022?貴州黔西?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△。"與AOCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點O.若

點A（4,0）,點C（2,0）,則AQAB與AOCD周長的比值是.

考點五在坐標(biāo)系中畫位似圖形

例題：（2022?四川?渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖，菱形ABC。與菱形A是位似圖形，若4。=6,

A'D,^4,則菱形ABCD與菱形ABC。的位似比為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，點A,。在0XOF的邊OX上，點3,E在OF邊上，射線OZ在胤VOF

AC5

內(nèi)，且點c,F在OZ上，ACSDF,BCSEF.—=y.

⑴試說明AABC與△。燈是位似圖形;

⑵求AA8C與△￡）￡/的位似比.

2.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，0ABe與SDOE是位似圖形，A（0,3）,2（-2,0）,C（1,0）,E

（6,0）,0ABe與0￡）?！甑奈凰浦行臑?/p>

⑴寫出。點的坐標(biāo);

(2)在圖中畫出M點，并求M點的坐標(biāo).

考點六在坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比

例題：(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，回48。三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-2,4),B(-4,0),O(0,

0),以原點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與回的位似比為

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校九年級期末)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個頂點坐標(biāo)分

別為A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),請按如下要求1S|圖：

⑴以坐標(biāo)原點。為旋轉(zhuǎn)中心，將AABC順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到"gG，請畫出"BG;

⑵以坐標(biāo)原點。為位似中心，在無軸下方，畫出AA8C的位似圖形△4B?G，使它與AABC的位似比為2：1.

2.(2021?江蘇,儀征市古井中學(xué)九年級期末)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網(wǎng)格中,

⑴畫出△ABC向上平移6個單位，再向右平移5個單位后的△A4C；

⑵以點B為位似中心，將AABC放大為原來的2倍，得到A&BC2，請在網(wǎng)格中畫出A&BC2；

⑶直接寫出△CGG的面積，及4，4的坐標(biāo).

課后訓(xùn)練

一、選擇題

1.(2021?陜西?渭南初級中學(xué)九年級期中)如圖，AAOB與△COD是以點。為位似中心的位似圖形，相似

比為1:2,若42,1),則點C的坐標(biāo)為()

4.(1,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(4,2)

2.(2022?全國?九年級課時練習(xí))下列三個關(guān)于位似圖形的表述：

①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；

②位似圖形一定有位似中心；

③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似

圖形；

其中正確命題的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

3.（2022?山西太原?九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABC。與四邊形AECD是位似圖形.位

似中心是（）

A.（8,0）B.（8,1）C.（10,0）D.（10,1）

4.（2023?浙江?翠苑中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖四個圖中，AABC均與AAB'C相似，且對應(yīng)點交于一點，則

△ABC與AAEC'成位似圖形的有（）

A.1個8.2個C.3個D4個

二、填空題

5.（2020?海南省直轄縣級單位?九年級期末）如圖所示,△ABC與△AB'C是位似圖形，點。是位似中心，若

OA=-OA',S&ABC=2,貝USAA.BV,=

6.（2022?甘肅?平?jīng)鍪械谑袑W(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，以點。為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五

邊形AB'CITE,已知。4=10cm,04'=20cm,則五邊形ABCDE的周長與五邊形的周長比是

k

7.（2022?福建?寧德市博雅培文學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，A是反比例函數(shù)（x>0）圖像上一點，

x

點、B、。在y軸正半軸上，是△COD關(guān)于點。的位似圖形，且與△COD的位似比是1：3,

△ABD的面積為1,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為.

8.（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在正方形ABCD和正方形OEFG中，點。和點尸的坐標(biāo)分別為（7,3）,

（-1,-1）,則兩個正方形的位似中心的坐標(biāo)是.

三、解答題

9.（2022?廣東?江門市第二中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，

與AAB'C'是以點。為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上.

（1）畫出位似中心點O；

（2）直接寫出EA8C與△AEC'的位似比；

（3）以位似中心。為坐標(biāo)原點，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系

10.（2022?安徽亳州?九年級期末）如圖，在帶有網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格邊長為一個單位長度，給

出了三角形ABC.

