動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象之與特殊四邊形相關(guān)模型-2024-2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之函數(shù)模型

動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象之與特殊四邊形相關(guān)模型

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模型示例:

如圖1,點(diǎn)E在正方形ABC。的邊BC上，且BE=；BC,點(diǎn)、P沿BD從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)

D,設(shè)2,P兩點(diǎn)間的距離為x,PE+PC=y,圖2是點(diǎn)尸運(yùn)動時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象,

若圖象的最低點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為而，則最高點(diǎn)N的縱坐標(biāo)。的值為

第①步先確定圖象中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)質(zhì)是PE+PC的最小值，進(jìn)而求出鉆,A3等相關(guān)量:

連接”，：四邊形ABCZ）是正方形，80是其對角線,

80所在直線是正方形的對稱軸，點(diǎn)AC關(guān)于如對稱,

PA=PC,

y=PE+PC=PE+AP,

連接AE交BD于點(diǎn)產(chǎn)，

:.PE+AP>AE.

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到P時(shí)，ynin=AE=^0.

:BE=-BC=-AB,

33

AE=^AB~+BE-=^AB2+(^AB)2=率AB=A/10.

解得AB=3,

.-.AD=AB=CD=BC=3,EC=BC-BE=-BC=2.

3

第②步確定當(dāng)尸運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)圖2中最高點(diǎn)N,進(jìn)而求解:

連接DE，則r>E=JECJCD2=《展+乎=岳.

在圖1中，當(dāng)尸運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí),對應(yīng)圖2中最高點(diǎn)N,此時(shí)y取最大值a,a=AD+DE=3+y/13.

適用范圍：已知特殊四邊形中相關(guān)點(diǎn)的運(yùn)動圖象，求四邊形中的有關(guān)線段的長或面積等.

目！Ssf

由圖象尋找特殊點(diǎn)，結(jié)合四邊形求出有關(guān)量，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵.

（jMadill”

如圖1,矩形A2CD中，=點(diǎn)尸沿BC從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C,設(shè)B,尸兩點(diǎn)間的距

離為無，PA-PE=y,圖2是點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)y隨無變化的關(guān)系圖象，則3c的長為（）

日日參考答案

3.

思路引導(dǎo)

由題意知，當(dāng)x=。時(shí),P、8重合，PA-PE=AB-BE=1,由B4—PEWAE,可知y的最

大值為AE=5,由勾股定理得（班+1）2+跖2=52,求出滿足要求的3E,進(jìn)而可求BC.

di詳細(xì)解析

解：由題意知，當(dāng)尤=0時(shí)，P、3重合，PA-PE=AB-BE=\,

'/PA-PE<AE,

試卷第2頁，共6頁

的最大值為AE=5,

由勾股定理得，AB2+BE2=AE2,BP（BE+1）2+BE2=52,

解得，BE=3或BE=-4（舍去），

BC=3BE=9,

故選：B.

變式題

1.如圖1,在長方形ABC。中，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度，沿

3C—CD-ZM運(yùn)動至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為右，AAB尸的面積為y.如果y關(guān)于

x的變化情況如圖2所示，則VABC的面積是（）

D.80

2.如圖1,在平行四邊形ABCL（中，AD^9cm,動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以Icm/s的速度沿著

AfCfA的方向移動,直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A后才停止.已知△PAD的面積y（單位：cn?）

則圖2中6的值為（）

A.34B.35C.36D.37

3.如圖1,矩形ABC。中，8。為其對角線，一動點(diǎn)尸從。出發(fā)，沿著Of3->C的路徑

行進(jìn)，過點(diǎn)尸作垂足為。.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為無，PQ-DQ為y,y與尤的函

數(shù)圖象如圖2,則AD的長為（）

4.如圖①，在正方形A3CD中，E為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿A3方向勻速運(yùn)動,

運(yùn)動到點(diǎn)8停止，連接將以'繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到DG,連接歹G,FE和CG,

設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動路程為x,AEEG的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖②所示,則正方形A2CD的

邊長為（）

C.5D.6

5.如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，勻速沿AB-B方向點(diǎn)。運(yùn)動，連接OP,

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動距離為X,DP的長為y,y關(guān)于X的函數(shù)圖象如圖2所示，則當(dāng)點(diǎn)尸為A8中

點(diǎn)時(shí)，DP的長為.

6.如圖1,點(diǎn)尸從菱形ABCD的邊AD上一點(diǎn)開始運(yùn)動，沿直線運(yùn)動到菱形的中心，再沿

直線運(yùn)動到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為x,點(diǎn)P到AB的距離為m,到C。的距離為m,

VI

且y=—（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，y=。），點(diǎn)尸運(yùn)動時(shí)y隨x的變化關(guān)系如圖2所示，則菱

m

形ABC。的面積為.

