2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（含新定義解答題）（學(xué)生版+解析）

第01講任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24高一下?重慶銅梁?階段練習(xí)）-2024。的終邊在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2兀/、

2.（23-24高一下?湖北武漢?階段練習(xí)）tan——=()

3

A,顯

B.-石D.73

3

（2023?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-*總，則tamz=（

3.)

512125

A.B.——C.D.—

1251313

27r

4.（23-24高一下?河南商丘?階段練習(xí)）圓心角是手，半徑是2石的扇形的面積為（）

A.2兀B.4兀C.5兀D.1071

5.（23-24高一下?江西?開(kāi)學(xué)考試）下列命題為真命題的是（）

A.大于90。的角都是鈍角B.銳角一定是第一象限角

C.第二象限角大于第一象限角D.若cos6<0,則。是第二或第三象限的角

6.（23-24高一下?四川南充?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系X0V中，角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始

邊與尤軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)網(wǎng)2,-3）,則tan（a-；）=（）

11

A.——B.1C.1D.5

55

7.（23-24高一上?山西運(yùn)城?期末）《九章算術(shù)》是一部中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著.第一章《方

田》主要講各種形狀的田地面積的計(jì)算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形田地稱(chēng)為"環(huán)

田"（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝）書(shū)中提到如圖所示的一塊“環(huán)田"：中周九十五步,

外周一百二十五步，所在扇形的圓心角大小為5（單位：弧度），貝「該環(huán)田”的面積為（）

A.600平方步B.640平方步

四、解答題

13.（2024jWj二,全國(guó),專(zhuān)題練習(xí)）（1）如果角。是第二象限角，那么一a，R—a,n+a角

的終邊分別落在第幾象限?

（2）寫(xiě)出終邊落在直線(xiàn)>=耳上的角的取值集合;

⑶若6=￡+2也優(yōu)日），求在［0,2兀）內(nèi)終邊與|■角的終邊相同的角.

14.（2024高三?全國(guó),專(zhuān)題練習(xí)）利用單位圓寫(xiě)出符合下列條件的角a的取值集合.

(l)coscr=；

⑵sina

2

⑶tana>l.

B能力提升

1.（23-24高一上?云南昆明?期末）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)

民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受?chē)?guó)內(nèi)外人士所喜愛(ài).窗花是農(nóng)耕文化的特色藝

術(shù)，農(nóng)村生活的地理環(huán)境，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)特征以及社會(huì)的習(xí)俗方式，也使這種鄉(xiāng)土藝術(shù)具有了鮮

明的中國(guó)民俗情趣和藝術(shù)特色.如圖所示的四葉形窗花是由一些圓弧構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，

若設(shè)外圍虛線(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)為。，則窗花的面積為（）

D.g+卜

2.（23-24高一上,山東德州?期末）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折

扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成；一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)是4R,則

這個(gè)扇形所含弓形的面積是（）

D.7?2(2-sinlcosl)

3.（2024高一下?上海?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)為出dm,寬為1dm的長(zhǎng)方體木塊在桌面

7T

上作無(wú)滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被小木塊擋住，此時(shí)長(zhǎng)方體木塊底面與桌面所成的角為二,

6

求點(diǎn)A走過(guò)的路程為.

4.（23-24高一上?山東臨沂?期末）臨沂一中校本部19、20班某數(shù)學(xué)興趣小組在探究扇形

時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下現(xiàn)象：如圖所示，向。A靠近的過(guò)程，就像月亮被磨彎一樣.已知在某一時(shí)

7T7T

刻，圓A和圓B處于圖1的狀態(tài)，簡(jiǎn)化后如圖2,NCED=—,ZCBD=~,4.則S

23

圖1圖2

C綜合素養(yǎng)(新定義解答題)

1.(22-24高一下?北京海淀?期末)若點(diǎn)(飛,為)在函數(shù)〃力的圖象上，且滿(mǎn)足%"(為”0,

則稱(chēng)與是/(元)的二點(diǎn).函數(shù)〃無(wú))的所有＜點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為/⑺的C集.