（1）作出AABC關(guān)于x軸對稱的^AB'C；

（2）以坐標(biāo)原點為位似中心在圖中的網(wǎng)格中作出△A'3'C'的位似圖形△A"g'C"，使^AB'C與AA"B"C"的

位似比為1：2；

（3）若"IBC的面積為3.5平方單位，求出入中歲二的面積.

11.（2022?山東?濟(jì)南外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)（圖形的位似）時，利用幾何畫

板軟件，在平面直角坐標(biāo)系中畫出了AABC的位似圖形耳G.

⑴在圖中標(biāo)出AABC與的位似中心M點的位置，并寫出M點的坐標(biāo)；

⑵若以點。為位似中心，△人］與。與△4與C2是位似圖形，且△AeG與△A/K?的位似比為2:1,則滿足

條件的當(dāng)點坐標(biāo)為.

⑶請你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出△&&&.

12.（2022?山西晉中?九年級期末）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時，利用幾何畫板軟件，在平面

直角坐標(biāo)系中畫出了AABC的位似圖形△ABCi.

（1）在圖中標(biāo)出AABC與△A^C］的位似中心M點的位置，并寫出M點的坐標(biāo)；

（2）若以點4為位似中心，請你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出的位似圖形△4鳥。2，且44耳G

與2c2的位似比為2：1.

13.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=加+6尤+。與x軸相交于A、B

兩點，與y軸相交于點C（0,3）.且點A的坐標(biāo)為（-1,0）,點8的坐標(biāo)為（3,0）,點尸是拋物線上第

一象限內(nèi)的一個點.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵連P。、PB,如果把回尸。8沿08翻轉(zhuǎn)，所得四邊形POP3恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存在

點。，使團(tuán)與SPOB相似？若存在求出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

⑶若（2）中點Q存在，指出回QA3與SP0B是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標(biāo).

專題12圖形的位似壓軸題六種模型全攻略

聚焦考點

考點一位似圖形相關(guān)概念辨析考點二判斷位似中心及求解位似中

心

考點三求位似圖形的對應(yīng)坐標(biāo)考點四求兩個位似圖形的相似比

考點五在坐標(biāo)系中畫位似圖形考點六在坐標(biāo)系中求兩個位似圖形

的相似比、周長比或面積比

'典型例題

*?■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■*1*

考點一位似圖形相關(guān)概念辨析

例題：（2023?河北?九年級專題練習(xí)）△ABC和VAEC是位似圖形，位似中心是點。，下列

說法不正確的是（）

A.AB//ABB.AA'//BB'

C.直線CC'經(jīng)過點。D.直線A4'、88'和CC'相交于一點

【答案】B

【分析】依據(jù)位似變換的性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】回AABC和VABC關(guān)于點O位似，

SAOAB-AOA'B',且直線88'和CC相交于一點。，即選項C、。正確；

如圖，作出直線班'和CC,三者交于。點，

根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：AB//AB，故A答案合理；

根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：A4'和B8'交于點。，故8答案不合理;

故選：B.

【點睛】本題考查了位似變換：位似的兩個圖形必須是相似形；對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一個

點，也考查了平行線的判定和相似三角形的性質(zhì).

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，位似

比為2：3,點A,8的對應(yīng)點分別為點4,B'.若A8=6,則Ab的長為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)位似比的概念解答即可.

【詳解】解：?.,圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，位似比為2:3,

.AB_2

"而一針

■.■AB=6,

:.AB'=9,

故選：B.

【點睛】本題考查的是位似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的位似比是對應(yīng)邊的比.