試卷第4頁，共6頁

D

AC

圖1圖2

7.正方形與等邊按如圖所示方式疊放，頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)廠在邊AD上，直線/

垂直CE,與直線AD和折線E-/-C分別交于N、M兩點(diǎn)，/從點(diǎn)E出發(fā)，運(yùn)動至點(diǎn)C停

止，設(shè)/移動的距離為無，S；=y，運(yùn)動過程中y與X的函數(shù)如圖所示，則AF的長為.

8.如圖1,平行四邊形ABCD中，ZD=150°,兩動點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)M在

邊48上以2cm/s的速度勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動，點(diǎn)N沿A-O-C-3的路徑勻速

運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)8時(shí)停止運(yùn)動.AAMN的面積S（cn?）與點(diǎn)N的運(yùn)動時(shí)間f（s）的關(guān)系圖象如圖

2所示，已知AB=4cm.

（2）c處的數(shù)值等于

9.如圖1,在長方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn),其中8c=18cm,BE=8cm.動點(diǎn)尸從

8開始，以6cm/s的速度沿3fCfO路線運(yùn)動，然后改變速度后再沿O-A路線運(yùn)動,

到點(diǎn)A停止.圖2是點(diǎn)尸出發(fā)f秒后，ABPE的面積S（cn?）隨時(shí)間《s）變化的圖象.根據(jù)圖

中提供的信息回答下列問題:

(2)當(dāng)動點(diǎn)尸沿Df4路線運(yùn)動時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的速度；

(3)點(diǎn)尸出發(fā)幾秒時(shí)，ABPE的面積是長方形ABCZ)面積的;?

10.如圖1,在長方形ABCD中，AB=6cm,￡為48邊中點(diǎn).動點(diǎn)尸從點(diǎn)8開始，以3cm/s

的速度沿CfOfA路線運(yùn)動，到點(diǎn)A停止.圖2是點(diǎn)P出發(fā)t秒后，ABPE的面積S(cm?)

隨時(shí)間f(s)變化的圖象.根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

(1)BC=cm；點(diǎn)A/表示的實(shí)際意義是；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在ZM上運(yùn)動時(shí)，求ABPE的面積為9cm2時(shí)，的值；

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)時(shí)，動點(diǎn)Q同時(shí)以xcm/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CD邊運(yùn)動,

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，尸、。兩點(diǎn)停止運(yùn)動.當(dāng)x為何值時(shí)，△P3E與△尸C。全等，請直

接寫出尤的值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.c

【分析】本題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動

到點(diǎn)C,。之間時(shí)，S^BP=^AB-BC,此時(shí)面積不變，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=4時(shí)，面

積開始不變，當(dāng)x=9,面積繼續(xù)變化，則AB=Cr>=10,0到4秒后點(diǎn)尸從點(diǎn)8運(yùn)動到點(diǎn)C,

可得3c=2x4=8,再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：動點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC—CD-DA運(yùn)動至點(diǎn)A停止，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)C,

D之間時(shí)，S^BP=^AB-BC,此時(shí)面積不變，

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=4時(shí)，面積開始不變，當(dāng)x=9,面積繼續(xù)變化，

AB=CD=2X（9-4）=10,0到4秒后點(diǎn)尸從點(diǎn)2運(yùn)動到點(diǎn)C,

：.BC=2x4=8,

SZ.AAARoCr=-2ABBC=2-x8xl0=40,

故選：c.

2.C

【分析】首先由圖②可得點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)8所用的時(shí)間為10s,再根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)得3C=AD=9cm,則點(diǎn)P從點(diǎn)8運(yùn)動到點(diǎn)C所用的時(shí)間為9s,然后分別過點(diǎn)B,C作AO

的垂線于E,CF_LAD交AD的延長與尸，先求出BE=8cm,AE=6cm,然后證

△ABE1和△￡>（才全等得GAEufyJGcm,據(jù)此可求出AC=17cm,于是可求出點(diǎn)尸從點(diǎn)C

運(yùn)動到點(diǎn)A所用的時(shí)間為17s,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：由圖②可知點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)8所用的時(shí)間為10s,

:點(diǎn)P運(yùn)動的速度為lcm/s,

AB=10xl=10（cm）,

:四邊形ABC。為平行四邊形，AD=9cm,

二BC=9cm,AB=CD=10cm,AB//CD,

???點(diǎn)P從點(diǎn)8運(yùn)動到點(diǎn)C所用的時(shí)間為：9+l=9（s）,

點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C所用的時(shí)間為：10+9=19（s）,

a=19；

分別過點(diǎn)8,C作AD的垂線于E,CFLAD交AD的延長線于R則

答案第1頁，共9頁

/BEA=NCFD=90°,如圖:

