材料力學(xué)莫爾積分

材力11-226內(nèi)容11.4虛功原理11.5單位載荷法11.6互等定理要求掌握莫爾積分，會圖乘法，理解互等定理練習(xí)莫爾積分1，圖乘法1作業(yè)11-21（a），25（b），32功能原理

條件：（1）彈性體（2）靜載荷

原理：外力功全部轉(zhuǎn)化成彈性體的應(yīng)變能.

Vε=W上節(jié)回顧靜載荷做功（1）一般彈性體F-Δ

圖下方面積（2）線彈性體上節(jié)回顧Δ

FOΔFFΔ

FFΔ

O上節(jié)回顧線彈性體的應(yīng)變能

1.軸向拉壓（一）簡單變形2.扭轉(zhuǎn)3.平面彎曲上節(jié)回顧對線彈性體卡氏定理

注：（1）虛功原理與材料性能無關(guān)～適用線彈性、非線彈性材料；（2）不要求結(jié)構(gòu)位移與力呈線性關(guān)系～也適用位移與力呈非線性的結(jié)構(gòu)。（3）若為剛體…（4）可擴(kuò)展為組合變形情況W﹡=∑FiΔi﹡∑FiΔi﹡=變形體虛功原理§11.5單位載荷法一、單位載荷法（Maxwell-Mohr1864～1874）

1.用途：計(jì)算任意點(diǎn)處位移（廣義）

2.方法：利用虛功原理

第一步構(gòu)造一虛力狀態(tài)：（1）去掉原結(jié)構(gòu)全部荷載（只保留所有桿件和約束）；（2）在所求位移點(diǎn)處沿所求位移方向施加一個單位力；（3）計(jì)算結(jié)構(gòu)只在此單位力作用下各截面的內(nèi)力

第二步給虛力狀態(tài)一個虛位移，這個虛位移取原結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)。原問題:求Δ虛力狀態(tài)：加單位力KΔα1KΔα實(shí)際位移狀態(tài)作為虛位移d(⊿l),dθ,dφ——原結(jié)構(gòu)在真實(shí)載荷作用下產(chǎn)生的變形適用：線性、非線性結(jié)構(gòu)。據(jù)虛功原理——單位力作用引起的內(nèi)力虛力狀態(tài)1KΔα實(shí)際位移狀態(tài)作為虛位移二、莫爾積分（Mohr1874）圖中FN,M,T為真實(shí)載荷引起的內(nèi)力對線彈性結(jié)構(gòu)，取微段dx計(jì)算dxTFNMd(⊿l)FNFNdxMMdθdxdxTdφMohr積分步驟：

1.寫出原結(jié)構(gòu)在真實(shí)荷載作用下的彎矩方程M；2.構(gòu)造虛力狀態(tài)，沿計(jì)算方向加單位力（廣義）；3.寫出原結(jié)構(gòu)只在單位力作用下的彎矩方程（坐標(biāo)系必須與第一步求彎矩方程所用的相同）4.計(jì)算Mohr積分（剛架全部桿件，略去FN,FQ）；5.結(jié)果若為正，位移方向與單位力相同，負(fù)則相反；6.計(jì)算相對位移，可加一對單位力（廣義）。（以彎曲為例,梁或剛架）線彈性材料懸臂梁受力如圖，若F，EI(常數(shù)），l等均為已知，試用單位力法（莫爾積分）求：加力點(diǎn)A處的撓度；解：寫梁的彎矩方程M=－Fx（0≤x＜l）Fxl/2l/2ABC寫單位力的彎矩方程M=－x（0≤x＜l）1線彈性材料懸臂梁受力如圖，若F，EI(常數(shù)），l等均為已知，試用單位力法求：加力點(diǎn)A

處的轉(zhuǎn)角

A；解：寫梁的彎矩方程M=－Fx（0≤x＜l）Fxl/2l/2ABC寫單位力的彎矩方程1()M=－1（0≤x＜l）FFBA例題1已知：開口圓環(huán)EI=常數(shù)求：A，B之間的相對線位移解：1.建立坐標(biāo)系3.加單位力并求單位力引起內(nèi)力方程（0≤

≤2

）（0≤

≤2

）RABRM=－FRsin

2.求荷載引起的內(nèi)力方程11FFBA4.求ΔABRABR（沿載荷方向分開）11（0≤

≤2

）M=－FRsin

（0≤

≤2

）ds=Rd

三、圖乘法Верещагин1924

1.目的：用簡便方法計(jì)算Mohr積分

2.條件：（1）直桿；（2）EI=常數(shù)。

3.方法：以彎曲為例求xM計(jì)算設(shè)dxxM(x)ωxCxcMohr積分等于載荷彎矩圖的面積ω乘以它的形心坐標(biāo)處的單位力彎矩值此結(jié)論可以推廣到其他內(nèi)力的Mohr積分計(jì)算。xMxxcCω

4.應(yīng)用：

（1）M圖不連續(xù)處應(yīng)分段；（2）作M圖可用疊加法；

同側(cè)相乘為正，（3）M、異側(cè)為負(fù)。記住教材p.186表11-1中第1、2、4圖的公式。二次拋物線l頂點(diǎn)Ch二次拋物線l頂點(diǎn)ChCBA2aaqaq例題2已知：EI=常數(shù)求：θc解：qa2Mqa2/21/22/311CBA2aa已知：圖示平面剛架各段抗彎剛度EI為相同常數(shù)求：C端的水平位移uc,

轉(zhuǎn)角θc

注：忽略軸力FN、剪力FQ對變形的影響；

用圖乘法。CBAaaF例題3CBAFM解：1.作載荷引起的彎矩圖M

2.求uc

在C加一水平單位力，作單位力彎矩圖FaFaa1CBA2a*

3.求θC

在C加一單位力偶，作單位力偶彎矩圖CBAFMFaFa**11FaaaaABCD例題4已知：EI=常數(shù)求：A，B兩點(diǎn)的相對線位移△AB解：用圖乘法1.作載荷彎矩圖M2.作單位力彎矩圖在A,B兩點(diǎn)沿其連線分別加一共線反向單位力；FaaaaABCD例題4（靠近）3.求△ABMABCD11aa*§11.6互等定理

一、功的互等定理reciprocalworktheorem

j位移命名FiiiFjj

先加Fi后加FjjiFiFj先加Fj后加FiFiiFjj

甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，對線彈性結(jié)構(gòu)功的互等定理

甲力系的力在乙力系引起的相應(yīng)位移上所作的功，等于乙力系的力在甲力系引起的相應(yīng)位移上所作的功。注：力系、位移均為廣義的；適用于線彈性結(jié)構(gòu)。Fi

ij=Fj

ji

ij=

jiFj＝FijFiiiFjj

二、位移互等定理reciprocaldisplacementtheorem位移互等定理一個力(廣義的)與另一個力(廣義的)若數(shù)值相等，則一個力在另