2.（2022?山東濱州?九年級期末）如圖，以點。為位似中心，把AABC放大2倍得到VAF。.下

列說法錯誤的是（）

A.△ABC^AA,B,C,B.AO:AA'=1:2

c.AB//ABD.直線CC'經(jīng)過點。

【答案】B

【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：回以點。為位似中心，把AABC放大2倍得到V4FC,

AB//AB,，直線CC'經(jīng)過點。，49:40=1:2,

EIAO:A4'=1:3,

她、C、。選項說法正確，不符合題意；8選項說法錯誤，符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì).掌握位似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點二判斷位似中心及求解位似中心

例題：（2021?北京師大附中九年級階段練習(xí)）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中

C.點M。.點N

【答案】A

【分析】根據(jù)位似變換的定義：對應(yīng)點的連線交于一點，交點就是位似中心.即位似中心一

定在對應(yīng)點的連線上.

【詳解】點P在對應(yīng)點M和點N所在直線上，

國兩個三角形的位似中心是：點P.

故選A.

【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?四川德陽?二模）如圖，將的三邊分別擴(kuò)大一倍得到0Alsc1（頂點均在格點

上），它們是以尸點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標(biāo)是.

【答案】（-4,-3）

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線交于一點則可得出答案.

【詳解】解：???0ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到0Alsc1（頂點均在格點上），它們是以尸點

為位似中心的位似圖形，

則連接4A和耳2并延長相交，交點即為P點，

如圖所示，尸點的坐標(biāo)為：（＜-3）,

故答案為：（-4,-3）.

【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，得出位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，AABC與VA9C

是關(guān)于點。為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上.

（1）畫出位似中心點O；

（2）求出AABC與VAEC八的位似比；

（3）以點。為位似中心，在圖中畫一個△4B2G，使它與AABC的位似比等于3團(tuán)2.

【答案】（1）見解析；（2）（3）見解析

【分析】（1）位似圖形對應(yīng)點連線所在的直線經(jīng)過位似中心，如圖，直線44'、28'的交點

就是位似中心O；

（2）0A8C與0Abe的位似比等于AB與45的比，也等于AB與Ab在水平線上的投影比，

即位似比為3：6=1：2；

（3）要畫0A2B2C2,先確定點上的位置,再過點上畫A2B2I3AB交09于&,過點A2畫A2c2HAe

交OC于C2.

【詳解】解：（1）如圖所示，點。即為所求；

（2）AABC與VAF。的位似比為：籌=上=1；

（3）如圖所示，即為所求.

【點睛】本題考查位似圖形的意義及作圖能力.畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中

心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作

的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

考點三求位似圖形的對應(yīng)坐標(biāo)

例題：(2021?湖南?李達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí))已知她OB和是以點。為位似中心的位

似圖形，且朋08和的周長之比為1:2,點8的坐標(biāo)為(-1,2),則點片的坐標(biāo)為()

A.(-2,4)B.(—1,4)或(2,-4)C.(2,-4)D.(2,-4)或(—2,4)

【答案】。

【分析】過2作BQBy軸于C,過修作8。盥軸于。，依據(jù)0AO8和0A1O耳相似，且周長

BO1

之比為1：2,即可得至437二不，再根據(jù)勖0cH34。。，可得OD=2OC=4,B、D=2BC=2,

DyUZ

進(jìn)而得出點S的坐標(biāo)為(2,-4)或(-2,4).

【詳解】解：如圖，過B作BCSy軸于C,過用作用?；貀軸于Q,

回點2的坐標(biāo)為(-1,2),

0BC=1,OC=2,

西4OB和團(tuán)A。耳相似,且周長之比為1：2,

BO1

[?]---=—.

BtO2

回西。0=回用。。=90°,回30。=回B]0D,

^BOCS^B^D,

0OD=2OC=4,B]D=2BC=2,

回點用的坐標(biāo)為(2,-4),

同理點(-2,4)也符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，正確理解位似與相似的關(guān)系，記憶關(guān)于原點位似的

兩個圖形對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?吉林吉林?九年級期末)如圖，AABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(4,2),

C(6,4),以原點O為位似中心，將AABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點尸變換后

【分析】位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原

點為位似中心，相似比為匕那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于人或比根據(jù)此題是線段AC

的中點尸變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(4,2),C(6,4),

0AC的中點是(4,3),

團(tuán)將442?？s小為原來的一半，

回線段AC的中點產(chǎn)變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)為：.

