兩條直線的交點(diǎn)結(jié)合坐標(biāo)軸的圖形面積模型-2024-2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之函數(shù)模型

兩條直線的交點(diǎn)結(jié)合坐標(biāo)軸的圖形面積模型

_____________________________________________

模型示例：求一次函數(shù)y=x-4和y=-x-4與X軸圍成三角形的面積.

第①步先分別計(jì)算兩條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

直線y=x-4中，令y=O,則x=4；令無(wú)=0,貝！|y=-4；

因此直線＞=尤-4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(4,0),(0,-4)；

同理可求得直線y=r-4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(T,0),(0,-4).

第②步結(jié)合函數(shù)圖象求三角形的面積：如圖,

適用范圍：已知兩條直線的函數(shù)關(guān)系式，求兩條直線與x軸或y軸圍成的圖形面積.

先求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再根據(jù)面積公式計(jì)算.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4：y=與直線4：y=-2x+2相交于點(diǎn)尸，并分

別與X軸相交于點(diǎn)A,B.

（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為一.

⑵求的面積.

⑶點(diǎn)M在直線4上，〃N〃y軸，交直線4于點(diǎn)N,若MN=AB,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

+??____________

里參考答案

⑴（2,-2）；（2）3；⑶（0,-1）或（4,一3）.

思路引導(dǎo)

y=—2%+2

（1）聯(lián)立直線乙與得1/解方程組即可；

I2

（2）先求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)4（-2,0）,5（1,0）,得出4?=3,再求出三角形的面積即可;

（3）設(shè)九一;加一1）,貝!JN（肛一2m+2）,得出腦V=—2機(jī)+2-3

-771-1——m+3,

22

3

根據(jù)的V=AB,得出-5m+3=3,解關(guān)于根的方程即可.

Li詳細(xì)解析

y=-2x+2

（1）解：聯(lián)立直線4與4得：1

V=——x—1

[2

x=2

解得

y=-2

；.P（2,-2）；

（2）解：把y=0代入y=-gx-l得：一;無(wú)一1=0,解得：x=-2,

???A（-2,0）,

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

把y=0代入y=-2x+2,-2x+2=0,解得：x=l,

B（l,o）,

AB=l-（-2）=3,

SAW=；x3x2=3.

（3）解：設(shè)M貝ljN（m,-2m+2）,

-2m+2-f13

MN=—"i+3,

2

MN=AB,

3

—機(jī)+3=3,

2

3

—根+3=±3,解得：根=0或m=4,

2

???〃點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0,-1）或（4,一3）.

g變式題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若直線y=-x+2分別與X軸、直線y=3無(wú)+6交于

點(diǎn)A、B,則VAOB的面積為（）

A.2B.3C.5D.6

2.一次函數(shù)4：y=-2x+4,小丁=辰—左（左＞0）,點(diǎn)Af（a,6）是，2與x軸圍成的三角形

內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），令s=°+/s的最大值為：，則上的值為（）

2

13

A.—B.1C.—D.2

22

3.如圖，將直線y=3尤+2向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度后，與直線y尤+4及X軸圍成的VABC

的面積是（）

A.25B.28C.30D.35

4.一次函數(shù)y=+8和y=笈+a在同一坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則下列結(jié)論:

①它們的交點(diǎn)在直線X=1上；

②a+/?>0；

③不等式。的解集為了>1；

序一〃2

④它們與X軸圍成的三角形的面積為2二1.

其中，正確的序號(hào)是

\X

y=bx+a

B.①④D.①②④

5.如圖，已知直線y=2x+3與直線y=-2x-l相交于點(diǎn)C,與y軸別相交于點(diǎn)A,2,則VABC

的面積是.

6.已知一次函數(shù)>=2x+4與y=-入-2的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與>軸分別交于點(diǎn)3,C,

若點(diǎn)。(根,2)在一次函數(shù)y=2x+4的圖象上，貝LACD的面積為一.

7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線乙：y=-2尤+3與x軸交于點(diǎn)A,直線4：J=kx(k<0)

9

交直線4于點(diǎn)8,若VAOB的面積是:，則上的值為_(kāi)______________.

4

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

8.如圖，直線4：y=；x+3與直線4：>=丘+少交于點(diǎn)E(〃?,4),直線《與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、

B,4與x軸和'軸分別交于點(diǎn)C、D,且OC=2O3,將直線4向下平移7個(gè)單位得到直線

4，交4于點(diǎn)下，交y軸于點(diǎn)G,連接GE.AEFG的面積是

9.如圖，直線/交x軸于4-4,0),交y軸于8(0,6),C(帆3)是直線/上的一點(diǎn).