由圖②可知：=36,

A-AD-BE=36,

2

即：—x9xBE=36,

2

BE=8cm,

在Rt/VLBE中,AB=10cm,BE=8cm,

由勾股定理得：AE=VAB2-BE2=A/102-82=6(cm),

'：AB//CD,

：./BAE=/CDF,

在aABE■和△OCF中，

ZBAE=ZCDF

<ZBEA=ZCFD=90°,

AB=CD

：.小ABE均DCF(AAS),

AE=DF=6(cm),

在RtAAC/中，CF=BE=8cm,AF=AD+O尸=9+6=15(cm),

由勾股定理的：AC=y/CF2+AF2=7S2+152=17(cm),

???點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A所用的時(shí)間為：17-M=17(s),

???8=19+17=36,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理等，理解題意，讀懂函數(shù)的圖象，從函數(shù)圖象中提取解決問題的信息，正確的

作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵.

答案第2頁，共9頁

3.B

【分析】根據(jù)圖象的信息，得當(dāng)P在BC上運(yùn)動時(shí)，此時(shí)C與。重合，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得

y=PQ—DQ=BD+BC—x—DC,根據(jù)圖象信息，得當(dāng)x=4時(shí)，y=0即BD+BC—A—DC=0,

當(dāng)x=3D+3C時(shí)，y^~2^BD+BC-BD-BC-DC=-2,

利用勾股定理，矩形的性質(zhì)解答即可.

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，圖象信息處理，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)圖象的信息，得當(dāng)P在上運(yùn)動時(shí)，此時(shí)C與。重合，

根據(jù)矩形的性質(zhì)，^y^PQ-DQ=BD+BC-x-DC,

根據(jù)圖象信息，得當(dāng)x=4時(shí)，y=0即3r>+3C-4-OC=0,

當(dāng)x=BD+3C時(shí)，BD+BC-BD-BC-DC=-2,

解得B￡>+8c=6,Z)C=2,

故即+AD=6,OC=2

又BD?=AD?+DC?,

故(6—A￡>y=Ar>2+22.

Q

解得=

故選B.

4.B

【分析】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能從

圖象中得到有用的條件，并判斷動點(diǎn)位置進(jìn)行計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵.

證明AADP絲ACDG(ASA),得出AF=CG,由圖②得，當(dāng)尤=1時(shí)，y=4.5,即當(dāng)AF=1時(shí)，

S百c=4.5,根據(jù)三角形面積公式求出。即可求出邊長.

【詳解】解：???四邊形ABC。為正方形，

:.AD=CD,ZADC=90°,

■：AFCG=90°,

:.ZADF=NCDG,

ZDAF=ZDCG=90°,

:.△ADFWACDG(ASA),

:.AF=CG,

答案第3頁，共9頁

由圖②得，當(dāng)尤=1時(shí)，y=4.5,

即當(dāng)點(diǎn)Ab=1時(shí)，S.c=4.5,

設(shè)正方形邊長為2a,

/.BF=2a—1,

?.?E為中點(diǎn)，

/.CE=a9EG=a+l,

^GEBF=4.5,gp|(a+l)(2a-l)=4.5,

二.%=2,=——(舍去)，

;.AB=4.

故選：B.

5.V13

【分析】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、勾股定理，從函數(shù)圖象中獲取信息是解題的關(guān)

鍵.通過觀察圖2可以得出AD=3,AB=a,BD=a+l,由勾股定理可以求出。的值，當(dāng)P

為A3的中點(diǎn)時(shí)AP=』AB=2,由股定理求出DP長度.

2

【詳解】解：因?yàn)镻點(diǎn)是從A點(diǎn)出發(fā)的，A為初始點(diǎn)，觀察圖象x=0時(shí)＞=3,則仞=3,

尸從A向B移動的過程中，DP是不斷增加的，而尸從8向。移動的過程中，DP是不斷減

少的，

因此轉(zhuǎn)折點(diǎn)為B點(diǎn)，P運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，即x=a時(shí)，AB=a,此時(shí)y=a+l,

BPBD=a+\,AD=3,AB=a,

在RtA&LD中，由勾股定理得：AB2+AD1=BD1,

a2+32=(tz+l)\

解得＜7=4,

AB=4,

當(dāng)尸為48的中點(diǎn)時(shí)AP=」AB=2,

2

DP=^AP2+AD2=722+32=V13,

故答案為：＞/13.

6.6A/7

答案第4頁，共9頁

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，

解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)以及勾股定理.

連接AC,交于點(diǎn)0,連接。尸，由當(dāng)04尤＜2時(shí)，y的值恒等于1,推出點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑

是△ADC的中位線，則可得到CD=2x2=4,再由當(dāng)x=5時(shí)，y=0,求出OC=3,由菱形

的性質(zhì)求出AC,BD的長即可得到答案.