故答案為：(2,|)

【點睛】本題主要考查位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，利用圖形得出AC的中點坐標(biāo)

是解題關(guān)鍵.

2.(2022,河北?泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點

A(-4,2),B(-2,-2).以坐標(biāo)原點O為位似中心把0AOB縮小得到與0AOB

的位似比為3,則點A的對應(yīng)點Ai的坐標(biāo)為.

【答案】(-2,1)或(2,-1)

【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心的位似圖形，如果相似比為上那么

位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于左或小計算，得到答案.

【詳解】解胴以坐標(biāo)原點0為位似中心把a(bǔ)4。2縮小得到耳，AA。耳與她08的位似比

為《，

團(tuán)點A的對應(yīng)點的橫縱坐標(biāo)與點A的橫縱坐標(biāo)的比值為;或二,

0A(-4,2),

回4的坐標(biāo)為(一4xg,2xg)或一4d,2x"),即(-2,1)或(2,-1),

故答案為即2,1)或(2,-1).

【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中

心的位似圖形，如果相似比為女,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于笈或-%是解題的關(guān)鍵.

考點四求兩個位似圖形的相似比

例題：(2022?河北保定師范附屬學(xué)校九年級期末)如圖，四邊形ABC。和AB'C'D'是以點。

為位似中心的位似圖形，若。4：04=2：3,則四邊形ABC。與四邊形AB'CD'的面積比

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求出兩個相似多邊形的相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)解答.

【詳解】解：?四邊形ABC。和ABC。是以點。為位似中心的位似圖形，Q4:OT=2:3,

:.DA:DA=OA:OA=2:3,

四邊形ABC。與四邊形A8C。的面積比為：（|）2=|,

故選：A.

【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相

似多邊形的性質(zhì).

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?重慶南開中學(xué)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與SDEC位似，點C為位

似中心，CD=3AC,若AABC的面積是1,則的面積是（）

A.3B.4C.9D.16

【答案】C

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)位似的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】回a48c與BDEC位似，點C為位似中心，CD=3AC,

CDI=9

AC

EI448C的面積是1,

團(tuán)ADEC的面積是9

故選：C.

【點睛】本題考查了位似的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似的性質(zhì)，從而完成求解.

2.（2022?重慶?中考真題）如圖，AABC與.DEF位似^點。為位似中心，相似比為2:3.若

△ABC的周長為4,貝!!歹的周長是（）

A.4B.6C.9D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)周長之比等于位似比計算即可.

【詳解】設(shè)ADE尸的周長是x,

EAABC與&DER位似，相似比為2:3,AABC的周長為4,

04：x=2：3,

解得：x=6,

故選：B.

【點睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長之比等于位似比是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?貴州黔西?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，z/MB與AOCD位似，位似中

心是坐標(biāo)原點O.若點4（4,0）,點C（2,0）,貝必OAB與AOCD周長的比值是.

【答案】2

【分析】根據(jù)位似的定義，即可得出位似比=04：OC,而AQ"與AOCD周長的比值等于位

似比，即可得出答案.

【詳解】回AOAB與AOCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點。，點A（4,0）,點C（2,0）

回。4=4,0C=2

回與AOCD的位似比為：4：2=2：1

IBAQW與AOCD周長的比值為：2：1

故答案為：2.

【點睛】本題考查了求位似圖形的周長之比，求出位似比是本題的關(guān)鍵.

考點五在坐標(biāo)系中畫位似圖形

例題：（2022?四川?渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖，菱形ABC。與菱形ABCD是位似

圖形，若AO=6,A/D'=4,則菱形A5CD與菱形A8CD的位似比為.