(1)求直線AB,OC的表達(dá)式；

2

⑵在直線上找一點(diǎn)尸，使以℃尸=15..，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4：y=與直線，2：，=-2尤+2相交于點(diǎn)P,

并分別與x軸相交于點(diǎn)4B.

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為一.

⑵求APIB的面積.

⑶點(diǎn)M在直線4上，軸，交直線于點(diǎn)N,若MN=AB,求點(diǎn)"的坐標(biāo).

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

1.B

【分析】本題考查了兩直線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積，求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)方

程或方程組得到A（2,0）,3（-1,3）,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

AA（2,0）,B（-l,3）,

.'VAOB的面積=！x2x3=3,

2

故選：B.

2.D

【分析】本題主要考查兩條直線相交的問(wèn)題，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，明

確點(diǎn)M（a,9在交點(diǎn)C處S最大是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可求出A,2點(diǎn)的坐標(biāo)，可得根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)處，圖形的面積最大,

由此可得6=—2<7+4,再木艮據(jù)5=。+6=。+（—2。+4）=：即可求解.

【詳解】解：一次函數(shù)4：V=-2X+4,令尤=0,貝|y=4；令y=0,貝|x=2；

一次函數(shù)6：y=區(qū)一左他>。）與x軸的交點(diǎn)為（1,0），

?.?點(diǎn)M（a,b）是4，乙與x軸圍成的三角形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），

：.l<a<2,

如圖所示，

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

當(dāng)點(diǎn)”（。力）在點(diǎn)C處，s=a+b的值最大，即點(diǎn)Af在直線4：y=-2X+4的圖象上,

??b=~2a+4,

=

S=Q+Z?=〃+（-2a+4）~9

3

解得，

,交點(diǎn)坐標(biāo)為：

二點(diǎn)1I/在一次函數(shù)4：y=履一M左＞。）的圖象上，

3

：.-k-k=l,

2

解得，k=2,

故選：D.

3.C

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，先求出直線＞=3%+2向下平移8個(gè)單

位長(zhǎng)度后的解析式，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線y=；x+4得出8點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立兩解析式

得出A點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：直線y=3x+2向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=3x+2-8=3x-6,

令》=。，則0=3x-6,

解得：x=2,

.?.C（2,0）,

:直線y=；龍+4中，當(dāng)y=0時(shí)，彳=一8,

..3（—8,。），

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

y=3x-6

聯(lián)立方程1,

y=—x+4

2

x=4

解得

y=6

?.4(4,6),

S4ABe=5*BCx6=—x|—8—2|x6=30.

故選：C.

4.C

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握一次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)即可判斷①；根據(jù)當(dāng)x=l,圖象在第一象限，來(lái)判定②；找出一次函

數(shù)y=or+6的圖象位于一次函數(shù)y=6x+”的圖象的上方時(shí)，尤的取值范圍即可判斷③；分

別把尤=1,丫=0代入函數(shù)得出三角形的底和高，利用面積計(jì)算公式即可判斷④.

【詳解】??1一次函數(shù)、=依+。和交于一點(diǎn)，

ax+b-bx+a,

解得：x=l,

，①正確；

一次函數(shù)、=辦+6和丫=公+々交點(diǎn)在第一象限，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,

，把尤=1代入、=依+匕得：。+6>。故②正確；

V函數(shù)圖象它們的交點(diǎn)在直線尤=1上，

有函數(shù)圖象可知依+6>6x+a的解集為x>l,故③正確；

把x=l代入y=ax+6得：y^a+b,

b

當(dāng)y=o代入,=依+8得：x=——，

a

當(dāng)>=。代入y="+“得：尤=-￡,

b

與x軸圍成的三角形的面積為：

L］，一JMx伍+b)=LZxe+6)=(故④錯(cuò)誤;

2b\a)2ablab

綜上所述：正確的有①②③;

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

故選：c.

5.2

【分析】本題考查了兩直線相交問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一

次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解，也考查了三角形面積公式.

先求出A(0,3),B(0,-l),從而得出AB=4,聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三

角形面積公式即可得出答案.

【詳解】直線y=2x+3中，令x=0,貝l].y=3

直線y=_2x_l中，令尤=0,貝!Jy=T

.?.4(0,3),3(0,-1)

.?.AB=3-(-1)=4

將y=2%+3與y=-2x—1聯(lián)立

Jy=2x+3

[y=—2x—l

fx=-l

解得：,

y=1

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-M)

\ABC=—x4xl=2

故答案為：2.

6.3

【分析】將兩一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

求出3、C、。的坐標(biāo)，然后根據(jù)AACD的面積=AABC的面積-ABCD的面積求解.

[y=2x+4fx=—2

【詳解】解：由‘C，解得,則A(-2,0).