(1)判斷,是否是函數(shù)〃x)=tanx的二點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

⑵若函數(shù)/(x)=sin(s+0)(o＞0)的二集為R,求。的最大值；

⑶若定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)的4集￡＞滿(mǎn)足。UR,求證：H〃X)=O}K0.

第01講任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24高一下?重慶銅梁?階段練習(xí)）-2024。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)終邊相同的角判斷即可.

【詳解】???-2024。=136。-6x360°,且136。角是第二象限角,

-2024°角的終邊在第二象限.

故選：B

2兀

2.（23-24高一下?湖北武漢?階段練習(xí)）tany=（）

A.在B.—石C.D.73

33

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊值即可求解.

［詳解］tan=tan-tany=-A/3.

故選：B.

3.（2023?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知角"的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1|,斗，則tana=（）

512125

A.-----B.——C.-----D.——

1251313

【答案】A

【分析】

由三角函數(shù)定義即可得解.

【詳解】由題意tana=2+

AJ\LJJ

故選：A.

27r

4.（23-24高一下?河南商丘?階段練習(xí)）圓心角是半，半徑是2岔的扇形的面積為（

A.2兀B.4兀C.5兀D.10n

【答案】B

【分析】根據(jù)扇形的面積公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：扇形的面積為jxgx（26『=4九

故選：B.

5.（23-24高一下?江西,開(kāi)學(xué)考試）下列命題為真命題的是（）

A.大于90。的角都是鈍角B.銳角一定是第一象限角

C.第二象限角大于第一象限角D.若cos6＜0,則。是第二或第三象限的角

【答案】B

【分析】根據(jù)象限角的定義即可判斷ABC,根據(jù)象限角與余弦值的關(guān)系即可判斷D.

【詳解】對(duì)A,180。＞90。，但180。不是鈍角，二A是假命題，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,???銳角的范圍是，是第一象限角，B是真命題，故B正確；

對(duì)C,-210。是第二象限角，30。是第一象限角，-210。＜30。，，C是假命題，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)6=兀時(shí)，cos^=-l,6=兀不是第二或第三象限的角，二D是假命題，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.（23-24高一下?四川南充?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始

邊與無(wú)軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)網(wǎng)2,-3）,則tan（a-：）=（）

11

A.——B.-C.1D.5

55

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及兩角差的正切公式即可求解.

【詳解】因?yàn)榻莂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,-3）,

所以tanc="=—|,

22

7131

tanCL—tan-------1

所以tan（a--）=---------------、=二、=5.

I+tancr-tan—1+——xl

4I2）

故選：D.

7.（23-24高一上?山西運(yùn)城?期末）《九章算術(shù)》是一部中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著.第一章《方

田》主要講各種形狀的田地面積的計(jì)算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形田地稱(chēng)為"環(huán)

田"（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝）書(shū)中提到如圖所示的一塊“環(huán)田J中周九十五步，

外周一百二十五步，所在扇形的圓心角大小為5（單位：弧度），貝該環(huán)田"的面積為（）

外周（外弧長(zhǎng)）

（兩弧半徑差）

A.600平方步B.640平方步

C.660平方步D.700平方步

【答案】C

【分析】設(shè)中周的半徑是與，外周的半徑是用，圓心角為a=5,根據(jù)中周九十五步，外周

一百二十五步，列關(guān)系式即可.

faR.=5R.=95

【詳解】設(shè)中周的半徑是耳，外周的半徑是&，圓心角為。=5,J＜二一?解得：

[aR^=5%=125

照=19

[R2=25，

則“該環(huán)田”的面積為5=；&國(guó)2-；&?2=3乂5乂（252-192）=660平方步.

故選：C

8.（23-24高三下?廣東佛山?開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)P（3,4）是角。的終邊上一點(diǎn)，貝l]tan，=（）

A.2B.1C.2或1D.一2或1

【答案】B

【分析】

先利用三角函數(shù)的定義求得sin%cosa,再利用倍角公式轉(zhuǎn)化tan3a，從而得解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸（3,4）是角a的終邊上一點(diǎn)，

443_3

所以sina=.=—.coscr=：

所以V32+425V32+42=5,

.a..aa4

sin—2sin—cos—.