2

【答案】2：3##§

【分析】根據(jù)位似圖形的位似比等于對應(yīng)邊的比，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?菱形ABCD與菱形A5CO是位似圖形

4'￡）'42

.?.菱形A5C7T與菱形ABCD的位似比=筌===；

AD63

故答案為：2：3.

【點睛】本題考查了位似比的定義，掌握位似圖形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022■全國?九年級專題練習(xí)）如圖，點A,D在回XOF的邊OX上，點、B,E在0y邊上,

A（J5

射線oz在Eixoy內(nèi)，且點c,尸在oz上，AC^DF,BC^EF.—=-.

DF7

X

D

0

⑴試說明A48C與2DEF是位似圖形;

(2)求AABC與ADEF的位似比.

【答案】⑴證明見詳解

(2)7

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行同位角相等得到NDFO=NAC。，NOFE=/OCB,再根據(jù)兩

條直線被一組平行線(不少于3條)所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例，最終得到

△ACBsADFE；

(2)根據(jù)三角形的相似比等于相應(yīng)邊長的比即可得到答案.

(1)

'：AC//DF,BC//EF,

OA_OC_ACOC_BC

ZDFO=ZACOZOFE=ZOCB

9f而一而一BF'赤一訴

ACBC

???NDFE=ZACB,

???AACB^ADFE,

因為兩個相似三角形的對應(yīng)點所在直線交于點0,且對應(yīng)邊平行，

???AABC與XDEF是位似圖形；

(2)

???△ABC與ADE尸是位似圖形，萬*=：，

.,.△ABC與△￡)斯的位似比為：

【點睛】本題考查平行線和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判斷方

法及性質(zhì).

2.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，0ABe與是位似圖形，A(0,3),8(-2,0),

C(1,0),E(6,0),0ABe與回。?！甑奈凰浦行臑锳f.

⑴寫出。點的坐標(biāo)；

⑵在圖中畫出M點，并求M點的坐標(biāo).

⑵畫圖見解析，(T,0)

【分析】(1)首先過點。作D"LOE于點H，由AABC與ADOE是位似圖形，A(0,3),8(-2,0),

C(l,0),￡(6,0),可得3c=3,OE=6,^AOB^ADHO,即可求得位似比，繼而求得答案；

(2)首先連接ZM并延長，交無軸于點則點M即為AABC與ADOE的位似中心；然后

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，可得MO:M/=1:2,繼而求得答案.

(1)

解：過點。作于點

?.?AABC與ADOE是位似圖形，A(0,3),8(-2,0),C(l,0),E(6,0),

:.BC=3,OE=6,AACffisADHO,

；?位似比為:3:6=1:2,

:.OH=2OB=4,DH=2OA=6,

???。點的坐標(biāo)為：(4,6)；

(2)

連接D4并延長，交x軸于點則點M即為AABC與ADOE的位似中心；

貝=

設(shè)MO=x,貝i]MH=x+4,

.'.x:(x+4')=l:2,

解得：x=4,

.?.”點的坐標(biāo)為(-1,0).

【點睛】此題考查了位似圖形的定義與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意

位似圖形是特殊的相似圖形.

考點六在坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比

例題：(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，回A3。三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-2,4),B

(-4,0),O(0,0),以原點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與團(tuán)48。的位似比為

【答案】見詳解

【分析】由位似比求出對應(yīng)點坐標(biāo)有兩種情況，分別求出兩組對應(yīng)點坐標(biāo)，然后在平面直角

坐標(biāo)系描點連接即可

【詳解】解：由位似比為《求得：4(-2,4),3(-4,0)對應(yīng)點坐標(biāo)分別為4(-1,2),8'(-2,0),

或者A〃(l,-2),*(2,0),

。點是位似中心，所以位置不變，

所以，下圖△A'3'O或△A〃8"O都為滿足題意的位似圖形.

