河北省邯鄲市多校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市多校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，圓心，半徑，故圓C方程為.故選：B.2.已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得．故選：B.3.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直線與直線平行，∴，解得，∴直線，又∵直線可化為，∴兩平行線之間的距離．故選：C．4.如圖，在正三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，記，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以．故選：A．5.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)設(shè)為，則，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為，即.故選：C.6.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.7.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知，點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，可得點(diǎn)在線段上移動，且，，如圖所示，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是.故選：D.8.在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，延長至點(diǎn)，使得，所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間向量且，則下列說法正確的是（）A.B. C. D.【答案】ABD【解析】，故A正確；由于，設(shè)，則，故B正確；，故C錯誤；，故D正確．故選：ABD．10.直線與曲線恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（）A. B. C.4 D.5【答案】BC【解析】曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時，，所以由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡長度為B.點(diǎn)到平面的距離是定值C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)椋?，所以，即點(diǎn)在底面內(nèi)是以為圓心?半徑為1的圓上，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A錯誤；對于B，在正方體中，，又平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，又平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，故B正確；對于C，因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成角，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為定值2，記點(diǎn)在平面的投影為，所以當(dāng)取得最小值時，直線與平面所成角的正切值最大，又，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故C正確；對于D，到直線的距離為，當(dāng)點(diǎn)落在上時，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若一條過原點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為2，則該直線的傾斜角為___________.【答案】60°或120°【解析】圓的圓心，半徑為2，由題意，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€被圓所截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，解得，所以該直線的傾斜角為60°或120°.13.已知向量若共面，則____________.【答案】【解析】因共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，即，解得．14.如圖，在正三棱柱中，為棱上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為__________．【答案】【解析】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，于是，平面的一個法向量為，，設(shè)，則，，故，即直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.16.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.解：（1）因是直三棱柱，則，又因點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面.（2）如圖，因直三棱柱中，故可以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于是，設(shè)直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：四邊形為正方形；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖，連接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以四邊形為正方形.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，所以，故可取，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知某圓的圓心在直線上，且該圓過點(diǎn)，半徑為，直線l的方程為．（1）求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過定點(diǎn)A，點(diǎn)B，C在此圓上，且，求的取值范圍．解：（1）由題意可設(shè)此圓方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線l方程為，即，則有，可得定點(diǎn)，取線段BC中點(diǎn)為，則，令原點(diǎn)為O，，即，化簡可得，即D的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，A到D軌跡圓心距離為，則的取值范圍為，所以的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，，平面平面，且，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角的正弦值為.①求的長；②求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）在矩形中，，且是的中點(diǎn)，，故，又，則，即，如圖，記，連接，因是矩形，故是的中點(diǎn)，又，所以，又平面平面，平面平面平面，故平面，又平面，所以，又平面，所以平面.（2）①如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，過