則tan0===—2—爰=厘工:_J_=1

2cos-2cos2-c°sa+l”方

225

故選：B.

二、多選題

a

9.（23-24高一下?江西?階段練習(xí)）如圖，若角。的終邊落在陰影部分，則角￡的終邊可能

在（）

4

o

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】AC

【分析】

利用象限角的定義即可得解.

【詳解】依題意，得心360°+40°Wa4A360°+100°,左eZ,

所以公180°+20°44Vhi80°+50°,keZ,

2

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，［的終邊在第一象限；當(dāng)E為奇數(shù)時(shí)，g的終邊在第三象限.

22

故選：AC.

10.（23-24高一下?江西吉安?階段練習(xí)）下列函數(shù)值中，符號(hào)為負(fù)的為（）

,71兀、,2K2K

A.sin—7iB.cos—C.sin-cos-D.tan2

3I33

【答案】CD

【分析】先判斷象限，再確定符號(hào).

【詳解】...1兀=2兀+三，...（兀是第一象限角，.〔sing兀>0,

是第四象限角，cos］：）>。；

g是第二象限角，，sin>0,cos<0,/.sin^cos^<0；

TT

?「5<2<無(wú)，二2是第二象限角，tan2<0.

故選：CD.

三、填空題

11.（23-24高一下?上海?階段練習(xí)）若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（Ty）,且cosa=-g,則

y=.

【答案】±272

【分析】借助三角函數(shù)定義計(jì)算即可得.

-11

【詳解】由三角函數(shù)定義可知c°sa=,（_］『+丫？=一§，

即（—l）~+y2=9,解得丁=±2^/^.

故答案為：±2拒.

12.（23-24高一下?江西?階段練習(xí)）扇形拼盤(pán)是一種可以在宴會(huì)或聚會(huì)中展示美食的獨(dú)特

器具，它不僅可以為食物增添美觀的視覺(jué)效果，還可以使每個(gè)人輕松地享用到不同的食物.已

知某不銹鋼扇形拼盤(pán)如圖所示，其示意圖可以看成是由中間的一個(gè)直徑為24cm的圓，四周

是8個(gè)相同的扇環(huán)形組成的，寓意“八方進(jìn)寶若每個(gè)扇環(huán)形的周長(zhǎng)為32+lOiicm,則每個(gè)

扇環(huán)形的面積為cm2.

【答案】80K

【分析】

根據(jù)給定條件，利用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式列式求解即得.

【詳解】設(shè)扇環(huán)形所在圓的半徑為『，依題意，扇環(huán)形所在扇形的圓心角為;，

4

TTJT

于是一xl2+-r+20-12）=32+10無(wú)，解得廠=28,

44

所以每個(gè)扇環(huán)形的面積為1*：*282-1*：><122=80兀（cm2）.

2424

故答案為：807r

四、解答題

13.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）（1）如果角a是第三象限角，那么一a,n~a,兀+a角

的終邊分別落在第幾象限？

（2）寫(xiě)出終邊落在直線(xiàn)》=島上的角的取值集合；

（3）若e=：+2hi（k￡Z）,求在[0,2兀）內(nèi)終邊與■角的終邊相同的角.

TT7T117T917T

【答案】⑴第二象限、第四象限、第一象限；（2）{c[=+E,keZ}；（3）七，/7f

3TT

【詳解】（1）由題意可知兀+2質(zhì)<0（<彳+2加（左￡Z）,

3jr

所以---2kn<—a<—Ti—2kn.（kE：Z）,

即5+2kn<—a<Ti+2kn.（kE：Z）①.

所以一a角的終邊落在第二象限.

47r

由①得巨+2依<兀-a<2ji+2Zji(Z￡Z),所以Ti—a角的終邊落在第四象限角.

同理可知，ii+a角的終邊落在第一象限.

(2)在(0,n)內(nèi)終邊落在直線(xiàn)尸自上的角是本

所以終邊落在直線(xiàn)上的角的取值集合為{a|a=^+加，kGZ].