【點睛】本題考查了位似的概念.位似比為對應(yīng)點到位似中心的距離比.解題關(guān)鍵是根據(jù)位

似比找到對應(yīng)點的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校九年級期末)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的

三個頂點坐標(biāo)分別為A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),請按如下要求畫圖：

⑴以坐標(biāo)原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將AABC順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△44G,請畫出△A4G；

⑵以坐標(biāo)原點。為位似中心，在x軸下方，畫出AABC的位似圖形△A與G，使它與AABC

的位似比為2：1.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點的位置，畫出圖形即可；

(2)直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點的位置，畫出圖形即可.

(1)

解：如圖，△A4G即為所求.

y

(2)

解：如圖，即為所求.

【點睛】本題考查了位似變換與旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?江蘇?儀征市古井中學(xué)九年級期末)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網(wǎng)格

中，

⑴畫出AABC向上平移6個單位，再向右平移5個單位后的△A4G;

⑵以點B為位似中心，將AABC放大為原來的2倍，得到A&BC2,請在網(wǎng)格中畫出

⑶直接寫出△CCG的面積，及4，4的坐標(biāo).

【答案】⑴畫圖見解析

(2)畫圖見解析

(3)9,A(7,9)、A(3,5)

【分析】(1)利用點平移的坐標(biāo)變換規(guī)律寫出4、瓦、G的坐標(biāo)，然后描點即可；

(2)延長8A到4使BA^2BA,延長BC到G使BC?=2BC,從而得到AABC2；

(3)利用三角形面積公式△CC02的面積，然后利用(1)、(2)中所畫圖形寫出片、A的

坐標(biāo).

(1)

解：如圖所示，即為所求；

(2)

解：如圖所示，A48G即為所求；

&

(3)

解：由題意得：S“ccc=gx3x6=9,4(7,9)、4(3,5)

【點睛】本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別

連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形

的關(guān)鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.也考查了平移變換.

課后訓(xùn)練

一、選擇題

1.(2021?陜西?渭南初級中學(xué)九年級期中)如圖，“103與△COD是以點。為位似中心的位

似圖形，相似比為1:2,若42,1),則點C的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】D

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，若以原點為位似中心，且都在同一側(cè)的兩個位似圖形，其坐

標(biāo)比等于相似比，相似比為1:2,則對應(yīng)的坐標(biāo)比也為1:2,即可解得點C的坐標(biāo).

【詳解】解：；AAOB與△COD是以點。為位似中心的位似圖形，相似比為1:2,點A的

坐標(biāo)為(2,1),

...點C的坐標(biāo)為(2x2,1x2),即(4,2),

故選：D.

【點睛】本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，注意位似比與坐標(biāo)比的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?全國?九年級課時練習(xí))下列三個關(guān)于位似圖形的表述：

①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；

②位似圖形一定有位似中心；

③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這

兩個圖形是位似圖形；

其中正確命題的序號是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】B

【分析】根據(jù)位似圖形與相似圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別去判斷即可.

【詳解】相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，故①錯誤；

位似圖形一定有位似中心，是對應(yīng)點連線的交點，故②正確；

如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應(yīng)邊平行

或共線，那么，這兩個圖形是位似圖形，故③正確；

位似圖形上對應(yīng)點與位似中心的距離之比等于位似比，故④錯誤；

正確答案為：②③

故選：B.

【點睛】本題考查了位似圖形與相似圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，如果兩個圖形是相似圖形，且

每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，對應(yīng)邊互相平行，那么，這兩個圖形是位似

圖形，這個點是位似中心，但不是所有的相似圖形都是位似圖形，并且位似圖形上對應(yīng)點與

位似中心的距離之比等于位似比.

3.(2022?山西太原?九年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD與四邊形A'BC'。

是位似圖形.位似中心是()

A.(8,0)B.(8,1)C.(10,0)D.(10,1)

【答案】C

【分析】連接兩組對應(yīng)點，對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心.

【詳解】解：如圖，點E即為位似中心，E(10,0),

故選：C.

【點睛】此題考查了位似中心的定義：位似圖形的對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心，熟記

定義是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?浙江?翠苑中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖四個圖中，AABC均與AAB'C相似，且對應(yīng)

點交于一點，則AABC與AAB'C成位似圖形的有()

A.1個8.2個C.3個O.4個

【答案】C

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)分析判斷得出答案.

