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文檔簡介
材力11-226內容11.4虛功原理11.5單位載荷法11.6互等定理要求掌握莫爾積分,會圖乘法,理解互等定理練習莫爾積分1,圖乘法1作業(yè)11-21(a),25(b),32功能原理
條件:(1)彈性體(2)靜載荷
原理:外力功全部轉化成彈性體的應變能.
Vε=W上節(jié)回顧靜載荷做功(1)一般彈性體F-Δ
圖下方面積(2)線彈性體上節(jié)回顧Δ
FOΔFFΔ
FFΔ
O上節(jié)回顧線彈性體的應變能
1.軸向拉壓(一)簡單變形2.扭轉3.平面彎曲上節(jié)回顧對線彈性體卡氏定理
注:(1)虛功原理與材料性能無關~適用線彈性、非線彈性材料;(2)不要求結構位移與力呈線性關系~也適用位移與力呈非線性的結構。(3)若為剛體…(4)可擴展為組合變形情況W﹡=∑FiΔi﹡∑FiΔi﹡=變形體虛功原理§11.5單位載荷法一、單位載荷法(Maxwell-Mohr1864~1874)
1.用途:計算任意點處位移(廣義)
2.方法:利用虛功原理
第一步構造一虛力狀態(tài):(1)去掉原結構全部荷載(只保留所有桿件和約束);(2)在所求位移點處沿所求位移方向施加一個單位力;(3)計算結構只在此單位力作用下各截面的內力
第二步給虛力狀態(tài)一個虛位移,這個虛位移取原結構的實際位移狀態(tài)。原問題:求Δ虛力狀態(tài):加單位力KΔα1KΔα實際位移狀態(tài)作為虛位移d(⊿l),dθ,dφ——原結構在真實載荷作用下產(chǎn)生的變形適用:線性、非線性結構。據(jù)虛功原理——單位力作用引起的內力虛力狀態(tài)1KΔα實際位移狀態(tài)作為虛位移二、莫爾積分(Mohr1874)圖中FN,M,T為真實載荷引起的內力對線彈性結構,取微段dx計算dxTFNMd(⊿l)FNFNdxMMdθdxdxTdφMohr積分步驟:
1.寫出原結構在真實荷載作用下的彎矩方程M;2.構造虛力狀態(tài),沿計算方向加單位力(廣義);3.寫出原結構只在單位力作用下的彎矩方程(坐標系必須與第一步求彎矩方程所用的相同)4.計算Mohr積分(剛架全部桿件,略去FN,FQ);5.結果若為正,位移方向與單位力相同,負則相反;6.計算相對位移,可加一對單位力(廣義)。(以彎曲為例,梁或剛架)線彈性材料懸臂梁受力如圖,若F,EI(常數(shù)),l等均為已知,試用單位力法(莫爾積分)求:加力點A處的撓度;解:寫梁的彎矩方程M=-Fx(0≤x<l)Fxl/2l/2ABC寫單位力的彎矩方程M=-x(0≤x<l)1線彈性材料懸臂梁受力如圖,若F,EI(常數(shù)),l等均為已知,試用單位力法求:加力點A
處的轉角
A;解:寫梁的彎矩方程M=-Fx(0≤x<l)Fxl/2l/2ABC寫單位力的彎矩方程1()M=-1(0≤x<l)FFBA例題1已知:開口圓環(huán)EI=常數(shù)求:A,B之間的相對線位移解:1.建立坐標系3.加單位力并求單位力引起內力方程(0≤
≤2
)(0≤
≤2
)RABRM=-FRsin
2.求荷載引起的內力方程11FFBA4.求ΔABRABR(沿載荷方向分開)11(0≤
≤2
)M=-FRsin
(0≤
≤2
)ds=Rd
三、圖乘法Верещагин1924
1.目的:用簡便方法計算Mohr積分
2.條件:(1)直桿;(2)EI=常數(shù)。
3.方法:以彎曲為例求xM計算設dxxM(x)ωxCxcMohr積分等于載荷彎矩圖的面積ω乘以它的形心坐標處的單位力彎矩值此結論可以推廣到其他內力的Mohr積分計算。xMxxcCω
4.應用:
(1)M圖不連續(xù)處應分段;(2)作M圖可用疊加法;
同側相乘為正,(3)M、異側為負。記住教材p.186表11-1中第1、2、4圖的公式。二次拋物線l頂點Ch二次拋物線l頂點ChCBA2aaqaq例題2已知:EI=常數(shù)求:θc解:qa2Mqa2/21/22/311CBA2aa已知:圖示平面剛架各段抗彎剛度EI為相同常數(shù)求:C端的水平位移uc,
轉角θc
注:忽略軸力FN、剪力FQ對變形的影響;
用圖乘法。CBAaaF例題3CBAFM解:1.作載荷引起的彎矩圖M
2.求uc
在C加一水平單位力,作單位力彎矩圖FaFaa1CBA2a*
3.求θC
在C加一單位力偶,作單位力偶彎矩圖CBAFMFaFa**11FaaaaABCD例題4已知:EI=常數(shù)求:A,B兩點的相對線位移△AB解:用圖乘法1.作載荷彎矩圖M2.作單位力彎矩圖在A,B兩點沿其連線分別加一共線反向單位力;FaaaaABCD例題4(靠近)3.求△ABMABCD11aa*§11.6互等定理
一、功的互等定理reciprocalworktheorem
j位移命名FiiiFjj
先加Fi后加FjjiFiFj先加Fj后加FiFiiFjj
甲力在乙力引起的位移上作的功,等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地,對線彈性結構功的互等定理
甲力系的力在乙力系引起的相應位移上所作的功,等于乙力系的力在甲力系引起的相應位移上所作的功。注:力系、位移均為廣義的;適用于線彈性結構。Fi
ij=Fj
ji
ij=
jiFj=FijFiiiFjj
二、位移互等定理reciprocaldisplacementtheorem位移互等定理一個力(廣義的)與另一個力(廣義的)若數(shù)值相等,則一個力在另
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