[y=—x—2n

?.?一次函數(shù)y=2x+4與y=-X-2的圖象與y軸分別交于點(diǎn)8,C,

二.B(0,4),C(0,-2).

?；點(diǎn)D(m,2)在一次函數(shù)y=2x+4的圖象上，

r.2=2"?+4,解得nt=-1,

0(-1,2).

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

:.^ACD的面積=AABC的面積-ABCD的面積

=—x6x2----x6x1

22

=6-3

=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)

的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解.也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,

三角形的面積.

7.-1

【分析】首先根據(jù)題意求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用VAOB的面積列方程求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，

然后代入＞=-2》+3求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后將3(3,-3)代入y=履求解即可.

【詳解】:直線2無(wú)+3與x軸交于點(diǎn)A,

3

當(dāng)y=0時(shí)，0=-2x+3,解得X=Q,

9

NAOB的面積是：，

4

1a13Q

：.--OA\-yB)=-,SP-x-x(-yB)=-

解得力=-3

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

.,.將力=-3代入y=-2x+3得，—3=—2x+3

解得/=3

/.B（3,-3）

.?.將3（3,-3）代入y="得，一3=3左

解得左=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)問(wèn)題，掌握?qǐng)D象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及利用面積構(gòu)造方程,

會(huì)解方程是解題關(guān)鍵.

70

8.—

3

【分析】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一

次函數(shù)的平移，求一次函數(shù)圍成的三角形面積等.先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出直線4與坐標(biāo)軸

的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線4的解析式，求出直線4與y軸的交點(diǎn)

。的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)平移的性質(zhì)得出直線4的解析式，求出直線4與>軸的交點(diǎn)G的坐

標(biāo)，聯(lián)立方程組求出直線4與直線,2的交點(diǎn)尸的坐標(biāo)，根據(jù)，跖6=5/《；-536即可求解.

【詳解】解：：直線4：V=；x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（m,4）,

故4」加+3,

2

解得：m=2,

???￡（2,4）,

???直線4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,

故當(dāng)兀=0時(shí)，>=3,

當(dāng)y=o時(shí)，；工+3=0,角牟得：x=-6,

：.A（-6,0）,8（0,3）,

???05=3,

,:OC=2OB,

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

：.0C=6,

：.C（6,0）,

:點(diǎn)C、E在直線Ly^kx+b±.,

6k+b=0

.?.把C（6,0）,E（2,4）,代入直線y=kx+6得：

2k+b=4

\k——\

解得：7乙，

直線，2的解析式為y=-尤+6；

故當(dāng)x=0時(shí)，y=6,

0（0,6）,

將直線4向下平移7個(gè)單位得到直線4：J=1x-4,

:直線4交P軸于點(diǎn)G,

故當(dāng)工=0時(shí)，y=-4,

???G（OT）,

??,直線4與直線,2交于點(diǎn)尸，

1）

y=_%—4

故聯(lián)立方程組：2,

y=—x+6

f20

X=一

3

解得：\，

Iy=一一3

???交點(diǎn)廠的坐標(biāo)為

??S.G=SQ尸G_SgEG=gx（6+4）xg—；x（6+4）x2=].

70

故答案為：—.

3

33

9.（l）y=,x+6,y=--x

⑵尸。7]或

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知

識(shí)，用分類討論的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法直接求出直線AB和OC的表達(dá)式；

(2)分點(diǎn)P在第一象限和第三象限時(shí)，根據(jù)面積差列方程，解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)直線A8的表達(dá)式為、=履+優(yōu)左W0),

?.?點(diǎn)A(-4,0),8(0,6)在直線A3上，

-4k+b=0

b=6

b=6

3

直線AB的表達(dá)式為y=^x+6,

???C（，”,3）是直線/上的一點(diǎn)，

,3

??—m+o=3,

2

解得：m=—2,

.??以―2,3）,

設(shè)直線OC的表達(dá)式為：y=nx(〃wO),

把C(-2,3)代入得：—2〃=3,

3

n--—

2

3

直線OC的表達(dá)式為：y=

2

2）解：?SAOCP=-S&OAB,

S

??AOCP=-x-x4x6=8,

設(shè)尸1x,gx+6）,

分兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，過(guò)P作軸于。，過(guò)C作CE_Lx軸于E,

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

BY\

???C(-2,3)

D,

x

OE=2,CE=3,

△OCP23+萬(wàn)x+6?(尤+2)--x2x3--x=8,

22

2

解得：x=-,

②當(dāng)點(diǎn)尸在第三象限時(shí)，同理得：［一可，一1

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸（：，［或:g，-11

10.(1)(2-2)

(2)3

(3)(0,—1)或(4,—3)

y=—2x+