【詳解】解：圖1中，AABC與AAB'C成位似圖形；

圖2中，I3A3與A8不平行，AC與不平行，回AABC與AA3'C不成位似圖形;

圖3中，AABC與△AaC’成位似圖形；

圖4中，AABC與^AB'C成位似圖形；

綜上，AABC與AAB'C'成位似圖形的有圖1、圖3、圖4,共有3個.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了位似變換，位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對

應(yīng)點連線相交于一點，對應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，位似圖形對

應(yīng)點所在直線的交點是位似中心.

二、填空題

5.（2020?海南省直轄縣級單位?九年級期末）如圖所示，AABC與AAB'C是位似圖形，點。

是位似中心，若OA=gOA,=2,則—

【答案】18

【分析】由位似圖形的性質(zhì)可得=（籌11從而可得答案.

△A'B'C\OA79

【詳解】解：回AABC與AAB'C是位似圖形，

SAABC^AA'B'C',

團(tuán)點。是位似中心，OA=—OAr

回^^A,B'C=18.

故答案為：18.

【點睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，掌握"相似三角形的面積之比是相似比的平方"是解

本題的關(guān)鍵.

6.（2022?甘肅?平?jīng)鍪械谑袑W(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，以點。為位似中心，將五邊形ABCDE

放大后得到五邊形A'B'CD'E,己知。l=10cm,04'=20cm,則五邊形ABCDE的周長與

五邊形A'3'CD'E'的周長比是.

A'

【答案】1：2

【分析】根據(jù)已知可得五邊形A2COE的周長與五邊形AY'CCTE的位似比，然后由相似多

邊形的性質(zhì)可證得：五邊形ABCDE的周長與五邊形的周長比.

【詳解】,?,以點。為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A?。。？，OA=10cm,

OA'=20cm,

五邊形ABCDE的周長與五邊形A'B'C'D'E'的位似比為：10：20=1：2,

五邊形ABCDE的周長與五邊形A'B'C'D'E'的周長比是：1：2.

故答案為1:2.

【點睛】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的周長比等于相似比是解題關(guān)鍵.

7.（2022,福建,寧德市博雅培文學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，A是反比例函數(shù)產(chǎn)"（%>0）

X

圖像上一點，點8、。在>軸正半軸上，△ABD是△COD關(guān)于點D的位似圖形，且△ABD

與△COD的位似比是1：3,△45。的面積為1,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為.

Q

【答案】y=?

X

【分析】設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,根據(jù)位似比即可得出8。的長度，根據(jù)△ABD的面積

a

為1,即可求出左的值.

【詳解】解：設(shè)點A的橫坐標(biāo)為。，

國點A在反比例函數(shù)y=-圖像上，

X

kk

回點A的縱坐標(biāo)為反比例函數(shù)一，即A(m

aa

kk

(0,則OB=一，AB=a,

aa

回△ABD與△COD的位似比是1：3,

BD1

0=一,

OD3

1八八1kk

^1BD=—OB=—=—,

44a4Q

回△ABD的面積為1,

11k

團(tuán)一?AB?BD=1,貝!J：——=1,解得：k=S.

224。

Q

回該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-,

x

Q

故答案為：y--

X

【點睛】本題主要考查了三角形的位似以及反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容,

通過位似比和三角形的面積求出％的值是解題的關(guān)鍵.

8.(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖，在正方形ABCD和正方形OEFG中，點。和點尸的

坐標(biāo)分別為(7,3),(-1,-1),則兩個正方形的位似中心的坐標(biāo)是.

【答案】。,0)或，m

【分析】根據(jù)位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，分兩種情況：一種是當(dāng)點E和C是對

應(yīng)頂點，G和A是對應(yīng)頂點；另一種是A和￡是對應(yīng)頂點，C和G是對應(yīng)頂點.