兀

jr-+271

(3)因?yàn)閑=4+2E%￡Z),所以-T

-Ies

，

當(dāng)靖+券左時(shí)2

0<2N,k=0,1,2一

？O,

故在[0,2兀)內(nèi)終邊與號(hào)角的終邊相同的角是會(huì)，黑，揩.

【考查意圖】

角的取值集合的表示，終邊相同的角的表示.

14.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))利用單位圓寫(xiě)出符合下列條件的角a的取值集合.

⑴cosa二一;；

(2)sina

2

⑶tana>l.

27r2,71

【答案】(1){a|a=———1~2燈[或。=3—1~2燈c,上WZ}.

4兀兀

(2){a|——+2kn<a<—kG7].

兀71

(3){a11V彳+而，A￡Z}.

【解析】略

B能力提升

1.(23-24高一上?云南昆明?期末)窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)

民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受?chē)?guó)內(nèi)外人士所喜愛(ài).窗花是農(nóng)耕文化的特色藝

術(shù)，農(nóng)村生活的地理環(huán)境，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)特征以及社會(huì)的習(xí)俗方式，也使這種鄉(xiāng)土藝術(shù)具有了鮮

明的中國(guó)民俗情趣和藝術(shù)特色.如圖所示的四葉形窗花是由一些圓弧構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形,

若設(shè)外圍虛線(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)為。，則窗花的面積為()

A.[20一1一十B.12&一1+獷

C.（兀+0—1）/D.+血一1）1

【答案】A

【分析】利用扇形三角形面積公式，利用整體減去部分即可.

【詳解】根據(jù)正方形以及"窗花"的對(duì)稱(chēng)性可知：窗花的一個(gè)"花瓣（陰影部分）”的面積:

S-SgCE―2s扇形AOB-S&BCD，

AE=y/2a9AO=-^^a,貝!

22

即5」/」兀.心小

2412J

故"窗花"面積為4s=（20-1-12?

故選：A.

2.（23-24高一上,山東德州,期末）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折

扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成；一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)是4R,則

這個(gè)扇形所含弓形的面積是（）

D.7?2(2-sinlcosl)

此次點(diǎn)A走過(guò)的路徑是巴x若=叵,

33

???點(diǎn)A三次共走過(guò)的路徑是型+匝=2±2?Mdm),

236

故答案為：9+："兀(dm).

4.(23-24高一上?山東臨沂?期末)臨沂一中校本部19、20班某數(shù)學(xué)興趣小組在探究扇形

時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下現(xiàn)象：如圖所示，向。A靠近的過(guò)程，就像月亮被磨彎一樣.已知在某一時(shí)

TT7T

刻，圓A和圓B處于圖1的狀態(tài)，簡(jiǎn)化后如圖2,ZCED=-,NCBD=q,fiD=4.則S

【分析】陰影部分的面積為。A的半圓面積減去。8中圓心角為|■的弓形面積，利用已知數(shù)

據(jù)計(jì)算即可.

JT

【詳解】ZCED=-,則為。A的直徑，連接8,如圖所示，

7T

ZCBD=~,BD=4,則△BCD為等邊三角形，CD=4,

。4的半徑為2,的半徑為4,

TT

陰影部分的面積為。A的半圓面積減去中圓心角為|■的弓形面積,

則陰影部分的面積為5=三歲x4x4xg]=4君-?.

21622)3

故答案為：4A/3

C綜合素養(yǎng)(新定義解答題)

1.(22-24高一下?北京海淀?期末)若點(diǎn)優(yōu),為)在函數(shù)“X)的圖象上，且滿(mǎn)足為"(%)對(duì)，

則稱(chēng)與是〃尤)的二點(diǎn).函數(shù)〃尤)的所有<點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為〃尤)的，集.

(1)判斷費(fèi)是否是函數(shù)〃x)=tanx的6點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

⑵若函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(0>O)的二集為R,求。的最大值；

⑶若定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)/(X)的6集O滿(mǎn)足。UR，求證：卜，(無(wú))=0}*0.

【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析；

(2)乃；

⑶見(jiàn)解析

【分析】(1)直接求出%=百，再判斷出，(%)<0,即可得到%"(%)<0,即可得到

結(jié)論；

(2)先說(shuō)明?！床唬?/p>