【詳解】解：連接AC即交于點(diǎn)。，連接OP,如圖，

由題意知，當(dāng)。4x42時(shí)，V的值恒等于1,

m=n,

點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑是幾位）。的中位線，且CD=2x2=4.

\,當(dāng)x=5時(shí)，y=°,

/.OC=3.

由菱形的性質(zhì)可得AC=2OC,BD=2OD,ACLBD,

:.AC=2OC=6,

:.OD=7CD2-OC2=A/7，

BD=2OD=2近，

SWABCD=|BO-AC=1X277x6=6A/7,

故答案為：6A/7.

7.273-2##-2+273

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可知，當(dāng)/從點(diǎn)E出發(fā)，運(yùn)動至點(diǎn)C時(shí)，V取得最大值，即x=4,根

據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得ARDF即可求解.

【詳解】解:根據(jù)函數(shù)圖像可知，當(dāng)Z從點(diǎn)E出發(fā)，運(yùn)動至點(diǎn)C時(shí)，＞取得最大值，即EC=x=4,

'.1等邊△CEF

:.CF=CE=EF,ZECF=60°

???ABCD是正方形，

ZBCD=90°,CD=AD,

答案第5頁，共9頁

:.ZFCD=30°,貝！JFD='C尸=2,

2

CD=y/3FD=2A/3.

AF=AD-FD=2y/3-2.

故答案為：26-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，正方形，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，勾股定理，從函數(shù)圖像上獲取信息是解題的關(guān)鍵.

8.110

【分析】本題主要考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題，涉及平行四邊形的性質(zhì)，含30。直角三角

形的性質(zhì)，由點(diǎn)M的速度和路程可知，/=2時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)8重合，過點(diǎn)N作于點(diǎn)

E,求出AE的長，進(jìn)而求出AN的長，得出N點(diǎn)的速度；由圖2可得當(dāng)f=3時(shí)，點(diǎn)N和點(diǎn)。

重合，進(jìn)而可求出AD的長；即可求解.

【詳解】解：：AB=4cm,點(diǎn)加的速度為2cm/s,

當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A到點(diǎn)B,用時(shí)f=4+2=2（s）,

當(dāng)f=2時(shí)，過點(diǎn)N作于點(diǎn)E,

2

NE=1,

在口ABC。中，Z￡>=150°,

AB//CD,AB=CZ）=4（cm）,AD=BC,

=30。，

/.AN=2NE=2（cm）,

點(diǎn)的運(yùn)動速度是2+2=lcm/s；

...點(diǎn)N從。到C,用時(shí)t=4+l=4s,由圖2可知，點(diǎn)N從A到。用時(shí)3s,

AD=BC=3cm,

c=（3+4+3”l=10（s）,

答案第6頁，共9頁

故答案為：1；10.

9.(1)3,12,72

(2)4cm/s

949

⑶了秒或q-秒

【分析】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，三角形的面積公式；

(1)先求出點(diǎn)。在上的運(yùn)動時(shí)間，根據(jù)函數(shù)圖象得出Q=3,進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式

求出"當(dāng)3＜，＜5時(shí)，點(diǎn)尸在8上，得出C。；

(2)根據(jù)尸從。到A的運(yùn)動時(shí)間為9.5-5=4.5,用路程除以時(shí)間，即可求解.

(3)先求出長方形面積，進(jìn)而求出S,再分點(diǎn)尸在上運(yùn)動和點(diǎn)尸在上運(yùn)動兩種情況

分別建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：依題意得，當(dāng)點(diǎn)尸在3C上運(yùn)動時(shí)，BP=6t,

'：BC=18

：.61=18,

解得：t=3；

根據(jù)圖2可得，。=3,

1

=—xl8x8=72cm92

2

當(dāng)3＜，＜5時(shí)，點(diǎn)尸在CD上，

???CD=6x(5-3)=12cm,

故答案為：3,12,72.

(2)解：???尸從。到A的運(yùn)動時(shí)間為9.5-5=4.5s

.18//

..v=——=4cm/s；

4.5

(3)解：VBC=18cm,CD=12cm,

2

?*,S長方形ABCD=BC-CD=216cm,

1

S=216x-=54cm29；

4

當(dāng)點(diǎn)尸在5C上運(yùn)動時(shí)，BP=6t,

S=—x8x6z=54,

2

答案第7頁，共9頁

解得好小9

當(dāng)點(diǎn)尸在AZ）上運(yùn)動時(shí)，=18-4（/-5）=38-4/,

/.S=1x8x（38-4f）=54,

解得公？；

O

9491

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)J秒或:秒時(shí)，ABPE的面積是長方形池。面積的;.

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10.⑴9；點(diǎn)尸運(yùn)動5s到點(diǎn)。時(shí)，ABPE的面積為13.5cm?

⑵r=6

（3）尤=2或3

【分析】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式.