【詳解】回正方形ABCD和正方形。跳6中，點。和點尸的坐標(biāo)分別為(7,3),(-1,-1)

團(tuán)E(-l,0),G(0,-l),A(4,3),B(4,0),C(7,0)

(1)當(dāng)點E和C是對應(yīng)頂點，G和A是對應(yīng)頂點，位似中心就是EC與AG的交點.

設(shè)AG所在的直線的解析式為、=辰+6

4左+Z?=3k=l

解得

b7=-lb=—l

HAG所在的直線的解析式為y=x-l

當(dāng)y=0時、x=l,所以EC與AG的交點為(1,0)

(2)A和E是對應(yīng)頂點，C和G是對應(yīng)頂點.，則位似中心就是AE與CG的交點

設(shè)AE所在的直線的解析式為1=區(qū)+方

k=?

4左+。=35

—。解得

b=)

5

33

她E所在的直線的解析式為>=]]+：

設(shè)CG所在的直線的解析式為>=區(qū)+方

74+〃=0,k=-

,1解得7

b=-l

b=-\

財G所在的直線的解析式為y=1x-l

337

y=—x+—x=-

552

聯(lián)立解得V

；3

廣廣1

、二一2

73

媯E與CG的交點為(-/,-/)

綜上所述，兩個正方形的位似中心的坐標(biāo)是(1,0)或1g,-

故答案為(1,0)或

【點睛】本題主要考查位似圖形，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，求位似中心，正確分情況

討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

9.(2022?廣東?江門市第二中學(xué)九年級開學(xué)考試)如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的

正方形，0ABe與AAB'C'是以點。為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂

點上.

(1)畫出位似中心點。；

(2)直接寫出0ABe與AA'3'C'的位似比；

(3)以位似中心。為坐標(biāo)原點，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系

【答案】(1)見解析；(2)2:1；(3)見解析

【分析】(1)各對應(yīng)點連線所在直線的交點即為位似中心；

(2)任意一對對應(yīng)邊的比即為兩三角形的位似比；

(3)以位似中心為坐標(biāo)原點，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系即可.

【詳解】(1)如圖，各對應(yīng)點連線所在直線的交點即為位似中心。；

(2)-.-OA^A'=12:6=2:1

■-0ABC與AAB'C'的位似比為2:1；

(3)如圖，以位似中線為坐標(biāo)原點，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系.

【點睛】本題考查了位似圖形位似比與位似中心的確定，注意位似比為所給兩三角形對應(yīng)邊

的比，位置不能顛倒，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?安徽亳州?九年級期末）如圖，在帶有網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格邊長為一個

單位長度，給出了三角形42c.

（1）作出^ABC關(guān)于無軸對稱的^AB'C；

（2）以坐標(biāo)原點為位似中心在圖中的網(wǎng)格中作出AA'3'C'的位似圖形使AAB'C'

與NWEC"的位似比為1：2；

（3）若AABC的面積為3.5平方單位，求出入中歲二的面積.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）14平方單位.

【分析】（1）根據(jù)軸對稱性質(zhì)即可畫出"BC關(guān)于x軸對稱的AAB'C'；

（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可畫出AAB'C以點。為位似中心的位似圖形,

AAB'C'與△AEC"的位似比為1：2;（3）利用相似三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：（1）如圖，AA'B'C',即為所求作；

(2)如圖，AA"B"C",即為所求作；

(3)0AA'B'C與△A?B"C"的位似比為1：2,

A'E1

團(tuán)回△A〃5〃C〃，-^=-,

qA%1

團(tuán)=W="

EAABC的面積為3.5平方單位，即AAB'C'的面積為3.5平方單位,

回八4"8"（7’的面積為：2S-A”=4x3.5=14平方單位.

【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，位似變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考?？碱}型.

H.（2022?山東?濟(jì)南外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)（圖形的位似）時,

利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標(biāo)系中畫出了AABC的位似圖形與G.

⑴在圖中標(biāo)出AABC與4A5G的位似中心M點的位置，并寫出